Modulo 1. Area III

(1)

SEMANA I

ÁNGULOS

Es la reunión de dos rayos que tienen el mismo

origen o extremo.

A

B

O

V értice

Notación :



AOB ;

A ˆOB

Medida del ángulo : m



AOB =



;

A ˆOB

=



BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Rayo que biseca al ángulo.

B Bisectriz de A B O Aˆ

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

I. ÁNGULO CONVEXO: Cuya medida está

comprendida entre

0° <



< 90°

ÁNGULO AGUDO

0 0° <



< 90°

ÁNGULO RECTO

0 90°



= 90°

ÁNGULO OBTUSO

0 B

90° < b < 180°

ÁNGULO LLANO

1

8

0 °

0 

= 180°

2. ÁNGULO CÓNCAVO

Se mide más de:

180° <



< 360°



+



+



+



= 360°

POR SU POSICIÓN

ÁNGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES

B

A

C

Son consecutivos si tiene el mismo vértice, un lado

común.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS



+



= 90°

Complemento de un ángulo “x” : C

X

(2)

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS



+



= 180°

Suplemento de un ángulo “x” : S

X

S

X

= 180º - x

NOTA:



El complemento del suplemento de “x” : CS

X



SS

X

= X



CC



=



ÁNGULOS

DETERMINADOS

SOBRE

DOS

PARALELOS Y UNA SECANTE

L

1

y L

2

son los paralelos

L

3

la secante

L1 L3 L2 1 2 4 ₃ 5 6 7 8

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

5ˆ 1ˆ

;

2ˆ6ˆ 7ˆ 3ˆ

;

4ˆ8ˆ

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

5ˆ

3ˆ

;

4ˆ6ˆ

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS

7ˆ 1ˆ

;

2ˆ8ˆ

PROPIEDAD:

x y



+



+



= X + Y

PRACTICA Nº 01

1.

A ˆOB

,

B ˆOC

,

C ˆOD

,

D ˆOE

y

E ˆOF

,

son

consecutivos y

A ˆOF

llano.

OB

biseca

A ˆOC

,

OE

biseca

D ˆOF

y

B ˆOE

mide 112°. Halla la medida de

D

O C ˆ

.

A) 44° B) 54° C) 64° D) 68°

E) 34°

2. Desde un punto “O” es un mismo plano se

trazan los rayos OA , OB, OC y OD de modo que

se forman los ángulos AOB, BOC, COD y DOA

consecutivos, si se sabe que ángulo AOC = 3

AOB

2m



BOC = m



COD

m



DOA = 2 m



COD .

Halla el valor de m



AOB y m



BOC.

A) 24° Y 48° B) 40° Y 20°C) 20° Y 40°

D) 53° Y 37°E) 30° Y 60°

3. La suma de los ángulos consecutivos

A ˆOB

y

C

O

B ˆ

es 80° (

A ˆOB

<

B ˆOC

) se trazan las bisectrices

ON y OM de dichos ángulos. Calcula el ángulo

BOC sabiendo que la bisectriz del ángulo

N ˆOM

forma con

OB

un ángulo de 10°.

A) 30° B) 60° C) 20° D) 90° E) 10°

4. Se tiene los ángulos consecutivos AOB , BOC,

COD y DOE tal que

mAOC₂



m₃BOD



mCOE₄

.

Calcula:

m



AOB + m



COD, si:

m



BOC + m



DOE = 40° y

m



BOD = 30°

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 15°

5. En los ángulos adyacentes AOB y BOC, se

cumple que m



BOC = 90°; la bisectriz OB del

ángulo BOC es perpendicular a OA. Calcula la

medida del ángulo formado por la bisectriz del

ángulo AOB y ON.

A) 60° B) 96°

C) 71°30’ D) 67°30’ E) 65°

6. El complemento de un ángulo es igual a los 2/5

del suplemento del mismo ángulo ¿ Calcula cuál

es su valor?.

A) 60 B) 30 C) 45 D) 75 E) 90°

7. Si: C



complemento S



suplemento.

Siendo: C



+ SC



+ SSCC

4

= 200°

Calcula: “



”.

A) 10 B) 15 C) 5

D) 20 E) 25°

8. La medida de un ángulo es x°, si la diferencia

entre los 5/6 del suplemento de x° y el

complemento de la mitad de la medida de dicho

ángulo excede en x°/15 al doble del complemento

de x°.

Calcular el suplemento del complemento de x°.

A) 125° B) 135° C) 145° D) 155° E) 165°

9. Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos

parciales en progresión aritmética. Calcula el

ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su

medida es igual al ángulo mayor.

A) 8° B) 12° C) 16° D) 20°

E) 25°

10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,

BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que:

m

AOD=m<BOE=m<COF

y

m<DOF

+

m<AOD=224º. Identifica la medida del ángulo

formado por la bisectriz del ángulo COD y el

rayo



OE , si: m<BOC = 52º.

A) 52º

B) 60º

C) 70º D) 82º E) 102º

11. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y

BOC, cuya suma de sus medidas es 100º

(m

AOB< m

BOC). Se trazan las bisectrices

ON

(3)

y

OM

. Evalúa la medida del ángulo BOC si la

bisectriz del ángulo NOM determina con

OB



un

ángulo que mide 20º.

A) 90º B) 40º

C) 80º D) 60º

E) 70º

12. Siendo L

1

// L

2

calcula “



”

20° L2 L1

A) 100° B) 80° C) 120° D) 60° E) 110º

13. Calcular el valor de



si

L



₁

// L



₂ 4 3

// L

L



y

L



₆



L



₅ 2 L₂ L₁ L₁₅ L₃ L₆ L4 30°

A) 40° B) 15° C) 45° D) 60°

E) 30°

14. Si:

L



₁

// L



₂

;



toma su máximo valor entero y

las prolongaciones de

AB

y

CD

se intersecan.

Calcular el valor de x.

A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 30°

15. Si:

L



₁

// L



₂

; calcular el valor de x si:



+



= 275°.

4x L₂ L₁ x

260-A) 50° B) 40° C) 35° D) 30° E) 25°

16. Según el gráfico

L // L y L // L

1 2 3 4    

y

5 6

L // L

 

. Identifica el valor de “x”.

