laboratorio 1

Econometría

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SEMESTRE 1/2015 ECONOMETRÍA

Lic. Fernando Gonzales Fernández

PROBLEMAS

Sea niños la cantidad de hijos que ha tenido una mujer, y educ los años de educación que tiene esta mujer. Un modelo sencillo para relacionar fertilidad con años de educación es:

donde u es el error no observado.

i) ¿Qué tipo de factores son los contenidos en u? ¿Es posible que estos factores estén correlacionados con el nivel de educación?

ii) ¿Es posible que con un análisis de regresión simple se halle el efecto ceteris paribus de educación sobre fertilidad? Explique.

Pregunta 2

En el modelo de regresión lineal simple Yi=β1+ β2Xi+ui, suponga que E(u)≠ 0.

Sea E(u)=α0, muestre que siempre es posible reescribir el modelo con la misma

pendiente, pero con otro intercepto y otro error, de manera que el nuevo error tenga valor esperado cero.

Pregunta 3

Enumere las hipótesis que se realizan sobre el término de perturbación estocástica para que los estimadores gocen de buenas propiedades, con especial énfasis al papel que juega cada hipótesis sobre las mismas.

Pregunta 4

Explique las propiedades de la estimación Mínimos Cuadrados Ordinarios.

Pregunta 5

Explique las propiedades de la recta de regresión

Pregunta 6

¿Es posible obtener un coeficiente de determinación de 0.82 y un valor del coeficiente de correlación de 0.7 para el mismo conjunto de datos?

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Dos investigadores en economía agropecuaria realizaron las siguientes estimaciones de la productividad de fertilizantes, en la producción de papa en Santa Cruz y Chuquisaca:

Chuquisaca Ŷ = 100 + 3,5 X n=12 R2 = 0.70 Santa Cruz Ŷ = 180 + 3,8 X n=18 R2 = 0.58 Se pide:

a) Interprete los resultados de cada estimación y verificar su validez estadística b) Encuentre el estadístico de Fisher para ambos modelo, contraste la significancia

global de ambos modelos a un nivel de confianza del 95%

c) Contraste la significancia individual de ambos modelos a un nivel de significancia del 1%.

d) Explique las diferencias en la estimación de la producción autónoma entre los dos departamentos.

Pregunta 8

Diga si es verdadero o falso

a) El coeficiente de regresión y el coeficiente de correlación tienen el mismo signo b) El coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación no están

relacionados

c) La bondad de un modelo se mide por el coeficiente de regresión

d) Los coeficientes de regresión correlación y determinación son sinónimos.

Pregunta 9

Los resultados corresponden a la calificación y las horas de estudio de un grupo de estudiantes de economía, se estimó por MCO el modelo, pero se perdieron datos en el proceso de transcripción. A partir de esa información se pide completar la información faltante en el modelo. Interprete los resultados.

Resumen Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación Coeficiente de determinación R2 R^2 ajustado Error típico 13.66107609 Observaciones 12 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Probabilidad de F Regresión 1 22.862246 Residuos 10 1866.25 Total 11

Coeficientes Error típico Estadístico t Prob Inferior 95% Superior 95%

Intercepción -17.41666667 17.18981045

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Basado en una muestra de 10 observaciones, se obtuvieron los siguientes resultados: Σ Yi= 1.110 ΣXi= 1.700 ΣXi Yi = 205.500 ΣXi2=322.000 ΣYi2=132.100

a) Encuentre el coeficiente de correlación

b) Imagine que al verificar por segunda vez estos cálculos, se encontró que se habían registrado dos pares de observaciones en forma errónea. Es decir:

Y X Y X

90 120 En lugar de: 80 110

140 220 150 210

a) ¿Cuál será el efecto de ese error en r?. b) Obténgase la r correcta.

