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CARTA AL ESTUDIANTE
MA-0304 Álgebra y Análisis II
Nivel: segundo año, segundo ciclo.
Requisitos MA-0205 Álgebra y Análisis I
Tipo de Curso: teórico.
Co-requisitos: ninguno.
Créditos: 4
Horas sincrónicas y asincrónicas: 5
Estimado estudiante: Reciba la más cordial bienvenida al curso MA-0304 Álgebra y Análisis II. En este documento encontrará información sobre algunos aspectos del curso que debe conocer: descripción, objetivos, contenidos, metodología, evaluación, cronograma y referencias bibliográficas. También se detalla el horario del curso y los espacios de consulta por parte del profesor.
Este curso es de modalidad alto virtual. Se ha modificado la forma de brindar el curso por motivo de la emergencia que se está viviendo por la pandemia del COVID-19. El encargado del curso es el profesor Carlos Robles Padilla y, de ser necesario, lo puede contactar a través del siguiente correo electrónico: [email protected]. Se recomienda estar en constante comunicación con el profesor a través de los medios de comunicación establecidos. Además, a la medida de lo posible, procure establecer un grupo de estudio con compañeros del curso. Cualquier cambio que deba realizarse a partir de alguna directriz que se establezca en la universidad se informará oportunamente.
I. DESCRIPCIÓN
El curso MA-0304 Álgebra y Análisis II está dirigido a estudiantes de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, y es considerado como una introducción al Análisis Real. En el curso anterior se llevó a cabo una introducción a las nociones de la teoría de conjuntos y relaciones binarias, y fueron empleadas en el estudio minucioso de los números naturales, enteros y racionales.
En este curso se extiende a la construcción de los números reales y se analizan conceptos de importancia tales como: infinitud, numerabilidad, completitud y densidad. Además, se estudian temas relacionados, como las sucesiones y series numéricas, expansiones decimales, y la construcción de algunas funciones trascendentes.
Facultad de Ciencias Escuela de Matemática
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II. OBJETIVOS
Objetivos generales:
1. Contribuir a la formación matemática del estudiante, fundamental para describir, plantear y resolver problemas propios de su disciplina.
2. Contribuir con el desarrollo del estudiante y de su habilidad para interpretar y deducir analíticamente resultados del álgebra y el análisis.
3. Propiciar el uso correcto del lenguaje matemático y la destreza para expresar ideas de manera rigurosa y coherente.
Objetivos específicos: Se espera que el estudiante logre
1. Comprender la diferencia entre los conceptos de conjunto infinito y numerable. 2. Comprender los conceptos de densidad y completitud de conjuntos infinitos.
3. Reflexionar acerca de la necesidad de construir o axiomatizar el conjunto de los números reales. 4. Comprender conceptos como el de sucesión numérica y su utilidad en la construcción de
funciones trascendentes.
5. Aplicar la completitud de los números reales en temas como la potenciación y las expansiones decimales.
6. Utilizar correctamente los criterios elementales para determinar convergencia de sucesiones y series numéricas.
7. Establecer las dificultades que se presentan en el aula al introducir el conjunto de los números reales en la educación secundaria.
III. CONTENIDOS
1. Los números reales
Incompletitud de ℚ. Axiomatización de los números reales. El Axioma del Extremo Superior. Principio de Arquímedes. Densidad de ℚ como subconjunto de ℝ. Existencia de raíces.
2. Sucesiones y series numéricas
Concepto intuitivo y definición de sucesión. Sucesiones monótonas. Rango de una sucesión. Sucesiones acotadas y colas de una sucesión. Convergencia y divergencia de sucesiones. Cálculo de límites de sucesiones. Sucesiones recurrentes. Teorema de Weierstrass. Subsucesiones y Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy.
Sumatorias y la fórmula del binomio. Serie geométrica. Serie telescópica. Series de términos positivos. Teoremas equivalentes al Axioma del Extremo Superior.
3. Expansiones
Expansiones decimales. Aritmética con expansiones decimales.
4. Equipotencia, conjuntos infinitos y numerables
La relación de equipotencia de conjuntos. Conjuntos finitos e infinitos. Conjuntos numerables y no enumerables. Numerabilidad de ℚ y no enumerabilidad de ℝ. Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
5. Funciones trascendentes
Construcción de la función exponencial vía sucesiones. Funciones logarítmicas. El número e como suma infinita. Irracionalidad del número e.
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IV. METODOLOGÍA
El profesor estará orientando el proceso y se podrán compartir los siguientes insumos: videos creados por el profesor o extraídos de alguna fuente de internet, documentos creados exclusivamente para el curso o documentos de temas asociados donde el profesor indicará qué se utilizará de esas fuentes, prácticas variadas, entre otras. También, se discutirán cuestiones tales como: errores comunes de comprensión, aspectos históricos relacionados a los contenidos del curso.
