Deber3

(1)

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R::1100555

5 G

G220044

Jonathan Corella

Sangol

(2)

´Indice

1. Ejercicio 1 3 1.1. a)X=2,71828182 X*=2,7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. b)Y=98350 Y*=9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. c)Z=0,000068 Z*=0,00006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Ejercicio 2 6 3. Ejercicio 3 8 4. Ejercicio 4 9 5. Ejercicio 5 11 6. Ejercicio 6 12

(3)

1. Ejercicio 1

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES HALLAR EL ERROR ABSOLUTO Ex Y EL ERROR RELATIVO Rz Y DETERMINE EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS DE LA APROXIMACI ´ON.

1.1. a)X=2,71828182

X*=2,7182

ERROR ABSOLUTO: E x = |X − X ∗| = |2, 71828182 − 2, 7182| = 0, 00008182 ERROR RELATIVO: Rz = |X −X ∗ X | = | 2_,71828182−2,7182 2_,71828182 | = 0, 000030099896 CIFRAS SIGNIFICATIVAS: |X −X ∗ X | < | 10−d 2 | 2 ∗ (0, 000030099896) < 10−d 0, 000060199792 < 10−d d=1 ⇒ 0, 000060199792 < 0, 1 d=2 ⇒ 0, 000060199792 < 0, 01 d=3 ⇒ 0, 000060199792 < 0, 001 d=4 ⇒ 0, 000060199792 < 0, 0001 d=5 ⇒ 0, 000060199792 < 0, 00001 Por lo tanto X ∗ _{tiene una aproximaci´on a X de 4 cifras signiﬁcativas.}

(4)

1.2. b)Y=98350

Y*=9800

ERROR ABSOLUTO:

E Y = |Y − Y ∗| = |98350 − 9800| = 88550

ERROR RELATIVO:

RY = |Y −Y

∗ Y | = | 98350−9800 98350 | = 0, 900355871886 CIFRAS SIGNIFICATIVAS: |Y −Y ∗ X | < | 10−d 2 | 2 ∗ (0, 900355871886) < 10−d 1, 80071174377 < 10−d d=1 ⇒ 1, 80071174377 < 0, 1 Por lo tanto Y ∗ _{es una muy mala aproximaci´on a Y.}

(5)

1.3. c)Z=0,000068

Z*=0,00006

ERROR ABSOLUTO: E Z = |Z − Z ∗| = |0, 000068 − 0, 00006| = 0, 000008 ERROR RELATIVO: RZ = |Z −Z ∗ Z | = | 0,000068−0,00006 0_,000068 | = 0, 117647058 CIFRAS SIGNIFICATIVAS: |Z −Z ∗ Z | < | 10−d 2 | 2 ∗ (0, 117647058) < 10−d 0, 235294117647 < 10−d d=1 ⇒ 0, 235294117647 < 0, 1 Por lo tanto Z ∗ _{es una muy mala aproximaci´on a Z.}

(6)

2. Ejercicio 2

COMPLETE EL SIGUIENTE C ´ALCULO



1 4 0

e

x 2

dx ≈



1 4 0

(1 + x

2

+

x 4 2!

+

x 6 3!

) dx ≈ p

∗

Determine que tipo de error se presenta en esta situaci´on y compare su

resultado con el valor exacto de p=0,2553074606.



1 4 0

(1 + x

2

+

x4 2!

+

x6 3!

) dx = (x +

x3 3

+

x5 10

+

x7 42

)|

1/4 0

≈ 0, 2553074428

Entonces:

p=0,2553074606

p

∗

=0,2553074428

ERROR ABSOLUTO:

E

_p

= | p − p

∗

| = |0, 2553074606 − 0, 2553074428| = 0, 0000000178

ERROR RELATIVO:

R

_p

= |

p− p_Y ∗

| = |

0,2553074606−0,2553074428_0,2553074606

| = 0, 00000006972,

CIFRAS SIGNIFICATIVAS:

|

p− p_X∗

| < |

10₂−d

|

(7)

2 ∗ (0, 00000006972) < 10

−d

0, 00000013944 < 10

−d

d=1 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 1

d=2 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 01

d=3 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 001

d=4 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 0001

d=5 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 00001

d=6 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 000001

d=7 ⇒ 0, 00000013944 < 0, 0000001

Por lo tanto p

∗

es una muy buena aproximaci´on a p con 6 cifras

signiﬁcativas.

