Conceptos Básicos de Cinética de Flotación
Conceptos Básicos de Cinética de Flotación
La cinética de flotación es el estudio de la variación en cantidad del productoLa cinética de flotación es el estudio de la variación en cantidad del producto
que rebasa en la espuma con el tiempo y la identificación cuantitativa de todas que rebasa en la espuma con el tiempo y la identificación cuantitativa de todas las variables que controlan la velocidad.
las variables que controlan la velocidad.
El enfoEl enfoque cinétque cinético aplicico aplicado al procesado al proceso de flotacio de flotación requión requiere deere de una defiuna definicióniciónn
de variables dinámicas, especialmente respecto al tipo de flujo existente en la de variables dinámicas, especialmente respecto al tipo de flujo existente en la celda o banco de celdas. Además, es necesario separar lo concerniente a celda o banco de celdas. Además, es necesario separar lo concerniente a pruebas de laboratorio batch o semibatch con la operación en continuo de un pruebas de laboratorio batch o semibatch con la operación en continuo de un circuito industrial.
circuito industrial.
Por esta razón, las restricciones de los modelos aconsejan introducir la siguientePor esta razón, las restricciones de los modelos aconsejan introducir la siguiente
clasificación: clasificación:
TIPO TIPO CARACTERÍSTICA CARACTERÍSTICA SISTEMA SISTEMA Recipiente Recipiente cerrado cerrado Variación de Variación de concentraciones concentraciones A) A) BATCH BATCH Flujo tanque Flujo tanque alcanza estado alcanza estado estacionario estacionario Producto cte. Producto cte. (flujo contínuo en (flujo contínuo en un reactor tipo un reactor tipo tanque agitado) tanque agitado) Concentración Concentración constante constante D) D) CONTÍNUO CONTÍNUO alimentación cte. alimentación cte. Flujo tubular Flujo tubular Producto Producto constante constante La concentración La concentración es cte. en cualquier es cte. en cualquier pto. pero varía con pto. pero varía con la posición la posición C) C) CONTÍNUO CONTÍNUO alimentación cte. alimentación cte. No alcanza estado No alcanza estado estacionario estacionario Producto Producto Variación de Variación de concentraciones concentraciones B) B) SEMI-BATCH SEMI-BATCH alimentación alimentación
TIPO TIPO CARACTERÍSTICA CARACTERÍSTICA SISTEMA SISTEMA Recipiente Recipiente cerrado cerrado Variación de Variación de concentraciones concentraciones A) A) BATCH BATCH Flujo tanque Flujo tanque alcanza estado alcanza estado estacionario estacionario Producto cte. Producto cte. (flujo contínuo en (flujo contínuo en un reactor tipo un reactor tipo tanque agitado) tanque agitado) Concentración Concentración constante constante D) D) CONTÍNUO CONTÍNUO alimentación cte. alimentación cte. Flujo tubular Flujo tubular Producto Producto constante constante La concentración La concentración es cte. en cualquier es cte. en cualquier pto. pero varía con pto. pero varía con la posición la posición C) C) CONTÍNUO CONTÍNUO alimentación cte. alimentación cte. No alcanza estado No alcanza estado estacionario estacionario Producto Producto Variación de Variación de concentraciones concentraciones B) B) SEMI-BATCH SEMI-BATCH alimentación alimentación
De acuerdo con el ajuste de datos seleccionado: De acuerdo con el ajuste de datos seleccionado:
Adecuando curvas a dato
Adecuando curvas a datos de Recuperación vs s de Recuperación vs TiempoTiempo Eligiendo ecuaciones diferenciales que se integran
Eligiendo ecuaciones diferenciales que se integran entre límitesentre límites adecuados. Es el más usado, pero no d
adecuados. Es el más usado, pero no da información acerca dea información acerca de la física del proceso.
