247
CAPITULO IV
248
4.1 TENSION SUPERFICIAL.Si depositamos con cuidado sobre el agua una esfera de acero engrasada, ésta puede flotar, formando en la superficie del agua una depresión, aunque la densidad de la esfera puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.
Las fuerzas que soportan la esfera no son las fuerzas de flotación sino más bien son las fuerzas debidas a la tensión superficial las que mantienen a la aguja en dicha posición. γ
Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b.
Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.
El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la superficie del agua.
249
Estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal que si se considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado de dicha línea ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la superficie y es perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver figura 4.4) es decir una molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en todas las direcciones dando lugar a una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la molécula B que tiene más moléculas de líquido en la parte inferior de su esfera de acción experimenta una fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la acción de una fuerza resultante dirigida hacia el interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la superficie del líquido produce la contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana elástica. Esta tendencia contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.
Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.
4.2 ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN
SUPERFICIAL.
Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un anillo de alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como se muestra en la figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo de ella se forma una película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha el interior del bucle de hilo, este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las superficies del líquido tirasen radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.
Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de
alambre en el que se pincho el centro del bucle.
Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas de las manera que la resultante de las fuerzas es nula.
Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6, consiste en un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador. Cuando el sistema se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el
250
alambre de longitud L, se desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado grande, y para mantenerlo en equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca
extraño la fuerza total F = W1 + W2, mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la
lámina líquida, siempre que la temperatura se mantenga constante.
Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la
tensión superficial.
Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el diámetro molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil y se aumenta el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas superficiales.
4.3 COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.
Consideremos un alambre delgado en forma de U y un alambre móvil de longitud L, extraído de una disolución jabonosa tal como se muestra en la figura 4.7.
Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.
Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una fuerza exterior Fex es decir para ampliar el área es necesario realizar un trabajo, trabajo que resulta ser
proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de tensión superficial, γ.
251
A
U
.
(4.1)Donde, γ es el coeficiente de tensión superficial. Δ
El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en la forma.
i
x
i
F
r
F
U
.
.
(4.2)Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por
2
A
l x
(4.3)Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos
)
2
(
L
x
x
F
2
F
l
(4.4)La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la fuerza superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema internacional el coeficiente de la tensión superficial se expresa en N/m y el sistema CGS absoluto, se expresa en dinas/cm.
Para un líquido dado el coeficiente de tensión superficial solo depende de la naturaleza del líquido y de la temperatura. Es decir el coeficiente de tensión superficial disminuye con el aumento de la temperatura. Cuando la temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk, el coeficiente de tensión superficial tiende a
cero.
En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.
TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de
20ºC
LIQUIDO TENSION SUPERFICIAL
(N/m) Agua 0,073 Mercurio 0,50 Glicerina 0,064 Aceite de ricino 0,035 Benzol 0,03 Keroseno 0,03 Alcohol 0,02
4.4 SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN LÍQUIDO.
Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la película está limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la película es convexa, al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo de ella, mientras que si la película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.8. Es decir,
x
F
U
252
“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación
con aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es convexa, la presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión complementaria es negativa (depresión)”.
Figura 4.8 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.
4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.
Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de área ΔA como se muestra en la Fig. 4.9. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del casquete son tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de dicho contorno está dado por
L
F
s
(4.5)Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo tanto, la componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una sobrepresión.
Figura 4.9. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la
sobrepresión.
Del gráfico se observa que φ
sen
F
F
1
.
253
Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene
L
sen
F
1
S
.
(4.7)Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante
paralela al radio OC, es
.
1
1
F
sen
L
F
S
(4.8)La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una circunferencia de radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe
r
sen
F
1
S2
.
(4.9)Del gráfico se observa además
R
r
sen
(4.10)Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene
R
r
F
S 2 1.
2
(4.11)Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0),
viene expresado por
p
p
A
F
p
0 (4.12)Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.10. La componente de esta fuerza en dirección vertical será
p
p
0
A
'
cos
F
p
(4.13)Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección vertical será
0
proy.p
p
p
A
F
(4.14)La fuerza total en la dirección vertical se expresa
0
proy.p
p
F
p
p
A
F
(4.15)Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces
la ecuación (4.15) se escribe
2 0.r
p
p
F
p
(4.16)En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se compensan, por tanto se tiene
254
R
r
r
p
p
F
S y
2 2 0.