A) 25°

B) 40°

C) 10°

D) 30°

E) 20°

17. Si:

L // L

₁ ₂  

, Identifica el valor de “X”.

A) 150°

B) 130°

C) 120°

D) 160°

E) 135°

18. Si:

L // L

1 2  

Determina el valor de “X”.

A) 55°

B) 77°

C) 67°

D) 60°

E) 35°

19. Si:

L // L

₁ ₂  

, Determina el valor de “X”.

A) 55°

B) 77°

C) 36°

D) 60°

E) 72°

20. Si:

L // L

1 2  

, evalúa el máximo valor entero de

“X”. Si



)

JCR es agudo

A) 55°

B) 44°

C) 45°

D) 47°

E) 46°

TRIÁNGULOS PROPIEDADES BÁSICAS

CONCEPTO. Es la figura geométrica que se obtiene al

unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

(4)

1. ELEMENTOS:

 Vértices: A , B y C

 Lados:

AB

,

BC

y

AC

 Medida de los ángulos internos:



,



,



 Medida de los ángulos externos: X , Y, Z

 Perímetro de la región triangular ABC:

(2P

ABC

) = a + b + c

 Semiperímetro de la región triangular:

(P

ABC

) =

2 c

b

a



2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO:

TEOREMA 1:

TEOREMA 2:

TEOREMA 3:

TEOREMA 4: En todo triángulo al lado de mayor

longitud se le opone el ángulo de mayor medida y

viceversa (Propiedades de Correspondencia).

TEOREMA 5: En todo triángulo la longitud de un

lado es mayor que la diferencia de las

longitudes de los otros dos y menor que la suma

de las mismas (Propiedad de existencia).

Sea : a < b < c

I. b

– a < c < b + a

II. c

– a < b < c + a

III. c

– b < a < c + b

3. PROPIEDADES ADICIONALES:

a)

b)

c)

4. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS:

4.1. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS:

a) Triangulo Rectángulo: Es aquel triángulo que

tiene un ángulo interno que mide 90°.

b) Triángulo Acutángulo: Es aquel triángulo

cuyos ángulos internos son agudos.

c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo

que tiene un ángulo interior obtuso.

(5)

4.2. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS LADOS:

a) Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo cuyos

lados tienen diferente longitud.

b) Triángulo isósceles: Es aquel triángulo que

tiene dos lados de igual longitud.

c) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo cuyos

lados tienen la misma longitud.

PRACTICA Nº 02

01. Hallar: x

A) 30º

B) 120º C) 140º

D) 150º E) 160º

02. Hallar el suplemento de x

A) 3



+ 2



B) 90º–3



–2



C) 180º–2



–3



D) 180º–3



–2



E) 90º–2



–3



03. Las medidas de los ángulos internos de un

triángulo son proporcionales a 3, 4 y 5 Hallar el

menor ángulo interno de dicho triángulo

A) 45°

B) 60°

C) 75°

D) 30°

E) 25°

04. En un triángulo de Semiperímetro igual a 10m, se

tiene un punto “P” interior a dicho triángulo. Marcar el

valor que puede tomar la suma de las distancias desde

“P” a todos los vértices del triángulo.

A) 10 B) 20 C) 3 D) 5

E) 8

05. Se tiene un triángulo, en el cual uno de sus

ángulos internos mide el triple del otro, y el tercer

ángulo mide 20° más que el menor ángulo.

Calcular el mayor ángulo interno de dicho

triángulo.

A) 32° B) 52° C) 84° D) 96° E) 90°

06. En la figura mostrada, calcular X, si AB = AD y

BD = DC.

A) 40° B) 20° C) 30° D) 50° E) 10°

07. Se tiene un triángulo en el cual dos de sus

lados miden 3 y 6, el tercer lado es un número

impar. Calcular el menor valor entero del perímetro

de la región triangular.

A) 12 B) 14 C) 13 D) 16 E) 11

08. En la figura mostrada, calcular x, si AD = BC y

BD = DC.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 36°

09. Según la figura mostrada,

DE

biseca al

ángulo ADC. Calcular x, si además ED = DC.

A) 80° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en

B) en el cual se trazan las cevianas interiores

BE

y

BD

, de tal manera que se cumple lo

m



ACB



2 m



ABD

y

EBC

m

2 BAC

m







. Calcular DE, si además AB

= 3 y BC = 4

A) 1

B) 0,5 C) 2 D) 3

E) 5

RECUERDA

60 º

Equilátero

(6)

11. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = DC.

Calcular x.

A) 90° B) 120° C) 150° D) 105° E) 135°

12. Según la figura, AB=BC y AD = CE, calcular x.

A) 10° B) 20° C) 30°D) 15° E) 25°

13. En

la

figura

mostrada,

calcular x + y + z

A) 90° B) 180° C) 300° D) 60°

E) 120°

14. Según el gráfico, AM = AN y PC = NC,

calcular x.

A) 15° B) 30° C) 45°D) 36° E) 60°

15. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se ubica

el punto M, de tal manera que AB=BM=MC y

AC=BC. Calcular m<C.

A) 30º B) 36º C) 42º D) 45º E) 54º

16. Sobre los catetos AB y BC de un triángulo

rectángulo ABC se ubican los puntos M y N

respectivamente. Sobre la hipotenusa AC se

ubican los puntos E y F, de tal manera que

EA=EM=BM y FC=FN=BN. Calcular m<EBF.

A) 30º

B) 33º

C) 36º

D) 42º

E) 45º

17. Dado el triángulo isósceles ABC(AB=BC); P

AB 

y Q

PC

_{de modo que BP=BQ y m<QBC=48º.}

Calcular m<PCA.

A) 48º

B) 42º

C) 36º

D) 28º

E) 24º

18. En la

figura: AB = CD. Calcular “x”

A x



2



60°-

_

B C D

A) 15

B) 18

C) 22,5

D) 30

E) 36

19. En la figura: AB =4, calcular FC sabiendo que

es un número entero.

A  2 B C F 3

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

20. En la figura: AB = BC, Calcular “x”

A 2



_x

60°

_-

_

B C D



A) 30

B) 45

C) 60

D) 15

E) 12

21. Calcular



, si AB = AD = DC

A

9 

B

C

D

2 

3 

A) 5

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

22. Interiormente a un triángulo ABC se considera

el punto D, de modo que AD = DC = BC, además:

m

_<

BAD=3



, m

_<

DCB=8



y m

_<

DCA=45–5



.