la física del proceso. Aplicación de ideas s
Aplicación de ideas sacadas de la cinétiacadas de la cinética química. Se rca química. Se requiereequiere el orden de
el orden de reacciónreacción
Aplicación
Aplicación de de la la hidrodinámica hidrodinámica al al encuentro encuentro partícula-burbuja, partícula-burbuja, parapara obtener ecuaciones de la probabilidad y frecuencia del encuentro,
obtener ecuaciones de la probabilidad y frecuencia del encuentro, captura y
captura y la vla velocidad de elocidad de remoción de remoción de la la masa de masa de sólidos desde sólidos desde lala celda. Es el más difídil por la cantidad de variables involucradas.
celda. Es el más difídil por la cantidad de variables involucradas.
Empíricos Empíricos Semiempíricos Semiempíricos Análogos Análogos Analíticos Analíticos
Cinética
La velocidad de flotación, o de remoción de concentrado, es otro índice importante para la evaluación del comportamiento de mineral, junto con su recuperación y leyes de concentrado y cola.
Existe una variedad de modelos matemáticos para describir la funcionalidad de la recuperación en el tiempo que transcurre la flotación. Algunos de los más usados son los siguientes:
•Modelo de primer orden García-Zúñiga
•Con modificación según Agar
•Modelo de primer orden con distribución rectangular de flotabilidades R. Klimpel
(
)
[
exp
kt
]
R
R
t=
∞ 1−
−
(
)
{
}
[
1−
−
+
0]
∞
=
R
exp
k
t
t
R
(
)
{
}
−
−
−
∞
=
exp
kt
kt
R
t
R
1 1 1Modelo de Segundo Orden
Analizando el caso más útil, de la celda de laboratorio, es decir semibatch, se tiene:
en que, k = constante de velocidad de flotación n = orden de reacción
C = concentración de especies flotables o ganaga
kt
R
kt
R
R
t ∞ ∞+
=
1
2 i n i iC
k
dt
dC
=
−
Representación gráfica:
En esta ecuación, hacemos dos suposiciones importantes: 1.- La flotación obedece a una cinética de primer orden
La primera suposición n=1, por lo tanto integrando se tiene que: C = Co e – kt , en que C
o = concentración del material flotable al tiempo cero C = concentración del material flotable al tiempo t Para representar gráficamente la ecuación, la escribimos de la forma:
, ln(C0 /C)
k t
Introduciendo el concepto de recuperación a tiempo infinito:
(*) con C∞, la concentración de material sin flotar.
Si transformamos concentraciones en recuperaciones, se tiene: R ∞=(C0-C∞) / C0 y R (t) =(C0 – C) / C0
Desarrollando (*) (C - C∞) = (C0 - C∞) e
-kt , dividiendo por C 0, (C - C∞) / C0 = ((C0 - C∞)/C0) e
-kt , restando a ambos miembros:
kt C C C C ln
=
−
−
∞ ∞ 0 kt C C ln 0 =((C - C∞)/C0) – ((C0 - C∞)/C0) =[(C0 - C∞)/C0] e -kt – ((C 0 - C∞)/C0) quedando:
R
t= R
∞(1 – e -kt) García Zúñigaen que, R t = Recuperación de equilibrio al tiempo t
R ∞ = Recuperación de equilibrio a tiempo prolongado
k = Constante de velocidad de primer orden Modificando la ecuación anterior:
R /R t ∞=1 – e -kt, R t /R ∞ - 1 = - e -kt, 1 - R t /R ∞ = e -kt así: ln[(R ∞ - R t )/ R ∞ ] = -kt ln[(R ∞ - R t )/ R ∞ ] -k t, min
Modelo de R. Klimpel,
Este modelo es ampliamente usado en la evaluación y selección de reactivos de flotación. El valor de este modelo está en la separación de cualquier influencia en una operación particular de flotación, en dos componentes:
Un efecto de propiedades del material, el cual influenciaría fundamentalmente la
cantidad de aquellas partículas que pueden ser recuperadas sin considerar el tiempo requerido para ello (tiempo de equilibrio).