A pesar de las circunstancias, se recomienda que el estudiante participe activamente según lo que el docente indique o a partir de la apertura e iniciativa que tenga cada uno. Aunque se incentive una modalidad asincrónica, hay espacios para compartir inquietudes y así poder ver el proceso de los estudiantes. En muchas ocasiones se va a requerir que el estudiante estudie algunos temas antes del encuentro de manera sincrónica, por tanto, se expresa la importancia de cumplir con estas solicitudes para el adecuado avance del curso. Ante las situaciones donde se dificulte la comprensión de los temas del curso, se recuerda la posibilidad de participar de los espacios de hora consulta, aunque también se motiva para que se logren crear algunos grupos de estudio entre los estudiantes para avanzar en conjunto (en Matemática se recomienda poder tener esa oportunidad de contrastar ideas, formas de razonar).
El docente realizará una recopilación de varios documentos que son insumos para las notas del curso propias de este ciclo lectivo. Además, después de cada clase se asignarán tareas morales con el fin de que el estudiante profundice los conocimientos vistos en clase. Para cada tarea moral se asignará un equipo responsable de resolverla y el profesor hará revisión del trabajo realizado, para después compartirlo con los demás, insumos que guían a los estudiantes para que realicen valoraciones del proceso de aprendizaje de cada uno. También, se dispone de un chat de Telegram para que los estudiantes interactúen entre sí y para mediar los momentos de dudas que se puedan estar presentando. Estas acciones son consideradas formativamente, como una forma de acompañar y supervisar el trabajo matemático de los estudiantes y detectar a tiempo los aspectos por reforzar para la comprensión de los contenidos matemáticos.
Los documentos los podrá encontrar en el curso de Mediación Virtual. Hay referencias bibliográficas, carta al estudiante, presentaciones de la clase, notas del curso, tareas morales.
Se espera desarrollar tanto habilidades de razonamiento matemático como habilidades propias del futuro docente. Para lograr esto, algunas clases se darán con la colaboración de colegas de la Escuela de Matemática, así como la participación de invitados especiales que aporten a diferentes ejes de un futuro docente, con el fin de propiciar espacios de discusión y de reflexión.
Se tendrá un horario de consulta según lo que se establecido en la primera semana del curso, cuya atención se dará tanto por las consultas que se realicen por el Telegram como por los momentos sincrónicos que se dispongan a través de la plataforma Zoom, distribuidos en ocho equipos tal y como se muestra a continuación: Equipo 1: Jueves 17:00 Equipo 2: Jueves 14:00 Equipo 3: Miércoles 14:00 Equipo 4: Viernes 14:30 Equipo 5: Jueves 21:30 Equipo 6: Martes 20:30 Equipo 7: Jueves 15:30 Equipo 8: Jueves 20:00
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V. EVALUACIÓN
Los estudiantes serán evaluados, según su desempeño, en las siguientes asignaciones: 1. Dos tareas grupales con un valor de 5% cada una.
2. Dos tareas individuales con un valor de 7.5% cada una.
3. Se llevarán a cabo dos semanas de evaluación especiales, que poseen las siguientes características:
• El lunes se habilita un quiz de aspectos prácticos. Tiene un tiempo limitado en su resolución, pero estará disponible desde las 00:01 hasta las 23:59 de ese día. Cada quiz con un valor de 5% cada uno.
• Del martes al viernes en la mañana se llevará a cabo un espacio de intervención oral, por cada uno de los estudiantes. Se eligen dos ejercicios que el estudiante trabajó en el quiz, se realicen algunas modificaciones y se solicita que explique el proceso de resolución de esos dos ejercicios. Cada intervención oral con un valor de 5% cada uno.
• El viernes a las 14:00 se asigna un documento para evaluar aspectos teóricos y, en grupos, los estudiantes tendrán dos días para resolverlo. Cada trabajo grupal de aspectos teóricos tiene un valor de 20% cada uno.
Importante: en las semanas de evaluación especial, no se impartirán clases ni de manera sincrónica ni asincrónica.
4. Se asignará un proyecto grupal con un valor del 15% que consiste en plantear un Taller virtual dirigido a docentes para introducir el conocimiento de los números reales en el nivel de noveno año de la educación secundaria. Para esto, el porcentaje se divide en dos partes:
• Se van a establecer 8 equipos de trabajo. Dos de los equipos (A y B) van a irse valorando entre sí el avance de la propuesta del taller. El equipo A presenta un avance y el B le indica recomendaciones para la mejora y viceversa. Esto al menos en dos ocasiones. Este aspecto de revisión por pares e indicación de sugerencias tendrá un valor de 5%. • Luego de un proceso de algunas revisiones, la entrega final de la propuesta del taller
tendrá un valor de 10%. Previamente los estudiantes sabrán los aspectos que deben considerarse en el planteamiento del taller.
