UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN" - TACNA
Facultad de Ingeniería
Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas
GEOESTADÍSTICA PARA LA
ENSEÑANZA UNIVERSITARIA
ING. JORGE SEGURA DÁVILA
TACNA - PERÚ
Presentación Capítulo 1 Introducción 1.1. Geoestadística 1 1.2. Antecedentes Históricos 1 1.3. Síntesis Evolutiva 2 1.4. Definición y Objetivos 3 1.5. Necesidad de la Geoestadística 3 1.6. Aplicaciones de la Geoestadística 4 Capítulo 2
Análisis Exploratorio de Datos
2.1. Conocimiento del Problema 6
2.2. Conceptos Necesarios de Estadística Básica 6
2.3. Porqué un Análisis Estadístico 16
2.4. Conjunto de Datos y Aplicaciones 17
2.5. Curvas Ley Tonelaje 24
Capítulo 3
Geoestadística y Teoría de las Variables Regionalizadas
3.1. Variables Regionalizadas 29
3.2. Notacion Condensada 29
3.3. Ejemplos de Variables Regionalizadas (V.R.) 29
3.4. Campo y Soporte 33
3.5. Variables Aditivas 35
3.6. Objetivos de la Teoria 36
3.7. El Modelo Matemático de La Geoestadística: las Funciones Aleatorias 37
3.8. Función de Distribución y Momentos de una Función Aleatoria 39
3.9. Funciones Aleatorias Estacionarias 40
3.10. Relacion Entre el Semivariograma y la Covarianza 41
3.11. El Correlograma 42
Capítulo 4
Análisis Extructural de Datos
4.1. Variograma Experimental 43
4.2. Parámetros del Variograma 45
4.3. Comportamiento del Variograma para Distancias Pequeñas 46
4.4. Comportamiento del Variograma para Grandes Distancias 49
4.5. Cálculo del Variograma a Malla Regular 52
4.7. Mapa de Variograma 77
4.8. Anisotropías 78
4.9. Problemas más Comunes Encontrados en el Cálculo del Variograma 80
Capítulo 5
Modelamiento de Variogramas
5.1. Modelado de Variogramas 82
5.2. Parámetros del Variograma 82
5.3. Modelos Teóricos de Variogramas 83
5.4. Modelamiento del Variograma Experimental 88
5.5. Casos de Estudio 90
5.6. Problemas en el Modelaje de Variogramas 96
5.7. Validación del Modelo Teórico 97
Capítulo 6
Varianza de Estimación
6.1. Enunciado del Problema: 98
6.2. El Error de Estimación 99
6.3. Análisis de Parámetros 101
6.4. Cálculo de La Varianza de Estimación 102
6.5. Casos de Estudio 105
Capítulo 7 Modelo de Kriging
7.1. Introducción 112
7.2. Las Ecuaciones del Krigeado Ordinario para Bloques 114
7.3. Casos de Estudio del Krigeado Ordinario para Bloques 116
7.4. Krigeado Puntual 123
7.5. Propierdades del Kriging o Krigeado 124
7.6. Casos de Estudio Sobre Krigeado Puntual 129
Referencia Bibliográfica 136
Anexo 1
El presente texto universitario, desarrollado durante el uso de la licencia por año sabático 2011, tiene por objetivo servir a los estudiantes de pre grado como libro de soporte para el aprendizaje de las téc-nicas geoestadisticas aplicadas a la ingeniería de minas y ciencias ambientales. Asimismo puede ser usado en todas las carreras que se imparten en la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann de Tacna y demás universidades a nivel mundial, como texto básico para la enseñanza de la geoestadisti-ca.
La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, han hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obs-tante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, sin embargo son específicas para cada una de las diversas disciplinas del saber.
Actualmente a nivel mundial la Geoestadistica, conocida también como estadística espacial, ha logrado un desarrollo sólido en el campo científico, si bien es cierto que nació en el campo de la minería, hoy en día se viene aplicando en todas las áreas del conocimiento y demás ciencias de la tierra.
Es necesario hacer un merecido reconocimiento a los precursores de esta ciencia por sus valiosos aportes al conocimiento científico, en los nombres de:
Danie Gerhardus Krige, nacido en el Estado Libre de Orange en Sudáfrica, pionero en el campo de la geoestadística y fue profesor en la University of the Witwatersrand en Sudáfrica.
Tomó los trabajos de Sichel (1947; 1949) quien observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en las minas surafricanas, la equiparó a una distribución de probabilidad lognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitió una primera estimación de las re-servas, pero bajo el supuesto de que las mediciones eran independientes, en clara contradicción con la experiencia de que existen “zonas” más ricas que otras.
Una primera aproximación a la solución de este problema fue dada por D.G. Krige (1951) que propuso una variante del método de medias móviles, el cual puede considerarse como el equivalente al krigea-do que, como se verá más adelante, es uno de los métokrigea-dos de estimación lineal en el espacio con ma-yores cualidades teóricas.
Georges Matheron, (1962) desarrolló la técnica denominada kriging basada en la labor investigadora previa de Krige. La formulación rigurosa y la solución al problema de predicción vino de la mano de Matheron, de la Escuela de Minas de Paris, quien es considerado como padre de la Geoestadistica. Formuló la Teoría de las Variables Regionalizadas y definió a la geoestadistica como ¨ la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales¨.
Asimismo un sincero agradecimiento a los hombres de ciencia Andre Journel, Michael David, Margaret Armstrong, Clayton Deutsch, Isobel Clark, Marco A, Sironvalle y demás profesionales, que con sus aportes diarios robustecen la teoría y aplicación de la geoestadistica.
Organización del libro
1.- Introducción: Geoestadística, antecedentes históricos, síntesis evolutiva, definición y objetivos,
necesidad de la geoestadística, y aplicaciones de la geoestadística.
2.- Análisis Exploratorio de Datos: conocimiento del problema, conceptos necesarios de estadística básica, porque un análisis estadístico, conjunto de datos y aplicaciones, curvas ley tonelaje.
3.- Geoestadística y Teoría de las Variables Regionalizadas: Variables regionalizadas, notacion con-densada, ejemplos de variables regionalizadas (v.r.), campo y soporte, variables aditivas, objetivos de la teoria, el modelo matemático de la geoestadística: las funciones aleatorias, función de distribución y momentos de una función aleatoria, funciones aleatorias estacionarias, relacion entre el semivario-grama y la covarianza, el correlosemivario-grama.
4.- Análisis Extructural de Datos: Variograma experimental, parámetros del variograma, comportamien-to del variograma para distancias pequeñas, comportamiencomportamien-to del variograma para grandes distancias, cálculo del variograma a malla regular, cálculo del variograma para mallas irregulares, mapa de vario-grama, anisotropías, problemas más comunes encontrados en el cálculo del Variograma.
5.- Modelamiento de Variogramas: Modelado de variogramas, parámetros del variograma, modelos teóricos de variogramas, modelamiento del variograma experimental, casos de estudio, problemas en el modelaje de variogramas, validación del modelo teórico.
6.- Varianza de Estimación: enunciado del problema, el error de estimación, análisis de parámetros, cálculo de la varianza de estimación, casos de estudio.
7.- Modelo de Kriging: Introducción, las ecuaciones del krigeado ordinario para bloques, casos de es-tudio del krigeado ordinario para bloques, krigeado puntual, propierdades del kriging o krigeado, casos de estudio sobre krigeado puntual.
Finalmente las Referencias Bibliográficas y Anexo.
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.7. GEOESTADÍSTICA
La Geoestadística abarca la mayor parte de las ciencias naturales exactas y su aplicación hoy en día es cada vez mayor, por tanto es nuestro interés dar a conocer en este texto, el uso de las he-rramientas de la Geoestadística a fín de ayudar a los alumnos a interpretar y aplicar las teorías geoestadísticas básicas necesarias en las etapas de exploración, explotación y evaluación de yacimientos.
