SEMICONTINUIDAD SUPERIOR DE MULTIFUNCIONES CON IMAGEN UN CONJUNTO CONVEXO Y CERRADO

27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8-11 de abril de 2003

SEMICONTINUIDAD SUPERIOR DE

MULTIFUNCIONES CON IMAGEN UN CONJUNTO

CONVEXO Y CERRADO

M.J. Cánovas1, M.A. López2, E.M. Ortega1J. Parra1 1Departamento de Estadística y Matemática Aplicada

Centro de Investigación Operativa

Universidad Miguel Hernández, 03202 Elche, España

E-mail: canovas@umh.es, evamaria@umh.es, parra@umh.es

2Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Alicante, 03080 Alicante, España

E-mail: marco.antonio@ua.es

RESUMEN

El objetivo de este trabajo es estudiar la semicontinuidad superior (en el sentido de Berge) de una correspondencia que asigna a cada parámetro de un espacio métrico arbitrario, un subconjunto cerrado convexo del espacio euclídeo n-dimensional. Como caso particular se considera la función conjunto factible asociada a una familia paramétrica de sistemas semi-infinitos convexos y a una familia paramétrica de sistemas semi-infinitos de desigualdades lineales. Para ello, introducimos el concepto de correspondencia ε−reforzada asociada a la correspondencia inicial y mediante la comparación de las imágenes de ambas correspondencias obtenemos una caracterización de la propiedad anunciada.

Palabras y frases clave: Estabilidad, multifunción, semicontinuidad superior,

programación semi-infinita, programación convexa, función conjunto factible.

Clasificación AMS: 54C60, 90C31, 90C25.

1. Introducción y preliminares

Consideremos el conjunto de los sistemas de desigualdades lineales

{

}

σ= ′ ≥ ∈ donde x, at

∈

∈

espacio paramétrico ΘΘ≡

(

)

Asociada a tal familia de sistemas semi- infinitos de desigualdades lineales, consideremos la función conj unto factible: F: Θ R n , que asigna a cada sistema σ su conjunto factible F(σ ).

En Goberna, López y Todorov (1997) se establece el siguiente teorema de caracterización de la semicontinuidad superior (usc, para abreviar) de la función conjunto factible.

• TEOREMA 1: Sea σ∗∈ Θ_c. F es usc en σ si y sólo si existen ε >0 y ρ >0 tales

que, si

d

( )

σσ

,

<

ε

( )

( )

representa la bola unidad abierta centrada en el origen.

Como consecuencia se obtiene que si

F

(

σ

)

(

≠ ∅

)

σ*.

El mismo trabajo obtiene condiciones necesarias y condiciones suficientes para la semicontinuidad superior de la función conjunto factible en términos del sistema nominal, a través del concepto de cono asintótico. Para ello, la idea clave es detectar las restricciones “reforzadas” en el sistema, que son, informalmente hablando, aquéllas con coeficientes grandes.

Siguiendo esta línea, el trabajo Cánovas, López y Parra (2002) introduce el concepto de sistema reforzado del que se hace uso para obtener una caracterización de la usc de F en términos de los coeficientes del sistema nominal.

Con el fin de presentar un estudio comparativo con los resultados obtenidos en el presente trabajo acerca de la usc de una correspondencia genérica con valores cerrados y convexos, a continuación presentamos el sistema reforzado y algunos resultados relativos a la usc de F que pueden encontrarse en el trabajo mencionado en el párrafo anterior.

DEFINICIÓN: Se llama sistema reforzado asociado al sistemaσ =

{

}

: , t , R t a a a x b conv t T b b σ ∞          _′    =  ≥ _{  }∈   ∈  _              ,

donde X_∞ representa el cono asintótico de X⊂R que viene dado por n

{ }

{ }

{

}

X_∞ = x∈ R x = µ x µ ↓ x ⊂ X _.

TEOREMA: Si F(σ*) es no acotado y no existe un vector u

≠

i) O+

(

)

( )

ii) O+

(

)

entonces F es usc en σ∗si y sólo si FR( *)\ ( *)σ F σ es acotado.

TEOREMA: Si existe un vector verificando (i) y (ii), entonces F es usc en σ∗si y sólo si

{ }

(

)

=

{

}

.

La usc de F en el caso continuo, esto es , cuando T es compacto Hausdorff y la función

at t

bt

  →  

  es continua en T, ha sido analizada en trabajos de Brosowski y Fischer.

Concretamente, estos autores establecen que para n≥2, F es usc en σ∗∈ Θ_c si y sólo si o

F

(

σ

)

F

(

σ

)

2. Semicontinuidad superior de multifunciones con

imagen convexa y cerrada

En esta sección obtenemos condiciones necesarias y suficientes para la usc de una multifunción con imagen un conjunto cerrado y convexo.

Sea F: Θ R n una multifunción con imagen cerrada y convexa y Θc:=dom(F)={θ∈Θ

F(θ )≠∅}.

En primer lugar observamos que el Teorema 1 puede adaptarse a este contexto general como sigue en el siguiente teorema.

TEOREMA 2: Si F es usc en θ*∈Θc, entonces existen ε, ρ >0 tales que,

(

, *

)

d

θ θ

<

ε

F

( ) \

θ ρ

cl B

( )

⊂

F

( *) \

θ

ρ

cl B

( )

El recíproco es cierto si F es cerrada enθ*.

OBSERVACIÓN 3: En este contexto general, que F(θ*) sea acotado no es una condición suficiente para la usc de F en θ* (incluso cuando F es cerrada en θ*).

