3. Composición de funciones

aritméticas. Ahora vamos a ver una operación definida especialmente para funciones. Definición 3.1. Composición de funciones. Sean f , g funciones. La función “ f compuesta g” se define como

( f g) (x) = f (g(x)) , Dom( f g) = {x Dom(g) : g(x) Dom( f )} Teoría y ejemplos en clase: composición de funciones

Ejemplos 6, 7, 8 y 9, pag. 40.

La composición de funciones es algo muy natural y se puede ver como una secuencia de transformaciones: ( f g) (x) toma un número x y le aplica g, al resultado g(x) se le aplica f y obtenemos f (g(x)). En ese sentido es claro porqué el dominio es lo que indica la definición: para calcular g(x) necesitamos primero que x Dom(g), y para poder calcular f (g(x)) se requiere que g(x) Dom( f ).

Con la composición de funciones podemos armar funciones muy complejas. Por ejemplo, la función

f(x) = 3 + cos(2x_{+ 1)} se puede expresar como una composición de cinco funciones

f(x) = ( f₅ f₄ f₃ f₂ f₁) (x) = f₅( f₄( f₃( f₂( f₁(x ))))), donde f1(t) = 2t, f2(t) = t + 1, f3(t) = cos(t), f4(t) = 3 + t, f5(t) = t

El orden en el cual se componen las funciones importa mucho. Por ejemplo, si h(x) = x _y g(x) = 1 - x , entonces

(h g) (x) = 1-x, (g h) (x) = 1 - x y los correspondientes dominios también son muy diferentes:

Dom(h g) = {x Dom(g) : g(x) Dom(h)} = x 1 : 1 - x = (- , 1 Dom(g h) = {x Dom(h) : h(x) Dom(g)} = {x : x _{1} = (- , 0]} A continuación se muestran las gráficas:

h(g(x)) g(h(x)) -2 -1 1 2 x 1 2 3 4 5

Ejemplos de composición de funciones (archivos, YouTube)

Ejercicios.

3.1. Considere las funciones f , g, h definidas a continuación: h(x) = 1 - x,

x -1 0 1 3 f(x) 2 1 0 -2 -2.0-1.5-1.0-0.5 0.5 1.0t -1.0 -0.5 0.5 1.0 g(t)

a. Calcule los siguientes números:

a. h(g(0)) b. (g h f ) (1) c. g(-h(h( f (-1)))) d. g(g(g(g(0.5)))) b. Seleccione el Dom(g f )

a. {-1, 0, 1} b. [-1, 3]

c. {0, 1, 3} d. Ninguna de las anteriores c. Seleccione el Ran(h g)

a. (1, 2] b. {0} [1, 2) c. {0, 1, 2} d. Ninguna de las anteriores 3.2. Considere las funciones definidas en las siguientes gráficas.

f -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 g 1 2 3 4 5 6 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a. ¿Cuál es Dom( f g)?. a. [0, 2] b. [-2, 2] c. [0 , 4.67] d. [0, 6) b. ¿Cuál es Dom(g f )?. a. [0, 2] {-2} b. [-2, 2] c. [0 , 4.67] d. [0, 6) 3.3. El panel de la izquierda muestra la gráfica de la función f . Sea g(x) = x . Del

panel de la derecha, identifique cuál es la gráfica de g f y de f g.

f -4 -2 2 4 -3 -2 -1 1 a b -4 -2 2 4 -3 -2 -1 1 2 3

El siguiente ejemplo interactivo ilustra cómo se componen funciones a partir de gráficos y fórmula. Más importante aún, discute el significado de la composición. También se cubre en el siguiente video de clase

Ejemplo en clase: significado de la compuesta (minuto 3:58-11:53)

Ejemplo 3.1. Suponga que usted va a tomar un paseo en globo. Mientras el globo sube, hay tres variables importantes: el tiempo t en horas, la altura sobre el piso h en metros y la temperatura T del aire en grados centígrados. Supongamos que esas

variables están relacionadas mediante las funciones f(t) = 1000 t2, g(h) = 30 - h 100 t 0.5 Compuesta 0 200 400 600 800 1000 T_{= 27.5} f t f(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 200 400 600 800 1000 h g f(t) g( f (t)) 200 400 600 800 1000h 22 24 26 28 30 T g f t g( f (t)) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 22 24 26 28 30 T

A medida que aumenta t, el globo sube aumentando su altura h según f , y la temper-atura disminuye según g. La función compuesta g f recibe a t, entrega T y está dada por:

g( f (t)) = 30 - f(t)

100 = 30 -1000 t2

El significado de (g f ) (t) es la temperatura a la altura del globo a los t minutos de empezar a subir. Graficamente, ( f g) (t) se puede obtener calculando f (t) y entrando ese resultado en el eje de h.

