1. Sea un espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Una función X : Ω R n es llamada

(1)

CAP´ITULO III. METODOLOG´IA

III.1 Fundamentos de Probabilidad

“Los procesos estoc´asticos son sucesiones de eventos gobernados por las leyes de probabilidad”. (Karlin, Taylor; 1)[12]

1. Sea un espacio de probabilidad (Ω, F , P ). Una funci´_{on X : Ω → R}n_{es llamada}

una variable aleatoria(v.a.) si para B ∈ B

X−1(B) ∈ F

Equivalentemente, X es F -medible.

2. A la función de distribución F (λ) = P r[X ≤ λ] se le llama función de dis-tribución.

3. E[X] es el valor esperado de X

4. E[Xn] es el n-´esimo momento de X

5. X es llamada discreta si su rango λ1, λ2, ... es finito o numerable con ai ≡

P r[X = λi] > 0 con i = 1, 2, 3, .... yP ai = 1.

6. Sea X una v.a. continua y F su función de distribución de X. Entonces si existe una función p(t) para −∞ < t < ∞ tal que satisfaga:

F (λ) = Z λ

−∞

(2)

a p se le llama funci´on de densidad de X.

7. Si X es una v. a. discreta entonces el m-´esimo momento ser´a: E[Xm_{] =}P

iλmi P r[x = λi]

8. Si X es continua con una función de densidad p(·) el m-ésimo momento será: E[Xm_{) =}R∞

−∞x

m_p(x)dx

9. El primer momento de X es com´unmente llamado la media, y es denotado por µX

Dado un par (X, Y ) de v.a.s su distribuci´on conjunta es la funci´on FXY de dos

variables reales dada por

F (λ1, λ2) = FXY(λ1, λ2) = P r{X ≤ λ1, Y ≤ λ2}

La función F (λ, +∞) ≡ limλ2→∞F (λ, λ2) es una función de distribución

lla-mada función de distribución marginal de X. Análogamente para la distribución marginal de Y . Si F (λ1, +∞) · F (+∞, λ2) = F (λ1, λ2) para cualquier valor de

λ1, λ2, entonces las v.a.s X y Y son llamadas independientes. Una funci´on de

dis-tribuci´on conjunta FXY se dice que posee una funci´on de densidad conjunta si existe

una funci´on pXY(s, t) de dos variables reales tal que

FXY(λ1, λ2) = Z λ2 −∞ Z λ1 −∞ pXY(s, t)dsdt

(3)

para todo λ1, λ2. Si X y Y son independientes, entonces pXY(s, t) es

nece-sariamente pX(s)pY(t), donde pX y pY son las densidades de la distribuci´on marginal

de X y Y respectivamente.

La función de distribución conjunta de una colección finita X1, ..., Xn de

va-riables aleatorias es definida como la funci´on

F (λ1, ..., λn) = F X1, ..., Xn(λ1, ..., λn) = P r{X1 ≤ λ1, ..., Xn≤ λn}

La funci´on de distribuci´on

FXi1,...,Xik(λi1, ..., λik) = limλi→i6=i1,...,ikF (λ1, ..., λn)

es llamada la distribuci´on marginal de las variables aleatorias Xi1, ..., Xik.

Si F (λ1, ..., λn) = FX1(λ1) · ... · FXn(λn) para todos los valores de λ1, λ2, ..., λn

de las v.a.s X1, ..., Xn son llamadas independientes.

Una función de distribución conjunta F (λ1, ..., λn) se dice que tiene una función

de densidad si existe una funci´on no-negativa p(t1, ..., tn) de n variables tal que

F (λ1, ..., λn) = Z λn −∞ ... Z λ1 −∞ p(t1, ..., tn)dt1, ..., dtn

para todo real λ1, ..., λn.

Si X y Y son variables aleatorias distribuidas conjuntamente con medias mx

y my respectivamente, su covarianza (σXY) es

σXY = E[(X − mX)(Y − mY)]

La probabilidad condicional P r[A|B] del evento A dado el evento B es definida por

(4)

P r[A|B] = P r[A ∩ B]

P r(B) , si P r(B) > 0,

y puede ser indefinida o asignada arbitrariamente cuando P r(B) = 0.