El punto de partida para la formalización del modelo geoestadístico de un fenómeno natural es el análisis variográfico que sintetiza el comportamiento espacial del mismo y que constituye el cora-zón de la Geoestadística.
1.8. ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Los orígenes de la Geoestadística están en la minería, como antecedentes pueden citarse los trabajos de Sichel (1947, 1949) y Krige (1951), cuyos estudios están referidos al inmenso archi-vo de datos que representan las minas de oro sudafricanas.
El primero observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en las minas sudafricanas, la equiparó a una distribución lognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitía una primera estimación de las reservas, pero suponía implícitamente que los datos eran independientes, en clara contradicción con la experiencia de que existen “zo-nas” más ricas que otras.
Una primera aproximación a la solución de este problema fue dada por Krige, que propuso una variante del método de medias móviles que puede considerarse equivalente al del krigeado sim-ple que, como veremos, es uno de los métodos básicos de estimación lineal.
Observaron que las distribuciones de las leyes son función de las dimensiones del soporte de las muestras. Encontraron experimentalmente la relación de Krige:
D2(v/G) = D2(v/V) + D2(V/G)
Que la Geoestadística demostrará formalmente. A partir de estas consideraciones Krige y Sichel definieron estimadores t insesgados de la ley media de un panel utilizando las características media y varianza de los logaritmos de las leyes de las muestras.
Después, estudiando las regresiones entre las leyes verdaderas de bloques ya explotados y me-dias móviles de las leyes de muestras disponibles a priori, Krige y Ueckermann (1963) definieron nuevos estimadores óptimos no ligados a la hipótesis restrictiva de la lognormalidad.
Estos estimadores de Krige que dieron nombre a la técnica del Krigeage, formalizada mas tarde por Matheron, permiten resolver sin sesgos el problema difícil de la estimación de reservas
des-pués de un análisis exhaustivo de la base de datos.
En resumen la escuela sudafricana da inicio al origen de la Geoestadística, al establecer y acla-rar las nociones claves de:
Correlaciones espaciales.
Influencia de las dimensiones de las muestras o del panel sobre las distribuciones. Sesgos de estimación cuando se efectúan selecciones sobre el mineral.
Sin embargo, para tener una visión de conjunto, es necesario esperar las primeras obras (1955, 1962) de George Matheron, un minero matemático y probabilista quien utilizó el enorme conoci-miento experimental de la escuela sudafricana y adaptando el lenguaje probabilístico a cada realidad concreta, en el Centro de Morfología Matemática de la Escuela de Minas de París; logró formalizar en un lenguaje riguroso las observaciones experimentales de sus antecesores, dando lugar a la teoría formal de la Geoestadística.
En los años sucesivos la teoría se fue depurando, ampliando el campo de validez y reduciendo las hipótesis necesarias, y se desarrollaron las técnicas de aplicación fundamentalmente por las aportaciones de G. Matheron y su equipo de trabajo.
Desde la Minería, las técnicas geoestadísticas se han exportado a otros muchos campos y, como técnica, la Geoestadística ha logrado alcanzar su madurez. En la actualidad, las áreas de trabajo más activas se encuentran por un lado, en el estudio de las implicaciones que sobre las distintas ramas del conocimiento tienen las funciones aleatorias y el formalismo geoestadístico y, por otro lado, en la búsqueda de formulaciones alternativas para la caracterización de la variabilidad es-pacial.
En este contexto cabe destacar la actividad del grupo de la Universidad de Stanford dirigido por A. Journel.
1.9. SÍNTESIS EVOLUTIVA
En la actualidad los dominios de aplicación de la Geoestadística son amplios, sin hacer referen-cia directamente a la minería que es el campo que le dio origen, se pueden mencionar: el petró-leo, en la caracterización de reservorios, en la simulación condicional de variables petrofísicas, en el uso de la sísmica en las estimaciones. En la pesca, en la estimación de provisiones de pe-ces, de variables condicionantes, profundidad, temperatura del agua. En la geofísica marina, en los problemas de filtrar perturbaciones temporales que mezclan el magnetismo espacial, en las características de su cartografía. La Salud: en la distribución espacial de enfermedades, en la exposición de individuos a diversos ruidos. La ingeniería civil, en la construcción de obras de grandes dimensiones, que exigen del conocimiento de la variabilidad espacial de propiedades del terreno. Las finanzas, en la relación entre el análisis técnico con el análisis económico. Los mate-riales, en la previsión de propiedades físicas de los materiales. En la cartografía, la hidrogeolo-gía, el medio ambiente, los campos forestales, el análisis de imágenes, la elección de la red de muestreo.
Muchos, son los ejemplos que se pueden presentar, todos coincide en que a partir del estudio de la variabilidad de sus propiedades, se obtienen elementos para predecir sus características. El desarrollo formal, lo podemos resumir, en lo siguiente:
1962 Teoria formal de la Geoestadística.
1980 Maduración, consolidación. 1990 Aceptación.
2000 Aplicaciones, en diversos campos de la ciencia. 2010 Fortalecimiento científico.
2012 Nuevas aplicaciones en todas las áreas del conocimiento humano, en el campo de la robótica y simulación.
1.10. DEFINICIÓN Y OBJETIVOS DEFINICIONES
G. Matheron, en su forma actual la definió como: “La aplicación del formalismo de las funcio-nes aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales”. A la función aleatoria (F.A) la podemos visualizar como un variable aleatoria (V.A) definida en todos los puntos del espacio, o lo que es igual cada realización de la FA es una función espacial (variable regio-nalizada VR). Lo característico de una FA es que cada realización se puede concebir como suma de una componente estructurada y otra aparentemente errática.
Una VA es una función numérica de los puntos de un espacio muestral X Rn(-,+).
La Geoestadística es la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a los proble-mas de reconocimiento, de estimación y de economía minera.
OBJETIVOS
Expresar las características estructurales Z(x) en una forma matemática adecuada (modelo). - Continuidad
- Anisotropía
Resolver de manera satisfactoria los problemas de estimación - Definir estimadores óptimos
- Encontrar intervalos de confianza, cuantificación del error 1.11. NECESIDAD DE LA GEOESTADÍSTICA
Todos sabemos que en los yacimientos, las leyes siguen una determinada función de distribución y que no varían al azar, sin embargo, con mucha frecuencia ese hecho no se toma en cuenta al momento de la cubicación o estimación de reservas. Los procesos de concentración de materias primas y elementos valiosos que conforman un yacimiento, son procesos naturales que se ciñen a ciertos patrones y que por lo tanto no son productos del azar; por consiguiente no se puede es-tudiar un yacimiento por el método estadístico simple o por los métodos clásicos cuya primera condición a priori es suponer (erróneamente por cierto) que los fenómenos geológicos son com-pletamente aleatorios que no se rigen por patrones determinados.
Supongamos que las leyes de una veta, tomadas a distancias diferentes de muestreo, a lo largo de una galería presenta la siguiente distribución.
TRAMO A
Ley Z(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Muestra ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
TRAMO B
Ley Z(x) 3 2 4 6 1 5 1 3 2 4 5
Muestra ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
El estimador estadístico clásico encontraría para ambos tramos las mismas medias y varianzas, e incluso hasta el mismo histograma; por lo tanto supondrá que en ambos tramos la veta se puede cubicar y trabajar en la misma forma. Esta simplificación es errónea, ya que podemos ver que en el tramo A existe un cierto patrón de distribución de las leyes, con una zona central rica que se va em-pobreciendo hacia ambos lados; mientras que en el tramo B, se trata de una distribución más al azar.
Lamentablemente en una mina con muchos niveles, muchos metros de galería y miles de mues-tras, analizadas quizás por varios metales, no será tan fácil reconocer a simple vista, si existe o no algún patrón de distribución o estructura.
