UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE MATEM ´
ATICAS
Ideales de Lyubeznik
T E S I S
que para obtener el grado de
Maestro en Matem´
aticas.
P R E S E N T A:
Iv´
an Guadalupe Mendoza Alonzo.
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Luis Alfredo Dupont Garcia
CODIRECTOR DE TESIS:
Dr. Armando S´
anchez Nungaray
Índice general
Introducción 2
1. Resoluciones Libres Minimales 4
1.1. Resoluciones Libres . . . 4
1.2. Resolución libre minimal. . . 7
1.3. Resolución con soporte un complejo simplicial. . . 12
1.4. Resolución de Taylor . . . 13
1.4.1. Resoluciones Simpliciales. . . 14
1.5. Resolución de Lyubeznik . . . 18
1.6. Resolución de Scarf . . . 20
1.7. Resolución de Lyubeznik desde un punto de vista algebraico. . . 22
2. Ideales de Lyubeznik 24 2.1. Combinatoria sobre G(I) . . . 24
2.2. Caracterización de los Ideales de Lyubeznik. . . 27
2.3. Propiedades de Ideales de Lyubeznik . . . 30
2.4. Algunas clases de Ideales de Lyubeznik . . . 34
Resumen
Introducción
En el siguiente trabajo se obtiene una caracterización de una clase de ideales mono-miales llamados ideales de Lyubeznik. Además, se proporcionan algunas familias de dichos ideales. Para un ideal monomial I, sea G(I) el conjunto minimal de monomios generado-res. Si hay un orden total para el cual la correspondiente resolución de Lyubeznik es una resolución libre minimal de I, entonces el ideal I es llamado ideal de Lyubeznik.
SeanS =K[x1, x2, . . . , xn]el anillo de polinomios sobre un campoK y I ⊂S un ideal monomial. Uno de los problemas más importantes en Álgebra Conmutativa y Homológi-ca es encontrar una resolución libre minimal de manera explícita de I sobre S. Aunque se sabe que todo S−módulo tiene una resolución libre minimal, en general no hay una descripción conocida incluso para ideales monomiales.
Para algunas clases de ideales monomiales se desarrollaron técnicas para determinar sus resoluciones libres minimales de manera explícita. Mediante la investigación de diver-sos complejos simpliciales, por ejemplo, la resolución de Taylor, el complejo de Scarf y la resolución de Lyubeznik. La resolución de Taylor está lejos de ser minimal, mientras que el complejo de Scarf es minimal pero no suele ser exacta. Aunque la resolución de Lyubeznik en general no es minimal, está más cerca de ser una resolución libre minimal comparada con la resolución de Taylor.
clases de ideales monomiales fueron dadas con éste método, tales como los cocientes de ideales lineales con función de descomposión (Herzog y Takayama), los ideales de aristas con algunas condiciones combinatorias (Horwitz), etcétera.
La propuesta principal de éste trabajo es describir ideales monomiales los cuales pue-den ser resueltos para obtener una resolución de Lyubeznik minimal, bajo un orpue-den total elegido sobre el conjunto minimal de monomios generadores del ideal I, al parecer la elec-ción del orden total es el tema principal del problema.
En el capítulo 1, se da la teoría de resoluciones libres minimales las cuales son parte fundamental en éste trabajo, definimos la resolución de Taylor, resoluciones con soporte un complejo simplicial, la resolución de Lyubeznik así como la resolución de Scarf y por último definimos la resolución de Lyubeznik desde un punto de vista algebraico.
Capítulo 1
Resoluciones Libres Minimales
1.1.
Resoluciones Libres
Definición 1.1.1. Una resolución libre de un R− módulo finitamente generado U es una sucesión de homomorfismos deR− módulos
F:· · · −→Fi di
−→Fi−1 −→. . .−→F1
d1
−→F0,
tal que
1. Fes un complejo de R− módulos libres finitamente generados Fi; 2. Fes exacta;
3. U ∼=F0/Im(d1).
Algunas veces es conveniente escribir
F:· · · −→Fi di
−→Fi−1 −→. . .−→F1
d1
−→F0
d0
−→U −→0
a do usualmente se le denota como ǫ y es llamado mapeo aumentado.
Una resolución esgraduadasiU es graduado,Fes un complejo graduado y el
y grado interno 0. Fijando un elemento básico homogéneo de cada módulo libre Fi, la di-ferencialdiestá dada por la matrizDi, la cual está formada por los elementos homogéneos en R. Dichas matrices son llamadas matrices diferenciales (notemos que dependen de
la base elegida).
Contrucción 1. Dado un R− módulo graduado finitamente generado U, construimos la resolución libre graduada de U por inducción sobre el grado homológico.
Paso 0: Sea U0 = U. Elegimos generadores homogéneos m1. . . mr de U0 con grados
a1. . . ar respectivamente. Sea F0 = R(−a1)⊕. . .⊕R(−ar). Para 1 ≤ j ≤ r denotamos
por fj el 1− generador de R(−aj). Por lo tanto deg(fj) =aj.
Definimos
d0 : F0 → U
fj 7→ mj para 1≤j ≤r.
Éste es un homomorfismo de grado 0.
Asumimos por inducción, que Fi y di están definidos.
Paso i+ 1: Sea Ui+1 = Ker(di). Elegimos generadores homogéneos l1, . . . ls de Ui+1
con grados c1, . . . cs respectivamente. Sea Fi+1 =R(−c1)⊕. . .⊕R(−cj). Para 1≤j ≤s
denotemos por gj los 1−generadores de R(−cj). Así, deg(gj) = cj. Definimos
di+1 : Fi+1 → Ui+1 ⊂Fi
gj 7→ lj para 1≤j ≤s.
Éste es un homomorfismo sobreyectivo de grado 0.
El complejo construido es exacto ya que por construcción Ker(di) =Im(di+1).
Ejemplo 1.1.2. Sea R = k[x, y] y I = hx3, xy, y5i. Construiremos una resolución libre
graduada deR/I sobre R.
Paso 1: Los elementos x3, xy, y5 son generadores homogéneos de Ker(d0), de grado
3, 2, 5 respectivamente. Sea F1 = R(−3)⊕R(−2)⊕R(−5). Denotamos por f1, f2, f3
los 1−generadores de R(−3), R(−2), R(−5). Por lo tanto deg(f1) = 3, deg(f2) = 2,
deg(f3) = 5. Definimos d1 por f1 7→ x3, f2 7→ xy, f3 7→ y5 y obtenemos la primera parte
de la resolución:
R(−3)⊕R(−2)⊕R(−5)
x3 xy y5
−−−−−−−−−−−→R −→R/I −→0
Paso 2: Necesitamos encontrar generadores homogéneos de Ker(d1).Sea αf1+βf2+
γf3 ∈Ker(d1), con α, β, γ ∈R para ello necesitamos resolver la ecuación
αx3+βxy+γy5 = 0
donde α, β, γ ∈ R son desconocidas. La igualdad αx3 = −y(βx+γy4) implica de y
divide a α. La igualdad γy5 = −x(αx2 +βy) implica que x divide a γ, así α = yα˜ y
γ =xγ˜, se sigue que ˜γx2+β+ ˜γy4 = 0. Por lo tanto, cada término de β es divisible por
x2 ó y4. Escribimos
˜
α=α′y4+α′′
donde ningún término de α′′es divisible por y4
β =β′
y4+β′′
x2+βx2y4 donde ningún término de β′′
es divisible por y4
y ningún término deβ′
es divisible por x2
˜
γ =γ′
+γ′′
x2 donde ningún término de γ′
es divisible por x2
Así, tenemos la igualdad
(α′ +β+γ′′)x2y4+ (α′′+β′′
)x2+ (β′+γ′)y4 = 0.
Luego α′′ + β′′
= 0 y β′ + γ′ = 0. Así α′ + β + γ′′ = 0. De donde todas las so-luciones (α′
, α′′
, β′
, β′′
, β, γ′
, γ′′
) son generadas por (0,1,0,−1,0,0,0) (0,0,−1,0,0,1,0),
σ1 = (y,−x2,0), σ2 = (0,−y4, x)
σ3 = (y5,−x2y4,0), σ4 = (0,−x2y4, x3).