Sean X y Y variables aletaorias las cuales pueden tener valores aleatorios contables, la funci´on de distribuci´on condicional FX|Y de X dado Y es definida por

FX|Y(x|y) =

P r[X ≤ x, Y ≤ y]

P r[Y = y] , si P r[Y = y] > 0,

y con una función de distribución discreta arbitraria cuando P r[Y = y] = 0 Suponga X y Y variables aleatorias continuas distribuidas conjuntamente con una función de densidad conjunta pXY(x, y). Entonces la función de distribución

condicional de X dado que Y = y es

FX|Y(x|y) =

R

ξ≤xpXY(ξ, y)dξ

pY(y)

donde pY(y) > 0 y con una especificaci´on arbitraria cuando pY(y) = 0.

Note que FX|Y satisface:

1. FX|Y(x|y) es una funci´on de distribuci´on de x con un valor fijo y.

2. FY |X es una funci´on de distribuci´on de y con un valor fijo x.

3. Para cualquier valor x,y

P r[X ≤ x, Y ≤ y] =R_η≤yFX|Y(x|η)dFy(η)

III.2 Esperanza condicional

(5)

X = (x1, x2, ..., xm) y Z = (z1, z2, ..., zn) variables aleatorias

Como se ha visto la probabilidad condicional es:

P(X = xi|Z = zj) := P(X = xi, Z = zj)/P(Z = zj)

y la esperanza condicional elemental:

E(X|Z = zj) =

X

xiP(X = xi|Z = zj)

La variable aleatoria Y = E(X|Z) se define como sigue:

Si Z(w) = zj, entonces Y (w) := E(X|Z = zj) =: yj

La σ-´_{algebra G = σ(Z) es generada por conjuntos {w : Z(w) ∈ B}, B ∈} B(R), y por consiguiente consiste precisamente en 2n subconjuntos generados por las uniones e intersecciones de elementos de Z. Es claro observar que Y es constante sobre Z, es decir, Y es G-medible.

Teorema y Definici´on fundamental de Kolmogorov (1933)

Sea un espacio de probabilidad (Ω, F , P ) y X una variable aleatoria con E(|X|) < ∞. Sea G una sub-σ-´algebra de F . Entonces existe una variable aleatoria Y tal que:

1. Y es G-medible

2. E(|Y |) < ∞,

3. Para cada conjunto G en G se tiene: Z G Y dP = Z G XdP

(6)

Agregando que si ˜Y es otra v.a. con las anteriores propiedades entonces ˜Y= Y p−c.s., as´ı P[ ˜Y= Y ] = 1. Una v.a. Y con estas propiedades es llamada una versi´on de esperanza condicional E(X|G) de X dado G y se denota como Y = E(X|G).

As´ı E(X|G) ∈ L1_.

Significado intuitivo de la esperanza condicional

Con la información hasta ahora conocida se sabe que un punto w ha sido escogido en el conjunto de valores Z(w) para cada variable aleatoria Z G-medible. Entonces Y (w) = E(X|G)(w) es el valor esperado de X(w) dada esta información. Adem´_{as, es notorio que si G es la σ-álgebra trivial {0, Ω} entonces E(X|G)(w) =} E(X) para todo w.

III.3 Propiedades de la Esperanza Condicional

Sea E(|X|) < ∞ con G y H sub-σ-´algebras de F . Entonces:

1. Si Y es cualquier versi´_{on de E(X|G) entonces E(Y ) = E(X)}

E[E[X|G]] = E[x]

2. Si X es G-medible, entonces E(X|G) = X

3. E(a1X1+ a2X2|G) = a1E(X1|G) + a2E(X2|G)

4. Si X ≥ 0 entonces E(X|G) ≥ 0

(7)

6. Si Xn ≥ 0 entonces E[lim inf Xn|G] ≤lim inf E[Xn|G]

7. Si |Xn(w)| ≤ V (w), ∀n, E(V ) < ∞ y Xn → X entonces:

E(Xn|G) → E(X|G)

8. Si c : R → R es una funci´on convexa y E|c(X)| < ∞, entonces:

E[c(x)|G] ≥ c(E[X|G])

COROLARIO: kE(X|G)kp ≤ kXkp para p ≥ 1

9. Si H es una sub-σ-´_{algebra de G, entonces:}

E[E(X|G)|H ] = E[X|H ]

10. Si Z es G-medible y acotado entonces:

E[ZX|G] = ZE[X|G]

11. Si H es independiente de σ(σ(X), G), entonces:

E[X|σ(G, H )] = E(X|G)

En particular, si X es independiente de H , entonces: bf E[X|H] = E[X].

