Geometría 02 TRIÁNGULO (lineas y puntos notables)

(1)

TRIÁNGULO (líneas y puntos notables)

ALTURA

Es

Es el el segmsegmento ento perpperpendiendiculcular ar tratrazado zado desddesde e unauna vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se ccororttaan n een n uun n pupunntto o qquue e rrececiibe be eel l nnomombbrre e dede “Ortocentro”. el cual se ubica:

“Ortocentro”. el cual se ubica: a.

a. En eEn el il intntererioior der del tl tririángángululo,o, en el caso de

en el caso de

triángulo acutángulo. triángulo acutángulo.

b.

b. En eEn el vél vértirtice dece del ánl ángulgulo reo rectocto, en , en el cel caso daso dee triángulo

triángulo rectángulo. rectángulo.

cc.. FFueuerra a dde e ttrriiáángnguulloo, , een n eel l ccaaso so dde e ttrriiánángguulloo obtusángulo.

obtusángulo.

MEDIANA

Es el segmento de recta que une una vértice del Es el segmento de recta que une una vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. En triángulo con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que cuales se cortan en un punto interior al triángulo que re

recicibe be el el nomnombre bre de de “B“Bararicicententroro”, ”, “C“Cententroroidide” e” oo “Centro de Gravedad”.

“Centro de Gravedad”.

Propiedad del Baricentro:

En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1.

en dos partes cuya relación es 2 a 1.

Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se verifica que: verifica que: AG = AG = 3 3 2 2 AM ; BG = AM ; BG = 3 3 2 2 BP ; CG = BP ; CG = 3 3 2 2 CN CN

Media

Mediana

na relat

relativa a

iva a la

la hipo

hipotenu

tenusa

sa de

de un

un Triá

Triángul

nguloo

Rectángulo

La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa.

rectángulo mide la mitad de la hipotenusa.

A A B B C C O O A A B B C C P P N N MM 2y 2y 2 2 x x 2z 2z z z y y x x G G C C O O A A C C A A B B O O A A B B CC M M

UNIVERSIDAD

NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

GEOMETRÍA

Nº

(2)

AM =

2 BC

Además, se forman dos triángulos isósceles (ABM y AMC)

BISECTRIZ

Es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo en dicho vértice en dos ángulos congruentes.

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de los ángulos interiores (bisectrices interiores), las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Incentro”.

Propiedad de la Bisectriz:

Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

En la figura. OM : bisectriz del ángulo AOB

Si : P ∈ OM, Entonces: PQ = PR OQ = OR * Lo recíproco de este problema es cierto.

Propiedad del Incentro:

El incentro equidista de los tres lados del triángulo y además, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “Inradio” r.

I - incentro IH = IJ = IK = r

r – radio de la circunferencia inscrita (inradio)

MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su punto medio. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan en un punto llamado “Circuncentro”, el cual se ubica: a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo

acutángulo.

b. En el punto medio de la hipotenusa en el caso de triángulo rectángulo.

c. Fuera del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.

Propiedad de la Mediatriz:

Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

B A P Q Mediatriz AP = PB AQ = QB Q P R C A B C K H _r r r I J P R Q C Q P R C α α A B M R Q Q O a a P m m

(3)

Propiedad del Circuncentro:

El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y además, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “circunradio”.

P – circuncentro AP = BP = CP = R R – radio de la circunferencia circunscrita ( Circunradio )

PROPIEDADES

1. En un triángulo isósceles se cumple:

- Altura - Mediana - Bisectriz - Mediatriz

2. En un triángulo equilátero; el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden en un mismo punto interior del triángulo.

- Ortocentro - Baricentro - Incentro - Circuncentr

o

3. En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de la mediana relativa a la hipotenusa.

6 BC 3 AM 2 AG = =

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS

LÍNEAS NOTABLES

1.