Notemos que σ3 = y4σ1 y σ4 = x2σ2. Por lo tanto todas las soluciones (α, β, γ)
de la ecuación d((α, β, γ)) = 0 tiene generadores minimales σ1 y σ2. Así yf1 − x2f2 y
−y4f
2+xf3 son generadores homogéneos deKer(d1),con grados 4 =deg(y) +deg(f1)y
6 =deg(y4) +deg(f
2), respectivamente. Así F2 =R(−4)⊕R(−6). Denotemos por g1, g2
los1−generadores de A(−4)y A(−6). Por lo tantodeg(g1) = 4 y deg(g2) = 6. Definimos
d2 porg1 7→yf1−x2f2, g2 7→ −y4f2+xf3 y obtenemos el siguiente paso en la resolución
R(−4)⊕R(−6) y 0
−x2 −y4
0 x
−−−−−−−−−−−→R(−3)⊕R(−2)⊕R(−5)
x3 xy y5
−−−−−−−−−−−→R
Paso 3: Primero, necesitamos encontrar generadores homogéneos de Ker(d2). Sea
µg1+νg2 ∈Ker(d2)con µ, ν ∈R. Por lo tanto
µyf1+ (−µx2−νy4)f2 +νxf3 = 0
de donde
µy = 0, −µx2−νy4 = 0, νx= 0.
Por lo tanto concluimos que µ = ν = 0. Así, F3 = 0. Obtenemos la resolución libre
graduada
0−→R(−4)⊕R(−6) y 0
−x2 −y4
0 x
−−−−−−−−−−−→R(−3)⊕R(−2)⊕R(−5)
x3 xy y5
−−−−−−−−−−−→R.
1.2.
Resolución libre minimal.
resolución libre graduada mas pequeña en el sentido que el rango de los módulos libres son menores o iguales que el rango de los corresponfientes módulos libres de una resolución libre graduada arbitraria del módulo resuelto.
Definición 1.2.1. Una resolución libre graduada de un R−módulo U finitamente gene-rado es minimal si
di+1(Fi+1)⊆(x1, . . . , xn)Fi para todo i≥0.
Observemos de la definición anterior, que los elementos no invertibles (constantes diferentes de cero) aparecen en las matrices diferenciales.
La resolución del ejemplo 1.1.2 es una resolución libre minimal. Diremos que m representa el ideal maximalhx1, . . . , xni.
Teorema 1.2.2. La resolución libre graduada de la construcción 1 es minimal si y solo si,
en cada paso se elige un sistema de generadores homogéneos del kernel de la diferencial.
Demostración. Utilizaremos la notación usada en la construcción 1 y el conjunto
Ker(d−1) =U.
Primero supongamos que la resolución construida es minimal. Asumimos que para algún i ≥ −1 elegimos un sistema no minimal de generadores homogéneos l1, . . . , ls de
Ker(di).Después de renumerar los elementosl1, . . . , lssi es necesario, tenemos la relación
l1 =P2≤j≤srjlj, para algúnrj ∈R, esto es di+1(g1) =P2≤j≤srjdi+1(gj). Por lo tanto,
g1−
X
2≤j≤s
rjgj ∈Ker(di+1) = Im(di+2).
Ya que la resolución es minimal, tenemos que Im(di+2)⊆mFi+1.
Así, g1−P2≤j≤srjgj ∈mFi+1, lo cual es una contradicción.
Ahora supongamos que en cada paso elegimos un sistema minimal de generadores homogéneos de el kernel de la diferencial. Por demostrar que la resolución obtenida es minimal. Supongamos lo contrario. Existe un i ≥ −1 tal que Im(di+2)6⊆ mFi+1. Por lo
Después de renumerar los elementos g1, . . . , gs si es necesario, podemos asumir que g1 −
P
2≤j≤srjgj ∈Ker(di+1) para algúnrj. Así
di+1(g1) =
X
2≤j≤s
rjdi+1(gj).
Por lo tanto, l1 = P2≤j≤srjlj. Esto contradice el hecho de que elejimos l1, . . . , ls como sistema minimal de generadores homogéneos de Ker(di).
Un complejo de la forma
0−→R(−p)→−1 R(−p)−→0
es llamado complejo trivial corto. Si (F, d) y (G, ∂) son complejos, entonces la suma directa F⊕G es un complejo con módulo (F⊕G)i =Fi⊕Gi y difereciales d⊕∂. Una suma directa de complejos triviales cortos (posiblemente colocados en diferentes grados homológicos) es llamado un complejo trivial.
Ejemplo 1.2.3. El complejo trivial
0−→R(−p)⊕R(−q)−→R(−p)⊕R(−q)⊕R(−t)−→R(−t)−→0−→R(−s)−→R(−s)−→0
es la suma directa de cuatro complejos triviales cortos.
Teorema 1.2.4. Sea U un R−módulo graduado finitamente generado. 1. Existe una resolución libre minimal graduada deU.
2. SeaF la resolución libre minimal graduada deU.Si Ges otra resolución libre deU,
entonces G∼=F⊕T para algún complejo trivial T, y la suma directa es una suma
directa de complejos.
Demostración. El inciso (1) del teorema se sigue del Teorema 1.2.2 y el inciso (3) se sigue del inciso (2) del mismo,por último la prueba del inciso (2) puede ser consultada en [4, Sección 9],donde la herramienta clave en la prueba es el lema de Nakayama.
Ejemplo 1.2.5. Sea R=k[x, y]. Consideramos la resolución libre graduada
0−→R(−5) y2 x 1
−−−−−→R(−3)⊕R(−4)⊕R(−5)
−y 0 y3
x −y2 0
0 x −x2
−−−−−−−−−−−−−−−→
R(−2)⊕R(−2)⊕R(−3)
x2 xy y3
−−−−−−−−−−−→R.
Ésta resolución no es minimal, porque la última matriz diferencial tiene una entrada con uno.
Sea f1, f2, f3 los 1−generadores de R(−3), R(−4),R(−5)respectivamente. Hacemos
un cambio de base en R(−3)⊕R(−4)⊕R(−5) por
g1=f1, g2 =f2, g3 =y2f1+xf2+f3.
En la nueva base la resolución es
0−→R(−5) 0 0 1
−−−−→R(−3)⊕R(−4)⊕R(−5)
−y 0 0
x −y2 0
0 x 0 −−−−−−−−−−−−−→
R(−2)⊕R(−2)⊕R(−3)
x2 xy y3
−−−−−−−−−−−→R.
Así, la resolución es la suma directa del complejo trivial corto
colocados en grados homológicos 2 y 3, y la resolución libre minimal graduada es
0−→R(−3)⊕R(−4)
−y 0
x −y2
0 x
−−−−−−−−−−→R(−2)⊕R(−2)⊕R(−3)
x2 xy y3
−−−−−−−−−−−→R.
Eliminar el complejo trivial corto de la resolución original se le llama cancelación consecutiva. Decimos que dos copias de A(−5)se anulan.
El teorema garantiza que en toda resolución libre graduada no minimal, cambiando la base de modo que después de un número de cancelaciones consecutivas, obtenemos una resolución libre minimal.
La resolución libre existe sobre cualquier anillo noetheriano conmutativo (no necesa-riamente conmutativo). Sin embargo, el concepto de resolución libre minimal no tiene sentido sobre todos esos anillos.Con el fin de tener una única resolución libre minimal salvo isomorfismo como en el Teorema 1.2.4, necesitamos en particular que cada sistema minimal de generadores homogéneos de el módulo tenga el mismo número de elementos. Ésto se sigue de el Lema de Nakayama [4, Lema 2.11] y [4, Teorema 2.12]. Dos clases principales de anillos noetherianos conmutativos sobre el cual el lema de Nakayama es válido, son los anillos locales noetherianos y las álgebra positivamente graduadas finita-mente generadas sobre un campo. Por lo tanto, éstas son las dos clases principales de anillos sobre el cual la teoría de resoluciones libres minimales es desarrollada.