III.4 Martingalas

Un proceso estocástico es una colección paramétrica de variables aleatorias

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definida en un espacio de probabilidad (Ω, F , P ) y asumiendo valores en Rn_.

Martingala

El proceso Mt es una martingala si

1. |E(Mt)| < ∞ ∀t ;

2. Mt es Ft-medible ∀t;

3. La esperanza condicional E(Mt|Fs) = Ms si s < t.

PROPIEDADES

1. {Mn} es una martingala si y s´olo si E[Mn+j|Fn] = Mn ∀j ≥ 0

2. Si {Mn} es martingala entonces E[Mn] = E[M0]

3. La suma de dos martingalas es martingala

III.5 Movimiento Browniano

El movimiento Browniano se refiere a algunos fen´omenos f´ısicos de diminutas part´ıculas inmersas en un flu´ıdo que se mueven aleatoriamente o a los modelos matem´aticos usados para describir este movimiento.

El movimiento Browniano fue descubierto por el bi´ologo Robert Brown en 1827 cuando estudiaba en el microscopio a las part´ıculas de polen flotando en el agua. El primero en aplicar en finanzas este movimiento fue Louis Bachelier en 1900 con su tesis “La teor´ıa de la especulaci´on”. (Ermogenous, 2005)[7] Norbert Wiener

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caracterizó el Movimiento Browniano de manera concisa matemáticamente con sus diversas propiedades por eso también se le llama proceso de Wiener.

Proceso de Wiener

El movimiento Browniano ´o proceso de Wiener es un proceso estoc´astico Wt

con valores en R definidos para t ∈ [0, ∞) los cuales cumplen las siguientes condi-ciones:

1. W0 = 0.

2. Si 0 < s < t entonces Wt− Ws tiene una distribuci´on normal N (0, t − s) (con

media 0 y varianza t − s)

3. Si 0 ≤ s ≤ t ≤ u ≤ v (tal que los intervalos [s, t] y [u, v] no se traslapan) entonces Wt − Ws y Wv − Wu son variables aleatorias independientes. De

hecho, el proceso de Wiener es el proceso estoc´astico con tiempo homog´eneo y con incrementos independientes de trayectoria continua.

4. Las trayectorias t ,→ Wt son cont´ınuas casi-seguramente.

Propiedades del movimiento Browniano

1. Wt es un proceso Gaussiano: ∀ 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tk el vector aleatorio

Z = (Wt1, ..., Wtk) ∈ R tiene una distribuci´on multinormal.

2. Wt tiene incrementos estacionarios:

(Wt+h− Wt)h≥0 tiene la misma distribuci´on para toda t;

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3. Wt tiene trayectorias continuas pero no es diferenciable en todas partes.

4. El movimiento Browniano es una martingala.

5. Cov(Ws, Wt) = min(s, t)

Propiedades de la distribuci´on del movimiento Browniano (Ermogenous, 2005)[7]

1. Homogeneidad espacial

Wt+ x para cualquier x ∈ R es un movimiento Browniano comenzado en x

2. Simetr´ıa

−Wt es tambi´en un movimiento Browniano

3. Escalable √

c Wt/c para cualquier c > 0 es un movimiento Browniano

4. Inversi´on del tiempo Zt= {

0, t = 0 tW1

t, t > 0

es un movimiento Browniano

5. Reversibilidad del tiempo

Para t > 0, {Ws: 0 ≤ s ≤ t} ∼ {Wt−s− Wt: 0 ≤ s ≤ t}

Los mercados financieros siguen el movimiento Browniano ya que los activos cambian continuamente sobre intervalos muy peque˜nos de tiempo de una forma aleatoria.

(11)

III.F´ormula de Itˆo

Sea una funci´_{on f : [a, b] → R. Es integrable si existe un n´umero A tal que} L(f , P ) ≤ A ≤ U (f , P ) para cualquier P partici´on del intervalo [a, b]; L(f , P ) es la suma inferior, y U (f , P ) es la suma superior.