Calcular:



A) 5

B) 6

C) 7,5

(7)

SEMANA II

LÍNEAS NOTABLES

BISECTRIZ: Es aquella ceviana interior o exterior

que biseca a un ángulo interior o exterior

respectivamente.

 Bisectriz Interior: En el ABC

BD

Bisectriz interior relativa a

AC

 Bisectriz Exterior: En el ABC

BE

: Bisectriz exterior relativa a

AC

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES:

Angulo determinado por las bisectrices de un

ángulo interior y un ángulo exterior:

Ángulo determinado por las bisectrices de dos

ángulos interiores:

Ángulo determinado por las bisectrices de dos

ángulos exteriores:

CEVIANA: Es aquel segmento que une un vértice

con un punto cualquiera del lado opuesto o de su

prolongación.

En el



ABC:

*

BD

: Ceviana interior relativo a

AC

*

BE

: Ceviana exterior relativo a

AC

MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con

el punto medio del lado opuesto.

En el



ABC:



BM

: Mediana relativa a

AC

MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular a un lado y

que contiene al punto medio de dicho lado.

En el



ABC:

 

L

= Mediatriz de

AC

ALTURA: Es una ceviana perpendicular al lado al

cual es relativa; la posición de una altura respecto

al triángulo depende del tipo de triángulo.

En el ABC: Acutángulo

BH

: Altura relativa a

AC

En el ABC: Rectángulo

AB

: Altura relativa a

BC

En el



ABC: Obtusángulo (



>90°)

BH

: Altura

relativa a

AC

CQ

: Altura relativa a

AB

(8)

PROPIEDADES ADICIONALES

2

45 a

x





2b a x   2b a x  

PRACTICA Nº 03

1. Según la figura:

z equivale a:

A) 30º

B) 40º

C) 60º

D) 80º

E) 35º

2. Calcular “x”

A) 20º

B) 25º

50º

C) 0º

D) 35º

3. ABC es un triángulo cuyos ángulos A y C

miden 80º y 20º respectivamente. Si la bisectriz

del ángulo B intersecta al lado

en D, hallar

la medida del ángulo ABD.

A) 40º B) 37º C) 20º

D) 80º E) 60º

4. Calcular “x”

A) 60º B) 10º C) 70º

D) 90º E) 50º

5. Del gráfico, cal

cular “x”

A) 70º

B) 80º

C) 45º

D) 60º

E) 40º

6. Según la figura: A + B = 200º, hallar “x”

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º

E) 50º

7. Hallar “xº”

A) 11º B) 12º C) 13º

D) 14º E) 15º

8. En un



ABC la bisectriz interior de A, forma

con la exterior de B un ángulo de 18º, calcular

la medida del ángulo que forman las bisectrices

exteriores de A y C si:

m∢BAC = m∢BCA + 4º

A) 36º B) 37º C) 38º

D) 39º E) 40º

(9)

9. Dado un triángulo isósceles ABC, AB = BC y m



B = 40°. Se traza la bisectriz interior AD y la

bisectriz exterior DF del triángulo ADC. Calcular

m



DFC.

A) 10°

B) 16°30’

C) 12°30’

D) 15°

E) 17°30’

10. En un triángulo ACQ se trazan las cevianas

interiores CB y CM tal que M



BQ. Si AB = BC,

CM = MQ, m



BCM = x y el ángulo exterior de

vértice C mide 2x, calcular “x”

A) 24°

B) 36°

C) 32°

D) 48°

E) 28°

11. En un triángulo isósceles ABC de base AB se

traza la ceviana BD tal que AB = AD. Si m



ADB

= 50° , calcular m



ACB

A) 25°

B) 20°

C) 30°

D) 10°

E) 40°

12. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior BP tal que BP = PC. Si m



A = 75°, calcular

m



C

A) 30°

B) 40°

C) 35°

D) 45°

E) 50°

13. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las

alturas AM y BN, y las bisectrices de MBN y MAN

que se interceptan en T. Hallar m



ATB

A) 135°

B) 75°

C) 90°

D) 105°

E) 150°

14. En un triángulo ABC m



A = 2m



C. Si la

altura relativa a AC y la bisectriz de ABC forman un

ángulo de 10°, hallar m



C

A) 30°

B) 16°

C) 25°

D) 20°

E) 18°

15. En la figura calcular “



x”

a) 10°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 75°

16. En la figura hallar “



x ”

A) 60°

B) 90°

C) 80°

D) 40°

E) 70°

17. Según el gráfico, calcular “c +d”, si:

a + b = 120°

a)

180°

b)

120°

c)

200°

d)

240°

e)

300°

18. Calcular “x + y + z”

A) 150°

B) 120°

C) 360°

D) 180°

E) 270°

19. En un



ABC, AB = BC, se traza la altura

BH

y la mediana

AM

que se interseca en “P”.

Si:

PM  2

y < BPM = 45

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

20. Se tiene un triángulo obtusángulo ABD, obtuso

en “D”, tal que: AB = 18, se traza la bisectriz

AM

,

M en

BD

y luego se traza

BC



AM

(“C” en la

prolongación de

AM

). Si: AM = 2MC. Calcular DC.

A) 6

B) 8

C) 9 D) 12 E) 5

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

I CASO: (ALA).

Ángulo – Lado – Ángulo

Postulado: dos triángulos son congruentes, si

presentan un lado de igual longitud y los ángulos

adyacentes a él de igual medida.

Entonces:



ABC





PQR

Ej: Calcular “b”

II CASO: (LAL). Lado – Ángulo – Lado

Teorema dos triángulos son congruentes, si estos

presentan un ángulo de igual medida y los lados

adyacentes a él de igual longitud

Entonces:



ABC





PQR

60º A C B Q P R 4 b 45º  6 4 45º 60º

(10)

Ej: Si los



son congruentes. Calcular “b”.

III CASO: (LLL). Lado

– Lado – Lado

Teorema: Dos triángulos son congruentes, si estos

presentan sus tres lados de igual longitud.