1.3.
Resolución con soporte un complejo simplicial.
Sea M un conjunto de monomios. Ggeneralemnte, M son los generadores de I. El simplejo sobre M es el conjunto de todos subconjuntos de M, y es denotado por ∆M y en ocaciones nos referimos a los elementos de M como vértices de∆M.
Un complejo simplicial sobre M es un subconjunto de ∆M el cual es cerrado bajo inclusión de subconjuntos. Si Γ es un complejo simplicial sobre M y F ∈Γ, decimos que
F es una cara de Γ.Notemos que si F es una cara deΓ yG⊂F, entonces Ges una cara deΓ. Necesitamos que un complejo simplcial sea no vacío, por lo tanto el conjunto vacío debe ser una cara.(en efecto para nuestro propósito, podemos suponer que cada vértice es una cara.
Si F es una cara de Γ, definimos y denotamos el multigrado de F por m(F) como el mínimo común múltiplo de elementos deF. Observemos que el vérticen tiene multigrado
n, y que el conjunto vacío tiene multigrado 1.Definimos y denotamos el orden de la cara
F, |F| como el número de vértices en F. Orden de la cara es mas grande en uno que su dimensión. Si G⊂F y |G|=|F| −1, decimos que Ges una careta de F.
Adoptamos la convención de la palabra complejo en el sentido que significa complejo de cadena algebraica. Nos referimos a complejos simplicial como complejo simplicial, sin embargo todo complejo simplicial está asociado a un complejo de cadena por la siguiente construcción estándar de topología algebraica:
Contrucción 2. Sea Γ un complejo simplicial sobre M con un orden dado sobre los monomios deM,M ={m1, . . . , mr}. Asociamos aΓel complejo cadenaCΓde la siguiente
manera:
Para toda cara F ∈ Γ, creamos el siguiente símbolo formal [F]. Si F = {mi1,...,mis}
con índices crecientes ij , entonces para cada G de F, escribimos G = F \ {mij} para
algúnj. Definimos y denotamos la orientaciónεF
G igual a1sij es impar y−1sij es par.
Para cada s, sea Cs el k−espacio vectorial generado por los símbolos [F] tal que |F|=s
φs−1 : Cs −→Cs−1
[F] 7→ X
G es una careta de F
εF G[G] .
Entonces CΓ es igual al complejo de espacios vectoriales
CΓ : 0. . .−→Cr φr−1
−→Cr−1 −→. . .
φ1
−→C1
φ0
−→C0 −→0.
La prueba de queCΓes un complejo de cadena implica un cálculo deφ2([mi1, . . . , mis]). La homología reducida de Γ se define como la homología de éste complejo.
1.4.
Resolución de Taylor
Sea I =hm1. . . , msiun ideal monomial. Laresolución de TaylordeI es construida de la siguiente manera:
Para un subconjunto F de {m1, . . . , mr}, establecemos m(F) = lcm{mi : mi ∈ F}. Para cada F, definimos un símbolo formal [F] al que llamamos símbolo de Taylor, con multigrado igual a m(F). Para cada i, Ti es igual al S−módulo libre con base {[F] :
|F| = i} dado por los símbolos correspondientes a subconjuntos de tamaño i. Notemos queT0 =S[∅]es un módulo libre de rango uno, y los otrosTi son módulos multigraduados con generadores en multiples multigrados dependiendo de los símbolos [F].
Definimos φ−1:T0 −→S/I por φ−1(f[∅]) =f, en otro caso construimos φi :Ti+1 −→
Ti como sigue.
Dado F ={mj1, . . . , mji}, con el índice en orden creciente yG=F \ {mjk}, ponemos
el signo εF
G igual a 1si k es impar y−1 sik es par. Finalmente establecemos
φF =
X
G es una careta de F
εFG
m(F)
m(G)[G],
y definimos φi :Ti+1 −→Ti mediante la extensión de los diversosφF.(Notemos que todos loφi son homogéneos con multigrado 1)
TI : 0−→Tr φr−1
−→Tr−1 −→. . .
φ1
−→T1
φ0
−→T0 −→ S/I −→0.
Haciendo los cálculos se puede verificar que en efecto la resolución de Taylor es un complejo.
La construcción de la resolución de Taylor es muy similar a la contrucción 2 de hecho si Γ es el simplejo completo, la única diferencia es la presencia de los lcm en los mapeos frontera. Se explicará ésta conexión en la siguiente sección.
Ejemplo 1.4.1. Sea I =ha2, ab, b3i Entonces la resolución de Taylor de I es
T1 : 0 −→S[a2, ab, b3]
a −1 b2 −−−−−−→
S[ab, b3]
⊕
S[a2, b3]
⊕
S[a2, ab]
0 −b3 −b
−b2 0 a
a2 a 0
−−−−−−−−−−−−−−→
S[a2]
⊕
S[ab]
⊕
S[b3]
a2 ab b3
−−−−−−−−−−→ S[∅]→S/I →0.
Ésta no es una resolución minimal; La resolución de Taylor es rara vez minimal.
Teorema 1.4.2. La resolución de Taylor de I es una resolución de I.
Con una serie de cálculos se puede mostrar que φ2 = 0 en el complejo de Taylor, pero
no es tan claro de la construcción que el complejo sea exacto. Esto puede ser más fácil mostrando que la resolución de Taylor es un caso especial de un fenómeno más general, es por ello que éste teorema lo probaremos en la siguiente sección, usando el lenguaje de resoluciones simpliciales.
1.4.1.
Resoluciones Simpliciales.
Si Γ = ∆, la construcción de la resolución de Taylor difiere de la clásica construcción topológica de un complejo de cadena asociado a Γ, solo por la presencia de los monomios
lcm(F)
lcm(G) en sus mapeos diferenciales. Ésta observación conduce naturalemte a hacernos la
general, las resoluciones que surjan de otra estructura topológica se ha desmotrado ser una herramienta principal para la comprensión de ideales monomiales. Describimos só-lo só-los fundamentos de la teoría a continuación, para un tratamiento mas detallado se puede consultar, el artículo de Bayer, Peeva y Sturmfels [BPS] es una introducción muy entendible.
Contrucción 3. Sea M el conjunto de monomios, y Γ un complejo simplicial sobre M. Fijamos un orden sobre los elementos de M, ésto induce una orientación sobre ε en
Γ. Recordemos que εF
G es 1 o −1 si G es una careta de F. Es conveniente establecer
formalmente que εF
G = 0 cuando G no e careta de F. Asignamos un multigrado a cada
caraF ∈Γ por la regla m(F) =lcm(m :m ∈F), recordemos que F es un subconjunto de M por lo que sus elementos son monomios.
Ahora para cada cara F creamos un símbolo formal [F] con multigrado mdeg(F).
Sea Hs el módulo libre con base {[F] :|F|=s}, definimos la diferencial
φs−1 : Hs −→Hs−1
[F] 7→ X
G es una careta de F
εFG
m(F)
m(G)[G] .
El complejo asociado a Γ es entonces el complejo de cadena algebraico
HΓ : 0. . .−→Hr φr−1
−→Hr−1 −→. . .
φ1
−→H1
φ0
−→H0 −→S/I −→0.
La construcción 3 difiere de la construcción 2 en que es un complejo de S−módulos libres en lugar de espacios vectoriales. Los mapeos frontera son idénticos excepto los coeficientes de los monomios los cuales son necesarios para hacer el complejo homogéneo.