Esto define la integral R_abf ≡ A, la cual puede ser aproximada usando las sumas de Riemann donde t∗_n∈ [tn, tn+1]:

N −1 X n=0 f (t∗_n)(tn+1− tn) ≈ A = Z b a f

t∗_n podr´ıa ser por ejemplo tn ´o tn+1 ´o el promedio

tn+1+ tn 2 : N −1 X n=0 f (tn)(tn+1− tn) ≈ A = Z b a f N −1 X n=0 f (tn+1+ tn 2 )(tn+1− tn) ≈ A = Z b a f

La primera suma es una suma por la izquierda. La segunda por el punto medio. Cuado la norma de la partici´on tiende a cero ambas sumas se aproximan a A.

Ahora se considera el caso de la funci´on estoc´astica Wt y su integral

Z T

0

WtdWt

Esta integral estoc´astica puede ser aproximada de la misma maneraR_abf . Pero las aproximaciones resultantes por medio de una suma por la izquierda de la partici´on ´

(12)

de Itˆo mientras que la suma por el punto medio es la integral de Stratonovich. (Fanning, Parekh; 2004)[8]

Por ejemplo, sea T > 0 y 0 = tn₀ < tn₁ < ... < t_nn= T con tn_i = iT_n una partici´on regular de [0, T ] y ∆n

iW = W (tnj+1) − W (tnj) con

limn→∞Pn−1_i=0(∆niW )2 = T en L2, es decir

limn→∞E([ n−1

X

i=0

(∆n_iW )2− T ]2) = 0

Como se ha mencionado, en la integral estocástica se depende de la elección de la partición: Sea 0 = tn

0 < tn1 < ... < tnn = T con tni = iT

n entonces la integral de

Stratonovich se definir´ıa como:

limn→∞ n−1 X j=0 W (t n j + tnj+1 2 )(W (t n j+1) − W (t n j))

Mientras que la integral de Itˆo es:

limn→∞ n−1 X j=0 W (tn_j)(W (tn_j+1) − W (tn_j)) = 1 2(W (T )) 2 ₋T 2 Algunas Propiedades de la Integral Estoc´astica

1. Linealidad Z t 0 (αf (r) + βg(r))dWr = α Z t 0 f (r)dWr+ β Z t 0 g(r)dWr 2. Isometr´ıa E(| Z t 0 f (r)dWr|2) = E( Z t 0 |f (r)|2_dr)

(13)

El movimiento Browniano geométrico se define como la solución de un modelo para precios de ‘stock’. Hay que considerar los valores de un precio de ‘stock’ en dos instantes cercanos Pt y Pt+∆t con ∆t > 0 ”pequeño”. La razón:

Rt =

Pt+∆t− Pt

Pt

caracteriza el cambio del precio en un instante “pequeño”. Simbólicamente también puede representarse Rt como:

Rt= (b + “ruido”)∆t

donde b refleja la parte determinista del incremento del precio (ó del decre-mento si es el caso). “ruido” es el resultado de las acciones de un gran número de pequeños factores accidentales (pol´ıtica, guerra social, climática, religiosa, etc). ∆t es el periodo del tiempo.

Pt+∆t− Pt = [bPt+ “ruido”Pt]

Entonces Pt puede escribirse como:

Pt= P0+ Z t 0 buPudu + Z t 0 σupudW

entonces la ecuación estocástica análoga:

dPt= btPtdt + σtPtdWt

se utiliza como modelo para describir precios de stocks. Este modelo (lognor-mal) es usado por que brinda la facilidad, se observará más adelante, de completar cuadrados y como ER . . . dW = 0 será más útil su empleo.

(14)

Segun Lamberton y Lapeyre (1996)[15] en su definici´on 3.4.8:

Sea (Ω, F , (Ft)t≥0, P) un espacio de probabilidad generado por una filtraci´on

y (Wt)t≥0 un Ft-movimiento Browniano, entonces (Xt)0≤t≤T es un proceso de Itˆo si

puede ser escrito como:

Xt = X0+ Rt 0 Ksds + Rt 0 HsdWs P.c.s donde 1. X0 es F0-medible

2. (Kt)0≤t≤T y (Ht)0≤t≤T son procesos Ft-adaptados

3. RT

0 |Ks|ds < +∞ P .c.s.