La función ( f g) se puede calcular,

f(g(h)) = 1000 30 - h 100

2

pero no tiene ningún significado físico: porque g recibe alturas y entrega temperat-uras, por tanto f (g(t)) intenta evaluar f en una temperatura.

Ejercicio.

3.4. Suponga que usted es un ingeniero diseñador de carreteras y, como trabaja independiente, cobra por horas. Sus honorarios por trabajar t horas son H(t) pesos. Usted ya sabe bien el tiempo que debe dedicarle a todos los asuntos del diseño de carreteras y tiene una función T que le permite calcular el tiempo T(x) que requiere diseñar un trazado de carretera de x km. Le piden una cotización en dólares, entonces usted consulta la tasa representativa del mercado que no es más que es la cantidad TRM(y) de dólares correspondientes a y pesos.

Para cada expresión matemática, seleccione su significado correcto: 1. TRM(H(150)) 2. H(T(150))

3. (TRM H T) (150) 4. T(H(150)) a. No tiene sentido

b. Cotización en dólares por diseñar un trazado de 150km de carretera c. Lo que se gana en dólares por trabajar 150 horas

d. Los dólares a los que equivalen 150 pesos.

e. Es el tiempo que tarda diseñar una carretera de 150 km de largo. f. Lo que cobra en pesos por diseñar una carretera de 150 km

g. El tiempo que se demora diseñando una carretera que cueste 150 dólares.

Sugerencia. Para este tipo de situaciones ayuda mucho un diagrama donde se muestren las variables y las funciones que las relacionan.

km horas pesos dólares

T H TRM

H T TRM H

TRM H T

Ejemplo 3.2. Revolver cartas se puede ver como una función sobre el orden de las cartas. Supongamos que tenemos una pequeña baraja de 10 cartas y que se revuel-ven siguiendo dos pasos: partiendo a la mitad e intercalando como se muestra a continuación

Podemos definir la función R que relaciona la posición inicial de una carta en la baraja, y su posición después de revolver. Por ejemplo, la carta punteada en la figura es la segunda, y quedó de cuarta, entonces R(2) = 4.

número de veces 1

Pos Inicial Pos Final

1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 1 7 3 8 5 9 7 10 9

Pero nadie revuelve una sola vez. Revolver dos veces corresponde a la función R R. Por ejemplo si se revuelve tres veces, la carta que estaba inicialmente de segunda, al revolver una vez queda en la posición R(2) = 4, la siguiente vez en R(4)) = 8, y finalmente en R(8) = 5. En resumen,

R(R(R(2))) = R(R(4)) = R(8) = 5

Ejercicios.

3.5. Después de revolver 8 veces una baraja de 10 cartas, ¿en qué posición queda la carta que originalmente estaba de última?

En el siguiente anexo se muestra cómo calcular la composición de funciones dadas por tramos. Es interesante porque nos fuerza a tener muy claro el significado de la Definición 3.1

Funciones por tramos y compuestas (archivos, YouTube)

Ejercicios.

3.6. En una varilla de material compuesto, el peso w en kg depende de la longitud L en metros según la función w = f (L) cuya gráfica se muestra a continuación.

1 2 3 4 L 10 20 30 40 50 w

Por otra parte, el precio P del envío depende del peso w así: para varillas con peso inferior a 20 kg, el envío cuesta 3000$ por kg, y si la varilla pesa más de 20 kg, cada kg adicional se cobra a 2000$.

