8-4. Diseñar con el método de Coe y Clevenger un espesador para procesar 1200 toneladas por día de carbonato de calcio. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. La tabla siguiente muestra los resultados de pruebas de sedimentación.
Tabla 8.4: Datos experimentales pruebas de sedimentación.
X v % m/s 49,3 1,22E-06 47,4 1,44E-06 22,3 3,07E-05 10,3 7,97E-05 4,1 1,43E-04 Solución:
Coe y Clevenger establecen que la concentración dentro del espesador no es la misma de la alimentación y que, en la zona II se establecerá una suspensión de tal concentración que tenga la mínima velocidad de sedimentación. Es así como la concentración de alimentación DF pasa por distintas concentraciones DK hasta
llegar a la concentración de descarga DD. De modo que es necesario calcular la
superficie, para cada una de las concentraciones con que realizaron experiencias de sedimentación. La superficie máxima es la escogida por este método. Los resultados, se muestran en la tabla:
Tabla 8.5: Resultados obtenidos método de Coe y Clevenger.
XF XD F v S fracción fracción TPD DK DD m/s m 2 0,493 0,524 1200 1,03 0,91 1,22E-06 1366,13 0,474 0,524 1200 1,11 0,91 1,44E-06 1941,63 0,223 0,524 1200 3,48 0,91 3,07E-05 1165,36 0,103 0,524 1200 8,71 0,91 7,97E-05 1359,32 0,041 0,524 1200 23,39 0,91 1,43E-04 2183,55
La máxima área encontrada corresponde a la superficie que debe tener el espesador, S=2183.55m2. El área unitaria básica calculada por el método de Coe y
Clevenger:
( )
1
1
1
max(
o s I K DAU
K
ρ σ ϕ
ϕ
ϕ
=
−
(8.11)Donde
σ ϕ
I( )
K corresponde a un salto de discontinuidad, es decir, lavelocidad de la interfase.
El área unitaria básica obtenida es:
(
2)
1.82 /
o
AU = m TPD (8.12) 8-6. Diseñar con el método de Kynch un espesador para procesar 1200 toneladas por día de carbonato de calcio, de densidad 3
2.5 /t m con una concentración de
alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de
descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de una curva de sedimentación
para la concentración de 10.3% de sólidos en peso.
Solución:
Para la confección de la curva de sedimentación, se utilizó los datos experimentales correspondientes al ejercicio 8-1, para una concentración 10.3% de
sólidos en peso.
El método de kynch, se basa en considerar la sedimentación de una suspensión batch de concentración inicial
ϕ
o, trazar tangentes a esta curva desdeo
ϕ
aϕ
k para determinar el par(
ϕ
k,
v
s( )
ϕ
k)
. Conocidos los valores de concentracióny velocidad de sedimentación se puede aplicar la ecuación de Coe y Clevenger (8.11) para diseñar el espesador.
Dada concentración
ϕ
k, la altura se obtiene desde: o k k Z Lϕ
ϕ
= (8.15) El tiempo,T
k se obtiene al trazar la tangente a la curva de sedimentacióndesde el punto
Z
k. Los resultados obtenidos, se muestran en la tabla y el graficosiguiente.
Zk Tk vs AUo S m seg ϕo ϕk m/s m 2 /TPD m2 0,34 3000 0,04 0,04 1,13E-04 0,80 961,58 0,30 3600 0,04 0,05 8,31E-05 0,94 1128,84 0,25 4400 0,04 0,06 5,67E-05 1,11 1326,36 0,20 5700 0,04 0,07 3,50E-05 1,35 1614,25 0,15 8400 0,04 0,10 1,78E-05 1,77 2124,88 0,14 10000 0,04 0,11 1,40E-05 2,04 2442,70 Curva de sedimentación, ϕ=0.044 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Tiempo de sedimentación, s A lt u ra d e l a i n ter faz , m Z1 T1 Z2 T2 Z3 T3 Z4 Z5 Z6 T4 T5 T6
Grafico 8.8: Curva de sedimentación método de Kynch.
Las características del espesador obtenidas, utilizando el método de Kynch:
(
2)
2.04 /
o
AU = m TPD S =2442.70
( )
m28-10. Usando el modelo fenomenológico, diseñar un espesador para procesar 1200tpd de carbonato de calcio, de densidad 3
2.5 /t m con una concentración de
alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de
descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de la densidad de flujo del
material. Solución:
La curva densidad de flujo de este material es la detallada en los cálculos del ejercicio 8.1. y corresponde a la ecuación (8.2).
(
)
1
( )
;
D1
s bk DAUo
f
ϕ
ϕ ϕ
ρ
ϕ ϕ
=
−
(8.21) Reemplazando en (8.21):(
)
(
)
2 15.62.69 10
;
1
0.306
1
DAUo
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−⋅
=
−
−
(8.22)Si se gráfica (8.22) en función de la fracción volumétrica.
Determinación AUO 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 Fracción volumétrica ϕ AU O m 2/t pd AUo=1.75m 2 /tpd
Grafico 8.10: Determinación máxima área unitaria básica.