2
.
0
R
p
2
S
(4.17)Figura 4.10 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota
4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica.
Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios interior y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un casquete esférico de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.
La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es
sen
F
F
1
.
255
Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma
L
sen
F
1
S
.
(4.19)La fuerza resultante total en dirección horizontal es
.
1
1
F
sen
L
F
S
(4.20)Del gráfico se observa que
r
L
2
2
.
(4.21)En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20), se tiene
r
sen
F
1
S4
.
(4.22)Teniendo en cuenta que senφ =r/R, la ecuación (4.22) se escribe
R
r
F
S 2 1.
4
(4.23)Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está dado por
p
p
0
A
'
F
p
(4.24)En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.
Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.12, entonces la componente horizontal es
p
p
0
A
'
cos
F
p
(4.25)Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec. Anterior se escribe
0
proy.p
p
p
A
F
(4.26)La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa
F
p,x
F
p
p
p
0
A
proy. (4.27)Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces la
ec. (4.27) se escribe
F
p,x
p
p
0
.r
2 (4.28)Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta dirección es nula, es decir
256
2 2 00
4 .
.
x SF
r
p
p
r
R
4
Sp
R
(4.29)La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión complementaria, es directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia de presión es mucho mayor cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos de un tubo, la más pequeña obligará al aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará aún más pequeña y la grande incrementará su volumen.
Figura4.12. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.
4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.
Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer lugar, existe la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general. θ
En la figura 4.13, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la superficie que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la superficie se genera una sección normal.
Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio
coincide con el de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera. Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto O dará diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.13, se muestran dos secciones normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el arco A1B1 y la otra el arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.
La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como
2 1
1
1
R
R
C
(4.30)257
Figura 4.13 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.
Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos secciones normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.14, los radios de curvatura de las
secciones normales so R1 y R2. Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces
ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será
L
1L
2
.
A
(4.31)La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será
1
1
L
F
S
(4.32)La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto
sen
F
F
1'
1
(4.33)De la figura se obtiene la relación trigonométrica
1 2 1 1 1 1
2
R
L
C
A
A
O
sen
1 2 12R
L
sen
(4.34) Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene 1 2 1 ' 12R
L
L
F
S
1 ' 12R
A
F
S
(4.35)258
Figura 4.14 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.
1 ' 1
2R
A
F
S
(4.36)Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG, obteniéndose 2 ' 2
2R
A
F
S
(4.37)Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)
2 ' 2
2R
A
F
S
(4.38)La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será
2 1 ?2
2
2
2
R
A
R
A
F
S
S (4.39)Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma
p
p
A
F
p
0 (4.40)Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la tensión superficial, resulta
2 1 0 ' 1 1 R R A A p p F F S p
259
2 1 01
1
R
R
p
p
S (4.41)A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de forma arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales, entonces la ec. (4.41) se escribe
R
p
p
R
R
p
p
S S
2
1
1
0 0
Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el otro es igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene
R
p
p
0
S1
1
R
p
p
0
S (4.42) 4.5. ANGULOS DE CONTACTOLas secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que separan un líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de láminas superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared sólida y un fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.15, conjuntamente con sus láminas. Debe notarse además que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se encuentra asociada una determinada tensión superficial. Así por ejemplo:
FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido
FSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vapor
FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor
Figura 4.15. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.
La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la tensión superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la
260
relación entre estas tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección como se muestra en la figura 4.16, y se aplica las ecuaciones de equilibrio
Figura 4.16. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en contacto con vidrio, (b) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el líquido (agua).
Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan.
0
F
x
sen
F
A
LV (4.43)0
F
y.
cos
LV SL SVF
F
F
(4.44)Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión. La ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-vapor y el ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el cual es una medida de la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la diferencia entre la fuerza de tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido. En la figura 4.16, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está
comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida. FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)
En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las moléculas del líquido.
261
Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la curvatura de la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.17.