1. Un efecto cinético o de velocidad, que ocasiona un cambio en la manera en la cual las partículas son removidas desde la celda de flotación.
La principal tesis del modelo, es que el conocimiento del perfil tiempo-recuperación, que conduce a la recuperación de equilibrio, es a menudo más importante que conocer la recuperación de equlibrio real en sí misma.
Esto puede ser verdadero en la evaluación de los cambios no químicos de la flotación (ej.:cambios de las RPM, velocidad de flujo de gas, temperatura de alimentación de la pulpa, etc.), en tan buena forma como para comparar distintos reactivos.
( )
(
)
−
−
=
− ∞ kt t e kt R R 1 1 1Ejemplo de ajuste de datos al modelo de flotación de R. K.
Minimizando la ecuación de Klimpel:
en que k, R ∞ y n son parámetros ajustables, q el número que corresponde a los
( ) ( ) ( ) ( )
[
]
2 1 calculada R erimental exp R j t j t q j −∑
=Así por ejemplo veamos el caso siguiente, que muestra un mineral flotado con dos fórmulas diferentes de reactivos.
Se aprecia que para tiempos inferiores a tk , uno de ellos presenta una mayor velocidad y alcanza recuperaciones parciales también mayores.
Sin embargo, par t > t k la recuperación de equilibrio ( a t∞), llega a ser mayor con
la segunda fórmula de reactivos.
Por lo tanto, en este caso en que se evalúan dos fórmulas de reactivos, no basta con determinar R
Fórmulas integrales de la ecuación de velocidad de
flotación (dC/dt) = - kC
na) Para un grupo de partículas en una flotación batch: C = C0 exp(-kt)
b) Para un grupo simple de partículas en una celda contínua, en estado estacionario:
en que E(t) representa la distribución de tiempos de residencia.
c) Para muchos grupos de partículas útiles con un rango de constantes de velocidad, para flotación batch:
d) Para muchos grupos de partículas útiles en celda contínua, en estado estacionario: ecuación aplicable a la operación de
plantas de flotación.
( ) ( )
kt E t dt exp C C∫
∞ − = 0 0( ) ( )
kt f k , dk exp C C 0 0 0∫
∞ − =( ) ( ) ( )
kt E t f k , dtdk exp C C 0 0 0 0∫ ∫
∞ ∞−
=
Criterios para determinar el tiempo de residencia óptimo en c/circuito
Según G.E. Agar, para flotación batch:1.- No agregar al concentrado material de ley menor a la de alimentación de esa etapa de separación.
2.- Maximizar la diferencia en recuperación entre el mineral deseado y la ganga.
3.- Maximizar la eficiencia de separación.
El criterio (1) es obvio, puesto que la flotación es fundamentalmente un proceso de concentración.
Para analizar el criterio (2), consideremos una cinética de flotación simple, primer orden. Si = Rec.min.útil – Rec.ganga
= R.m.u.∞(1 – e-kt) - Rg
∞(1 – e
-k gt) =R.m.u. ∞ - R.m.u. ∞e-k m.u.t - R
g∞ + R ge -k gt Maximizando:
(
)
( )
0∆
∂
−k mut −k g t k R k RCriterios de Agar
(
m.u. g)
g g . u . m . u . mk
k
k
R
/
k
R
ln
t
−
=
∞ ∞ (c2)Determinación del tiempo óptimo de flotación
Un criterio metalúrgico útil para determinar el tiempo óptimo de flotación en una etapa dada, consiste en flotar hasta que la velocidad de flotación de la especie útil (U) sea igual a la velocidad de flotación de la ganga (G).
Matemáticamente (*):
Esta condición corresponde al tiempo en que la velocidad de transferencia del sólido a la fase espuma es igual para ambas componentes; lo que es equivalente al tiempo en que la ley instantánea del concentrado es igual a la ley de alimentación a dicha etapa
Ver Figura t R t RU G
∂
∂
=
∂
∂
Criterios de Agar
Respecto al criterio (3):
La E.S. = ( R m.u. – R g) en el concentrado será máxima, cuando:
1.- La diferencia de recuperación entre la ganga y la especie útil sea máxima. 2.- Las velocidades de flotación entre la especie útil y la ganga sean iguales.