Pregunta 11

Sea el siguiente modelo

Y t = α1 +α2 Xt +ut

Al estimar este modelo con una muestra de tamaño 11 se han obtenido los siguientes resultados: ΣXt = 0 ΣYt = 0 ΣXt 2 = B ΣYt 2 = E ΣXtYt = F

b) Obtener la suma de cuadrados de los residuos

c) Calcular el coeficiente de determinación bajo el supuesto de que EB= 2F 2

Pregunta 12

El archivo Laboratorio Hoja 1 contiene cifras sobre los hijos nacidos de mujeres en Estados Unidos. Las dos variables de interés son la variable independiente, peso en onzas del niño al nacer (bwght) y la variable explicativa, cantidad promedio diaria de cigarros consumidos por la madre durante el embarazo (cigs). La siguiente ecuación de regresión simple se estimó con n = 1.388 nacimientos:

bwghti = 119,77 - 0,514 cigsi

a) ¿Cuál es el peso al nacer que se predice si cigs = 0? ¿Y cuando cigs = 20 (un paquete por día)? Analice la diferencia.

b) ¿Capta esta ecuación de regresión simple una relación causal entre el peso del niño al nacer y el hábito de fumar de la madre? Explique.

c) Para que el peso al nacer predicho sea de 125 onzas, ¿cuál tiene que ser el valor de cigs?. Explique.

d) La proporción de mujeres en la muestra que no fumaron durante el embarazo es aproximadamente 0.85. ¿Ayuda esto a entender sus hallazgos del inciso c)?

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Considere el modelo estándar regresión simple Yi=β1+ β2Xi+ui, bajo los supuestos y

propiedades planteadas por el Teorema Gauss-Markov. Los estimadores usuales de MCO b1 y b2 son insesgados para sus respectivos parámetros poblacionales. Sea b2 el

estimador de β2 obtenido.

a) Determine E(b2) en términos de Xi β1 y β2. Verifique que b2 es insesgado respecto a

β2

b) Determine la varianza de b2.

c) Muestre que el estimador MCO tiene mínima varianza, y de ese modo probar el supuesto Gauss-Markov.

PREGUNTA 14

Modelo lineal General. En un estudio de los determinantes de la inversión se utilizaron veinte observaciones anuales. Las variables utilizadas fueron:

i i i i

Y  

 



donde, yi es la inversión en el año i, xi es el tipo de interés en el año i, zi es la variación

anual del PIB en el año i. A partir de la muestra utilizada se obtuvieron los siguientes momentos muestrales: 2 2 2 100; ( ) 9; ( )( ) 14 5; ( ) 60; ( )( ) 7 24; ( ) 1; ( )( ) 1 i i i i i i i i i i i i X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z X X Z Z                             

a) Estimar la regresión de yi sobre xi y zi usando las siguientes relaciones:























































































b) ¿Pueden decirse sin ninguna ambigüedad qué tipos de interés elevados conducen a un nivel de inversión bajo?

c) A tipos de interés del 10% y con una variación anual de 2 millones de unidades monetatias en el PIB ¿qué puede esperarse del nivel anual de la inversión?

PREGUNTA 15

Comente o responda en no más de 5 líneas, por cada respuesta

a. Aunque el término de error en el modelo lineal de regresión no esté normalmente distribuido, los estimadores beta de MCO serán insesgados, requiriéndose únicamente que las perturbaciones o términos de error estocásticos tengan esperanza igual a 0 y que las variables independientes del modelo sean no estocásticas.

b. Explique una justificación teórica para suponer la normalidad de los errores en la estimación de una regresión minimocuadrática.

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En una encuesta de 9966 profesionales en 2012, se obtuvo la siguiente información: (En Bs por mes)

Bajo el supuesto de que un término de error homoscedástico y no autocorrelacionado: a) Desarrolle un modelo de regresión apropiado, obteniendo el vector de parámetros

de su modelo así como la matriz de varianzas y covarianzas de los parámetros estimados? (Nota el número de observaciones es 11)

b) ¿Son explicativas la(s) variable(s) tomadas en la regresión?

c) ¿Qué opina del desempeño del modelo, respecto a su poder explicativo en relación a la variable dependiente?

PREGUNTA 17

Sea el modelo

1 1 2 2i 3 3i i

Y 

 



a) Encuentre los coeficientes estimados usando el siguiente conjunto de datos:

2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 31.985 68.922, 513 62.905.821 120 1.240 247.934 29.135 272.144 n=15 i i i i i i i i i i i X X Y X X X Y X Y X X                

b) Sabiendo que la suma residual de cuadrados en este ejercicio es de 1.976,85574 encuentre las varianzas de los estimadores.