Necesitamos de una técnica con elementos más poderosos, y que (por el afán de simplificar el problema) no comience justamente por ignorar lo que deseamos encontrar: Que función rige la distribución de las variables en un yacimiento; es decir, una relación matemática que nos informe cómo varían las leyes, la potencia, el peso específico y otros parámetros mensurables en el ya-cimiento. La mejor herramienta actual para estudiar la distribución de tales variables es la GEO-ESTADISTICA; esta rama de la geomatemática emplea para ello la denominada función Vario-grama, que es su herramienta básica.
1.12. APLICACIONES DE LA GEOESTADÍSTICA
La Geoestadística se aplica a diversos problemas de caracterización del fenómeno natural y a la estimación de las variables regionalizadas.
CAMPOS DE APLICACION
DOMINIO DE LA APLICACIÓN VARIABLES ESTUDIADAS
Industria minera Acumulación de Leyes y Potencia
Geología Peso específico, Porosidad, fallas y
discontinui-dades
Industria Petrolera Potencia de mantos, Porosidad y Sondajes
Geoquímica Investigación de Elementos
Oceanografía Fondos Marinos y Población de Peces
Hidrogeología Conductividad Hidráulica, Coeficientes de
Alma-cenamiento, Niveles Piezométricos y Concentra-ción.
Meteorología Presión, Velocidad del Aire, Lluvia y temperatura.
Agronomía Densidad de Arboles y Plagas
Topografía Elevaciones
Medio Ambiente Variables de contaminación en aire, agua y
sue-los.
APLICACIONES EN MINERIA
Control de calidad y control de datos. Verificación de datos.
Modelamiento geológico: Es muy importante la relación entre la Geología y la Geoestadísti-ca, las mismas que deben estar en comunicación.
Evaluación preliminar de recursos. Optimización de programas de muestreo. Modelamiento de depósitos.
Selección de métodos de minado. Estimación de reservas de mineral. Evaluación de yacimientos.
Análisis de riesgo. Análisis económico.
Desde que G.Matheron (1962,…,1965) registra la partida de nacimiento de la Geoestadística, se puede afirmar que esta técnica llega al Perú recién en el año 1970, apartir del año 1974 se han estudiado varios yacimientos, a tal nivel que incluso en algunas publicaciones periódicas y textos de Geoestadística editados en otros países (como Francia, Australia, Inglaterra, Canadá, Chile, etc.),se citan algunos casos peruanos; por ejemplo Journel & Huijbregts(1978) en su exelente li-bro Mining Geostatistics incluyen el estudio del yacimiento de Michiquillay como caso típico de estimación de reservas en pórfidos de cobre, emplearon para ello los resultados del estudio geo-estadístico de Minero Perú (Ex empresa estatal), por los años 1975, 1976.
Mas adelante se incluye en el mismo libro, los resultados del estudio geoestadístico de la veta argentífera de la mina Uchucchacua, como ejemplo típico de evaluación de reservas en yaci-mientos del tipo veta.
En la actualidad, el Perú experimenta un desarrollo cada vez mayor de la aplicación de la Técni-ca GeoestadístiTécni-ca a los diversos problemas de la Industria Minera y el medio ambiente, debido al boom minero que sigue atrayendo cada vez mas a los inversionistas extranjeros, dado el proceso de desarrollo económico con inclusión social que el gobierno lleva adelante.
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS
2.6. CONOCIMIENTO DEL PROBLEMA
Antes de comenzar un estudio geoestadístico se deben discutir todos los elementos que aporten conocimientos del problema a resolver, la estructura geológica en que se desarrolla la minerali-zación o el fenómeno en estudio, organiminerali-zación y verificación de la información disponible y final-mente realizar el análisis exploratorio de los datos.
Una vez obtenido los datos, es necesario que se controlen integralmente a fin de verificar de una parte su exactitud y de otra su representatividad. Es importante que se esté familiarizado con los datos, discutir todos los elementos necesarios a fin de conocer el problema a resolver (Armstrong y Carignan, 1997). En la minería los resultados son muy sensibles al nivel de información usado (Carrasco-Castelli y Jara-Salame, 1998; Lantuéjoul, 1994), cualquier modificación involuntaria en la etapa inicial se refleja sistemáticamente durante todo el estudio (Armstrong y Roth, 1997; Armstrong y Carignan, 1997).
El análisis y el procesamiento de los datos mineros, están basados en las herramientas que nos ofrece la Geoestadística, la misma que incorpora la localización de las muestras en el espacio. El problema a resolver implica dos pasos fundamentales:
1ro. Caracterizar e interpretar el comportamiento de los datos referidos a las muestras existen-tes.
2do. Usar la interpretación para predecir los valores probables respecto a situaciones descono-cidas.
2.7. CONCEPTOS NECESARIOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA
Con el objetivo de conocer la información disponible se puede hacer un análisis de la estadística descriptiva (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977). A continuación se presenta un resumen de los conceptos necesarios de estadística básica.
A: Cálculos estadísticos o estadística descriptiva. Permiten determinar si la distribución de los datos es normal, lognormal, o si no se ajustan a una distribución estadística, lo cual implica tener conocimiento de:
1.- Numero de casos: Es el número de valores muestreados del fenómeno en estudio, represen-tados por n y los datos por xi, i = 1, . . . , n, que llamamos distribución.
2.- Rango de la distribución: Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo. 3.- Media: Es la media aritmética de la distribución, dado por la fórmula:
m i i n
X
n X
1 1n = número de datos contenidos en la muestra.
4.- Moda: Es el valor más frecuente de la distribución.
5.- Mediana: Es el valor para el cual la mitad de los datos son menores y la otra mitad están por encima de este valor.
Si ordenamos los datos en orden ascendente podemos calcular la mediana como. X(n+1)/2 si n es impar.
M =
(Xn/2+ Xn/2+1)/2 si n es par.
La mediana es también llamada percentil 50, además los datos no solo se dividen en dos grupos, sino que se pueden dividir en cuatro partes, cuartiles, donde Q1= percentil 25, Q2 = Mediana y
Q3= percentil 75, si los datos se dividen en 10, tenemos los deciles. De forma general estas
me-didas se pueden calcular por:p(n+1)/100 ésima observación de los datos ordenados ascenden-temente, donde p es el percentil que se desea calcular.
6.- Varianza: Describe la variabilidad de la distribución. Es la medida de la desviación o disper-sión de la distribución y se calcula por:
2 2 1 1 1
n iX
iX
m nn = número de datos contenidos en la muestra.
Xi= valor de cada variable en el conjunto de datos (muestra).
Xm= media o valor promedio del conjunto de datos.
La razón principal por la que se aboga por la división entre n-1 en la estimación de la varianza, es porque proporciona un mejor estimado; si dividimos por n-1 nos referimos a la varianza muestral S2 como un estimador insesgado de la varianza poblacional2. Esto significa que si un
experi-mento fuera repetido muchas veces se podría esperar que el promedio de los valores así obteni-dos para S2igualaría a2.Por otra parte si dividimos entre n los valores obtenidos para S2serían
como promedio demasiado pequeño, sin embargo cuando tenemos muestras mayores a 100 da-tos, los resultados de la varianza muestral y poblacional tienden a ser iguales.
7.- Desviación estándar: Describe la tendencia o dispersión de la distribución. Es la medida de desviación alrededor de la media. Se calcula por:
= 2
8.- Coeficiente de asimetría: Describe la simetría de la distribución relativa a la distribución normal. Se calcula por:
3 3 1 3 1
n i Xi Xm S nn = número de datos contenidos en la muestra
Xi= valor de cada variable en el conjunto de datos (muestra)
Xm= media o valor promedio del conjunto de datos.
S3= momento de tercer orden.
En la distribución normal la asimetría tiene valor cero, un valor negativo indica una cola a la iz-quierda y un valor positivo indica una cola a la derecha.
9.- Curtosis: Describe el grado de esbeltez de la distribución, tomado por lo general en relación a una distribución normal, y se puede calcular por:
4 4 1 4 1
n i Xi Xm S nn = número de datos contenidos en la muestra
Xi= valor de cada variable en el conjunto de datos (muestra)
Xm= media o valor promedio del conjunto de datos.