Sea P = g(w) y calcule las siguientes cantidades e indique sus unidades: a. g( f (3)) =

b. f (g(0)) =

c. Para varillas con longitudes entre 2 y 2.5 metros, identifique la fórmula que permite calcular el costo de envío

a. 30 000 (2 L - 3) b. 40 000 (L - 1) c. 30 000 (6 L - 11) d. Ninguna de las anteriores

3.1. Transformación elemental de funciones y cambios de unidades

Una forma muy común e importante de transformar una una función f es componerla con una función lineal. A esta operación se le conoce como transformación elemental de f y son muy útiles en diversos contextos.

Teoría resumida: páginas 36-40. A continuación vemos los dos tipos de transformaciones elementales. Transformaciones verticales

Las transformaciones verticales se logran al aplicarle a f una función lineal de la forma f(x) + a, ó a f (x)

El efecto sobre la gráfica de f es el siguiente:

La gráfica de f (x) + a es una traslación vertical de la gráfica de f : hacía arriba si a> 0, y hacía abajo si a < 0.

Para a 0, la gráfica de a f (x) es una deformación vertical de la de f : si a > 1 se estira, y si 0 < a < 1 se comprime. Además, la gráfica de - f (x) es una reflexión de la de f respecto al eje horizontal

Teoría en clase: transformaciones verticales

Transformaciones horizontales

Las transformaciones horizontales se logran al aplicarle a x una función lineal y después aplicar f , es decir:

f(x + a), ó f (a x) El resultado de las transformaciones horizontales es:

La gráfica de f (x + a) es una traslación horizontal de la gráfica de f : hacía la izquierda si a > 0, y hacía la derecha si a < 0.

Para a 0, la gráfica de f (a x) es una deformación horizontal de la de f : si a > 1 se comprime, y si 0 < a < 1 se estira. Además, la gráfica de f (-x) es una reflexión de la de f respecto al eje vertical.

Teoría en clase: transformaciones horizontales

El siguiente objeto interactivo permite realizar cada una de las transformaciones sobre una gráfica:

a f(x) a_{+f(x) f(a x)} f_(x+a) a 0.4 f(x) 0.4 f(x) -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 4

Ejemplo 3.3. Los conceptos de amplitud, frecuencia y fase, se pueden ver como el resultado de transformaciones elementales sobre las funciones sen y cos. En el Capítulo 3 vimos que mediante función de la forma

f(t) = A sen[2 (t - )] + b

A 2.5 b -0.68 1 0.75 1/ A b _{1 2 3 4} -4 -2 2 4 A sen[2 _{(t- )]+b}

La amplitud Aes el factor de dilatación o compresión vertical de la función sen, mientras que el sumando b corresponde a una traslación vertical.

La frecuencia se logra dilatando (o comprimiendo) horizontalmente la función sen por un factor de 2 , de manera que lo que antes medía 2 en el eje hori-zontal, ahora mide 2 / (2 ) = 1 / = T unidades. Es decir, el periodo de f . La fase , por último, corresponde a una traslación horizontal de la función sen. Tal vez la forma más común en la cual se usan las transformaciones elementales de funciones en las ciencias e ingeniería, es para lograr cambios de unidades en variables relacionadas mediante una función. Los siguientes videos anexos hacen ejemplos parecido pero con más detalle

Ejemplo en clase: cambio de unidades en variable dependiente

Ejemplo 3.4. Supongamos que x = f (t), donde x es la posición en cm de un objeto respecto a un punto de referencia, y t es el tiempo en segundos; y que la gráfica de la función f es la siguiente:

60 120 180 240 300 360t -2000 -1000 1000 2000 x

La gráfica representa un movimiento en dos tramos a partir de t = 60: durante 60 segundos el objeto se aleja a velocidad constante, y luego se devuelve, pasa por el punto inicial en t = 240s, y continúa hasta t = 360s.

A uno le podría interesar representar el mismo movimiento en términos de otras variables. Sea el tiempo en minutos desde que el objeto comenzó a moverse, y y la distancia en metros respecto al punto final del movimiento. La forma de la gráfica de y vs. es la misma que la de f , pero los ejes son diferentes:

1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 y

La función g tal que y = g( ) se puede obtener como una composición de f con las operaciones correspondientes a los cambios de unidades:

y= g( ) = 1

100[ f (60 ( + 1)) + 2400]

de donde se pueden leer los cambios de unidades: 60 ( + 1) son los segundos correspondientes a minutos, y 1

100 (x + 2400) son los metros correspondientes a x cm. En ambos casos se tienen en cuenta el cambio de punto de referencia. Ejercicios.