Entonces:



ABC





PQR

Ej: Calcular: a + b

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS

 PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

Siendo

OP

la bisectriz de

AOB

se cumple

Ej: Calcular “x”

a) 24

b) 7

c) 31

d) 17

e) 25

 PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ

Siendo: L mediatriz de

AB

se cumple:

 PROPIEDAD

EN

EL

TRIÁNGULO

ISÓSCELES

Altura

Mediana

Bisectriz

Segmento de mediatriz

TEOREMA DE LA BASE MEDIA:



MN

//

AC

2 AC

M N



TEOREMA DE LA MEDIANA QUE CAE EN LA

HIPOTENUSA

Esta mediana mide la mitad de la hipotenusa.

PRACTICA Nº 04

01. En un triángulo ABC,

Aˆ

= 60;

C

ˆ



40 

se

traza la bisectriz interior

BP

y sobre BC se ubica

un punto Q tal que QC = AB. Calcular B

Pˆ

Q. A) 10°

B) 20°

C) 15°

D) 18°

E) 25°

02. En un triángulo ABC,

B

ˆ



2 C

ˆ



2 

y

Aˆ

=



. Se traza la bisectriz interior

BP

y sobre

BC, se ubica un punto Q tal que Q = AB. Calcular

B

Pˆ

Q.

2 )

)

2 )













E

D

C

B

A







03. Sobre la hipotenusa

AC

de un triángulo

rectángulo

se

construye

exteriormente

un

triángulo rectángulo isósceles CAD recto en A. Si

AB = 2 y BC = 7. hallar la distancia desde “D”

hasta

BC

.

A) 8

B) 9 C) 7 D) 5 E) 4

04. Sobre la hipotenusa

AC

de un triángulo

rectángulo

se

construye

exteriormente

el

triángulo rectángulo isósceles CAD recto en A. Si

AB = C y BC = a. Hallar la distancia desde “D”

hasta BC

PA = PB OA = OB P A O B º º BH A M B E

L

C H A B º __º 28º 28º 4 b 6 4 A  C  B  2 b 4 a P  Q  R  6    7 24 x

(11)

3 )

2 )

)

2 )

c

a

E

a

b

D

b

a

C

c

a

B

c

a

A







05. En un triángulo ABC se traza la ceviana

BE

tal que:AB=EC=8. Además

EBˆC

=

ABˆE

+

Cˆ

. Hallar

BC

A) 6

B) 7 C) 8 D) 9

E) 10

06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE

tal que: AB = EC. Además

EBˆC

= 8x =

ABˆE

+

Cˆ

y

Cˆ

= 2x. hallar x

A) 8° B) 9° C) 12° D) 15° E) 10°

07. En un triángulo ABC,

Aˆ

= 2

Cˆ

= 40° sobre AC

se toma el punto F tal que AB = FC. Hallar B

Fˆ

C. A) 140° B) 120° C) 110° D) 40° E) 80°

08. En un triángulo ABC,

Aˆ

= 2

Cˆ

, A = 2C = 2



.

Sobre AC se toma el punto F talque AB = FC.

Hallar F

Bˆ

C

A) 90-



B) 180-



C) 180-2



D) 2



E)



09. En la figura

Bˆ

= 150°, A

Cˆ

B = 10° AM es

bisectriz del

Aˆ

y CM= 4, hallar AB.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

10. En la figura ED = 12 y CD = 5. Hallar AB.

A) 13°

B) 22°

C) 17°

D) 19°

E) 21°

11. Calcular x:

A) 4°

B) 8°

C) 10°

D) 16°

E) 12°

12. Calcular



:

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 20°

E) 25°

13. Hallar x:

A) 70°

B) 60°

C) 50°

D) 40°

E) 53°

14. Calcular



.

A) 8°

B) 9°

C) 10°

D) 11°

E) 12°

15. Calcular x:

A) 30°

B) 37°

C) 22,5°

D) 18,5°

E) 53°

16. En el gráfico, calcule: "xº", si : AD = DC.

A

B

C

D

45º

xº

A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°

17. En el gráfico, calcule α.

30 º



20 _º

70 º

10 º

º

A) 9° B) 10°

C) 15° D) 22,5° E) 30°

SEMANA III

POLÍGONOS

Figura geométrica formada de la unión de tres o

más puntos no colineales y coplanares, mediante

segmentos de recta.

ELEMENTOS:

- Vértices

: A, B, C, D, E

- Lados

: AB, BC, CD, DE, EA

-



s

Interiores :



-



s

Exteriores:



1,



2,



3,



4,



5 - Diagonales : AC, AD, BD, BE, CE

- Perímetro

: 2p = a + b + c + d + e

CLASIFICACIÓN

(12)

Polígono convexo Polígono no convexo

II. De acuerdo a su número de lados:

- Triángulo

3 lados

- Cuadrilátero

4 lados

- Pentágono

5 lados

- Hexágono

6 lados

- Heptágono

7 lados

- Octógono

8 lados

- Nonágono

9 lados

- Decágono

10 lados

- Endecágono

11 lados

- Dodecágono

12 lados

- Pentadecágono

- Icoságono

20 lados

III. De acuerdo a sus ángulos y a sus lados:

a. Polígono equilátero: Tienen sus lados de

medidas iguales.

b. Polígono

equiángulo:

Tiene

sus

ángulos

internos de medidas iguales.



 

  

c. Polígono regular: Es aquel polígono equiángulo

y equilátero a la vez.

    

PROPIEDADES



Número Total de Diagonales en un Polígono:

2 )

3 (





n

D



Suma de Ángulos Internos en un Polígono

Convexo:

S

_i



180 º

(

n



2 )



Ángulo interno:

_i

180 (n-2)

n



 

, se cumple en

polígonos equiángulos y regulares.



Suma de Ángulos Externos en un Polígono

Convexo:

S

_e



360 º



Número Total de Diagonales Medias en un

Polígono

2 )

1 (





n

D

M



Número de Diagonales Trazadas desde los “v”

Primeros Vértices Consecutivos en un Polígono

de “n” Lados:

2 )

2 )(

1 (

.







n

v

D

_v_n



Número de Diagonales Medias Trazadas desde

los “m” Primeros Lados Consecutivos en un

Polígono de “n” Lados:

D = n.m -

_m.n

m(m+1)

2 PRACTICA Nº 05

01. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma

de las medidas de sus ángulos internos y

externos es 3960°?