S4= momento de cuarto orden.
La distribución normal tiene curtosis igual a tres, y es llamada mesocúrtica. A las distribuciones más agudas, con colas relativamente anchas, se les llama leptocúrticas, tienen valores de curtosis mayores que tres, y las distribuciones más bien achatadas en el centro se llaman platicúrticas, tie-nen valores menores que tres, en ocasiones se acostumbra a definir la curtosis como4- 3.
10.- Error estándar: Describe el grado de conocimiento de los datos y se puede calcular por: = 2
/ n
La distribución normal tiene un valor de error estándar menor que 1.25 y la distribución lognormal o una distribución con tendencia positiva, tiene valores de error estándar mayores que 1.25. 11.- Coeficiente de variación: Es una medida de la variación relativa de los datos y puede ser
calculado por: CV = S/Xm y en porcentaje como: 100 CV = 100 (S/Xm) % CV = coeficiente de variación S = desviación estándar Xm= media
Proporciona una comparación entre la variación de grandes valores y la variación de pequeños valores. Las técnicas de Geoestadística Lineal que predomina en el campo de las geociencias producen los mejores resultados cuando el coeficiente de variación es menor que uno, CV 1. Para CV 1 se recomiendan técnicas de Geoestadística no Lineal.
12.- Prueba Chi-Cuadrado: Permite determinar si la distribución es normal, lognormal o alguna otra distribución probabilística, es su lugar puede ser usada la prueba “Kolmogorov Smir-nov” como se refleja por muchos autores es más robusta.
13.- Prueba t-Student: Permite determinar si en una distribución bimodal las medias de las po-blaciones son estadísticamente diferentes.
B: Construcción de gráficos estadísticos: Estos gráficos permiten ilustrar y entender las distri-buciones de los datos, identificar datos errados, valores extremos, los mismos incluyen: 1.- Mapa base, sección cruzada y vista en perspectiva: Son usados para visualizar la relación
espacial en 2 y 3 dimensiones, permiten encontrar errores en la información.
2.- Histogramas: Son usados para ver las características descriptivas de la distribución. Es un gráfico de barras donde en las abscisas aparecen los límites de las clases y en las ordena-das las frecuencias correspondientes a cada clase.
3.- Frecuencia acumulativa: Usado para identificar el tipo de distribución muestral y ayuda a de-terminar si están presentes poblaciones mixtas. Es un gráfico de límite de clase contra fre-cuencia acumulada.
En el caso de gráficos estadísticos es útil usar los gráficos de frecuencia absoluta, relativa, acu-mulativa y el diagrama de dispersión, como se presenta en muchos sistemas.
Todos estos elementos permiten decidir sobre las condiciones de estacionaridad vistas anterior-mente. Muchos autores sólo toman como elementos fundamentales de estadística básica que: la media y la mediana tome valores próximos; el coeficiente de variación sea inferior a 1; la distribu-ción de los datos esté próxima a la curva normal y no existan valores extremos que afecten el desarrollo del análisis estructural.
4.- Distribución Normal:
La distribución normal o gaussiana es el modelo más importante y de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Un gran número de estudios indican que la distribución normal proporciona una adecuada representación de las distribuciones de una gran cantidad de variables físicas.
DEFINICION: Se dice que una V.A. X se encuentra normalmente distribuida si su función de densidad de probabilidad esta dada por:
2 2 1 * 2 1 ) , ; ( x e x f para - < x < - < < > 0
El parámetro no influye en la forma de la curva f(x), su variación conduce a un desplazamiento de la curva a lo largo del eje x.
La variación del parámetro, altera la forma de la curva f(x). RESUMEN DE MEDIDAS
xf x dx x E( ) ( ) ) (x E
xi n 1 2 2 ) (x E
n x x n i i 2 2 2 1 Limites de confianza para n>25 Central 68%
x;x
Central 95%
x1.96;x1.96
Central 99.7%
x3;x3
DISTRIBUCION DE LA MEDIA Media = x Varianza = n n 2 2 Limites de confianza para n>25
Central 68% n x n x ; Central 95% n x n x 1.96 ; 1.96
Central 99.7% n x n x 3 ; 3
Limites de confianza para n<25 Límite central (1-2p) n T x n T x P ; P
5.- Función de Distribución Acumulativa:
La probabilidad de que una V.A. normalmente distribuida X sea menor ó igual a un valor específico x, esta dada por la función de distribución acumulativa F(x)
x F x x Exp t dt X P 2 2 1 2 1 , ; ) ( Esta integral no puede evaluarse en forma cerrada, sin embargo se puede tabular F(x;,) como una función de y , lo que necesitaría una tabla para cada par de valores. Como existe un núme-ro infinito de valores de y , esta tarea es virtualmente imposible.
6.- Distribución Normal Standard: Ecuación de transformación x z
Donde y son la media y la desviación estándar de X respectivamente. De acuerdo con lo ante-rior Z es una V.A. estandarizada con media 0 y desviación estándar 1, lo que nos conduce a la Ley Normal Reducida (LNR)
X x
P
Z z
Función de densidad de probabilidad (PDF) 2 2 1 ) ( 2 z Exp x f
Función de distribución acumulativa
Si: P(X x)P(Z z)Fx(x;,) Fz(z;0,1)
Donde Fz(z;0,1) es la función de distribución acumulativa de la función de probabilidad normal
es-tandarizada, la misma que se encuentra tabulada en forma extensa.
z Fz z z Exp t dt Z P 2 2 1 1 , 0 ; 2Para cualquier valor específico de z, el correspondiente valor en la tabla es la probabilidad de que la V.A. normal estandarizada Z sea menor o igual a z.
7.- Modelo Log Normal:
Se dice que una variable aleatoria X sigue un Ley Lognormal, si su logaritmo (neperiano, base e) sigue una Ley Normal. Su función de densidad de probabilidad viene expresada de la siguiente manera: 0 ... 0 0 ... * 2 * 1 ) ( 2 ln 2 1 x x e x x f e e x ó x d e x f e e x ln 2 1 ) ( 2 ln 2 1
Considerando la constante de aditividad , tendríamos:
x e x x f x .... 1 * * 2 1 ) ( 2 ) ln( 2 1 PARÁMETROSSi los datos se asemejan a una distribución lognormal, la población se puede definir como una po-blación lognormal de dos parámetros, siendo estos parámetros la media y la varianza de la pobla-ción logarítmica. Entonces el valor verdadero de la ley media se puede obtener con la fórmula:
2 2 e e e 2 2
ee2 1
donde:
= valor estimado de la Ley Media.
e
= Media de la distribución de los logaritmos de las leyes.
e
= Desviación estándar de la distribución de los logaritmos de las leyes. 2
= Varianza estimada de las leyes.
Puede ocurrir que, al representar los datos logarítmicos en un diagrama de probabilidad, no se ajusten exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el ajuste, lo que es indicativo de la presencia de una población lognormal de tres parámetros. Este tercer parámetro, denomina-do constante aditiva, se calcula como:
50 75 25 25 75 50 * 2 * x x x x x x Siendo los xilos valores de los percentiles correspondientes a cada caso.
Este valor se añade a la población original de datos (sin transformar logaritmicamente) y, a conti-nuación, se realiza la transformación logarítmica, obteniéndose una nueva población ln(xi+) que,
representada en el papel probabilístico, sí genera ya una línea recta.
Para calcular, en este caso, el valor de la ley Media, se aplica el procedimiento descrito para la po-blación de dos parámetros, sustrayéndose el valor de la constante aditiva del resultado final. Las fórmulas quedarían: 2 2 e e e
1
) ( 2 2 2 e e TRANSFORMACIÓN Si z LnxObtendríamos la siguiente función de probabilidad Normal
2 2 1 * 2 1 ) ( z e x f 8.- Modelo estandarizado: Sí, x Ln Ln Lnx t 1 De donde obtenemos:
t Ln Lnx en términos de diferenciales: x dt dx
reemplazando esta expresión en la ley normal
x dx e dx x f x ln 2 ln 2 1 2 1 ) (
Obtenemos el siguiente modelo estandarizado.
dt e t F
t t 2 2 1 2 1 ) ( En esta función de distribución acumulada, t se constituye como una variable aleatoria normal re-ducida de valor medio = 0 y varianza igual a 1; cuyos valores se encuentran en tablas.