Definiendo: M:contenido metálico del min.útil c:ley del concentrado acumulativo F:peso de alimentación
f: ley de cabeza
el tiempo para el cual se hace máximo: W:peso del concentrado (*)
, en que G: ley instantánea del concentrado Diferenciando: GdW = W(dc/dt) + c(dW/dt), luego ( ) ( M f ) f c Ffc WcM . S . E − − = ( ) ( ) =0 + − − = ∂ ∂ dt dc W dt dW f c ) f M Ff M t . S . E
∫
= t Wc GdW 0G = W(dc/dW) + c, multiplicando por dW/dt, se tiene: GdW/dt = W(dc/dt) + c(dW/dt), que al sustituirlo en (*)
de donde, G = f
Cuando la eficiencia de separación alcanza el máximo, la ley instantánea del concentrado se iguala a la ley de la alimentación.
Veamos algunos ejemplos:
( ) ( ) = 0 − + − − = dt dW c dt dW G dt dW f dt dW c ) f M Ff M dt . S . E d
Ejemplo de determinación de la cte. k y
del tiempo óptimo de flotación.
-0.207
-0.86
-1.29
-1.72
-2.30
-4.04
0.4223
0.2765
0.1788
0.1000
0.0176
49.1
61.5
69.8
76.5
83.5
1
2
4
8
16
(R
∞-R
t)/R
∞%R
t
− ∞ ∞ R R R ln t x k y = ∆ ∆ R m.u. = 0.85(1 – exp(-0.207(t+3.5))) De acuerdo con el criterio 2, t= 11.3 minlo que está en acuerdo en general con los otros dos criterios.
Ejemplos de aplicación de los Criterios de Agar
Según criterio (1), a los 12 min se igualan ley decabeza y concentrado (Fig1).
Según criterio (2), es decir usando la fórmula para t, (c2), t=11.3 min.
Como se observa en la fig.3, antes de t=11.3 la
velocidad de flotación del niquel es superior a la de la ganga. Es claro por lo tanto que aquí debe terminar la flotación, de lo contrario se esaría ensuciando el concentrado.
Usando el criterio (3), en la Fig. 1 se observa que la eficiencia de separación es máxima entre 8 y 16 min, lo que está de acuerdo con los criterios (1) y (2).
En la flotación de un mineral de calcopirita conteniendo oro, se encuentran además otras especies, que en orden de aundancia son pirrotita y, pirita, con una ganga constituída por cuarzo, calcita y óxido de fierro.
Se emplea como colector KAX, a pH alcalino.
De acuerdo con la Fig 9, c(1): t = 4.2; c(3): t= 4.3 R cpy= 0.984(1-exp(-0.503(t+3.1)))
R g = 1 (1-exp(-0.0084(t+5.2))),
Diferenciando, c(2): t = 5.1. Se determina t=4.5 min, como promedio de los tiempos, para ser considerado pasando a la primera flotación cleaner.
Al igual que en las pruebas anteriores, se colectó concentrado parcialmente, resultado que se muestra en la
Aplicaciones de los criterios de Agar
c(1): t=1.5; c(2) t=1.4; c(3) t=1.7,De donde, t = 1.5 min
Se decidió realizar otro test, incluyendo una flotación
rougher de 4.5 min, cuyo concentrado alimentó un segundo cleaner:
En la Fig siguiente se observa que: R cpy= 0.997(1-exp(-2.67t)))
R g = 0.73(1-exp(-1.20t))), Diferenciando, t= 0.75 min
Finalmente, se muetra el flowsheet de un test de ciclo,a modo de comprobar la aplicación de esta técnica en el diseño de un circuito de flotación.