A)18

B)20

C)22

D)24

E)32

02. ¿En qué polígono el número de diagonales

medios es el doble del número de diagonales de

dicho polígono?

A) Pentágono B) Hexágono C) Heptágono

D) Octágono E) Decágono

03. Dados

los

polígonos

regulares

cuyos

números de lados son consecutivos. Calcular el

número de lados del polígono de mayor ángulo

central si la diferencia entre las medidas de sus

ángulos exteriores es 12°.

A)1

B)2

C)3

D)4

E)5

04. Calcular la medida del ángulo interior de un

polígono regular, sabiendo que excede en 20° a

lo de otro que tiene 3 lados menos.

A)110°

B)120°

C)130°

D)140°

E)150°

05. Calcular el número de lados de un polígono

si la suma de las medidas de los ángulos

interiores es el triple de la suma de las medidas

de los ángulos exteriores.

A)8

B)12

C)16

D)18

E)20

06. En un polígono convexo la diferencia entre el

número de diagonales y el número de ángulos

rectos a que equivale la suma de las medidas de

los ángulos internos es igual al número de lados

de dicho polígono. Calcular su número de lados.

A)7

B)8

C)12

D)116

E)10

07. Al aumentar en 3 el número de lados de un

polígono, el número de diagonales se duplica.

Calcular la suma de las medidas de los ángulos

internos.

A)1260°

B)1120°

C)1416°

(13)

08. En un polígono regular al disminuir en 10°

cada ángulo interior resulta otro polígono regular

cuyo número de lados es los 2/3 partes del

número de lados del polígono original. Calcular el

número de lados de dicho polígono?

A)14

B)18

C)19

D)20

E)36

09. Decir cuál es el polígono regular en el que se

cumple que al aumentar 30° a su ángulo externo

se obtiene otro polígono regular en el que su

ángulo externo sería a su ángulo interior como 1

es a 2.

A)8

B)10

C)12

D)4

E)16

10. Calcular la medida de un ángulo exterior de

un polígono regular si se sabe que: Si al número

de diagonales se le quita la cantidad de ángulos

rectos a que equivale la suma de las medidas de

los ángulos internos se obtiene el número de

lados.

A)20°

B)25°

C)30°

D)35°

E)45°

11. De dos polígonos regulares, uno de ellos

tiene tres lados menos que el otro, pero el ángulo

central de uno de ellos mide 27° menos que la

medida del ángulo central. Hallar la suma de las

medidas de los ángulos interiores de dichos

polígonos.

A)1620°

B)1440°

C)1080°

D)900°

E)1000°

12. El número de lados de un polígono regular

excede en 2 al número de lados de otro polígono

regular, y la medida del ángulo externo del otro

polígono. Hallar la suma del número de

diagonales de dicho polígono.

A)29

B)36

C)27

D)44

E)18

13. Se tiene dos polígonos regulares cuyos

números de diagonales se diferencian en 342 y

cuyas medidas de sus ángulos centrales están en

la relación como 2 es a 3. Hallar la diferencia de

las medidas de sus ángulos centrales.

A)5° B)6° C)12° D)15° E)18

14. Calcular el número de lados de un polígono

equiángulo sabiendo que la suma de las medidas

de siete ángulos internos es igual a 1 134.

A) 18 B) 20 C) 22 D) 15 E) 25

15. ¿En qué polígono se cumple que al reducir a

la mitad su número de lados, el número total de

diagonales se reduce a la séptima parte?

A) Octágono B) Nonágono C) Pentadecágono

D) Dodecágono E) Decágono

16. En un polígono convexo se sabe que el

cociente entre la suma de las medidas de sus

ángulos interiores y exteriores es 8. Calcular el

número de diagonales de dicho polígono

A) 135 B) 125 C) 120 D) 145

E) 165

17. En un polígono regular ABC... de n lados

m∢ACE=140. Calcular el número de diagonales

A) 153 B) 146 C) 156

D) 135 E) 170

18. Calcular el número de lados de aquel

polígono en donde el máximo número de

diagonales es el doble de la suma del número de

lados mas dos

A) 4

B) 8

C) 10 D) 12 E) 14

19. Si ABCDEF... es un polígono regular y

BQEP es un rombo; calcular el número total de

diagonales del polígono regular.

A B C Q D E F P θ° θ°

A) 27 B) 54 C) 35 D) 64 E) 44

20. El número de diagonales de un polígono

aumentado en K es igual al número de

diagonales medias disminuido en 2K, calcule el

número de lados de dicho polígono.

A) 5K B) 4K C) 3K D) 2K E) K

21. Se tiene que en un polígono se cumple que

el número de diagonales y el número de

diagonales medias suman 80, calcule el número

de diagonales del polígono que se forma al unir

los puntos medios de los lados del polígono

original.

A) 36 B) 20 C) 54 D) 44 E) 35

22. Hallar los números de lados de dos

polígonos regulares, cuyo número de diagonales,

se diferencian en 4 y sus ángulos centrales son

como 5 es a 6.

a) 4 y 5 b) 5 y 7 c) 6 y 5 d) 7 y 8

e) 9 y 7

23. En

un

pentágono

equiángulo

VELIZ.

Calcular:

IZ VZ

X



_Si:

_VE

_

_LI

A) 0, 5

B) 1, 5 C) 2

D) 1

E) 3

24. En un polígono regular de “n” lados VELIZ

(Firulays), las prolongaciones de

VE

y

ZI

se

cortan en “R”. Hallar “n” si m < ERI = 126°.

(14)

SEMANA IV

CUADRILATEROS

DEFINICIÓN

Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser

convexo o no convexo.

Cuadrilátero Convexo: Cuando sus ángulos

interiores son menores de 180º.

Cuadrilátero No Convexo: Cuando uno de los

ángulos interiores mide más de 180º.

PARALELOGRAMOS

PARALELOGRAMO (Romboide):

Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus dos

pares de lados opuestos paralelos.

En la figura,

ABCD: romboide.

Se cumple







180º

ROMBO:

En la figura,

ABCD: rombo.

RECTÁNGULO (cuadrilongo):

.

En la figura,

_{ABCD. Rectángulo.}

CUADRADO:

TRAPECIOS

Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un

par de lados opuestos paralelos.