LIMITES DE CONFIANZA
Para datos originales, los mismos que la distribución normal. 2.8. PORQUE UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Al inicio hablamos de diferentes problemas y la necesidad de predecir las variables donde no te-nemos información de muestreo. Esto implica buscar una aproximación estadística. Efectivamen-te dentro del marco conceptual del trabajo par un análisis estadístico.
Nosotros podemos enfocar el problema de la siguiente manera: - Detalles a considerarse dentro del caso de estudio.
- Caracterización e interpretación del comportamiento de las muestras de los datos alrededor de la vecindad espacial.
- Combinar las variables asumidas, la interpretación y la teoría estadística para pro-ducir el "Mejor" estimador para el valor desconocido.
- Usar la base teórica para proveer medidas de incertidumbre o confianza en la "Me-jor" estimación.
La base teórica de la Geoestadística incorpora a la teoría de la estadística clásica y obtiene los mismos resultados cuando la variable asume un comportamiento aleatorio.
El área de influencia donde los datos muestran una correlación espacial, están dados por una distancia ¨a¨, entonces habrá una relación estructural entre las muestras, un grado de dependencia entre ellas, que es estudiada por la Geoestadistica. En cambio cuando no hay ninguna relación en-tre las muestras del conjunto de datos, se dice que hay una independencia enen-tre sus valores y se puede observar un comportamiento aleatorio entre las mismas, la Geoestadistica en estas zonas de independencia de valores, encontrara los mismos resultados que la estadística clásica.
2.9. CONJUNTO DE DATOS Y APLICACIONES
1.- CASO DE ESTUDIO CON DATOS DE UNA MINA DE CARBÓN.
Conjunto de datos simulados sobre un estrato real de carbón en el Africa el Sur. Los taladros perfo-rados sobre el estrato de carbón son medidos para encontrar la siguiente información: espesor (mts), contenido de energía o valor calorífico del carbón (expresado en Megajoules por Ton.), con-tenido de ceniza (%) y concon-tenido de sulfuros (%).
Las tres coordenadas expresadas en metros son medidas desde arriba (collar) del estrato del car-bón donde es intersectado por el taladro.
SOFTWARE: Para los ejemplos del TEXTO puede utilizarse el software Geostokos (Ecosse) dise-ñado especialmente para la enseñanza y que corre bajo la plataforma de windows 98/2000 y NT. Este programa puede bajarse desde internet:
Otras herramientas alternativas, usadas en el presente texto, son los siguientes software: Geoeas, Variowin, Surfer, Excel, Etc. Asimismo existen en Internet una diversidad de programas y demos de libre disposición, a los cuales puede acudir el alumno.
COAL PROJET DATA
MUESTRA (ID) ESTE (mts) NORTE (mts.) ELEVACION (mts) POTENCIA (mts) VALOR CA-LORIFICO (MJ) CENIZA (%) SULFUROS (%) 01 9500 12600 605,90 1,84 22,26 19,29 0,83 02 9650 12600 605,10 1,73 21,36 19,97 0,78 ... ... 96 11000 14100 606,90 1,69 25,57 14,63 1,03
Los datos completos, son presentados en anexos del presente texto.
La variable a ser estudiada será el valor calorífico, expresado en (MJ). Daremos un procedimiento para diseñar la tabla de frecuencias que nos conducirá a construir gráficos y mediante un análisis cualitativo ver si estos datos siguen un modelo normal o log normal, que serán confirmados por análisis estadísticos cuantitativos.
Procedimiento para el diseño de la tabla de frecuencias: Después de haberse recopilado la in-formación de campo y organizado en una base de datos, se elige la variable a ser analizada y se procede a construir una Distribución de Frecuencias, para facilitar el análisis y la interpretación co-rrespondiente. La estructura de la tabla es la siguiente:
INTERVALO Xi fi hi Fi Hi hi*100 Hi*100
[L1,L2)
[L2,L3)
… [Lk-1,Lk]
Procedimiento de cálculo
1. Determinar el rango (R) de variación de los datos.
R = Xmax - Xmin (diferencia entre el dato máximo y mínimo).
2. Determinar el número de intervalos (K) en forma directa, seleccionando un número entre 5 y 30 intervalos, o calcularlo mediante la fórmula de Sturges, cuyo resultado debe ser re-dondeado al entero inmediato superior.
K = 1 + 3.3log(n) n >= 10
3. Determinar la amplitud o ancho del intervalo (W) W = R / K
4. Determinar los límites de los intervalos L1= [Xmin, Xmin+ W) L2= [Xmin+ W, Xmin+ 2W) L3= [Xmin+ 2W, Xmin+3W) … Lk= [Xmin+ (k-1)W, Xmin+ KW] Presentación de datos
Los datos pueden ser presentados mediante los siguientes gráficos: Histograma de frecuencias. Polígono de frecuencias. Histograma acumulado. Gráficos de variabilidad. Grafico de probabilidad. Otros.
Cálculos previos para la construcción de la tabla de frecuencias, usando los datos de la mina de carbón. VARIABLE VALOR n 96 min 19,92 max 30,46 Rango 10,54 k 8 w 1,32 Distribución de fre-cuencias INTERVALOS Xi fi hi Fi Hi hi*100 Hi*100 Li Ls 19,920 21,240 20,580 9 0,094 9,000 0,094 9,375 9,375 21,240 22,560 21,900 13 0,135 22,000 0,229 13,542 22,917 22,560 23,880 23,220 15 0,156 37,000 0,385 15,625 38,542 23,880 25,200 24,540 21 0,219 58,000 0,604 21,875 60,417 25,200 26,520 25,860 15 0,156 73,000 0,760 15,625 76,042 26,520 27,840 27,180 11 0,115 84,000 0,875 11,458 87,500 27,840 29,160 28,500 8 0,083 92,000 0,958 8,333 95,833 29,160 30,480 29,820 4 0,042 96,000 1,000 4,167 100,000
Construcción del histograma XiVS fi: HISTORAMA 0 5 10 15 20 25 20,580 21,900 23,220 24,540 25,860 27,180 28,500 29,820
Cualitativamente observamos que los datos siguen un modelo Normal, con una tendencia hacia la zona central, que aproximadamente equidistan de los extremos.
HISTOGRAMA ACUMULADO 0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000 20,5 80 21,9 00 23,2 20 24,5 40 25,8 60 27,1 80 28,5 00 29,8 20
Gráfico acumulado XiVS Fi, con crecimiento ascendente.
Variabilidad 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 9500 9650 95001070 0 1040 0 1025 0 1025 0 98001010 0 9800 9650 9800
MEDIDAS ESTADISTICAS CUANTITATIVAS, CALCULADO CON EL PRO-GRAMA GEOEAS.
Grafico de probabilidad, basado en la recta de Henry, para demostrar la normalidad del conjunto de datos, obsérvense las medidas estadísticas, cuyos valores confirman que los datos siguen una Dis-tribución Normal, con parámetros, media igual a 24.624 MJ y varianza de 6.043 o desviación es-tándar de 2.458 MJ.
El valor de la media y la mediana, tienden al valor de 24.6 MJ. lo que quiere decir que el valor es bastante representativo, con un coeficiente de asimetría (Skewness) de 0.228, que confirma el sesgo mínimo de la data.
2.- CASO DE ESTUDIO CON DATOS DE UNA MINA DE ORO
Las muestras tomadas en un yacimiento de oro, configuran los siguientes datos expresados en gr/ton.
0,1 0,2 0,5 1,0 1,2 2,1 2,5 3,0 5,1 10
Calcular las medidas estadísticas, analizar la variabilidad de los datos y la tendencia hacia un modelo Normal o Log Normal.