3.7. Considere la función f (x) = x - 1 . Identifique el color de la gráfica correspondiente a cada una de las siguientes funciones

a. 2 f (x) b. f (-x) c. f (x) + 3 / 2 d. f (x - 1) -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 4

3.8. En el Ejemplo 3.4 de la Sección II.3 se halló una función potencia T(w) para la tasa metabólica de los mamíferos en función de su peso. Las unidades de T eran ml de oxigeno por hora, y las de w eran k g . Si x es el peso del mamífero en g y y su tasa metabólica en ml de oxigeno por minuto, indique cuál es la expresión que permite calcular a y en función de x

a. 1

60 T(1000 x) b. 60 T x 1000

c. T(w(x)) d. Ninguna de las anteriores

3.9. Suponga que T = T(h) es la temperatura del aire en grados centígrados a una altura de h metros sobre el nivel del mar. Si quisiéramos calcular la temperatura del aire en grados Farenheit a una altura de x metros por encima del Valle de Aburrá (que se encuentra a 1500 msnm), ¿cuál de las siguientes transformaciones de T debemos usar?

a.5

9 (T(x + 1500) - 32) b. 32 + 9

5 T(x + 1500) c. 32 +9

5 T(x - 1500) d. Ninguna de las anteriores

4. Inversión de funciones

Dado un círculo cualquiera, si r denota su radio y A su área, sabemos que dichas variables satisfacen la siguiente relación implícita:

A r2 = .

A partir de esta relación podemos definir dos funciones explícitas: A= f (r) = r2, r = g(A) = A /

Ambas funciones contienen exactamente la misma información pero de manera diferente. Para f la variable independiente es r y la dependiente es A, lo opuesto es cierto para g. La gráfica de las funciones f y g se muestra a continuación.

A_{= f (r)} 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r 5 10 15 20 25 A r_=g(A) 5 10 15 20 25 A 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r

Podríamos decir que g deshace lo que f hace, y viceversa. Es decir, dado el valor de r = 2, si aplico f obtengo el área de un círculo con radio igual a 2, f (2) = 4 . Y si a ese resultado le

aplico g, obtengo el radio correspondiente a un círculo con área 4 , es decir g(4 ) = 2. En resumen, g( f (r)) = r para todo r. Similarmente f (g(A)) = A para todo A. Esto motiva la siguiente definición.

Definición 4.2. Función invertible y su inversa. Sea f una función tal que para todo y Ran( f ) podemos definir

f-1(y) = (el único x Dom( f ) tal que f (x) = y)

entonces decimos que f es una función invertible y f-1 _{es su función inversa. La} función f-1 _{satisface que:}

Dom f-1 _{= Ran( f ) , Ran f}-1 _{= Dom( f )} Teoría resumida: páginas 41-42.

Lo clave sobre esta definición es: las funciones f y f-1 _{contienen la misma información, pero} intercambian los roles de las variables dependiente e independiente.

En el ejemplo del círculo, escribiríamos

g(A) = f-1(A) = A/ , f (r) = g-1(r) = r2.

La notación f-1 _{puede ser confusa, ese -1 no es un exponente en este contexto, sino la notación} matemática para la operación inversa.

4.1. Funciones invertibles

Si y = f (x), y f es una función invertible, quiere decir que existe una función, que llamamos f-1, tal que x = f-1(y). Según la Definición 4.2, una función es invertible cuando no repite valores de su rango, o en otras palabras, si x1 x2 Dom( f ), entonces f (x1) f(x2). A las funciones que no repiten valores las llamamos “inyectivas” o funciones “uno a uno”.

Si y = f (x) y f es una función invertible, entonces las variables x, y satisfacen algo muy particular: no solamente es posible calcular el valor de y a partir del de x, sino que x también se puede calcular a partir de y.