Pregunta 18

En la hoja 9 del archivo Laboratorio 1 se presentan datos trimestrales sobre estas variables:

YEAR = Año y trimestre

Y = Cantidad vendida de rosas, $us por docena

X2 = Precio al por mayor promedio de las rosas , $us por docena X3 =Precio al por mayor promedio de los claveles, $us por docena X4 = Ingreso familiar promedio disponible, $us por semana

X5 = variable de tendencia asume valores de 1, 2, y así, para cada periodo Se le pide considerar la siguiente función de demanda:

1 1 2 2i 3 3i 4 4i 5 5i i

Y 

 







Edad Promedio Salarios promedio

22 7800 27 8400 32 9700 37 11500 42 13000 47 14800 52 15000 57 15000 62 15000 67 14500 72 12000

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a) Estime los parámetros del modelo e interprete los resultados.

b) Explique si lo resultados son significativos de forma individual, ¿y de forma global? c) Cual es la bondad del ajuste de este modelo? Es un buen modelo?

Pregunta 19

La base de datos ubicada en la hoja 2 del archivo Laboratorio 1 contiene información sobre directores generales de empresas (CEO) estadounidenses. La variable salary es el sueldo anual, en miles de dólares, y ceoten son los años de antigüedad como gerente de la empresa.

a) Determine el sueldo y la antigüedad promedio en esta muestra.

b) Analice la dispersión de los datos en las dos variables y obtenga la correlación entre los salarios y la antigüedad, ¿que conclusiones se obtiene?

c) ¿Cuántos de estos directivos se encuentran en su primer año como gerente general (es decir, ceoten = 0)? ¿Cuál es la mayor antigüedad entre estos gerentes?

d) Estime el modelo de regresión simple salaryi = β1+β2ceoteni+ui y dé los resultados

en la forma usual. ¿Cuál es el aumento aproximado que se pronostica en el sueldo por cada año adicional de antigüedad como gerente?

e) Determine si el coeficiente de la pendiente hallado es estadísticamente significativo.

f) Que significa el intercepto de la ecuación.

g) Halle el coeficiente de determinación, cual es la interpretación del mismo

h) Encuentre el intervalo de confianza para la pendiente a un nivel de confianza del 99%

Pregunta 20

Use la base de datos que se encuentra en la hoja 3 del archivo Laboratorio 1 para estimar una regresion simple que explique el salario mensual (wage) en terminos de la puntuacion del coeficiente intelectual (IQ).

a) Determine el promedio muestral del salario y de IQ. .Cual es la desviacion estándar muestral de IQ? (La puntuacion del coeficiente intelectual esta estandarizada, de manera que el promedio de la poblacion es 100 y la desviacion estandar es 15.)

b) Estime un modelo de regresion simple en el que un aumento de un punto en IQ modifique wage en una cantidad de dolares constante. Use este modelo para determinar el aumento que se predice en wage para un aumento de 15 puntos en

IQ. .Explica IQ la mayor parte de la variacion en wage?

c) Ahora, estime un modelo en el que cada aumento de un punto en IQ tenga un mismo efecto porcentual sobre wage. Si IQ aumenta 15 puntos, .cual es el aumento porcentual pronosticado para wage?

d) Determine la veracidad de la hipótesis que el aumento de 10 puntos en IQ incrementa los salarios en 200 dólares.

e) Encuentre el intervalo de confianza para el coeficiente de IQ con un nivel de confianza del 98%.

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El archivo laboratorio 1 (hoja 4) presenta los datos de la cantidad demanda de manzanas Y, expresados en millones de pesetas1 por kilogramo, precio de las manzanas X1

expresados en pesetas por kilogramo, precio de las peras X2 en pesetas por kilogramo, y

renta nacional X3 en millones de pesetas. La teoría económica establece una clara

relación entre estas variables.

a. A través de un gráfico verifique si existe relación entre la cantidad demandada y el

precio de las manzanas y analice la naturaleza de dicha relación. ¿Es lineal?