En la figura, si:

BC

//

AD

,

AB

//

CD

Clasificación de Trapecios:

Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud

de sus lados laterales en:

Trapecio Escaleno: Es aquel trapecio cuyos lados

laterales tienen diferente longitud.

En la figura, si:

BC

//

AD

y AB



CD



ABCD: trapecio escaleno

Trapecio rectángulo

En la figura m

_<

ABC=m

_<

BAD=90°



ABCD: trapecio rectángulo

Recto en A y B. También es un trapecio escaleno.

Trapecio Isósceles: Es aquel trapecio cuyos

lados laterales son de igual longitud.

Propiedades en Trapecios:

Teorema 1: Medina del Trapecio

(15)

En la figura,

M N

es la base media del trapecio

ABCD. Se cumple:

BC

//

MN



2 b

a

x





Observación:

Se cumple:

x = y



m

2 b

a





Teorema 2: Segmento que une los puntos

medios de las diagonales

D

A

B

C

P

Q

b

a

x

2 b

a

x





Observación:

En la figura, M es punto medio de

AC

y

BD

MH



.

Si: x = y



d

2 b

a





PROPIEDADES

1. Suma de Ángulos Internos

2. Suma de ángulos exteriores

PRACTICA Nº 06

01. Dado un cuadrilátero convexo cualquiera al

unir en forma consecutiva los puntos medios de

los lados se forma un:

A) Cuadrado B) Rectángulo C) Rombo

D) Paralelogramo E) Trapecio

02. Exteriormente a un cuadrado ABCD, Se

construye el triángulo isósceles BCP. Siendo

BP=BC. Calcular m



APC.

A)15°

B)30°

C)45°

D)53°

E)60°

03. En un trapecio rectángulo ABCD, siendo las

bases

BCyAD

, las bisectrices interiores de los

ángulos C y D se intersectan en “E”. Si BC=3:

CD=4 y AD=5. Entonces la distancia del punto

“E” al lado

AB

es:

A)1

B)2

C)1,5

C)2,5

E)3

04. En un cuadrado ABCD se prolonga

AD

hasta un punto “E” tal que: m



ACE=98° y

CE=20cm. Entonces el perímetro de cuadrado

es:

A)48

B)46

C)44

D)42

E)40

05. En un romboide ABCD se considera los

puntos medios M y N de los lados

AD

y

BC

.

AC

intersecta a

BM

y

DN

en P y Q respectivamente.

Hallar PQ si:AC=18m.

A)3m

B)4m

C)5m

D)6.5m

E)6m

06. Calcular la mediana del siguiente trapecio:

A) 15.1

B) 15.2

C) 15.3

D) 15.4

E) 15.5

07. Si “O” es centro cuadrado, calcular “x”

A) 1,5

B) 2,5

C) 3,5

D) 4,5

E) 5,5

08. Si BD=8, calcular “x”

A) 1,5

B) 2,5

C) 3

D) 3,5

E) 4

09. Si: ABCD es un cuadrado, calcular “x”

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 3,5

     = 360º y x w z x + y + z + w = 360º 45° 53° 15m 5m 5 2 x O

(16)

10. Calcular “



”

A) 30°

B) 37°

C) 45°

D) 53°

E) 22,5°

11.

Calcular

“



” si ABCD es un trapecio:

A) 30°

B) 37°

C) 45°

D) 53°

E) 60°

12. En un

trapecio

ABCD de base

BC

y

AD

; tal

que m



A=m



D; AB=5 y CD=8; calcular m



C. A)123°

B)133°

C)143°

D)153°

E)160°

13. Del trapecio mostrado: calcular “



”.

A) 15°

B) 18.5°

C) 22.5°

D) 26.5°

E) 30°

14. Del trapecio mostrado; calcular “x”:

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

15. Calcular: “



”

A) 15°

B) 18,5° C) 30°

D) 37°

E) 45°

16. Calcular “



”

A)15°

B)18.5°

C)37°

D)45°

E)30°

17. Calcular “



”

A)1

B)2

C)1.5

D)2.5

E)3

18. En un trapezoide ABCD (AC>BD) las

diagonales se interceptan en “O”. Siendo

OC=3AO. Bajo el vértice “D”. Se traza una recta

exterior al cuadrilátero, calcular la longitud de la

distancia del vértice “B” a esta recta; si las

longitudes de las distancias de los vértices A, D y

C a la recta exterior son 12m, 6m y 8m

respectivamente.

A)18m B)14m C)16m D)20m

E)15m

19. En el interior de un cuadrilátero convexo

ABCD se ubica el punto “P”, tal que

AB



AP

;

DP

CD



,

m<PAD + m<DAB = m<PDA + m<CDA = 90° y

12



AD

. Calcular la distancia del punto medio de

BC

hacia el lado

AD

.

A) 6

B) 8

C) 10 D) 12 E) 15

20. Dibuja al trapecio ABCD, de modo que su

mayor se

AB

y los otros tres lados sean

congruentes entre sí. Si:

ACAB

. Hallar m <

BCD.

A) 120° B) 135° C) 145° D) 108°

21. En un paralelogramo ABCD se levanta las



AQ

y

CR

a

AD

y

CD

respectivamente. Si:

AD

AQ



y

RC



CD

. Hallar m < QBR.

A) 72°

B) 90°

C) 75°

D) 85°

E) 80º

22. En un paralelogramo ABCD la m<ABD = 90°

por los vértices “A” y “B” se traza las paralelas a

BM

y

CM

que se cortan en “N”. Calcular

AN

si

18



BC

; siendo “M” punto medio de

AD

.

A) 5, 4

B) 4, 5

C) 6, 2

D) 2, 7

E) 7

23. Se tiene cuadrilátero ABCD, donde se sabe

que

AB



BC



CD



AD₂

y

BC //AD

. Hallar

el ángulo formado por las bisectrices exteriores

de

Bˆ

y

Cˆ

.

A) 100°

B) 110°

C) 90°

D) 80°

E) 60°

24. En un trapecio ABCD



AB //

CD



si:

AB8

;

6 

BC

;

AD10

y

CD 18

. Las bisectrices de

los ángulos “A” y “D” se intersectan en “M” y las

bisectrices de los ángulos “B” y “C” se intersectan

en el punto N. Hallar

MN

.