Ejemplo 1.4.3. SeaI generado porM ={a2, ab, b3}y sea∆el simplejo total deM,Γel
complejo simplicial con caretas{a2, ab}y {ab, b3},Θel0-esqueleto de ∆. Estos complejos
•
•
•
a
2
b
ab
3b
3a
2b
3a
2b
3a
2ab
∆
•
•
•
a
2
b
ab
3b
3a
2b
3a
2b
3a
2ab
∆
•
•
•
a
2
b
ab
3b
3a
2ab
Γ
•
•
•
a
2
b
ab
3b
3a
2ab
Γ
•
•
•
b
3a
2ab
Θ
•
•
•
b
3a
2ab
Θ
Figura 1.1: Los complejos simpliciales ∆, Γ y Θ
El complejo algebraico asociado a Γ es la resolución de Taylor del ejemplo 1.4.1. Los otros dos complejos asociados son
HΓ : 0−→
S[a2, ab]
⊕
S[ab, b3]
−b 0
a −b2
0 a −−−−−−−−−−→
S[a2]
⊕
S[ab]
⊕
S[b3]
a2 ab b3
−−−−−−−−−−→S[∅]→S/I → 0.
y
HΘ : 0−→
S[a2]
⊕
S[ab]
⊕
S[b3]
a2 ab b3
−−−−−−−−−−→ S[∅]→S/I →0.
H es una resolución de hecho es la resolución minimal de S/I y HΘ no es una
reso-lución de I.
Definición 1.4.4. Sea Γun complejo simplicial sobreM, y seaµun multigrado. El con-juntoΓ≤µes igual al subcomplejo simplicial deΓque consiste de las caras con multigrado divisibles porµ,
Γ≤µ ={F ∈Γ :m(F)|µ}.
Observemos que Γ≤µ son las caras de Γ cuyos vértices dividen a µ.
Teorema 1.4.5. [4, Bayer-Peeva-Sturmfels] Sea Γ un complejo simplicial con soporte sobre M, y sea I =hM . Entonces Γ es el soporte de una resolución de S/I si y solo si, para todo µ el complejo simplicial Γ≤µ no tiene ninguna homología sobreK.
Demostración. Ya que HΓ es homogéneo, es exacto si y solo si es exacto (como un
complejo de espacios vectoriales) en todo multigrado. Por lo tanto, basta examinar la restricción de HΓ a cada multigrado µ.
Observemos que (S[F])µ =∼Sm(1F)
µ
∼
=S µ
m(F) es un espacio vectorial unidimensional
con base µ
m(F) si m(F) divide a µ y cero en otro caso. Además como las diferenciales φ
son homogéneos, los monomios que aparecen en su definición son precisamente los que mapean estos elementos básicos a los otros. Abusando un poco de la notación, (Hµ) es precisamente el complejo de espacios vectoriales que surgen al calcular (a través de la construcción 2) la homología del complejo simplicial {F ∈ Γ : m(F)|µ} y este complejo es Γ≤µ.
Concluimos queΓes el soporte de una resolución deI si y solo si(Hµ)es exacto para todo
µ, si y solo si (Hµ) no tiene homología para todo µ, si y solo si Γ≤µ no tiene homología para todoµ.
Ejemplo 1.4.6. El complejo simplicial Γ≤µdependerán de los monomios subyacentes de
M, por lo tanto es posible que un complejo simplicial sea el soporte de algunos ideales pero no se otros. Por ejemplo, el complejo simplicial Γ del ejemplo 1.4.3 es el soporte de la resolución de I = a2, ab, b3 porque ningún monomio es divisible por a2 y b3 sin ser
monomios a, b y c, el complejo simplicial resultante Γ′ podría no ser el soporte de una resolución de a, b, c, porque Γ′
≤ac consistiría de dos puntos y tendría homología cero no
trivial.
Observación 1.4.7. Notemos que la homología de un complejo simplicial puede depender de la elección del campo, por lo que algunos complejos simplicales son soporte de algunas resoluciones sobre algunos campos pero no en otros.
1.5.
Resolución de Lyubeznik
Definición 1.5.1. Sean ∆I el simplejo completo de G(I)y ≺ un orden total dado sobre
G(I). Definimos y denotamos el complejo simplicial de Lyubeznik como el
subcom-plejo simplicial de ∆I
L(I,≺)={F ∈∆I|min{u∈G(I)| u|m(G)} ∈G, ∀G⊂F}.
La siguiente cadena algebraica de complejos asociada es una resolución libre deI y es llamada resolución de Lyubeznik de I bajo el orden total ≺:
L :· · · ϕn
−→Ln ϕn−1
−→ Ln−1· · ·
ϕ1
−→L1
ϕ0
−→I −→0
donde Li ={F ∈ L(I,≺)| |F|=i}.
Para F ={uj1, uj2, . . . , uji} ∈Li, sea Gk =F \ {ujk} con ≤k≤i.
ϕi−1(F) =
i
X
k=1
εGk
F
m(F)
m(Gk
Gk donde signεGk
F es igual a 1 si k impar y -1 si k es par.
mLi−1para todoi.Luego por la construcción deϕ,Les minimal si y sólo sim(F)6=m(Gk) para todoF y todo k.
A continuación daremos otra forma de definir el complejo simplicial de Lyubeznik. Sea ∆I el simplejo completo sobre M, donde M es el conjunto de generadores, fijemos un orden ≺. Para un monomio µ ∈ I, sea min(µ) = min≺{mi : mi|µ}. Para una cara
F ∈∆I, el conjuntomin(F) =min(m(F)), asímin(F)es un monomio. Se esperaría que en efecto min(F)es un vértice de F, pero este no es el caso, por ejemplo si F ={a2, b2},
min(F) =abel cual no está en F.
Diremos que una cara F es arraigada si para toda subcara no vacía G⊂ F satisface
min(G)∈G, en particular min(F)∈F. Por lo tanto otra manera de escribir el complejo simplicial de Lyubeznik es
L(I,≺)={F ∈∆I|F es arraigada}.
Ejemplo 1.5.2. Sea I = hab, ac, bci. Hay tres distintas resoluciones de Lyubeznik de I
correspondientes a los complejos simpliciales representados en la figura:
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
ab
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
ab
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
ac
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
ac
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
bc
•
•
•
bc
ac
ab
Λ
bc
Figura 1.2: La resolución de Lyubeznik deI =hab, ac, bci
Λab surge de los ordenes ab ≺ ac ≺ bc y ab ≺ bc ≺ ac, Λac surge de los ordenes con primer elemento ac y Λbc surge del orden con primer elemento bc. Cada una de esas resoluciones es minimal.
Demostración. Sea M = m1, m2, . . . , ms los generadores de I, fijemos un orden ≺ sobre M.
Para cada multigrado µ, necesitamos mostrar que el subcomplejo simplicial (ΓI,≺)≤µ,
que consiste en todas las caras F arraigadas cuyo multigrado divide a µ, no tiene homo-logía.
Si µ /∈I, este es el complejo vacío. Si µ∈I, afirmamos que (ΓI,≺)≤µ es un cono.
Supongamos sin pérdida de generalildad quemi =min(µ). Afirmamos que siF es una cara de (ΓI,≺)≤µ, entonces F ∪ {x1} es una cara. Observemos que m(F ∪ {x1}) porque
tanto x1 y m(F) lo hacen. Es suficiente probar que F ∪ {x1} es arraigada. Observemos
que min(F ∪ {x1}) = x1 porque m(F ∪ {x1}) divide a µ y x1 divide a m(F ∪ {x1}). Si
G⊂F, entoncesmin(G)∈GporqueF es arraigado y min(G∪ {x1}) = x1. Por lo tanto
F ∪ {x1} es arraigado.
Por lo tanto (ΓI,≺)≤,µ es un complejo simplicial cono sobre x1 y es contraible.
1.6.
Resolución de Scarf
La resolución de Taylor raramente es minimal, la no minimalidad se puede ver en los escalares no cero en la diferencial, lo cual ocurre siempre que existan caras F y G con el mismo multigrado tal que G está en la frontera de F. Podemos tratar de eliminar la no minimalidad eliminando todas las caras que cumplen lo mencionado anteriormente y como resultado obtendremos el complejo de Scarf.
Definición 1.6.1. Sean I un ideal monomial con conjunto generador M, ∆I el simplejo completo sobreM. Definimos y denotamos elcomplejo simplicial de Scarf deI como el subcomplejo simplicial de ∆I, que consiste de las caras con multigrado único, es decir
ΣI ={F ∈∆I :m(G) =m(F)⇒G=F}.