¿Podría tener algún otro perfil diferente del lineal? Apoye los resultados con el coeficiente de correlación.

b. Suponiendo que dicha relación funcional es lineal, estime los parámetros de la misma y contraste las restricciones emanadas de la teoría. ¿Cómo interpreta los parámetros estimados?

c. Realice una gráfica de los residuos y compare la distribución obtenida con la distribución de la cantidad demanda de manzanas.

d. Elabore intervalos de confianza a un nivel de confianza del 99% para la cantidad demanda de manzanas promedio.

e. ¿A qué nivel de significancia puede afirmar que el coeficiente que mide la pendiente del precio de las manzanas es estadísticamente significativo?

f. Encuentre e interprete el coeficiente de determinación.

g. Indique si los coeficientes encontrados de manera global son estadísticamente significativos.

h. A la vista de los contrastes realizados, efectué una valoración global del modelo ajustado.

Pregunta 22

Con los siguientes datos relativos al consumo y el ingreso de 10 familias medidos en

cientos de bolivianos. Ajuste una regresión entre consumo y renta como la siguiente:

1 2

i i i

Consumo



 



Ingreso



u

Consumo 74 98 80 53 57 81 44 90 72 47 87 50 42 101 44 Ingreso 80 110 90 60 60 65 45 91 78 84 87 92 96 98 56

a) Obtener la propensión marginal a consumir

b) Construir un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de regresión c) Interpretar la ordenada al origen

d) Calcular el coeficiente de determinación

e) Comprobar si se rechazan o no las siguientes hipótesis al nivel de significancia del 5%. β2=0,90; β2=0,50; β2=0,1; β2=-0,10

f) Verificar la hipótesis de que el consumo no depende del ingreso.

g) Predecir el consumo de una familia con ingreso igual a 7.000 Bs. Y de otra con ingreso igual a 12.000 Bs.

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En el archivo Laboratorio 1 hoja 5. Se tienen los datos de ingreso (miles de $) y ahorro(miles de $) de una determinada economía por un período de 20 años:

Se pide:

a) Realizar Gráficos Lineales, y explicar cada Variable

b) Realizar un gráfico de dispersión.

c) Obtener la covarianza y la correlación. Explicar ambas

d) Obtener los estimadores de mínimos cuadrados del ahorro autónomo y la propensión marginal a ahorrar, suponiendo que la función de ahorro es de tipo Keynesiano. (Es decir obtener la pendiente)

e) ¿ Concuerdan estos datos con la teoría económica?. f) Como interpreta si:

• El ahorro y el ingreso estuvieran expresados en pesos. • El ahorro en pesos y el ingreso en miles de pesos. • El ahorro en miles de pesos y el ingreso en pesos.

Pregunta 24

Una empresa produce y comercializa muebles para el hogar. La misma tiene cierto poder en el mercado, en el sentido que puede manejar el precio de sus productos, además, el constante gasto en publicidad diferencia sus productos de los de la competencia.

Sin embargo, últimamente la participación de la empresa en el mercado de muebles para el hogar ha disminuido. El Gerente General atribuye esto al hecho que no ha existido una política clara en cuanto la fijación de precios y publicidad. Por tanto, se pide:

a) un estudio que determine el efecto que tiene en las ventas la variable precio b) otro estudio que determine el efecto que tiene en las ventas la variable

publicidad.

c) Proponer una política en precio si se desea aumentar las ventas para el próximo periodo en 10%.

d) Establecer otra política en publicidad para encontrar el mismo efecto (10% de incremento) en las ventas.

e) Posteriormente, elabore un nuevo estudio que determine el efecto conjunto que tienen en las ventas la variable precio y la variable publicidad.

f) Finalmente proponga una política conjunta en precio y publicidad si se desea aumentar las ventas para el próximo periodo en 10%. (Use los datos del último periodo como referencia)

Los datos son los siguientes:

VENTAS (miles de $us) PRECIO $us PUBLICIDAD (miles de $us) 180.6 2.1 30 213.3 4.5 55 174.6 2.9 25 189.3 3.6 36 209.1 15 60 248.1 7.7 82 253.9 5.8 73

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215.8 3.2 58

218.1 5 58

206.6 12.3 49

Pregunta 25

Remítase al ejercicio de la pregunta 20

a. Realice un modelo de regresión que explique la demanda de manzanas en función al precio de las manzanas, al precio de un bien sustituto (peras), Al ingreso o renta.

b. Analice:

i. la bondad del ajuste

ii. la significancia individual de los coeficientes obtenidos iii. La significancia global del modelo

c. Explique los resultados encontrados.