Esa situación no se cumple siempre. Por ejemplo, si T es la temperatura del aire en Medellín y t es la hora del día, habíamos visto que es posible escribir T como función de t, T = g(t) y que la gráfica de g es algo así

0 5 10 15 20 t 10 15 20 25 30 35T

T

= g(t)

Pero no puedo aplicar la Definición 4.2: si tomamos T = 30, no existe un único t [0, 24] tal que g(t) = 30. De hecho existen dos posibilidades, pero no sabría a cuál de los dos asignarle g-1(30). Es decir g no es invertible pues si yo sé la hora, puedo predecir la temperatura, pero si sé la temperatura no puedo saber la hora, en otras palabras, “un termómetro no sirve como reloj”.

Para funciones que sean continuas en todo su dominio, el siguiente Teorema nos permite identificar las funciones invertibles. Recuerden que se dice que una función f es “estrictamente creciente” en un conjunto I si para todo x1< x2 I se cumple que

f(x₁) < f (x₂), y “estrictamente decreciente” si, en vez, f (x₁) > f (x₂).

Teorema 4.1. Si una función f definida en el intervalo I es continua en I, entonces será invertible si y sólo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en I.

Es importante anotar acá que una función dada por una fórmula puede ser invertible o no, dependiendo de su dominio. Por ejemplo, la función f (x) = x4 _{no es invertible (porque se} asume que Dom( f ) = ), pero la función

F(x) = x4, x 0 si es invertible y F-1_{(y) = y}1/4_.

Ejercicios.

a. 3 x + 1 b. sen(x) c. x d. x _{e. 1 / x f. x}-2 g. x x-1 h. x - x i. x- 1, -1 x 0 1 - x, 0 < x 1 4.11. Indique cuáles de las siguientes funciones son invertibles:

a. y(x) en el Ejemplo 1.7 de la Sección II.1.4 (Semana 2) b. C(h) en el Ejemplo 2.13 de la sección II.2.5 (Semana 2)

c. (T) en el Ejemplo 2.14 de la sección II.2.5 (Semana 2) d. D(w) en el Ejemplo 3.1 de la Sección II.3 (Semana 3)

e. m(t) en el Ejemplo 2.10 de la sección IV.3 (Semana 5) f. R(n) en el Ejemplo 3.2 sobre revolver cartas.

4.2. Cálculo e interpretación de funciones inversas

En general, si la función f es invertible y y Ran( f ), entonces calcular f-1_{(y) significa hallar} el x Dom( f ) que resuelve la ecuación y = f (x). Esto puede ser fácil, difícil o imposible de hacer de manera exacta y es posible que requiera de un método numérico. Depende además de cómo esté representada la función f .

Cálculo e interpretación de funciones inversas (Archivos, YouTube)

Ejemplo 4.5. Si a > 0 y a 1, entonces la función exponencial f (x) = ax _{es una} función invertible, y su inversa es la función logaritmo en base a:

y= ax _{x= log}

a(y) = f-1(y)

A continuación se muestran las gráficas de las funciones exponenciales y de sus inversas.

a 2 -4 -2 0 2 4 2 4 6 8 10 ax 2 4 6 8 10 -4 -2 2 4 loga(y) Ejercicios.

12. Calcule los siguientes valores seleccionando las unidades correctas: a. -1_{(1) en el Ejemplo 2.14 de la sección II.2.5 (Semana 2)}

b. T-1_{(1000) en el Ejemplo 3.4 de la Sección III.3 (Semana 4)} c. D-1 _{2 × 10}6 _{en el Ejemplo 4.7 de la sección IV.4 (Semana 4)} d. R-1_{(4) en el Ejemplo c.b}

e. f-1_{(80) donde f es la función definida por la siguiente gráfica, que relaciona la} profundidad bajo el suelo al cual se encuentran rocas de edad t millones de años.