Del gráfico 8.10, se obtiene que el área unitaria básica máxima entre la concentración conjugada y la concentración de descarga, es
(
2)
1.75 m /tpd
correspondiente a la fracción volumétrica de sólidos de
ϕ
=0.248.La superficie obtenida por el modelo fenomenológico es:
( )
22100
S = m (8.23)
Por lo tanto, la densidad de flujo de la alimentación es:
(
)
6 2.65 10 / F F s F f m s Sρ
− = = ⋅Para confirmar los resultados encontrados, se debe evaluar el estado estacionario, el flujo y la concentración de descarga.
Estado estacionario -4,50E-06 -4,00E-06 -3,50E-06 -3,00E-06 -2,50E-06 -2,00E-06 -1,50E-06 -1,00E-06 -5,00E-07 0,00E+00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Fracción volumétrica ϕ D e n s id a d d e f lu jo m /s ϕ=0.306 q=8.65E-6
Grafico 8.11: Condición estacionario para diseño empleando modelo fenomenológico.
8-11. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son:
( )
4(
) (
12.50)
6.05 10 1 / bk fϕ
= − ⋅ −ϕ
−ϕ
m s( )
0
(
)
0.23
5.35 exp 17.9
0.23
c e cpara
para
ϕ ϕ
σ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
≤
=
=
>
=
Alimentamos un espesador con 60m de diámetro y 6m de altura con los siguientes flujos másicos de sólidos, en tph, de FF=152.5, 178.1 y 203.5 a una concentración
de XF=21.7% de sólidos en peso. Calcular los correspondientes estados
estacionarios, la concentración de la descarga y sus respectivos niveles de sedimento, manteniendo el flujo volumétrico de descarga constante 203.54m3/hrs.
La densidad del sólido es 2.5t/m3. Solución:
La superficie del espesador, esta dada por:
(
)
2( )
2/ 2
2826
espesador
S
=
π φ
=
m
Se calcula la densidad de flujo sólido para cada una de las alimentaciones al espesador, como: F F s F f S
ρ
=La velocidad volumétrica de descarga se calcula a partir del flujo volumétrico de descarga y la superficie del espesador:
D
Q q
S
=
La concentración de la descarga, se obtiene a partir del estado estacionario. Se gráfico cada una de las alimentaciones. Los resultados encontrados se muestran en el gráfico y la tabla siguiente.
Solo para el mayor tonelaje, no se cumple el estado estacionario. La densidad de flujo de alimentación esta levemente bajo la curva fbk.
Análisis condición estacionaria
-2,00E-05 -1,80E-05 -1,60E-05 -1,40E-05 -1,20E-05 -1,00E-05 -8,00E-06 -6,00E-06 -4,00E-06 -2,00E-06 0,00E+00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Fracción volumétrica ϕ D e n s id a d d e f lu jo m /s ϕD=0.30 ϕD=0.35 ϕD=0.40 F=152.5TPH estacionario F=178.1TPH F=203.5TPH
Grafico 8.12: Análisis estado estacionario para diferentes alimentaciones al espesador. Tabla 8.9: Resultados obtenidos para diferentes alimentaciones al espesador.
FF 1 152,5 FF 2 178,1 FF 3 203,5 TPH
fF 1 6,00E-06 fF 2 7,00E-06 fF 3 8,00E-06 m/s
ϕD 1 0,30 ϕD 2 0,35 ϕD 3 0,40
Para obtener la altura del sedimento, se debe emplear:
( ) ( )
( )
(
)
, C D e bk c z D bkf
Z
d
g
q
q
f
ϕ ϕσ ξ
ξ
ξ
ρξ
ϕ
ξ
ξ
=
∆
−
−
∫
(8.24) La concentración crítica es la concentración a la cual comienza el proceso de consolidación,ϕ =
C0.23
.El nivel de sedimento, se obtiene desarrollando: Para el tonelaje de alimentación F=152.5TPH:
(
) (
)
(
)
(
)
12.5 0.23 12.5 0.3 6 5 40.0578 exp 17.9
1
14700
6 10
2 10
6.05 10
1
cZ
ξ ξ
ξ
d
ξ
ξ
− −ξ
−ξ
ξ
−
⋅
−
=
= ∞
− ⋅
+ ⋅
+
⋅
−
∫
Para el tonelaje de alimentación F=178.1TPH:
(
) (
)
(
)
(
)
12.5 0.23 12.5 0.35 6 5 4 0.0578 exp 17.9 1 0.931 14700 7 10 2 10 6.05 10 1 c Zξ ξ
ξ
dξ
ξ
− −ξ
−ξ
ξ
− ⋅ − = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −∫
Para el tonelaje de alimentación F=203.5TPH:
(
) (
)
(
)
(
)
12.5 0.23 12.5 0.40 6 5 4 0.0578 exp 17.9 1 0.33 14700 8 10 2 10 6.05 10 1 c Zξ ξ
ξ
dξ
ξ
− −ξ
−ξ
ξ
− ⋅ − = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −∫
8-13. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento, son:
( )
4(
) (
12.50)
6.05 10
1
/
bkf
ϕ
= −
⋅
−ϕ
−
ϕ
m s
( )
0(
)
0.23 5.35 exp 17.9 0.23 c e c para paraϕ ϕ
σ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
≤ = = > = Alimentamos un espesador de 60m de diámetro y 6m de altura con un flujo másico de sólidos, en TPH, de FF=178.1 y 196 a una concentración de XF=21.7%
de sólidos en peso, obteniéndose una concentración de descarga de 57.4 a 61.0% de sólidos en peso. La densidad material del sólido es 2.5 t/m3. Calcular el
inventario de sólidos en el espesador en los dos estados estacionarios indicados y graficar las curvas densidad de flujo y los perfiles de concentración.