ω = 90° +

₂θ 2. α = 2 ω A B C H α α BH P A C B P 30°30° 30° 30° 30° 30° α α β β θ ω A B C β β ω α θ θ A B C P Ortocentro Baricentro Circuncentro 3m 3m 2m G m A B _M C

(4)

3. 4. θ = 2 − β 5. X = α - β

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM cuya longitud es igual a 3. calcular la medida del ángulo BAC, si AB = 4 y AC = 10. A) 33° B) 90° C) 37°

D) 30° E)60°

2. Se dibuja la altura BH en un triángulo ABC, si

AH = 3, HC = 4 y la medida del ángulo ABH es igual a 37°, calcular la diferencia de las medidas de los ángulos BAC y HBC.

A) 16° B) 8° C) 12°

D)24° E) 15°

3. En un triángulo MNP se traza la altura NQ, tal que la medida del ángulo MNQ es igual a 20°, y la del ángulo MPN es igual a 40° y NP = 6. calcular PM.

A)4 B)6 C)8

D)10 E) 7

4. Dado el triángulo ABC se dibuja la mediana BM equivalente a MC, si la medida del ángulo BAC es igual a 5x y la del ángulo ACB es igual a x. Calcular el valor de x.

A) 10° B) 17° C) 15°

D)12° E) 9°

5. Se dibuja un triángulo rectángulo ABC recto en A, y se traza la mediana BM que tiene como longitud 5, si AC = 6. calcular la medida del ángulo AMB.

A) 37° B) 75° C) 60°

D)53° E) 45°

6. Se traza la bisectriz interior BD en un triángulo ABC, si la medida del ángulo DBC es igual a 50°, la del ángulo ACB es igual a 30° y AD = 4. calcular BD.

A)4 B)5 C)3

D)2 E) 1

7. Se traza la mediatriz de AC en un triángulo ABC, si la suma de las medidas de los ángulos ABC y ACB es igual a 120°. Calcular la medida del ángulo formado por dicha mediatriz y la recta AB.

A) 30° B) 60° C) 75°

D)37° E) 45°

8. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BD ( D en la prolongación de AC ) , la medida del ángulo BAC es igual a 40° y la del ángulo ACB igual a 60°. Calcular la medida del ángulo CDB.

A) 20° B) 30° C) 50°

D)40° E) 10°

9. en un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que la medida del ángulo DBC es igual a 40°, la del ángulo ACB es igual a 30°. Calcular BD, si AB = 6. A)8 B)10 C)7 D)5 E) 6 φ = 90° - A α β _ω θ α B C α _β X I I I β φ ω ω α α

(5)

10. En un triángulo ABC, º 75 = ∠ BAC m _y m∠ ACB =30º _{, si AC =} 10, calcule la altura BH. A) 5 B) 5 2 _C) 5 3 D) 6 E) 3 2

11. En un ∆ ABC _{, se traza la mediana} AM, tal que AM = MB, si la m∠ ACB =40º _,

calcular m∠ MAB_. A) 40° B) 60° C) 80° D) 70° E)50° 12. Calcular “α _{”, si} BD es bisectriz exterior en el ∆ ABC _. A) 10° B) 20° C) 12° D) 15° E)18°

13. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la bisectriz interior BD. Calcular

HBD

m∠ _{, si}m∠ A =50º _,m∠C =30º_.

A) 20° B) 15° C) 10°

D) 8° E)12°

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se trazan la mediana _BM y la bisectriz _AD ( D en _BM), las cuales se intersecan perpendicularmente, calcular lam∠ACB _.

A) 60° B) 45° C) 72°

D) 30° E)37°

15. En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC.

A) 108° B) 120° C) 150° D) 127° E) 110°

16. En la figura mostrada, calcular le medida del ángulo AEC.

A) 60° B) 40° C) 45°

D)48° E) 36°

17. En un triángulo ABC, se trazan las tres medianas AM, BN y CQ que se intersecan en G. Si AG + BG + CG = 10, calcular la suma de las longitudes de sus tres medianas.

A) 12 B) 20 C) 15

D)30 E) 18

18. En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC.

A) 120° B) 45° C) 75°

D)60° E) 90°

19. Sea el “I” el incentro del triángulo ABC, si AI = 2, CI = 8. calcular el valor entero de AC.

A)6 B)8 C)9

D)10 E) 7

20. Sea el punto “G” baricentro del triángulo ABC y BG = 6, GC = 5 y AC = 8. calcular la medida del ángulo ACG.

A) 53° B) 30° C) 37°