Estructura de datos para un cálculo manual
ID Xi (Xi - Media)^2 (Xi - Media)^3 (Xi - Media)^4 Hi*100
1 0,1 6,101 -15,069 37,220981 10 2 0,2 5,617 -13,312 31,549566 20 3 0,5 4,285 -8,870 18,360368 30 4 1 2,465 -3,870 6,075732 40 5 1,2 1,877 -2,571 3,522754 50 6 2,1 0,221 -0,104 0,048797 60 7 2,5 0,005 0,000 0,000024 70 8 3 0,185 0,080 0,034188 80 9 5,1 6,401 16,194 40,971521 90 10 10 55,205 410,172 3047,580984 100
Aplicando las formulas estadísticas, tenemos los siguientes resultados: Medida Valor media 2,570 mediana 1,650 Var 8,236 desv std 2,870 CV (%) 111,668 Q1 0,350 Q3 2,750 IQR 2,400 moment3 38,265 moment4 318,536 sk 1,619 E 1,696 histograma 0 1 2 3 4 5 6 1 3 Xi5 7 9 fi
Asociado al conjunto de datos de la mina de oro, observando el histograma y las medidas estadísticas, notamos que hay valores OUTLIERS, fuera de la vecindad del conjunto y uno de esos valores es el dato cuyo valor tiene 10 gr/ton, lo que hace que la distribución tenga un sesgo pronunciado con tendencia al modelo Log Normal y el valor de la media no es representativo ya que tiene una tendencia hacia los valores altos, mostrándose una gran diferencia entre el valor de la media y la mediana (0.92 gr/ton).
Esto implica que no podemos seguir con nuestro análisis, ya que primero tenemos que homogenizar nuestra data para no arrastrar errores, que podrían repercutir más adelante cuando uno haga estimaciones y modelamientos, los mismos que devendrían en no con-fiables.
Vamos a eliminar el valor alto de 10 gr/ton de la data y veamos ahora cual es el compor-tamiento el modelo y sus medidas estadísticas.
Medida Valor Media 1,744 Mediana 1,200 Var 2,336 desv std 1,528 CV (%) 87,611 Q1 0,275 Q3 2,400 IQR 2,125 Moment3 3,290 Moment4 16,156 Sk 0,921 E -0,039
histograma 0 1 2 3 4 5 6 1 3 Xi5 7 9 fi
El modelo Log Normal está más definido y ahora la diferencia entre la media y la mediana es menor (0.54 grs/ton).
Los alumnos ahora comprenderán porque es necesario hacer el análisis estadístico, previo a un análisis espacial o geoestadistico, el objetivo es no incurrir en mayores errores.
3.- CASO DE UN YACIMIENTO DE ORO CON 30 DATOS. Leyes en grs/ton. ID Xi ID Xi ID Xi 1 0,1 11 0,6 21 0,4 2 5,5 12 1,4 22 0,5 3 0,5 13 6,8 23 1,5 4 1,0 14 5,1 24 2,3 5 1,2 15 8,4 25 3,2 6 2,1 16 4,2 26 2,9 7 2,5 17 0,3 27 4,3 8 3,0 18 1,5 28 3,8 9 5,1 19 1,8 29 7,2 10 10,0 20 2,2 30 4,9
Histograma deducido en base a una tabla de frecuencias.
Yacimiento de Oro 0 2 4 6 8 10 12 14 1,0 2,7 4,4 6,1 7,8 9,5 xi fi
Observamos claramente que los datos tienden a un modelo Log Normal.
El gráfico de probabilidad, nos muestran que estos datos no siguen una Distribución Normal, ya que no se alinean a una recta, sobre todo en los primeros datos. La asimetría o sesgo es evidente por los valores mostrados del coeficiente Skewness de 1.019, que indica el sesgo existente en el conjunto de datos, demostrando la aproximación a un modelo Log Normal.
Haciendo la transformación logarítmica de los datos con Yi= Ln (Xi), obtenemos una distribución
normal, con los siguientes resultados:
Estos valores logarítmicos, se aproximan a una distribución normal, obsérvese la similitud de los valores de la media y la mediana, con un coeficiente de asimetría Skewness, míni-mo de -0.031.
Estimación de los parámetros del modelo Log Normal, en unidades el conjunto de datos.
Reemplazando los valores logarítmicos en las formulas, obtenemos:
2 2 e e e
54 . 3 2 541 . 0 995 . 0 e 54 . 3
2 1
2 2 e e
1
) 54 . 3 ( 2 0.541 2 e 99 . 8 2 3 Entonces decimos, que la data del yacimiento de oro, sigue un Modelo Log Normal con parámetros, media igual a 3.54 grs/ton y con una varianza de 8.99 o una desviación están-dar de 3 grs/ton.
2.10. CURVAS LEY TONELAJE
Las aplicaciones de las Curvas Ley Tonelaje nos permiten analizar el comportamiento de un con-junto de datos de un determinado yacimiento minero, en cuanto a sus recursos económicamente explotables de acuerdo a una Ley mínima o Cutt Off. Con lo que se puede presentar varias alter-nativas, en función a sus reservas. Según el modelo que siga cada yacimiento, tendrá un procedi-miento especifico.
1.- Curvas Ley Tonelaje cuando el yacimiento sigue un Modelo Normal Proporción de mineral sobre una ley de corte
z F P 1 xc z
z z dt t Exp z F 2 2 1 1 , 0 ; 2(tabla Distribución Normal Standar) Ley promedio recuperable
* (z) P x xc 2 exp 2 1 ) ( 2 z z 2.- Curvas Ley Tonelaje cuando el yacimiento sigue un Modelo Log Normal Cálculo de parámetros logarítmicos
Paso Previo, cuando los parámetros están expresados en unidades logarítmicas. Cuando los datos estadísticos están referidos al cálculo original de las muestras x ,
enton-ces es neenton-cesario calcular previamente los parámetros logarítmicos para después proceder con el método normal.
2 1 2 2 x S Ln Se xe Ln
x 0.5
se2 donde: 2 es = Varianza de los logarítmicos.
2
s = Varianza muestral original.
2
x = Media muestral original.
e
x = Media de los logarítmicos.
Cálculo de la proporción del tonelaje minable (P) Evaluación de Z e e c X LnX Z o 2 1 c e e x Ln Z Z = t dt e t F
t t 2 2 1 2 1 ) ( (tabla)
t F P 1Ley promedio recuperable (Xlc)
x P Q Xlc *
z se
F Q 1
z se
F valor calculado o de tabla
También se puede usar la siguiente fórmula.
2 1 2 1 e c e e c e c x Ln F x Ln F x F(z) = Tabla3.- Aplicaciones de las Curvas Ley Tonelaje.
1. Caso de estudio de un depósito de hierro: Tenemos un depósito de hierro, el cual se conoce que las muestras siguen una distribución normal con un ley promedio del 48% y
una desviación estándar del 5%. Asimismo el modelo de bloques del yacimiento nos da una desviación estándar del 4.45%.
Analizar las incidencias de las dos distribuciones en el cálculo de la Ley/Tonelaje.
Representaremos los modelos en función a sus parámetros y utilizando las formulas del modelo normal y cálculos efectuados en el programa Excel, para reproducir las funciones de densidad de probabilidad. Distribución Normal -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x f( x ) Muestras Bloques
Modelo normal para muestras y bloques.
Calculo del Tonelaje y Ley para varias leyes de corte, usando el programa Excel y las for-mulas expuestas anteriormente, para el Modelo Normal.