Solución:
Se denomina inventario del espesador al tonelaje de pupa almacenada en su interior. Este inventario consiste una suspensión de concentración conjugada
ϕ
L yun sedimento de concentración variable entre
ϕ
C≤ ≤
ϕ ϕ
D. Entonces el inventarioésta dado por:
(
)
( )
{
0}
C Z E C LM
= ∆
ρ
S
L
−
Z
ϕ
+
∫
ϕ
Z dZ
(8.26)Se determina las densidades de flujo para cada uno de los flujos másicos de alimentación y la velocidad volumétrica de descarga. En la tabla siguiente, se resumen las variables calculadas.
Tabla 8.10: Variables obtenidas.
FF 1 178,1 TPH FF 2 196 TPH fF 1 7,00E-06 m/s fF 2 7,71E-06 m/s ϕL1 0,01 ϕL2 0,02 XF 21,7 % ϕF 0,10 XD 1 57,4 % XD 2 61 % ϕD 1 0,35 ϕD 2 0,38 q1 2,00E-05 m/s q2 2,00E-05 m/s
La curva densidad de flujo para los estados estacionarios:
Estado Estacionario -2,00E-05 -1,80E-05 -1,60E-05 -1,40E-05 -1,20E-05 -1,00E-05 -8,00E-06 -6,00E-06 -4,00E-06 -2,00E-06 0,00E+00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Fracción volumétrica ϕ D e n s id a d d e f lu jo m /s fF1 fF2
Grafico 8.14: Estados estacionarios posibles.
Para calcular el inventario dentro del espesador, es necesario conocer la altura crítica, por ello se debe resolver para cada flujo másico de alimentación la ecuación (8.24), la altura para cada alimentación es:
(
) (
)
(
)
(
)
12.5 0.23 1 12.5 0.35 6 5 4 0.0578 exp 17.9 1 0.931 14700 7 10 2 10 6.05 10 1 c Zξ ξ
ξ
dξ
ξ
− −ξ
−ξ
ξ
− ⋅ − = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −∫
(
) (
)
(
)
(
)
12.5 0.23 2 12.5 0.38 6 5 40.0578 exp 17.9
1
3.91
14700
7.71 10
2 10
6.05 10
1
cZ
ξ ξ
ξ
d
ξ
ξ
− −ξ
−ξ
ξ
−
⋅
−
=
=
−
⋅
+ ⋅
+
⋅
−
∫
El perfil de concentración, para cada alimentación, se detalla en la figura siguiente.
Perfil de Concentración 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 Fracción volumétrica ϕ Al tu ra m F1 F2
Grafico 8.15: Perfil de concentración.
Donde,
( )
0 Zcz dz
ϕ
∫
(8.27) Puede ser determinado del perfil de concentración del gráfico 8.15, de modo: Para FF=178.1TPH, (8.27) tiene una magnitud de 0.27m.Para FF=196TPH, (8.27) tiene una magnitud de 1.20m.
Reemplazando los valores obtenidos para cada una de las alimentaciones en (8.26), se obtiene el inventario del espesador.
( )
12422.82
EM
=
ton
( )
18733.83
EM
=
ton
8-14. Para los datos de los ejemplos anteriores, determinar la capacidad máxima Fmax, en tph, del espesador de 60m de diámetro para las concentraciones de
descarga 57.4 y 61% de sólidos en peso. Solución:
El tonelaje unitario máximo que puede ser tratado por un espesador, se obtiene del valor mínimo de la función
TU
(
ϕ ϕ
,
D)
para los valoresϕ
L≤ ≤
ϕ ϕ
D.(
,
)
( )
1
s bk D Df
TU
ϕ ϕ
ρ
ϕ
ϕ
ϕ
=
−
(8.29)Entonces el tonelaje unitario máximo es:
(
)
max
,
D;
L DF
= ⋅
S TU
ϕ ϕ
ϕ
≤ ≤
ϕ ϕ
(8.30)La curva TU v/s fracción volumétrica muestra el mínimo para esta función para las dos alimentaciones que estableces el estado estacionario en el espesador.
Tonelaje unitario TU 0,00E+00 5,00E-02 1,00E-01 1,50E-01 2,00E-01 2,50E-01 3,00E-01 0,01 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 0,31 Fracción volumétrica ϕ T o n e la je u n it a ri o T U T P H /m 2 TU min=4.5E-2
Grafico 8.16: Determinación TU mínimo.
Para ambas alimentaciones al espesador, se establece el mismo mínimo de la
función
(
)
2(
2)
, D 4.5 10 /
TU