4. R₀T |Hs|2ds < +∞ P .c.s.(p.43)

F´ormula de Itˆo

Sea F (t, x) : R2 → R tal que sus derivadas parciales F0

t, Fx0, Fxx00 son continuas ∀ t ≥ 0, x ∈ R. Si adem´as el proceso F0 x(t, Wt) ∈ L2 entonces F (t, Wt) es un proceso de Itˆo y: F (T, wT) = F (0, W0) + Z T 0 [F_t0(t, Wt) + 1 2F 00 xx(t, Wt)]dt + Z T 0 F_x0(t, wt)dWt Ejemplos: 1. Sea F (t, x) = x2

(15)

F_t0(t, x) = 0 F_x0(t, x) = 2x F_xx00 (t, x) = 2

por la f´ormula de Itˆo d(W2

t) = dt + 2WtdWt 2. F (t, x) = x3 F_t0(t, x) = 0 F_x0(t, x) = 3x2 F_xx00 (t, x) = 6x entonces d(W3 t) = 3Wtdt + 3Wt2dWt

Regresando al modelo para describir los precios de ‘stock’:

Pt= ptexp{ Z t 0 [bu − 1 2σ 2 u]du + Z t 0 σudWu}

Si bt= b y σt2 = σ2 son constantes entonces:

Pt= ptexp{(b −

1 2σ

2_{)t + σW} t}

el cual es un proceso al que se le llama movimiento Browniano Geom´etrico. Caracter´ısticas:

E(Pt) = E[P0 exp(b −

σ2 2 )t exp(σwt)] = P0exp(b − σ2 2 )E(exp(σWt)) y como

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E(exp(σWt)) = Z ∞ −∞ exp(σx)ρWt(x)dx para t fija; ρWt(x) = 1 √ 2πtexp[ −x2 2t ] entonces E(exp(σWt)) = 1 √ 2πt Z ∞ −∞ exp(σx − x 2 2t)dx y como σx −x 2 2t = − 1 2t(x 2_{− 2t(σx) + (tσ)}2_{+ (tσ)}2₎ = −1 2t(x + tσ) 2₊ tσ 2 2 entonces E(exp[σ(Wt)]) = exp[ tσ2 2 ] 1 √ 2πt Z ∞ −∞ exp{−(x − tσ) 2 2t }dx = exp[tσ 2 2 ] entonces E(Pt) = P0 exp[(b − σ2 2 )t]exp[ tσ2 2 ] ∴ E(Pt) = P0exp {bt}

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dPt= σPtdWt

tambi´en se puede escribir como

Pt= P0+ σ

Z t

0

PudWu

la cual es una Integral estocástica de Itô más sencilla.

III.7 Representaci´on de los precios y estrategias con ecuaciones dife-renciales estoc´asticas

Se supone que los precios de los activos crecen exponencialmente, con un precio inicial igual al precio de hoy. Es decir:

E0(Pt) = P0exp{bt}

Donde Pt es el precio de la acci´on al tiempo t, E0 es la informaci´on esperada

en el tiempo 0 y b es la tasa de crecimiento esperada del precio. (Lund,Oaksendal, p.9)[17]

Se considera el modelo clásico de un mercado financiero con un activo con riesgo denominado ‘stock’ expresado por medio del movimiento Browniano y con un activo sin riesgo que al que se llamará bono. Estos activos están definidos en un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) generado por una filtración F = {Ft} donde

Ft representa la informaci´on disponible al tiempo t que se encuentre en el

mer-cado. El inversionista puede escoger invertir en cualquier momento. Se supone que la din´amica de los precios est´a descrita por las siguientes ecuaciones diferenciales

(18)

estoc´asticas:

dP0(t) = P0(t)r(t)dt

dPt = Pt[btdt + σdwt],

Asimismo, se suponen satisfechas las condiciones de continuidad y que el es-pacio es completo con P0(0) = 1, P0(t) es el precio del bono y Pt es el precio del

stock al tiempo t

Los coeficientes r(·), b(·) y σ(·) son definidos como no-anticipantes, son pro-cesos F progresivamente medibles que satisfacen:

E Z 1

0

kσ−1(t)(b(t) − r(t)1k2dt < ∞

en el sentido que una funci´on aleatoria f (t) es no-anticipante si es Ft-medible.