A) 4

B) 5

C) 6 D) 4, 5 E) 7

25. En un trapecio ABCD



AB //CD



se cumple:

m < BCD + m < ADC = 90° y

CD



AB



24 .

Hallar la longitud del segmento que une los

puntos medios de las bases.

A) 24

B) 10 C) 15 D) 6

E) 12

4 ₅ 11 6 x 18 16 8 2 3  8 6   x

(17)

SEMANA 01

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORES

MAGNITUD FÍSICA.- Es todo Aquello que puede ser

cuantificado y/o comparado y que representa a alguna propiedad física de la materia.

MEDIR. Es comparar dos magnitudes de la misma

especie donde el ente de comparación es la unidad de medida.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

Las magnitudes físicas pueden clasificarse de dos formas:

1. Por su origen

a) Magnitudes fundamentales. Son aquellas cuyas

unidades se han elegido como fundamentales de acuerdo a los convenios internacionales.

b) Magnitudes derivadas. Son aquellas cuyas

unidades se forman de una combinación de las unidades de las magnitudes fundamentales.

c) Magnitudes auxiliares. No tienen unidad física. 2. Por su naturaleza.

a) Magnitudes escalares. Estas magnitudes solo

necesitan de un número real y una unidad de medida para quedar bien definida.

b) Magnitudes vectoriales. Estas magnitudes

aparte de tener un número y una unidad física necesitan de una dirección y sentido para estar bien definidas.

c) Magnitudes tensoriales. Son aquellas que a

diferencia de las vectoriales tienen muchas direcciones.

SISTEMA DE UNIDADES. Es el conjunto ordenado y

coherente de unidades fijan las magnitudes básicas o fundamentales y luego se obtienen las magnitudes derivadas.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.). Es

el producto final de la evolución lógica del antiguo sistema métrico decimal o MKS, que incrementado en cuatro unidades se convierte ahora en el sistema legal de unidades de casi todos los países del mundo.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES (S.I.)

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DIMENSIÓN

Longitud Metro m L Masa Kilogramo Kg M Tiempo Segundos s T Intensidad de corriente Ampere A I Temperatura termodinámi ca Kelvin K θ Intensidad luminosa Candela cd J Cantidad de

sustancia mol mol N

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

1. ANGULO plano Radian rad. 2. Angulo sólido estereoradián sr.

SISTEMA ABSOLUTO. Considera como magnitudes

fundamentales a la longitud (L), masa (M), y tiempo (T).

ANÁLISIS DIMENSIONAL. Trata de las relaciones

matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas.

La fórmula dimensional o dimensión de una magnitud derivada está representada por un monomio formado por el producto de los símbolos de las magnitudes fundamentales elevadas a ciertas potencias enteras o fraccionarias, positivos o negativos.

Así la fórmula dimensional de la magnitud derivada X, tendrá la forma.

 

a b c d e f g

N

J

I

T

M

L

X





X= Símbolo de la magnitud o unidad X.

 

X

= Ecuación dimensional de “X”.

PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN DIMENSIONAL

1. Las ecuaciones dimensionales, cumplen con las leyes del álgebra; a excepción de la suma o resta. a)



ABC

    



A

B

C

b)

 

B

A

B

A











c)

 

A

n



 

A

n d) n

_A

m



 

_A

mn









A y B son dos magnitudes físicas cualquiera.

2. Las ecuaciones dimensionales de los números, ángulos, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas, etc. es igual a la unidad. Estas magnitudes se denominan adimensionales.



0 ,

2542





1 

2 

rad



360 º





1 

Sen

37 º



Tg

53 º





1 

log

100 



1

3. Las ecuaciones dimensionales de las constantes numéricas son igual a la unidad.







3 ,

1416





1 

e



2 ,

71 ...





1

4. Las ecuaciones dimensionales de las constantes físicas, es diferente a la unidad.



g



aceleració

n

de

la

gravedad





1

5. La ecuación dimensional de todo exponente y argumento es igual a la unidad.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Toda igualdad matemática que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, deberá tener homogeneidad dimensional. Es decir, las dimensiones de cada uno de los términos deben ser las mismas en ambos miembros.

  

AX



Dtg

(

BY



C

)



   

BY



C

(18)

ECUACIONES

DIMENSIONALES BÁSICAS

1. Velocidad (v = d / t) [v] = ...

2. Aceleración (a =



v / t) [a] = ...

3. Area (A = b.h)

[A] = ……

4. Volumen (V = b.h.e)

[V] = ...

5. Fuerza (F = m.a) [F] = ...

6. Densidad (



= m / V)

[



] = ...

7. Trabajo (W = F.d) [W] = ...

8. Potencia (P = W / t)

[P] = ...

9. Presión (Pr = F / A)

[Pr] = ...

10. Período( T = t)

[T] = ...

11. Frecuencia (f = 1 / T)

[ f ] = ...

12.Velocidad Angular (



=



/ t)

[



] = ...

13.Aceleración Angular (



=



/ t) [



] = ...

14.Carga Eléctrica (q = I.t) [q] = ...

NOTA IMPORTANTE

[Calor] = [energía] = [Trabajo] = [Momento]

Peso = Fuerza

PROBLEMITAS

1. Halla la ecuación dimensional de A, si se cumple la relación: 2 2

V

.

F

D

.

A

C



Donde: C = Velocidad D = Densidad F = Fuerza V = Volumen a) L12T-2 b) L6T-2 c) L6T-4 d) L12T-4 e) L6T-2M-2

2. En la fórmula física, marca verdadero (V) o falso (F) sabiendo que:

X = Abw. Sec(wt)

* Si [A] = L entonces [x] = L2 ...( ) * Si [t] = T entonces [b] = T-1 ... ( ) * Siempre se cumple que [x] = [A] ... ( ) a) VVF b) FVF c) FFV d) VVV e) FFF 3. Indica las dimensiones de “E” en la ecuación dimensionalmente correcta.

Q

2 V

A

R

W

A

E

3 2 6







Donde: V = Velocidad W = Energía

a) M-2L-2T2 b)MLT c)M2LT d)M2L2T-2 e) ML2T-2 4. Experimentalmente se demuestra que el espacio recorrido (e) por un cuerpo con M.R.U.V., depende del tiempo empleado (t) y de su aceleración (a). Determina la fórmula física para dicho espacio.