4.13. Sea g(x) = 3 + x + x2_{. Grafique g para que vea que es una función invertible.} Halle g-1_(4).

4.14. Un tanque de 100 L de capacidad comienza a llenarse con el agua de una llave que proporciona 20 L de agua cada 4 segundos. A los 10 segundos, se abre otra llave adicional idéntica a la anterior. Sea V(t) el volumen en el tanque a los t segundos de comenzar el llenado. Indique cuál es la fórmula de V-1(x) a. 5 x 0 x 10 10 (x - 5) 10 x b. x 5 0 x 50 10 (5 + x) 50 < x c. 5 x50+x 0 x 50 10 50 x d. Ninguna de las anteriores

4.3. Propiedades

Supongamos que x, y son variables relacionadas mediante una función invertible f tal que: y= f (x) y x = f-1_{(y) .}

Si x, y son variables con significado físico, entonces sus valores tienen típicamente unidades y significados diferentes, y por tanto no es correcto hacer la gráfica de una función invertible f junto a su inversa f-1 _{en el mismo plano cartesiano. Pero, en general hay una relación} geométrica muy simple entre las gráficas de f y f-1_{: una se obtiene reflejando la gráfica de}

la otra respecto a la recta y = x.

Esto se ilustra en el siguiente objeto interactivo. Noten que justo cuando una curva deja de pasar el test de la recta horizontal (deja de ser invertible), su reflexión deja de pasar el test de la recta de vertical (deja de ser función).

x y

Gráfica de una curva en el plano xy y de su reflexión respecto a la recta y = x. Los puntos se pueden mover para cambiar la forma de la curva verde. Mientras que toda la curva es verde, su gráfica correspode a una funcíon

invertible.

Otras propiedades importantes de las funciones invertibles y sus inversas, tienen que ver con la composición de funciones según lo especifica el siguiente Teorema

Teorema 4.2. Suponga que f es una función invertible. Entonces su inversa f-1 es también una función invertible y:

f-1 -1_{= f .}

Más aún, las siguientes igualdades se cumplen para todo x Dom( f ) y y Ran( f ):

f-1_{( f (x)) = x,} f f-1_{(y) = y.}

Si g es otra función invertible, entonces la función compuesta f g es también invertible, y se cumple

( f g)-1_{= g}-1 _f-1_.

Ejemplo 4.6. Respecto al Ejemplo 3.1. Ambas funciones f y h son invertibles y sus significados son los siguientes (note variables independientes en cada caso)

f-1(h) = tiempo que tarda el globo en alcanzar h metros de altura g-1(T) = altura a la cual el aire tiene temperatura T

Suponga que C(t) es el costo del paseo en globo por t horas. La función C debe ser invertible y el significado de C-1 _es

C-1(x) = tiempo correspondiente a un paseo que cueste x pesos

Para visualizar el efecto de cada función y sus inversas, podemos hacer el sigu-iente diagrama de variables y funciones

horas de paseo altura temperatura

costo f g f-1 g-1 C C-1 g f (g f )-1 g f C-1

Y así extraer los significados de las diferentes posibles composiciones entre las funciones, por ejemplo:

(g f )-1_{(T) = tiempo en el que la temperatura a la altura del globo es T} C f-1(h) = costo de un paseo que llega hasta la altura h

g f C-1 (x) = temperatura del aire en un paseo que cueste x pesos C f-1 -1(x) = altura a la que llega un paseo que cuesta x pesos

Ejercicios.

15. Considere la función h(x) = x2 _{para x 0, y las funciones f y g definidas a} continuación x -1 0 1 3 f(x) 2 1 0 -2 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 t -1.0 -0.5 0.5 1.0 g(t)

Calcule las siguientes cantidades:

a. f f-1_{( f (3)) b. g f}-1 ₍₂₎ d. h f-1 -1_{(9) c. ( f g h)}-1₍₂₎

16. La población humana es una función creciente del tiempo P = f (t) y la concentración de gases invernadero en la atmósfera (en partes por millón o ppm) es una función creciente de la población mundial G = g(P). Además se observa que la temperatura media del planeta T es una función creciente del tiempo t, T = h(t). Seleccione el significado de cada uno de las siguientes expresiones

Para cada expresión matemática, seleccione las unidades de su variables independiente y dependiente

1. f h-1 _{2. f}-1 _g-1 3. h f-1 _{4. h (g f )}-1

4.4. Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, y por tanto no son invertibles. Sin embargo, a uno le interesa en muchos casos resolver preguntas como la siguiente: para cuáles valores de se cumple sin( ) = x?

Las funciones trigonométricas inversas se definen entonces como las inversas de sen, cos y tan en intervalos donde estas funciones son invertibles. Los intervalos escogidos son una convención internacional y debemos memorizarlos.