Observación 1.6.2. No es obvio que ΣI es un complejo simplicial. Sea F ∈ΣI. Demostra-remos que todo subconjunto de F está en ΣI. Supongamos que este no es caso, es decir existe un conjunto minimalG⊂F con igual multigrado queH, para algúnH ∈SigmaI. Sea E la diferencia simétrica deG y H, entonces la diferencia simétrica de E y F tienen el mismo multigrado que F.
Ejemplo 1.6.3. Sea I = ha2, ab, b3i. Entonces el complejo simplicial de Scarf de I es el
complejo Γ de la figura 1.4.3. El complejo de Scarf deI es la resolución minimal
SI : 0 −→
S[a2, ab]
⊕
S[ab, b3]
−b 0
a −b2
0 a −−−−−−−−−−→
S[a2]
⊕
S[ab]
⊕
S[b3]
a2 ab b3
−−−−−−−−−−→ S[∅]→S/I →0.
Ejemplo 1.6.4. Sea I =hab, ac, bci. el complejo simplicial de Scarf de I consiste de tres vértices disjuntos. El complejo de Scarf de I es el complejo
SI : 0−→
S[ab]
⊕
S[ac]
⊕
S[bc]
ab ac bc
−−−−−−−−−−−→S[∅]→S/I →0.
No es una resolución.
Definición 1.6.5. Un ideal monomial I es un ideal de Scarf, si el complejo de Scarf es una resolución.
Teorema 1.6.6. Si el complejo de Scarf de I es una resolución, entonces es minimal.
Demostración. Por construcción en las matrices de los diferenciales no hay escalares
Bayer, Peeva y Sturmfels [4, BPS] llaman a un ideal, genérico, si ninguna variable aparece con el mismo exponente distinto de cero en más de un generador, ellos mostraron que los ideales genéricos son ideales de Scarf.
Desafortunadamente la mayoría de ideales monomiales mas estudiados en el álgebra conmutativa no son de Scarf, sin embargo el complejo de Scarf es una importante herra-mienta en la contrucción de ideales cuyas resoluciones son un tanto complicadas a la hora de estudiarlas.
1.7.
Resolución de Lyubeznik desde un punto de vista
algebraico.
Sea R =K[x1, ..., xn] el anillo de polinomios en n variables sobre el campo K. A un ideal monomial I podemos asignarle diferentes resoluciones y a su resolución minimal se le asigna un invariante algebraico llamado dimensión proyectiva. Existen en cambio muchas otras que no son necesariamente minimales, por ejemplo la resolución de Taylor, cuya longitud es igual al número de generadores del ideal, descubierta por Diana Taylor alrededor de 1960. Si I =hm1, ..., mµi, entonces su resolución de Taylor es:
T: 0 ✲ Tµ ✲ Tµ−1 · · · T0 R/I 0
dµ
✲
dµ−1
✲
d1
✲ ✲
donde
T0 =Re(∅), Ts=L1≤i1<···<is≤µRe(i1· · ·is),
por lo que vemos que cada nodo es libre y graduado con los diferenciales definidos como
ds(e(i1...is)) = s
X
j=1
(−1)j+1 lcm(yi1, ..., yis)
lcm(yi1, ...,ycij, ...yis)
e(i1...ibj...is),
donde lcm denota el mínimo común múltiplo y e(i1...is) (1 ≤ i1 < · · · < is ≤ µ) son elementos base de Ts llamados también símbolos y el grado del símbolo e(i1...is) está definido por
En 1988, Gennady Lybeznik [5] construyó una nueva resolución libre graduada deR/I
como un subcomplejo de la resolución de Taylor. A este complejo lo llamamos la Resolu-ción de Lyubeznik, cuya longitud es menor que la longitud de Taylor, aunque también
no siempre se garantiza la minimalidad.
Los símbolos que generan la resolución de Lyubeznik del ideal I = hm1, ..., mµi se construyen de la siguiente manera:
Sea 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ µ. Si mq ∤ lcm(mit, ..., mis) para todo t < s y para
todoq < it, entonces el símboloe(i1...is)se dice L-admisible.
La resolución de Lyubeznik es la generada por todos los símbolos L-admisibles. Como observación importante notamos que la resolución de Luybeznik depende del orden de los generadores.
Teorema 1.7.1. [5, Lyubeznik 1988] El complejo
0 ✲ Lf ✲ Lf−1 · · · L0 0
df
✲
df−1
✲
d1
✲
forma una resolución libre de R/I, donde los Li están generados por todos los símbolos
L-admisibles de grado i.
Capítulo 2
Ideales de Lyubeznik
2.1.
Combinatoria sobre
G
(
I
)
Sean I un ideal monomial,G(I) ={u1, u2, . . . , us} el conjunto minimal de monomios generadores.
Definición 2.1.1. ParaA⊂G(I)definimos y denotamos elmultigrado de A, porm(A)
como el mínimo común multiplo de los elementos de A, i.e. m(A) = mcm(A). Diremos que un C ⊂G(I)es una cubierta de un monomio u∈C, si
u|m(C\ {u}).
o alternativamente diremos que C cubre a u y lo denotaremos como u ⊳ C.La cubierta completa inducida por la cubierta C, es un subconjunto de G(I), definido y denotado como
C ={u∈G(I)| u|m(C)},
y es una cubierta completa, si C = C. Una cubierta C de un monomio u, es una
cubierta M −minimal de G(I), si no existe una cubierta V de algún v tal que el multigrado de V, m(V) es un factor propio dem(C). Una cubierta C de un monomiou, es una cubierta E−minimal de u si ningún subconjunto propio de C cubre a u.
Ejemplo 2.1.2. Sea I =< x4, y4, x3y, xy3, x2y2 >, calculemos todas las cubiertas E −
Observemos que x4 y y4 no tienen cubiertas ya que ningún subconjunto que los contenga los puede cubrir.
Por otro lado los conjuntos A1 = {x4, y4, x3y}, A2 ={x4, xy3, x3y}, A3 ={x4, x2y2, x3y}
son las cubiertas E−minimales de x3y, B
1 = {x4, y4, xy3}, B2 = {y4, x3y, xy3}, B3 =
{y4, x2y2, xy3} las de xy3, C
1 ={x4, y4, x2y2},C2 ={x4, xy3, x2y2},C3 ={y4, x3y, x2y2},
C4 = {x3y, xy3, x2y2} las de x2y2. Ahora veamos cuales cubiertas son M −minimales,
A1, A2 no son M −minimales, pues el multigrado de A3, m(A3), es un factor propio de
los multigrados de A1 y A2, B1 y B2 tampoco son M −minimales pues el multigrado
de B3, m(B3), es un factor propio de ambas, análogamente C1, C2, C3 tampoco son
M −minimales. Así las únicas cubiertas que son M −minimales son A3, B3 y C4 que
además son completas, pues A3 =A3, B3 =B3, C4=C4.
Definición 2.1.3. Sea C una cubierta de algún elemento. D⊂C es unconjunto exte-rior de C, si m(D) =m(C) y el multigrado de cualquier subconjunto propio deD no es igual a m(D). Por supuesto un conjunto exterior de una cubierta puede no ser único. Un punto es llamado punto exterior de una cubierta C, si está en todo conjunto exterior de C y denotamos al conjunto de puntos exteriores de C como O(C). Un punto u, es un punto interior de una cubierta C, si u /∈ D para todo conjunto exterior D de C y denotamos al conjunto de puntos interiores de C como I(C). Los otros puntos de C son llamados puntos fronteray son aquellos que no son puntos interiores ni exteriores, y lo
denotaremos como B(C). Un elemento u∈C\ I(C),u es unpunto cambiableen C, si para todo conjunto exteriorDdeCque contiene au, tenemosm((D\{u})∪{v}) =m(D)
para todov ∈C\D y denotaremos al conjunto de puntos cambiables de C comoE(C).