(Considere K: constante de proporcionalidad numérica) a) kat b) ka2t c) kat2 d) kat-1 e) ka-1t 5. Según las reglas del análisis dimensional podemos decir:

I. El trabajo y la velocidad angular tienen la misma ecuación dimensional.

II. [Sec ө] = [tan ө]

III. La velocidad angular y la frecuencia tienen la misma ecuación dimensional.

De las proposiciones anteriores son ciertas: a) Solo I y II b) Solo II c) Solo I y III d) Solo II y III e) Solo III

6. En la siguiente ecuación homogénea. Hallar las dimensiones de A, B y C.

)

Cos

Sen

(

2 C

AB

C

y

x

C

Ax

2 2 2 3













Donde: x = Longitud y = Masa a) L-3, ML-2 , M b) ML-1, L3, ML2 c) M-1L, L3, M-1L-2 d) ML-1, L3, ML-2 e) ML, L-3, ML2

7. Dada la ecuación dimensionalmente correcta.

F = nx . ry . vz Donde: F = Fuerza n = Viscosidad = r = Radio v = Velocidad Halla: x + y + z a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2 8. En la ecuación dimensionalmente correcta, halla las dimensiones de “P”. v = Velocidad m = Masa w = Trabajo c = Constante a) LT-2 b) LT1/2 c) L1/4T-1/4 d) LT1/4 e) L1/4T

9. En la ecuación dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de x e y, si A es Área.





z

y

Cos

y

x

Sen

z

w

A





2



2



a) L ; T b) L2 ; T-1 c) L-1 : L2 d) L-2 ; L-2 e) L-1T-1

10.De las proposiciones siguientes son correctas: I. La ecuación dimensional de la temperatura es ө. II. La carga eléctrica dimensionalmente es IT. III. La dimensión de la cantidad de sustancia es M. a) Solo I b) Solo III c) Solo I y III d) Solo I y II e) Solo II y III

12. Halla     z xy si la ecuación: es homogénea.

Si: F = Fuerza, g = 9,8 m/s2, m = Masa, d= distancia

a) M b) L c) T d) ML e) MT

13.En el sistema “ALFA” se considera como unidades fundamentales a la masa (M), velocidad (V) y el tiempo (T). Determina la ecuación dimensional de la presión en este sistema. a) MVT-1 b) MV-1T-3 c) MVT d) MVT-3 e) MVT-2       Tiempo Longitud Masa















w

m

.

v

x

Log

.

C

.

P

X

2 2

)

x

25 (log

y

)

xmgd

(

)

xm

z

(

F





(19)

14.La energía E de movimiento lineal P, están relacionados por la ecuación homogénea:

E2 = AP2 + BC2 Donde: C = Velocidad de la luz Halla las dimensiones de A y B.

a) L2M-2 ; L2M-2 b) L2T-2 ; L2M2T-2 c) LMT-2 ; LMT-2 d) L2TM ; L2MT-2 e) L2M2T-2 ; L2 M2T-2

15.En la siguiente expresión dimensionalmente correcta: o KSV y x

2 tan

H

)

g

2 (

15

8 Q

















Cuáles son los valores de x e y.

Donde: H = Altura Q = Caudal = g = Aceleración

S = Longitud _{Vo = Velocidad} a) x = 3/2 ; y = 3/2 b) x = 1/2 ; y = 3/2 c) x = 1/2 ; y = 5/2 d) x = 3/2 ; y = 1/2 e) x = 5/2 ; y = 1/2

16.Si la ecuación es dimensionalmente homogénea, halla los valores de a y b.

b a 2 3 / 1

D

Kg

V

m





Donde: m = Masa V = Velocidad

g = Aceleración D=Densidad K=Número a) 1/3 ; 1 b) -1/3 ; -1 c) 1 ; -1/3 d) 1 ; 1/3 e) 1/3 ; -1/3

17.Halla la ecuación dimensional de “A”, si la ecuación dada es homogénea (A y B son magnitudes físicas)

2 KFSen 2 Sen

K

B

A









Siendo: F = Fuerza Ө = 30º a) M2L-2T4 b) M2L2T4 c) M-4L-4T8 d) Absurdo e) Faltan datos

18. En el SI el OHM es la unidad para la resistencia eléctrica. Las dimensiones para esta unidad son:

a) M2T-2 L2 I-2 b) M L2T-2 I-2 c) ML2T-3 I-2 d) M-2 L2T-2 C-2 e) ML2 T-3 C-2

19.Relaciona correctamente las magnitudes físicas de la columna “A” con las ecuaciones dimensionales de la columna “B”.

Columna “A” Columna “B” A. Calor ( ) ML-3 B. Velocidad Lineal ( ) ML-1T-2 C. Presión Atmosférica ( ) ML2T-2 D. Densidad ( ) LT-1 E. Potencia mecánica.

a) ABCE b) CBDA c) DCAB d) DEBA e) EBCD 20.En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, para determinar las dimensiones de “m”.

Y = bn + mn2

Datos: I. b = Velocidad II. y = Longitud a) El dato I es suficiente b) El dato II es suficiente c) Cada uno de los datos en forma independiente es suficiente

d) Es necesario el dato I y II conjuntamente

e) Faltan datos

21.La fuerza de sustentación del ala de un avión depende el área S del ala, de la densidad Ө del aire y de la velocidad V del avión. Halle la suma de los exponentes de S y Ө.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4

ANÁLISIS VECTORIAL

VECTOR.- Es un segmento de recta orientado que sirve

para representar a las magnitudes Físicas vectoriales.

ELEMENTOS DE UN VECTOR:

1. Punto de Aplicación. Está dado por el origen del vector.

2. Intensidad, Módulo o Magnitud. Es el valor del vector, y generalmente, esta dado en escala; ejemplo. 10 m, 15 N.

3. Sentido. Es la orientación del vector.

4. Dirección. Está representada por la línea de acción del vector y el ángulo  que forma el vector

A

con el eje +X. COMPONENTES RECTANGULARES: AX = A. Cos  AY = A. Sen  Módulo del

A

:

A



A

2x



A

2y

A

=



A

_X

;

A

_Y



Dirección: tg X Y

A





A = OP = P-0













Asen

,

cos

A

,

A

_x _y



VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo módulo es la

unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.