El siguiente ejemplo es prueba de ello. Ejemplo: Θ= 1 r

{ }

Para el estudio de la propiedad usc de multifunciones con imagen convexa y cerrada vamos a definir un nuevo concepto que es el de correspondencia ε-reforzada asociada a la multifunción original. Para introducir este concepto, nos basamos en la expresión del conjunto factible asociado al sistema reforzado, que viene dada en la siguiente proposición.

PROPOSICIÓN 4: En el contexto descrito en la sección 1, el conjunto factible de

( )

FR (σ* )=

( )

∪

DEFINICIÓN 1: Sea F: Θ R n con imágenes convexas y cerradas. Dado ε >0, la correspondencia ε-reforzada asociada a F viene dada por

( , *) ( *) ( ) . d Fε cl conv F θ θ ε θ θ <    =  _ _ 

∪

A continuación damos la caracterización de la usc para multifunciones con imagen convexa y cerrada.

TEOREMA 5: Supongamos que Fescerradaen θ*∈Θc . Si Fε(θ*)\F(θ*) es acotado para

algún ε >0, entonces F es usc en θ*. El recíproco es cierto si la frontera de F(θ*) no contiene semirrectas.

3. Semicontinuidad superior de la función conjunto

factible para una familia paramétrica de sistemas de

desigualdades lineales y sistemas convexos en el

contexto paramétrico general.

Consideremos ahora el siguiente contexto llamado contexto Paramétrico General (PG): Sea σ: Θ R n+1 una multifunción arbitraria. Asociada a σ podemos considerar la siguiente familia paramétrica de sistemas:

( )

En este contexto, la función conjunto factible F: Θ R n , asocia a cada parámetro θ el conjunto factible de σ_θ, F(θ).

La generalidad de este planteamiento permite analizar el caso de familias paramétricas de sistemas convexos dado por:

( )

{

}

( )

( )

por medio de la llamada linearización standard.

Nos planteamos estudiar la propieda usc de la función conjunto factible dentro de este contexto Paramétrico General. Para ello, la motivación que utilizamos es definir el concepto de sistema ε-reforzado asociado a la aplicación ε-reforzada

PROPOSICIÓN 6: Para todo θ*∈Θc,

F

(

θ

)

εε-reforzado asociado a θ*, cuyo conjunto de vectores de coeficientes viene dado por

( )

_{( )}

(

)

∩

El lema de Farkas nos permite ver σ_θε_* como el sistema de todas las desigualdades que son simultáneamente consecuencia de todos los sistemas consistentes en un ε- entorno de θ*. A continuación, observamos que la semicontinuidad inferior o de forma abreviada, lsc de σ en θ*∈Θc implica que F es cerrada en θ* y por tanto, el Teorema 5 se verifica si σ

es lsc en θ*∈Θc. (Éste es el caso de los sistemas convexos antes mencionados).

El siguiente teorema da una caracterización de la propieda usc de la función conjunto factible dentro de este contexto Paramétrico General, en términos del sistema ε -reforzado asociado a F.

TEOREMA 5: Supongamos que σ es lsc en θ*∈Θc

Si Fε(θ*)\F(θ*) es acotado para algún ε >0, entonces F es usc en θ*. El recíproco es cierto si la frontera de F(θ*) no contiene semirrectas.

OBSERVACIÓN 7: En este contexto, la propiedad lsc de σ en θ* y la acotación de F(θ*) son condiciones suficientes para la usc de F en θ*.

Finalmente, establecemos una nueva condición necesaria para la propieda usc de F en

θ*

en términos del comportamiento de los coeficientes de σ_θ con θ en un entorno de θ*

∈Θc .

Para ello introducimos la siguiente notación.

Denotaremos el primer cono de momentos por

( ) : Rn a R M cone a para b b θ θ = _ ∈   ∈σ ∈ _       y las funciones

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

TEOREMA 8: Si F es usc en θ*∈Θc, entonces existe ε >0, tal que,

( )

( )

Referencias

G. BEER, (1993). Topologies on Closed and Convex Closed Sets, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (NL).

B. BROSOWSKI, (1984): Parametric semi- infinite linear programming I. Contnuity of the feasible set and of the optimal value, Math. Programming Study, 21, 18-42.

M. J. CÁNOVAS, M. A. LÓPEZ AND J. PARRA, (2002):Upper semicontinuity of the feasible set mapping for linear inequality systems, Set-Valued Analysis, 10, 361-378. M. J. CÁNOVAS, M. A. LÓPEZ AND J. PARRA, (2001): Stability of linear inequality systems in a parametric setting, Technical Report I-2001-11, Operation Research Center, Miguel Hernández University of Elche.

M. J. CÁNOVAS, M. A. LÓPEZ, E. M. ORTEGA AND J. PARRA, Upper semicontinuity of closed convex valued multifunctions, en prensa en Mathematical Methods of Operations Research.

T. FISCHER, (1983): Contributions to semi- infinite linear optimization, in

Approximation and Optimization in Mathematical Physics, B. Brosowski and E.

Martensen, eds., Peter Lang, Frankfurt-Am-Main, 175-199.

M. A. GOBERNA AND M. A. LÓPEZ, (1998). Linear Semi- Infinite Optimization, John Willey and Sons, Chichester (UK

M. A. GOBERNA, M. A. LÓPEZ, AND M. I. TODOROV, (1997): Stability theory for linear inequality systems II: Upper semicontinuity of the solution set mapping, SIAM J.

Optim., 7, 1138-1151.

R. T. ROCKAFELLAR AND R. J.-B. WETS, (1998). Variational Analysis, Springer, Berlín.