En particular, f (t) es no-anticipante si es independiente de Wt−s− Wt ∀s > 0.

Definici´on: π(t) es la proporci´on que se invierte en X(t) al momento t como proceso medible π(t, w) → R que satisface que

E Z 1

0

kbf σ(t)πk2_{dt < ∞}

al que se le llama proceso de la cartera.

Como se ha visto, el objetivo del inversionista es maximizar la utilidad esperada de la riqueza escogiendo el proceso apropiado de la cartera. Los resultados que se explican provienen de usar como funci´on de la utilidad una funci´on logar´ıtmica como lo hacen Pikovsky y Karatzas (1996)[21]. Entonces, el objetivo del inversionista es

(19)

encontrar la cartera óptima. Posteriormente se determinará el efecto del uso de la información privilegiada.

π∗ = argmaxE[logX. π(1)]

donde el m´aximo es obtenido de la cartera admisible, Xπ(t) representa la riqueza al tiempo t de la cartera π(·), y π es la estrategia de inversi´on:

Se requiere entonces especificar el tipo de cartera admisible. Se estudia el caso de carteras F-adaptadas. Por otra parte, cuando no lo son, se enfrenta a diversos problemas. Primero, la ecuaci´on diferencial para Xπ_{(·) se indefine. Segundo, si la}

cartera π(t) depende de lo conocido en el tiempo futuro t el valor es claramente infinito desde que el inversionista puede usar cualquier fluctuación en el mercado y esta fluctuación se distribuye como movimiento Browniano que se ha descrito tal que la primera variación es infinita casi seguramente.

El inversionista decide una estrategia (cartera) conveniente. Se verá que la ecuación diferencial estocástica siguiente:

X_tπ = x0+ Z t 0 [rs+ (bs− rs)πs]Xsπds + Z t 0 σsπsXsπdWs, t ∈ [0, T ]

describe la riqueza Xπ del inversionista asociada con la cartera π. x0 es la riqueza

inicial; r, b y σ son procesos medibles adaptados a la filtración subyacente; r, b y σ expresan la tasa de interés del bono, la tasa de interés-apreciación del ‘stock’ con riesgo y su volatilidad, respectivamente. Estos procesos denotan la tasa de interés del bono, la tasa de apreciación del ‘stock’ y la volatibilidad respectivamente. En este

(20)

caso se aplica la teor´ıa del c´alculo de Itˆo. El objetivo del inversionista es determinar la mejor estrategia que maximice la utilidad.

Se le llama informaci´on privilegiada cuando el inversionista tiene cualquier informaci´on acerca del futuro que, como se ha visto, influye en el precio del ‘stock’ ´

o en su mercado. Para mayor precisi´on, se tiene el supuesto de que el inversionista desde el principio tiene esta informaci´on adicional acerca del valor de una variable aleatoria F1 -medible L.

Aún cuando se conozca poca información acerca del futuro, ésta influye en el valor del problema (la riqueza final) ya que esta información es exacta sin dis-torciones ni ruido y el inversionista hace uso de ella. En el siguiente cap´ıtulo se evaluara la variable aleatoria L con el objetivo de maximizar la utilidad logar´ıtmica de la riqueza final esperada(con ‘insider trading’).

Si el inversionista tiene una información extra del comportamiento del mer-cado, se deben de considerar carteras que incluyan esta información al invertir en el ‘stock’. Estas estrategias no están necesariamente adaptadas a la filtración sub-yacente. Las carteras FT ∨ L-adaptadas son usadas para maximizar la utilidad. De

cualquier forma, la integral estocástica anteriormente definida no tiene significado bajo estos supuestos. Para resolver este problema de maximización varios autores han utilizado las técnicas de engrosamiento de filtraciones; por ejemplo Pikovsky y Karatzas[21]. Aqu´ı se solucionará a través del uso de las propiedades y el propio cálculo de la esperanza condiciona, ya que integra y se comporta igual al proceso original sobre conjuntos de la σ-álgebra FT original.