(8)

3. Ejercicio 3

COMPLETE LOS SIGUIENTES C ´

ALCULOS Y DIGA

QUE TIPO DE ERROR SE PRESENTA EN CADA

SI-TUACI ´

ON.

a)

sen( π 4+0,00001)−sen( π 4) 0,00001

=

0,70711385222−0,70710678119_0,00001

=0,707103

Se pierden cifras signiﬁcativas.

b)

ln(2+0,00005)−ln(2)_0,00005

=

0,69317218025−0,69314718056_0,00005

=0,4999938

(9)

4. Ejercicio 4

EVALUACI ´

ON POLINOMIAL SEAN:

P (x) = x

3

− 3x

2

+ 3x − 1

Q(x) = ((x − 3)x + 3)x − 1

R(x) = (x − 1)

3

a)Usando la aritm´

etica del punto ﬂotante con cuatro

ci-fras y redondeo, calcule P(2,72), Q(2,72) y R(2,72). En el

c´

alculo P(x) suponga que

(2, 72)

3

= 20, 12

y

(2, 72)

2

= 7, 398

P(2,72)=

2, 72

3

− 3 ∗ 2, 72

2

+ 3 ∗ 2, 72 − 1

P(2,72)=

20, 12 − 3 ∗ 7, 398 + 3 ∗ 2, 72 − 1

P(2,72)=

5, 096

Q(2,72)=

((2, 72 − 3) ∗ 2, 72 + 3) ∗ 2, 72 − 1

Q(2,72)=

5, 088

R(2,72)=

(2, 72 − 1)

3

R(2,72)=

5, 088

a)Usando la aritm´

etica del punto ﬂotante con cuatro

ci-fras y redondeo, calcule P(0,975), Q(0,975) y R(0,975). En

(10)

el c´

alculo P(x) suponga que

(0, 975)

= 0, 9268

y

(0, 975)

=

0, 9506

P(0,975)=

0, 975

3

− 3 ∗ 0, 975

2

+ 3 ∗ 0, 975 − 1

P(0,975)=

0, 9268 − 3∗

0

, 9506 + 3 ∗ 0, 975 − 1

P(0,975)=

0, 000

Q(0,975)=

((0, 975 − 3) ∗ 0, 975 + 3) ∗ 0, 975 − 1

Q(0,975)=

−0, 000015625 ≈ -1,5*10

−

5 R(0,975)=

(0, 975 − 1)

3

R(0,975)=

−0, 000015625 ≈ -1,5*10

−

5

(11)

5. Ejercicio 5

USANDO ARITM´

ETICA DE PUNTO FLOTANTE

CON TRES CIFRAS Y REDONDEO, CALCULE LAS

SIGUIENTES SUMAS (USANDO EN EL ´

ORDEN QUE

SE INDICA):

a)



6k=1 1 3k

=

1₃

+

₃12

+

1 33

+

1 34

+

1 35

+

1 36

= 0.333 + 0.111 + 0.037+0.012+0.004 + 0.001

= 0.498

b)



6k=1 1 37₋_k

=

₃71₋₁

+

1 37₋₂

+

1 37₋₃

+

1 37₋₄

+

1 37₋₅

+

1 37₋₆

=

₃16

+

1 35

+

1 34

+

1 33

+

1 32

+

1 31

=0.001+0.004+0.012+0.037+0.111+0.333

=0.499

(12)

6. Ejercicio 6

DADOS LOS DESARROLLOS DE TAYLOR

1 1−h

=

1 + h + h

2

+ O(h

4

)

y

cos h = 1 −

h_2!2

+

h_4!4

+ O(h

6

)

DETERMINE EL ORDEN DE APROXIMACI ´

ON DE SU SUMA

Y DE SU PRODUCTO

• SUMA

1 1₋h

+ cos h = 1 + h + h

2

+ h

3

+ 1 −

h2!2

+

h4 4!

+ O(h

4

) + O(h

6

)

1 1₋h

+ cos h = 2 + h + h

2

(1 −

_2!1

) + h

3

+

h_4!4

+ O(h

4

) + O(h

6

)

1 1₋h

+ cos h = 2 + h +

h2 2

+ h

3

+ O(h

4

)

• PRODUCTO

(

₁₋1_h

)(cos h) = [(1 + h + h

2

+ h

3

) + O(h

4

)][(1 −

h_2!2

+

h_4!4

) + O(H

6

)]

(

₁₋1_h

)(cos h) = (1 + h + h

2

+ h

3

)(1 −

h_2!2

+

h_4!4

) + ( 1 + h + h

2

+ h

3

)(O(H

6

))+(1 −

h2 2!

+

h4 4!

)(O(h

6

)) + (O(h

4

))(O(h

6

))

(

₁₋1_h

)(cos h) = 1 −

h_2!2

+

h_4!4

+ h −

h_2!3

+

h_2!5

+ h

2

−

h_2!4

+

h_4!6

+ h

3

−

h_2!5

+

h_4!7

+ O(h

6

) +

(O(h

4

) + (O(h

1

0)

(

₁₋1_h

)(cos h) = 1+h+h

2

(−

_2!1

+1)+h

3

(1−

_2!1

)+(

h_4!4

−

h_2!4

+

h_4!5

−

h_4!5

+

h_4!6

+

h_2!6

)+O(h

4

)

(

₁₋1_h

)(cos h) = 1 + h +

1₂

(h

2

+ h

3

) + O(h

4

)