L.C. MUESTRAS BLOQUES P(%) L.MEDIA P(%) L.MEDIA 40 94,52 48,59 96,39 48,37 42 88,49 49,10 91,12 48,79 44 78,81 49,84 81,56 49,45 46 65,54 50,81 67,34 50,38 48 50 51,99 50 51,55 50 34,46 53,34 32,66 52,91 52 21,19 54,84 18,44 54,43 54 11,51 56,44 8,88 56,06 56 5,48 58,12 3,61 57,77
Cada Ley de Corte, representa una alternativa de explotación con una proporción de tone-laje económicamente explotable con su respectiva Ley, para cada modelo de muestras y bloques. Generalmente un yacimiento se explota en base al modelo de bloques, en este caso, por ejemplo si las condiciones de la tecnología y el mercado determinan utilizar una Ley de Corte de 44 %, entonces tendríamos el 81.56 % de mineral económicamente explo-table con una ley promedio de 49.45 %.
Ley de Corte/Tonelaje 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 35 40 45L.C 50 55 60 P Muestras Bloques
Curvas Ley de Corte/Tonelaje, para el modelo de muestras y bloques del depósito de hie-rro.
Ley de Corte/Ley Media
45 50 55 60 35 40 45LC 50 55 60 L e y M e d ia Muestras Bloques
Curvas Ley de Corte/Ley media, para el modelo de muestras y bloques del depósito de hie-rro.
2. Caso de estudio de un yacimiento de Pb y Zn.
Tomemos el caso de un yacimiento de Pb, Zn, donde el porcentaje de metal combinado es la variable económica. Se conoce que las muestras están distribuidas lognormalmente con un valor promedio del 12% y una desviación estándar del 8%.
La unidad de minado seleccionada es un bloque de 10x10x5 mts., cuya desviación están-dar es igual a 5.56% de metal combinado.
Analizar las incidencias del cálculo de la Ley/tonelaje.
Representaremos los modelos en función a sus parámetros y utilizando las formulas del modelo lognormal y cálculos efectuados en el programa Excel, para reproducir las funcio-nes de densidad de probabilidad.
FUNCION DE PROBABILIDAD LOGNORMAL 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 10 20 30 40 50 X f( x ) muestras bloques
Función de probabilidad para el Modelo Log Normal para muestras y bloques.
Calculo del Tonelaje y Ley para varias leyes de corte, usando el programa Excel y las for-mulas expuestas anteriormente, para el modelo Log Normal.
L.C. MUESTRAS BLOQUES P(%) L.MEDIA P(%) L.MEDIA 4 93,29 12,637 98,11 12,159 5 87,12 13,213 94,17 12,459 6 79,76 13,924 87,60 12,941 7 71,92 14,734 78,95 13,579 8 64,12 15,616 69,19 14,338 9 56,69 16,550 59,23 15,188 10 49,83 17,523 49,77 16,105 11 43,62 18,525 41,20 17,072
Cada Ley de Corte, representa una alternativa de explotación con una proporción de tone-laje económicamente explotable con su respectiva Ley, para cada modelo de muestras y bloques. Generalmente un yacimiento se explota en base al modelo de bloques, en este caso, por ejemplo si las condiciones de la tecnología y el mercado determinan utilizar una Ley de Corte del 7 %, entonces tendríamos el 78.95 % de mineral económicamente explo-table con una ley promedio de 13.579 %.
CAPÍTULO 3
GEOESTADÍSTICA Y TEORÍA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS
3.1. VARIABLES REGIONALIZADAS
En términos mineros se define la geoestadística como la aplicación de la teoría de las variables re-gionalizadas a la estimación de los recursos mineros.
Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural, abreviada generalmente como V.R.
Sea x un punto del espacio. Se designa la variable regionalizada por la notación z(x). 3.2. NOTACION CONDENSADA
Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que en geoestadística se utiliza la notación condensada: Un punto del espacio se representa por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente, z(x) puede significar:
z(x) si el problema es unidimensional (1-D)
z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)
z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)
Se observa que existen problemas de notación: Se acostumbra a designar una variable regionali-zada con la letra z, lo cual coincide con la notación utiliregionali-zada para la cota o elevación.
3.3. EJEMPLOS DE VARIABLES REGIONALIZADAS (V.R.)
Ejemplo 1: En el espacio de una dimensión, sea z(x) = Ley de Cu a lo largo de una galería:
Figura 3.2: Galería reconocida entre los puntos A y A’
Las leyes muestreadas en las canaletas se pueden graficar:
Figura 3.3: Leyes muestreadas en las canaletas entre A y A’. Ejemplo 2: En la dimensión tiempo (una dimensión t), el precio de un metal p(t).
Ejemplo 3: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = potencia minera-lizada en un yacimiento de nitratos:
Figura 3.5: Depósito de nitratos-yodo: La zona mineralizada, de color rojo en la figura, se llama caliche.
Ejemplo 4: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en el punto x dentro de un depósito masivo:
Figura 3.7. Planta en mina. Leyes de bloques de 25mx25mx15m. Zona de óxidos.
En un depósito de este tipo se puede comprobar que la ley de cobre se comporta de manera dife-rente en la zona de óxidos y en la zona de sulfuros. Esto nos conduce a considerar para la ley de cobre, dos variables regionalizadas diferentes.
Ejemplo 5: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = densidad de la roca en un punto x dentro de un depósito minero:
La densidad in situ, medida en toneladas / m3 es una variable importante para cubicar los recursos de un depósito minero.
Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente una función
z(x) del punto x. Sin embargo, esta función no se comporta como las funciones que se
estu-dian en Matemáticas: En general z(x) es muy desordenada en su variación espacial y no se podrá expresar, en particular, z(x) como un polinomio (ver figuras 3.1 al 3.8).
3.4. CAMPO Y SOPORTE
Se llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. Para definir bien el cam-po (cam-por ejemplo los límites) es necesario utilizar un modelo geológico adecuado, cam-por ejemplo, en la figura 3.6 se podrían distinguir dos campos disjuntos, los cuales se pueden tratar de manera inde-pendiente y corresponden a unidades geológicas: Unidad óxidos y unidad sulfuros.
Entonces en un mismo depósito minero D pueden haber varios campos o unidades D1, D2, ..., Dk, en general disjuntos, cuya reunión es el conjunto D.
Figura 3.9: Unidades D1, D2, D3, D4 en una sección del depósito de cobre porfídico de Inca de Oro. Las
unidades corresponden a una interpretación geológica a partir de los sondajes.
En algunas situaciones, cada campo debería tener un tratamiento geoestadístico diferente: Pa-ra estimar una zona V contenida en una cierta unidad, sólo se utilizan datos de la misma uni-dad: Se dice que se tienen fronteras duras.
Las fronteras duras entre las unidades Dr y Ds se justifican cuando
existe independencia entre las leyes de Dr y Ds (es decir existe una discontinuidad geológi-ca). La independencia debe ser comprobada mediante un análisis de las leyes en las fronteras de las unidades Dr y Ds.
un cilindro (figura 3.10) llamado testigo:
Figura 3.10: Un testigo. Tiene un cierto largo l y un cierto diámetro d.
z(x) será entonces la ley del volumen de muestra localizado en el punto x., en el ejemplo 5 el soporte es un cilindro vertical de 15 metros de largo.
En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes de ta-maños diferentes.
En el caso en que los testigos que constituyen el sondaje son de tamaño irregular, es necesario ha-cer una operación la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje, es decir disponer de datos (compósitos) de longitud constante (figura 3.11).
Figura 3.11: Regularización de un sondaje a un largo constante b. Esta operación produce errores
La figura 3.12 muestra una sección transversal en un depósito de óxidos de cobre. Las líneas repre-sentan los sondajes de exploración. El punto rojo se denomina collar del sondaje. El collar está ca-racterizado por las coordenadas x0, y0, z0 y por dos ángulos:
Figura 3.12:Sección en el depósito de cobre. Se observan las unidades grava ( estéril), lixiviado, óxidos y sulfuros. Un compósito está caracterizado por sus coordenadas x, y, z, las leyes de cobre total, de cobre soluble, un código que indica la unidad, además del nombre del sondaje que contiene al compósito.