Observación 2.1.4. E(C) ⊆ B(C). En efecto. Sea x ∈ E(C), notemos que por definición
x /∈ I(C), así que basta demostrar que x /∈ O(C). Sea D un conjunto exterior de C
que contiene a x, luego m((D \ {x})∪ {y}) = m(D) para todo y ∈ C \D. Como D
es conjunto exterior m(D) = m(C), así m((D\ {x})∪ {y}) = m(C). Por otro lado el multigrado de cualquier conjunto propio de D es diferente al multigrado de D, es decir
anterior me dice que D\ {x})∪ {y} es un conjunto exterior de C el cual no contiene a
x. De donde x /∈ O(C) pues existe un conjunto exterior de C que no lo contiene. Por lo tanto x∈ B(C), así E(C)⊆ B(C).
Las definiciones de arriba son independientes del orden total de G(I).
Ejemplo 2.1.5. Del ejemplo 2.1.2 consideremos C4 y sea D={x3y, xy3} ⊂C4. Des un
conjunto exterior de C4, pues m(D) = m(C4) y el multigrado de cualquier subconjunto
propio de D no es igual am(D).
Las siguientes definiciones dependen del orden sobre los monomios.
Sea ≺ un orden total sobre G(I) y A ⊂ G(I). Definimos min(A) como el menor elemento de A bajo el orden total dado. Sea B otro subconjunto de G(I). Si min(A) ≺
min(B), entonces escribimos que A≺B.
Si Atiene solo un elemento uy u ≺min(B), entonces escribimos u≺B.
Definición 2.1.6. Un conjunto D esroto bajo el orden total ≺, si existe
u∈G(I)\D tal que u|m(D)y u≺D.
Definición 2.1.7. E ⊂G(I)es preservadosi ningún subconjunto de E es roto.
Definición 2.1.8. Si existe un orden total sobreG(I)tal que la correspondiente resolución de Lyubeznik de I es minimal, entonces I es llamado ideal de Lyubeznik.
Claramente la resolución de Lyubeznik está determinada por el orden total ≺ sobre
G(I), de hecho siI es un ideal de Lyubeznik, la resolución de Lyubeznik deI determinada por el orden total≺sobreG(I)puede no ser minimal, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.1.9. Consideremos el ideal monomial I =< x3, x2y, y3, y2z, z3 > de S =
K[x, y, z]. SobreG(I) definamos el orden total ≺ por
x3 ≺x2y≺y3 ≺y2z ≺z3.
Por definición {x3, x2y, y2z} y {x3, y2z} son caras de L
(I,≺). Además ϕ(L3)6⊆(x, y, z)L2,
deI, para éste orden total dado, no es minimal.
Por otro lado si damos otro orden total ⊢ sobre G(I)con
x2y⊢y2z ⊢x3 ⊢y3 ⊢z3
la resolución de Lyubeznik de I determinada por éste orden, es una resolución libre mi-nimal de I y por lo tanto I es un ideal de Lyubeznik.
2.2.
Caracterización de los Ideales de Lyubeznik.
Sea I un ideal monomial, si no existe una cubierta en G(I), por ejemplo G(I) =
{x2, yz, y2}, entonces I es un ideal de Lyubeznik.
Observación 2.2.1. La resolución de Taylor, el complejo de Scarf y la resolución de Lyu-beznik de I bajo cualquier orden total sobre G(I)son identicas.
Teorema 2.2.2. SeaIun ideal monomial dado en el anillo de polinomiosK[x1, x2, . . . , xn]
con G(I) ={u1, u2, . . . , us}. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) I es un ideal de Lyubeznik.
2) Existe un orden total ≺ sobre G(I) tal que para todo u ∈ G(I) y toda cubierta
E−minimal, C de u, C no se preserva.
3) Existe un orden total ≺ sobre G(I) tal que para todo u ∈ G(I) y toda cubierta
E −minimal, C de u, existe D ⊂ C y v /∈ D tal que D∪ {v} es una cubierta
E−minimal de v que satisface min(D\D)≺min(D).
Demostración. (2)⇒(1).
Supongamos que I no es un ideal de Lyubeznik, entonces para cualquier orden total
≺ sobre I y el correspondiente complejo simplicial de Lyubeznik L(I,≺) con diferencial ϕ,
existei < stal queϕ(LLi+1)6⊆(x1, x2, . . . , xn)Li, es decir no es minimal, por lo que existe D⊆G(I) y u /∈Dtal que
Luego por definición de L(I,≺),D∪ {u}es una cubierta deula cual se preserva, pues si
no fuera así contradeciría el hecho de que D∈L(I,≺). Por otro lado existe E ⊆Dtal que
E∪ {u}sea una cubiertaE−minimal deu, como subconjuntos de conjuntos preservados son preservados, entonces E∪ {u} es preservado.
(1)⇒(2).
Si para todo orden≺sobreG(I), existe un elementouy una cubierta E−minimal, C
deu tal queC es preservada, entoncesC\ {u}también es preservada y es un subconjunto deC, por construcción deL(I,≺),CyC\{u}están enL(I,≺), así la resolución de Lyubeznik
deI basado en el orden no es minimal, ya que, m(C) =m(C\ {u}). Por lo tanto I no es un ideal de Lyubeznik.
(2)⇒(3).
Sean u ∈ G(I) y C cubierta E−minimal de u. Por (2) C no se preserva, es decir existe D ⊆ C tal que D es roto, así existe un elemento v ∈ G(I)\D tal que v|m(D) y
v ≺D.
Afirmamos que D∪ {v}es una cubierta dev. En efecto,v|m((D∪ {v})\ {v}) =m(D).
Podemos elegir F ⊆ D tal que F ∪ {v} es cubierta E −minimal de v y v ≺ F. Ahora consideremos a F la cubierta completa inducida por F, v0 = min(F \ D), entonces
v0 ≤v ≺min(F). Por lo tantomin(F \F)≺min(F).
(3) ⇒(2).
Observemos que D es roto bajo las condiciones en (3), así para cada cubierta E −
minimal existe un conjunto roto, por lo tanto toda cubiertaE−minimal no se preserva.
Observación 2.2.3. i. El teorema anterior nos ofrece un método para decir cuando un ideal es de Lyubeznik o no, para ello es necesario listar todos los elemento deG(I)y calcular todas sus cubiertas E−minimales, finalmente se decide si existe un orden total que cumpla con todas las relaciones determinadas por las cubiertas.
Ejemplo 2.2.4. (Ideal de Lyubeznik) Consideremos, I =< x2y
|{z}
m1 , y2z
|{z}
m2 , x|{z}3
m3 , y3
|{z}
m4 , z|{z}3
m5 >
Cubiertas de m1
C1 ={m1, m2, m3, m4, m5},
C2 ={m1, m3, m4, m5},
C3 ={m1, m3, m2, m5},
C4 ={m1, m2, m3},
C5 ={m1, m3, m4}
Cubierta de m2
C6 ={m2, m4, m5}.
m3,m4 y m5 no tienen cubiertas.
Observemos que toda cubierta es no preservada, donde, C1∗ = {m2, m3, m4, m5}, C2∗ =
{m3, m4, m5}, C3∗ = {m2, m3, m5}, C4∗ = {m2, m3}, C5∗ = {m3, m4} son subconjuntos
rotos de C1, C2, C3, C4, C5 respectivmente con corte m1 y C6∗ ={m4, m5}es un
subcon-junto roto de C6 con corte m2. Así por el Teorema 1 la resolución de Lyubeznik de I con
2.3.
Propiedades de Ideales de Lyubeznik
Sea I un ideal de Lyubeznik bajo un orden total dado ≺. Supongamos queu1 ≺u2 ≺
· · · ≺us sobre G(I). Para todo elemento ui ∈ O(G(I)), si cambiamos el orden, tal que ui es el mas grande y guarda las relaciones de los otros elementos, entonces podemos definir un nuevo orden ⊢ como sigue:
u1⊢u2⊢ · · · ⊢ui−1 ⊢ui+1 ⊢ · · · ⊢us⊢ui.
La resolución de Lyubeznik de I bajo el orden total ⊢, es todavía minimal, de hecho todo conjunto roto en ≺ debe ser roto en ⊢.
Proposición 2.3.1. SiI es un ideal de Lyubeznik, entonces existe un orden total definido por la relación
ui1 ≺ui2 ≺ · · · ≺uia ≺uj1 ≺ · · · ⊢ujb,
donde O(G(I)) ={uj1,· · · , ujb}.