Pregunta 26

En base al ejercicio anterior a) Calcule la matriz X´X .

b) Indique las propiedades que tiene esta matriz c) Calcule la matriz X’Y.

d) Encuentre la matriz Varianza Covarianza.

e) Encuentre la matriz de correlación simple entre las variables explicativas

Pregunta 27

Considera los siguientes modelos de regresión lineal estimados y rellena los espacios en blanco: (los errores estándar de los estimadores se encuentran entre paréntesis)

Modelo 1 ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̂ Modelo 2 ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̂

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En archivo Laboratorio 1 hoja6 se presentan datos sobre el consumo per cápita de la carne de pollo en los Estados Unidos

Considere las siguientes funciones de demanda

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) a) Entre las funciones de demanda que se le presentan, ¿Cuál escogería y

porque? Argumente adecuadamente su respuesta

b) ¿Cómo se interpretan los coeficientes de X2 y X3 en estos modelos?

c) ¿Cuál es la diferencia entre las especificaciones (2) y (4). Sea específico d) ¿Qué problemas se prevé si se adopta la especificación (4)

e) Como la especificación (5) incluye el precio compuesto de la carne de de res y de cerdo. ¿Preferiría la especificación (5) a la función de demanda (4) ¿Porqué?

f) La carne de res y de cerdo, son productos que compiten con el pollo o lo sustituyen, ¿Cómo lo sabe?

g) Suponga que la especificación (5) es la correcta. Interprete todos los resultados de este modelo de regresión. (Estimadores, pruebas de bondad del ajuste, significancia individual y global de los estimadores).

h) Ahora suponga que la especificación (4) es la correcta. Interprete todos los resultados de este modelo de regresión. (Estimadores, pruebas de bondad del ajuste, significancia individual y global de los estimadores). Compare sus resultados con los encontrados en el inciso anterior. Que diferencias ha encontrado

i) Compruebe que los residuos de la regresión (4) se hallan normalmente distribuidos

j) Encuentre la matriz de correlación de los términos independientes del modelo de regresión (todos) ¿Qué problemas econométricos ocasionaría el realizar una regresión usando todas esas variables?

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El modelo siguiente puede usarse para estudiar si los gastos de campaña afectan los resultados de las elecciones:

( ) ( ) Donde:

voteA es el porcentaje de votos recibidos por el candidato A,

expendA y expendB son los gastos de campaña del candidato A y del candidato B (en miles de dólares)

prtystrA es una medida de la fortaleza del partido del candidato A (el porcentaje de votos que obtuvo el partido de A en la elección presidencial más reciente).

i) ¿Cuál es la interpretación de β2?

ii) Estime el modelo dado usando los datos del archivo hoja7 laboratorio 1 y presente los resultados de la manera usual. ¿Los gastos de A afectan los resultados de las elecciones? ¿Y los gastos de B?

Pregunta 30

La hoja 8 del laboratorio 1 proporciona datos sobre las elecciones presidenciales de Estados Unidos de 1916 a 2004.

Donde:

V: Participación titular del voto bipartidista para la presidencia.

W: Variable indicadora (1 para las elecciones de 1920, 1944 y 1948; 0 en cualquier otro caso).

D: Variable indicadora (1 si un candidato demócrata compite en las elecciones, −1 si un candidato republicano compite en las elecciones; 0 en cualquier otro caso).

G: Tasa de crecimiento del PIB per cápita real en los primeros tres trimestres del año electoral.

I: Variable indicadora (1 si hay un titular demócrata al momento de las elecciones y –1 si hay un titular republicano).

N: Número de trimestres en los primeros 15 trimestres de la administración en los que la tasa de crecimiento del PIB per cápita real es mayor que 3.2%.

P: Valor absoluto de la tasa de crecimiento del defl actor del PIB en los primeros 15 trimestres de la administración.

a) Con los datos elabore un modelo adecuado para predecir la proporción

correspondiente al Partido Demócrata del voto bipartidista para la presidencia. b) ¿Cómo utilizaría este modelo para predecir el resultado de una elección