Cada compósito está caracterizado por sus coordenadas x, y, z, sus leyes, un código que indica el dominio o unidad geológica y la identificación del sondaje, eventualmente otra información. Se tiene así la base de datos de sondajes del depósito, la cual, en formato de texto, puede ser incorporada en cualquier paquete computacional.
Para tratar las desviaciones de los sondajes, se divide el sondaje en tramos rectilíneos L1, L2, …, Lr.
Figura 3.13: Azimuth θ (se mide en grados desde el norte) e inclinación φ (se mide en grados desde la
ho-rizontal) de un sondaje. 3.5. VARIABLES ADITIVAS
En general, en la estimación de recursos mineros conviene utilizar variables aditivas. Una variable regionalizada es aditiva cuando se cumple la condición siguiente: Se conoce la variable z en dos soportes V1 y V2, con valores medios respectivos z1 y z2, entonces el valor medio de la variable z en el soporte homogeneizado V1 U V2 es igual al promedio ponderado de z1 y z2, en particular si
V1 = V2, entonces el valor medio de la variable es (z1 + z2) / 2.
Por ejemplo, la variable índice de trabajo WI(x) (parámetro de conminución que expresa la resistencia de la roca a ser molida, en Kwh/ton) no es aditivo. Sin embargo es muy importante dis-poner de un modelo del WI en una mina.
Otros casos de variables no aditivas son, la recuperación metalúrgica, y, en una mina de óxidos de cobre, la razón (llamada solubilidad) (ley de CuS) / (ley de CuT).
En el caso de una veta (figura 3.14) el sondaje S determina una potencia aparente p (y una poten-cia real p0) y una ley z. La ley z no es aditiva. En este caso hay que estudiar dos variables aditi-vas: La potencia p0 y la acumulación en un punto x, definida como el producto de la ley por la po-tencia.
Figura 3.14: Veta y variables aditivas. 3.6. OBJETIVOS DE LA TEORIA
La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales:
Expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante una forma matemática adecuada.
Resolver, de manera satisfactoria, el problema de la estimación de una variable regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones.
Estos dos objetivos están relacionados: El error de estimación depende de las caracte-rísticas estructurales (continuidad, anisotropías) y se tendrá un error mayor si la variable re-gionalizada es más irregular y discontinua en su variación espacial.
Ejemplo: La figura 3.15 siguiente representa el caso de una variable regionalizada z(x) = ley de cobre definida en un soporte cuadrado de lado axa: La ley de corte es w = 0.5. Se definen otros soportes (tamaño del bloque): (a)x(2a), (2a)x(a), (2a)x(2a), (3a)x(3a) y (6a)x(6a).
T es el tonelaje sobre la ley de corte medido en número de bloques de tamaño axa. m es la ley media de los bloques cuya ley es superior a la ley de corte.
B es el beneficio convencional, definido por: B = T ( m – c )
La importancia económica de la anisotropía y del soporte es evidente.
Figura 3.15: Importancia económica del soporte y la anisotropía. A medida que aumenta el sopor-te, se diluyen las leyes. Observar que la ley de corte es mayor que la ley media. Repetir los cálcu-los para una ley de corte de 0.40
3.7. EL MODELO MATEMÁTICO DE LA GEOESTADÍSTICA: LAS FUNCIONES ALEATORIAS Para alcanzar los objetivos propuestos es necesario disponer de un modelo matemático. La geo-estadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la variable regionalizada, mediante el modelo de las funciones aleatorias.
vector aleatorio Z = (Z1, Z2, ..., Zk) con k componentes. Análogamente, cuando el valor de una
fun-ción Z(x) es una variable aleatoria, al variar x en el espacio Rn de n dimensiones, Z(x) define una
familia de variables aleatorias. A cada punto x0 del espacio le corresponde una variable aleatoria
Z(x0). La función aleatoria (F.A) Z(x) puede también interpretarse como una función del punto x,
cu-yo valor en x0 no es un número sino una variable aleatoria. Nótese que en general las variables
aleatorias correspondientes a dos puntos Z(x1) y Z(x2) no tienen porqué ser independientes.
Un experimento sobre la F.A. Z(x) proporciona una función ordinaria z(x) llamada trayectoria o rea-lización de la F.A. Z(x); estas realizaciones son a menudo muy irregulares, como puede apreciarse en la figura 3.16.
Figura 3.16: Realización de la función aleatoria Z(x)
La hipótesis constitutiva de la geoestadística consiste en afirmar que la variable regionalizada en estudio es la realización de una cierta función aleatoria. Lo anterior equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un proceso o experimento muy complejo.
Figura 3.17: Función aleatoria y variable regionalizada. Los colores indican rangos de la variable. La Geoestadística considera una variable regionalizada a z(x) en estudio, como una realización particular de una cierta función aleatoria Z(x). Una variable distribuida en el espacio de forma que presenta una estructura espacial de correlación se dice que esta regionalizada. Así, una variable regionalizada (V.R.) es una función que representa el desplazamiento en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural. En adelante no haremos distinción entre la función
alea-toria Z(x) y su realización z(x).
Es muy frecuente observar en una V.R. dos aspectos complementarios y aparentemente contradic-torios:
Un aspecto aleatorio asociado con las variaciones erráticas e impredecibles de la variable, y. Un aspecto general estructurado que refleja en cierta forma las características globales de
va-riación del fenómeno regionalizado.
La interpretación probabilística de una V.R. como realización de una F.A. Z(x) tiene sentido operati-vo sólo si es posible inferir, al menos en parte, la función de distribución o ley de probabilidad de Z(x). En general, no es posible la inferencia estadística a partir de una sola realización, de la misma manera que no es posible reconstituir la función de distribución de una variable aleatoria a partir de una sola observación. Para hacer posible la inferencia estadística, se hace imprescindible introducir hipótesis adicionales acerca de Z(x) para poder reducir el número de "parámetros" de los que de-pende la función de distribución. Estas hipótesis tienen que ver con la homogeneidad espacial de la función aleatoria. Por ejemplo, suponer que la función aleatoria es estacionaria puede pensarse como equivalente a que la función aleatoria se "repite" en el espacio y esta "repetición" proporciona la información equivalente a muchas realizaciones de la misma F.A., permitiendo de esta forma la posibilidad de la inferencia estadística.
Observaciones:
a) No se puede afirmar que una variable regionalizada es una función aleatoria. Esto tendría el mismo sentido que decir “el número 6 es una variable aleatoria”.
El enunciado correcto de la hipótesis probabilística de la geoestadística es: “z(x) es la realización de una función aleatoria Z(x)”.
b) Para que esta hipótesis probabilística tenga un sentido real, es necesario poder reconstituir, al menos en parte, la ley de probabilidad de la función aleatoria, lo cual supone que la inferencia es-tadística (es decir el cálculo de parámetros que caracterizan la función aleatoria) es posible. Es necesario introducir una hipótesis suplementaria a la función aleatoria Z(x). Esta hipótesis es co-nocida como hipótesis de estacionaridad y expresa que la variación espacial de las realizaciones de Z(x) deben ser homogéneas. Esta hipótesis se puede debilitar al suponer que las diferencias Z(x) – Z(y) son estacionarias localmente (lo cual se conoce como hipótesis intrínseca).
La estacionaridad es una propiedad del modelo (función aleatoria) y quedará más clara cuando se estudie el cálculo de variogramas.
3.8. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MOMENTOS DE UNA FUNCIÓN ALEATORIA
Considérese una función aleatoria Z(x) definida en Rn. Para cualesquiera k puntos x1, x2, ..., xk, el
vector aleatorio [Z(x1), Z(x2), ..., Z(xk)] se caracteriza por su función de distribución k-variable.
k k
k x x x Z Z Z obZ x Z Z x Z Z x Z F k( 1, 2,..., )Pr ( 1) 1, ( 2) 2,..., ( ) ,..., ,2 1 (3.1)El conjunto de todas estas distribuciones para todo valor de k y para cualquier selección de puntos en Rnconstituye la "ley espacial de probabilidad" de la función aleatoria Z(x).