Si existiera la posibilidad de aplicar algunos de los talleres planteados con docentes del MEP se hará como un factor para la mejora del diseño, evaluándose de manera formativa.
La nota de aprovechamiento final (𝑛), será la suma de los porcentajes obtenidos en los rubros mencionados. Esta se expresa en una escala de 0 a 10 y se reportará de la siguiente manera:
• Si su nota 𝑛 es igual o superior a 6.75, el estudiante aprueba el curso con la nota 𝑛 redondeada al valor más cercano entre: 7.0, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5 o 10.0. Los casos intermedios como 7.25 o 7.75 se redondean hacia arriba.
• Si 5.75 ≤ 𝑛 ≤ 6.75, el estudiante tiene derecho a aplicar un examen de ampliación en el cual debe obtener una nota superior o igual a 6.75 para aprobar el curso con 7.0. En caso contrario, su nota será 6.0 o 6.5, la más cercana a su nota 𝑛.
• Si 𝑛 es inferior a 5.75 pierde el curso y su nota final es la nota 𝑛 redondeada a la unidad o media unidad más cercana: 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0 o 5.5.
Importante: tener muy presente que en el siguiente enlace encontrará la normativa de orden y disciplina:
https://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/ordenydisciplina.pdf Cualquier incumplimiento a esta normativa será valorado y sancionado según corresponda.
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VI. CRONOGRAMA
Semana Contenidos o actividades 10-14 de agosto Incompletitud de ℚ.
Axiomatización de los números reales.
17-21 de agosto El Axioma del Extremo Superior.
Principio de Arquímedes.
24-28 de agosto Densidad de ℚ como subconjunto de ℝ.
Existencia de raíces.
31 agosto-4 de septiembre Concepto intuitivo y definición de sucesión. Sucesiones monótonas.
Rango de una sucesión. Sucesiones acotadas y colas de una sucesión.
7-11 de septiembre Convergencia y divergencia de sucesiones.
Cálculo de límites de sucesiones.
14-18 de septiembre Sucesiones recurrentes. Teorema de Weierstrass. Sumatorias y la fórmula del binomio.
21-25 de septiembre Serie geométrica. Serie telescópica. Series de términos positivos. 28 de septiembre-2 de octubre Series de términos positivos.
Expansiones decimales.
5-9 de octubre Aritmética con expansiones decimales. La relación de equipotencia de conjuntos. Conjuntos finitos e infinitos.
12-16 de octubre Conjuntos numerables y no enumerables.
Numerabilidad de ℚ y no enumerabilidad de ℝ. Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
19-23 de octubre I semana de evaluación especial
26-30 de octubre Subsucesiones y Teorema de Bolzano-Weierstrass. 2-6 de noviembre Sucesiones de Cauchy.
9-13 de noviembre Construcción de la función exponencial vía sucesiones. Funciones logarítmicas.
16-20 de noviembre El número 𝑒 como suma infinita. Irracionalidad del número 𝑒.
Entrega de la propuesta del Taller virtual (20 de noviembre)
23-27 de noviembre Teoremas equivalentes al Axioma del Extremo Superior.
Momento de reflexión: aportes en conjunto de la introducción de los números reales en la educación secundaria.
30 de noviembre-4 de diciembre II semana de evaluación especial
Martes 15 de diciembre Ampliación
Importante: En Matemática se requieren de muchos conocimientos previos que no se han mencionado
en los contenidos ni en el presente cronograma. El profesor introduce los temas que se supone el estudiante debe conocer en el momento que así se requiera y se amplía de ser necesario a través de las notas del curso. Es muy importante que el estudiante considere estas fechas del cronograma que, salvo casos muy especiales, no se cambiarán.
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VII. BIBLIOGRAFÍA
1. Bartle, R. & Sherbert, D. (1996). Introducción al Análisis Matemático de una Variable. Limusa. 2. Bobadilla, G. & Labarca, R. (2010). Cálculo. Universidad de Santiago de Chile.
3. Cambronero, S. & Duarte, A. (s.f.). Notas del curso MA304. Universidad de Costa Rica. 4. Forero, A. (2009). Matemática Estructural. El Centro.
5. Kong, M. (2001). Cálculo Diferencial. Cuarta edición. Pontificia Universidad Católica de Perú. 6. Rudin, W. (1966). Principles of Mathematical Analysis. Segunda edición. Mc Graw-Hill.