Teoría en clase: definición de las funciones trigonométricas inversas

Definición 4.3. Las funciones seno, coseno y tangente inversas son sen-1 _{= arcsen = inversa de sen restringido a}

-2, 2 , cos-1 _{= arccos = inversa de cos restringido a [0, ],}

tan-1 _{= arctan = inversa de tan restringido a} -2, 2

A estas funciones también se les conoce como “arco seno”, “arco coseno” y “arco tangente”, y también se pueden denotar como arcsen, arccos y arctan.

Es decir, por ejemplo,

sen-1_{(x) = único}

-2 , 2 tal que sen( ) = x O también se puede entender como, por ejemplo,

cos-1_{(x) = ( [0, ] y cos( ) = x)}

El siguiente objeto interactivo muestra las funciones trigonométricas restringidas a diferentes intervalos, incluyendo aquellos para los cuales se definen las funciones trigonométricas inversas.

sen cos tan min x -2 max x 2 -2 - 0 2 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x sin(x) -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 -2 -0 2 y sin-1(y)

Gráficas de las funciones trigonométricas restringidas a diferentes intervalos y su correspondientes relaciones inversas. Cuando se seleccionan los intervalos mencionados en la Definición 4.3, las curvas se tornan verdes

indicando la curva en la derecha es la de función trigonométrica inversa correspondiente.

De la Definición 4.3 es claro que:

Dom(arcsen) = [-1, 1], Dom(arccos) = [-1, 1], Dom(arctan) = Ran(arcsen) =

-2, 2 , Ran(arccos) = [0, ], Ran(arctan) = -2, 2

Lo más importante es recordar los rangos de estas funciones porque cuando usamos la calculadora para hallar cos-1_{(x), por ejemplo, el ángulo que recibimos pertenecerá al intervalo} [0, ] y es posible que tengamos que hacer otros cálculos adicionales para hallar el ángulo que verdaderamente estamos buscando. Ejemplos donde esto ocurre se pueden ver en el siguiente anexo.

Funciones trigonométricas inversas (archivos, YouTube)

Los siguientes videos muestran diferentes formas en las cuales las funciones trigonométricas inversas se pueden aplicar

Ejemplo en clase: resolución de triángulos

Ejemplo en clase: simplificación de expresiones trigonométricas

Ejemplo en clase: Modelamiento con funciones trigonométricas inversas

Ejercicios.

17. Para cada uno de los siguientes enunciados indique si es verdadero o falso a. cos cos-1_{(0.5) = 0.5} b. cos-1_{(cos(-0.1) = -0.1} c. sen(arctan(x)) = x 1+x2 para todo x d. cos-1_{(x) =} 2- sin -1_{(x) para todo x [-1, 1]}

18. La gráfica muestra dos triángulos distintos con a = 13, b = 15 y = 58 °. Halle los valores (en radianes) de los ángulos 1 y 2

a b 1 a b 2

19. En el Ejemplo 5.4 de la Sección III.5 vimos que el ángulo de declinación d del eje de rotación de la tierra es función del día t del año. En particular, la siguiente restricción es una función invertible (ver figura):

d₁(t) = -23.45 ° cos 2 t+10

365 , 0 t 345

d1(t) 50 100 150 200 250 300 350 t -0.4 -0.2 0.2 0.4 d(t)

Indique cuál de las siguientes funciones es la inversa de d1 a.365 2 cos -1 -x 23.45 ° - 10 b. 355 -365 2 cos -1 x 23.45 ° c. 355 +365 2 cos -1 x 23.45 ° d. 365 2 cos -1 x 23.45 ° - 10

< ( - ) ( - ) - ( - ) ( - ) - ( - ) ( ) ( ) = ( + ) - [( + ) - ] > ( + ) -¿ ( )

-( ) = + -- - -( ) = + -= = = ¿ ¿ ¿

-¿ ¿ = = = ¿ ¿ ( ) > /

( ) = / < ( ) < / -( ) = + ( ( )) = ( + ) ( ( )) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) = - ->

- -= / > - _{= -} - _{( )} - _{( / )} - _{( )}

= ( )