De ahora en adelante, solo necesitaremos comprobar si existe éste tipo de orden que cumple las condiciones del Teorema 1, en otras palabras no es necesario considerar los puntos exteriores de G(I) cuando se juzga si I es un ideal de Lyubeznik, simplemente podemos dejar todos los puntos exteriores más grandes que los otros puntos de G(I).
Cuando aplicamos el Teorema 1, lo mas tedioso es ver si los conjuntos son preservados, pero es más accesible para una cubierta completa M −minimal.
Proposición 2.3.2. Sea I un ideal de Lyubeznik bajo un orden total ≺. Si C es una
cubierta completa M −minimal de G(I), entonces I(C)6=∅ ó bien E(C) 6=∅. Además, exactamente uno de los sigueintes casos ocurre:
1) I(C)6=∅. En este caso, I(C)≺C\ I(C).
2) I(C) =∅ y E(C)6=∅. En este caso E(C)≺C\ E(C).
Afirmamos queD∪{v}es preservado para todov ∈ I(C). De hecho, para un subconjunto
E deD∪ {v}, siu∈E,E no es roto. Siu /∈E, entonces m(E)es menor quem(D)ya que
v ∈ I(C).Por definición de cubierta M −minimal, E no es roto y por lo tantoD∪ {v}
cubre a v y además es una cubierta preservada. Por Teorema 1 esto es una contradicción. En el caso que I(C) = ∅ y E(C) 6= ∅, si u es el menor elemento que no es un punto cambiable, entonces existe un conjunto exterior de C, digamos F, tal que u ∈ F. Elijamos un elemento v el cual no se intercambiable con con u, esto me implica que
m(F ∪ {v} \ {u}) ≺ m(F). De manera similar podemos obtener una contradicción. Por otro lado se puede ver que si una cubierta M −minimal puntos interiores ni puntos cambiables, entonces I no es un ideal de Lyubeznik.
Ahora establezcamos un criterio más para juzgar de una manera más sencilla, si un ideal monomial I es un ideal de Lyubeznik. Mientras tanto demos un algoritmo para encontrar un orden total ≺para un ideal de Lyubeznik I.
1.- Encontramos todos los puntos exteriores deG(I)y establecerlos como los más gran-des que los otros.
2.- Listar los demás puntos y sus correspondientes cubiertas y calculamos el multigrado de cada una de ellas.
3.- Damos todas las cubiertas completasM −minimales y vemos todas las relaciones y por la Proposición 2, si las relaciones no satisfacen la transitividad o antisimetría, entonces el idealI no es de Lyubeznik. En caso contrario pasamos al siguiente paso. 4.- Damos todas las cubiertasE−minimales, usamos el Teorema 1, observamos todas las relaciones y juzgamos si existe un orden total coherente con todas las relaciones.
Ejemplo 2.3.3. El idealI =hx31x33, x32x34x35, x41, x43, x23x24, x23x25, x3x4x5i, tiene dos cubiertas
completas M −minimales, a saber {x2
3x24, x23x25, x3x4x5}, {x31x33, x41, x43}, cada una tiene
solo un punto interior x3x4x5 y x31x33 respectivamente.
Además tenemos las relaciones
x3x4x5 <{x23x24, x23x52} y x31x33 <{x41x43}.
Si consideramos las cubiertas E−minimales, podemos definir un orden total ≺
x31x33 ≺x3x4x5 ≺x23x24 ≺x23x25 ≺x32x34x35 ≺x41 ≺x43
bajo el cual la resolución de Lyubeznik de I no es minimal, pues {x3
1x33, x32x34x35, x3x4x5}
es una cubierta E−minimal dex3x4x5, pero{x31x33, x32x34x53, x3x4x5} es preservado, así la
resolución de Lyubeznik deI bajo ≺ no es minimal. Por otro lado si consideramos otro orden total ⊢
x3x4x5 ⊢x31x33 ⊢x23x24 ⊢x23x25 ⊢x32x34x35 ⊢x41 ≺x43
el cual es obtenido después de considerar las cubierta E−minimal x3
1x33, x32x43x35, x3x4x5
dex3x4x5, la correspondiente resolución de Lyubeznik deI bajo éste orden si es minimal.
Consideraremos nuevamente el ejemplo 4 de la sección anterior y veamos porque defi-nimos así el orden total dado.
Ejemplo 2.3.4. Sea I =hx3, x2y, y3, y2z, z3i.
* x3: no tiene cubiertas.
* x2y: tiene dos cubiertasE−minimales,A ={x2y, x3, y3}, yB ={x2y, x3, y2z}con
multigrados m(A) =x3y3, m(B) =x3y2z respectivamente. * y3: no tiene cubiertas.
Por lo tanto, hay tres cubiertas E −minimales, A, B, C, que además son completas
M−minimales, luegoO(A) ={x3, y3},O(B) ={x3, y2z},O(C) = {y3, z3}yO(G(I)) =
{x3, y3, z3}, de donde
x2y≺ {x3, y3}, x2y≺ {x3, y2z} y2z ≺ {y3, z3},
así un posible orden debe cumplir x2y≺y2z. Luego un orden total es
x2y≺y2z ≺x3 ≺y3 ≺z3
ó por Proposición 1x2y⊢y2z⊢ y3 ⊢z3 ⊢x3. Así el idealI es de Lyubeznik bajo el orden
total ≺ ó bajo el orden total⊢.
La Proposición 2 es una herramienta poderosa para encontrar contraejemplos de ideales de Lyubeznik, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3.5. Sea I =hx3, x2y, y3, yz2, z3i.
x3,y3yz3no tienen cubiertas.{x2y, x3, y3},{x2y, x3, yz2},{yz2, y3, z3},{yz2, x2y, z3}son
las cubiertas completasM−minimales dex2yyyz2 respectivamente. Asíx2y≺ {x3, y3},
x2y ≺ {x3, yz2}, yz2 ≺ {y3, z3}, yz2 ≺ {x2y, z3}. Luego por la Proposición 2, si I es un
ideal de Lyubeznik bajo el orden total ≺ sobre G(I), se debe cumplir que x2y ≺ yz2
y yz2 ≺ x2z, es decir x2y ≺ x2y lo cual es una contradicción. Por lo tanto I no es de
Lyubeznik.
Observación 2.3.6. El ideal I = hx3, x2y, y3, z3i, tiene solo una cubierta E −minimal,
la cual también es completa M − minimal, a saber C = {x2y, x3, y3} con multigrado
m(C) =x3y3.
C no es una cubierta preservada, pues si lo fuera, existiríaw∈G(I)\C tal quew |m(C)
y w ≺ C, pero w = z3, de donde wm(C) ni w ≺ C. Por lo tanto C es una cubierta
preservada y por el Teorema 1, I no es de Lyubeznik, es decir x2y ≺x3 ≺y3 ≺z3 es un
orden total, tal que la resolución de Lyubeznik es minimal.
Si agregamos un elemento al conjunto generador, por ejemploJ =hx3, x2y, y3, yz2, z3i,
Por otro lado notemos que el idealI =hx2, y2, z2t2, x2z2, y2t2i, no es un ideal de Lybez-nik, pero si agregamosxyzt, el nuevo conjunto generadorJ =hx2, y2, z2t2, x2z2, y2t2, xyzti
es un idea de Lyubeznik.
2.4.
Algunas clases de Ideales de Lyubeznik
Como aplicación al Teorema 1 y Proposición 2 de las secciones precedentes, en ésta sección se darán algunas clases de ideales de Lyubeznik.
Definición 2.4.1. Un elemento u ∈ G(I) es un punto absolutamente interior, si u
es un punto interior de toda cubierta completa.
Denotaremos al conjunto de puntos absolutamente interiores de G(I) comoA(G(I)).
Definición 2.4.2. Un ideal monomial I es un ideal cono, si A(G(I))6=∅.
La clase de ideales cono no es muy extensa, ésta constituye una parte de los ideales de Lyubeznik, como lo muestra la siguiente proposición.
