Si
Siaaes próximo a cero es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Sise obtiene una elipse poco excéntrica. Si aaes próximo a uno se obtiene unaes próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica.
elipse muy excéntrica. VéaseVéase Excentricidad.Excentricidad.
La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos,
La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F F yy F F ’,’,
llamados focos, y un número fijo
llamados focos, y un número fijo k k , , , , la la elipse elipse es es el el lugar lugar geométrico geométrico de de los los puntos,puntos, P P , del, del plano cuya suma de distancias a
plano cuya suma de distancias a F F yy F F ’ es igual a’ es igual a k k ::
;; d d 11 ++ d d 22 == k k ..
Esta forma de definir una
Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: seelipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya
colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual alongitud sea igual a k
k . Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse. Además de los focos
Además de los focos F F yy F F ´, en una ´, en una elipse destacan los siguientes elementos:elipse destacan los siguientes elementos:
• Centro, • Centro, OO.. • Eje mayor, • Eje mayor, AA AA´.´. • Eje menor, • Eje menor, BBBB´.´. • Distancia focal, • Distancia focal, OFOF..
Algunas distancias caracter
Algunas distancias características de la ísticas de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:elipse se suelen designar con las letras siguientes:
•
• . . El El eje eje mayor mayor mide mide 22aa.. •
• . . El El eje eje menor menor mide mide 22bb.. •
• . . La La distancia distancia entre entre focos focos es es 22c c .. •
• ..
Por ser rectángulo el triángulo
Por ser rectángulo el triángulo OBF OBF , se cumple la siguiente relación:, se cumple la siguiente relación: a
a22 == bb22 ++ c c 22
La excentricidad de una elipse se obtiene así: La excentricidad de una elipse se obtiene así: e
e== c c //aa Puesto que
Puesto que c c << aase verifica que 0 <se verifica que 0 < ee< 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número< 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
comprendido entre 0 y 1.
Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e =
son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio,0,25 , y la Mercurio, ee= 0,21. Los restantes = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas conplanetas tienen órbitas con excentricidad
excentricidades inferiores a es inferiores a 0,1 , 0,1 , es decir, casi circulares.es decir, casi circulares. PROPIEDADES DE LA ELIPSE
PROPIEDADES DE LA ELIPSE Si desde un punto
Si desde un punto P P de la elipse se de la elipse se trazan los segmentostrazan los segmentos PF PF yy PF PF ’, la bisectriz exterior del ’, la bisectriz exterior del ánguloángulo que forman estos segmentos es tangente a
ECUACIÓN REDUCIDA DE ELIPSE ECUACIÓN REDUCIDA DE ELIPSE
Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje
Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X X coincidiendo con el eje mayor de lacoincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje
elipse y el eje Y Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:
que se llama ecuación reducida de la elipse. que se llama ecuación reducida de la elipse.
HIPERBOLA HIPERBOLA
una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje
una superficie cónica de eje ee y ánguloy ángulo aamediante un plano P que no pasa por el vértice y quemediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a
corta a eecon un ángulocon un ángulo β βmenor quemenor que aa..
La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos
La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos,puntos fijos, F F yy F F ′, llamados focos, y un número positivo′, llamados focos, y un número positivo k k , , , , la la hipérbola hipérbola es es el el lugar lugar geométrico geométrico de de loslos puntos,
puntos,P P , tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k k ::
; |
• Centro, • Centro, OO.. • Vértices,
• Vértices, A Ayy A A′.′. •
• Distancia Distancia entre entre los los vértices, vértices, .. •
• Distancia Distancia entre entre los los focos, focos, ..
El triángulo de lados
El triángulo de lados aa,,bb,,c c es rectángulo. Por tanto, se cumple quees rectángulo. Por tanto, se cumple que b
b22 == c c 22 ––aa22
La excentricidad de una hipérbola es
La excentricidad de una hipérbola es ee== c c //aa.. Puesto que
Puesto que c c >> aase verifica quese verifica que ee> 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un> 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.
número mayor que 1.
Una propiedad importante de la hipérbola es que si
Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la desde un punto de la curva se trazan loscurva se trazan los segmentos correspond
segmentos correspondientes a las distancias de ientes a las distancias de este punto a los este punto a los focos, la bisectriz del ángulofocos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a
formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.la hipérbola.
Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo
Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al se acercan una vez al Sol, queSol, que es uno de los
es uno de los focos de su trafocos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndosyectoria. Después se alejarán perdiéndose en los e en los confines del Sistemaconfines del Sistema Solar.
Solar.
Existe un sistema de ayuda a
EXPRESION ANALITICA DE LA HIPERBOLA EXPRESION ANALITICA DE LA HIPERBOLA Si situamos el eje
Si situamos el eje X X en la línea de los focos de una hipérbola y el en la línea de los focos de una hipérbola y el ejeeje Y Y en la mediatriz delen la mediatriz del segmento
segmento FF FF ′, entonces la ecuación de la ′, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguientehipérbola adopta la expresión siguiente, llamada, llamada ecuación reducida de una hipérbola:
ecuación reducida de una hipérbola:
Las asíntotas tienen las
Las asíntotas tienen las ecuacionesecuaciones
Si
Siaa== bb, la hipérbola es equilátera. Su , la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:ecuación es: x
x 22–– y y 22 == aa22
y sus asíntotas son las rectas
y sus asíntotas son las rectas y y == x x ,,y y = -= - x x ..
También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones
También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y y == aa// x x . Sus asíntotas son los ejes. Sus asíntotas son los ejes coordenados.