Proposición 2.4.3. Un ideal cono es un ideal de Lyubeznik. Además la resolución de
Lyubeznik es minimal bajo cualquier orden total ≺ en el cual el menor elemento de G(I)
es un punto absolutamente interior.
Demostración. SeaI un ideal cono, es decirA(G(I))=6 ∅. Seau∈ A(G(I))el menor elemento de G(I)en el orden total ≺.
Afirmamos que toda cubierta de C de G(I) no se preserva. En efecto, toda cubierta
C,C\ I(C) es rota poru, ya que u ⊳ C y u≺C\ I(C). Por Teorema 1,I es un ideal de Lyubeznik bajo el orden total≺.
Ejemplo 2.4.4. El ideal monomial I =hx4y4, z4t4, x2y3z3, x2y2t, y2zt2, xyzti es un ideal
Ejemplo 2.4.5. Sea I un ideal monomial y sea G(I) el conjunto minimal de monomios generadores. Si |G(I)| = |O(GI)) + 1, entonces I es un ideal cono. Por lo tanto I es de Lyubeznik.
Definición 2.4.6. Un elemento u∈G(I)es unpunto c−interior, si para toda cubierta
C, u∈C ó u∈ I(C).
Definición 2.4.7. Un ideal monomialI es un ideal M−cono, si toda cubierta completa
M −minimal contiene un punto c−interior.
Proposición 2.4.8. Un idealM−cono I es un ideal de Lyubeznik. Además la resolución
de Lyubeznik deI es minimal bajo cualquier orden total≺en el cual cada puntoc−interior
es menor que los demás elementos de G(I).
Demostración. Bajo la suposición, para toda cubiertaC, existe un puntoc−interior u, tal que u ⊳ C. Por lo tanto C\ I(C) es roto por u, pues u≺C\ I(C), por definición de punto c−interior y la constrccción del orden total ≺. AsíC no es preservada, por el Teorema 1, I es un ideal de Lyubeznik bajo el orden total ≺.
El siguiente ejemplo muestra que los ideales M −cono son abundantes.
Ejemplo 2.4.9. El ideal monomialI =hx3
1x33x36, x32x34x35, x21x22, x1x2x6, x23x24, x23x25, x3x4x5i
tiene dos cubiertas completas M −minimales,
x1x2x6⊳{x21x22, x31x33x36, x1x2x6} y x3x4x5⊳{x23x42, x23x25, x3x4x5}
con multigrados x3
1x32x33x36, x23x24x25 respectivamente. Notemos que x1x2x6 y x3x4x5 son
puntosc−interiores de sus correspondientes cubiertasM−minimales. Así I es un ideal
M −cono y por lo tantoI es de Lyubeznik. Sea ≺ el orden total definido por
x1x2x6 ≺ x3x4x5 ≺x21x22 ≺x23x24 ≺x23x25 ≺x31x33x36 ≺x32x34x35.
Observación 2.4.10. Realmente podemos elegir cualquier otro orden total ⊢ en lugar de
≺, si solox1x2x6,x3x4x5 son menores que los otros elementos de G(I) con el orden total
vdash.
Observación 2.4.11. Si toda cubierta completaM −minimal de G(I)contiene un punto interior, un ideal monomialI puede no ser de Lyubeznik, el ejemplo 7, es un contraejemplo de ello.
El siguiente resultado de un conjunto parcialmente ordenado finito, puede ser un resul-tado popular, el cual es necesario para probar la proposición 5. En la prueba del siguiente lema, en realidad proporciona un algoritmo para refinar un orden parcial y así poder obtener un orden total.
Lema 2.4.12. Todo orden parcial sobre un conjunto finito D puede ser refinado para obtener un orden total.
Demostración. Sea < un orden parcial sobre un conjunto finito D. Notemos que si todo elemento deDse puede comparar con los demás elementos, entonces el orden parcial es un orden total. En realidad solo necesitamos mostrar que para todo elemento a, existe un orden parcial refinado sobre < tal que a es comparable con los demás elementos de
D. En efecto para un elemento a dado, sean A(a) el conjunto de elementos menores que
a bajor el orden <, B(a) el conjunto de elementos mayores que a y C(a) el conjunto de elementos que no son comparables cona. Agregamos algunas relaciones a<de tal manera quea sea menor que todo elemento deC(a), siendo denotado por<. Definimos queu⊢v
si existe una sucesión u1, u2. . . . , uk tal que u < u1 <2< . . . < uk < v.Afirmamos que⊢ es un orden parcial. En efecto, solo necesitamos comprobar que está bien definido, es decir,⊢
cumple la antisimetría. Si u⊢v, v ⊢uy u6=v, entonces existe una sucesión u1, u2, . . . uk y v1, v2, . . . vm tal que u < u1 < u2 < . . . < uk < v y v < v1 < v2 < . . . < vm < u. Por lo tanto u < u1 < u2 < . . . < uk < v < v1 < v2 < . . . < vm < u. Existe c ∈ C(a) tal que
a < c es una parte de la cadena de arriba, de lo contrario, contradice la suposición de que el orden original<es un orden parcial. Así tenemos una cadenau < . . . < a < c1 < . . . <
Sean I un ideal monomial sobreS =K[x1, x2, . . . , xn]yG(I) = {u1, u2, . . . , us}el con-junto minimal de monomios generadores. Denotemos ui =x
bi1
1 x
bi2
2 · · ·x
bin
n , i= 1,2, . . . , n.
Definición 2.4.13. Un ideal monomial I, es un ideal genérico, si bik 6= bjk para todo
k = 1,2. . . , n, dondei6=j.
Definición 2.4.14. SeaIun ideal monomial genérico.I es unideal monomial medio, si
para cada par de elementosui yuj, cuando existe unk ∈ {1,2, . . . , n}tal que0< bik < bjk,
entonces para cada k= 1,2, . . . , n, bik < bjk ó bjk = 0.
Definición 2.4.15. Un ideal medio I es un ideal dócil, si (G(I),≺) es un conjunto parcialmente ordenado.
Proposición 2.4.16. Un ideal dócil es un ideal de Lyubeznik.
Demostración. Sea I un ideal dócil, por el Lema 1, existe un orden total vdash
refinado sobre el orden parcial≺sobreG(I).Por la construcción de≺, para cada elemento
u ∈ G(I) y cada cubierta E−minimal de u, u es menor que todos los elementos de C
en el orden ⊢, además C\ {u} es roto por u y así C no es preservado. Por lo tanto, por el Teorema 1, I es un ideal de Lyubeznik.
La clase de ideales dóciles es grande, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.4.17. Se puede comprobar de manera directa que I1 = hx3, x2y, y3, y2z, z3i
y I2 = hx4, x3y2, x2yz, y3z2, y4, z3i son ideales dóciles, por lo tanto por la proposición
Bibliografía
[1] B. Singh, Basic commutative algebra, World Scientific, Singapore, (2011).
[2] C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, Cambridge, Reimprendet, (1997).
[3] D. S. Dummit, R. M. Foote,Abstract Algebra, Third Ed., Wiley, (2004).
[4] D. Bayer, I. Peeva, and B. Sturmfels, Monomial resolutions, Math. Res. Lett. 5 (1998), no. 1-2, 31-46.
[5] G. Lyubeznik, A new explicit finite free resolution of ideals generated by monomials in an R-sequence, Journal of Pure and Applied Algebra 51, (1988), 193-195.
[6] G. Lyubeznik, On the arithmetical rank of monomial ideals, J. Algebra 112, (1988), 86-89.
[7] I. Peeva, Graded Syzygies, Algebra and Applications, vol. 14, Springer, London (2010.)
[8] I. Novik, Lyubeznik’s resolution and rooted complexes, J. Algebraic Combin. 16, (2002), no. 1, 97-101.
[9] J. Herzog y T. Hibi, Monomial ideals, Springer, (2010).
[11] K. Kimura, N. Terai y K. Yoshida, Arithmetical rank of squarefree monomial ideals of small arithmetic degree, J. Algebraic Combin. 29, no. 3, (2009), 389-404.
[12] R. Y. Sharp,Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, Cambridge, Second Ed., (2000).