Figura 4.17 DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared sólida i líquida, se obtiene
0
F
x
F
sen
180
º
A
LV (4.46)0
F
y
SL LVcos
180
º
SVF
F
F
(4.47)En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión superficial sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones se dice que el fluido no moja al vidrio.
FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)
Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.
Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se muestra en figura 4.18, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas condiciones las ecuaciones de equilibrio nos dan
0
F
x LVF
A
(4.49)0
F
y262
SLSV
F
F
(4.50)Figura 4.18 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto
con una pared de plata.
Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por ejemplo, el agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en forma análoga el mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.
Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es cóncava, mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se le llaman meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el ángulo de contacto como se muestra en la figura 4.19.
Figura 4.19 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con
detergente, el líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido no moja la superficie (θ > 90°)
4.6 CAPILARIDAD.
Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un tubo abierto de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se presenta este efecto se les llama capilares (análogo a cabello).
En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta situación el fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.20.
263
Figura 4.20 Ascenso de un fluido en un capilar.Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió, como se muestra en la figura 4.21, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS),
el peso de la masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a la presión sobre la superficie AB.
Figura 4.21 DCL del fluido que ascendió en el capilar.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
F
yW
F
S
(451)Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con al pared del capilar a lo largo de una longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será
2 r
.
cos
F
S
LV (4.52)Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será
r
h
g
gV
W
.
2 (4.53)264
gr
h
LV
cos
2
(4.54)La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto menor es el radio r del capilar. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en tubos de radios muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente de tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ=0º), la ecuación (4.54) puede escribirse
gr
h
LV
2
(4.55)Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión complementaria es positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la vasija, esta situación se muestra en la figura 422, la altura h que desciende el fluido en el capilar se determina también con la ecuación (4.54).
Figura 4.22 Descenso de un fluido líquido en un capilar.
Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo constituye la infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento de las mechas, la absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.
265
PROBLEMAS RESUELTOSProblema 1.
Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm de diámetro exterior está colgado de un resorte, cuyo coeficiente de deformación es igual a 0,98 N/m, y se encuentra en contacto con la superficie de un líquido. Al descender la superficie del líquido el anillo se desprendió de ella en el momento en que el resorte se había alargado 5,3 mm. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido.
Solución Datos e incógnitas. . ?? ;.. 3 , 5 ;.. / 98 , 0 ;.. 26 ;.. 25 2 1 S mm x m N K mm d mm d
En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del
anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial (FS).
El valor de la fuerza de tensión superficial es
...(1) . 2 . 2 2 1 2 1 d d F r r longitud F S S S S S Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
) 2 ...( ... ... 0 W F F F S e y
Debido a que el peso del anillo es despreciable, la ecuación anterior se escribe en la forma
. ... ... ... / 10 . 4 , 32 10 26 25 10 . 3 , 5 98 , 0 . 3 3 3 2 1 2 1 Rta m N d d x K x K d d F F S S S e S Problema 2.Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la figura, provisto de un travesaño móvil MN, hay extendida una película de agua jabonosa. (a) ¿Qué diámetro deberá tener el travesaño de cobre MN para poder estar en equilibrio?. (b) ¿Qué longitud tiene este travesaño si sabemos que para desplazarlo 1 cm hay que realizar un trabajo igual a 4,5.10-5 J? Para el agua jabonosa γ
S = 0,045N/m. Solución Parte (a). Datos e incógnitas . ?? ;.. / 8600 ;.. / 045 , 0 3 N m Cu kg m d S
En la figura se muestra el DCL del travesaño en la posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).
266
La fuerza debido a la tensión superficial es
) 1 ( ... ... 2 2 S S S S S F L longitud F El peso del travesaño es
) 2 ..( ... ... 4 2 L d g W gV mg W
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
) 3 ....( ... ... 0 W F F S y
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta
. ... ... ... 17 , 1 ) 8 , 9 )( 8600 ( ) 045 , 0 ( 8 8 4 2 2 Rta mm d g d g L d L S S Parte (b) Datos e incógnitas J U m N cm y L??;.. 1 ;..S 0,045 / ;.. 45
Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la película jabonosa es proporcional al área, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de tensión superficial, entonces se tiene
. ... ... ... ... 5 10 045 , 0 2 10 . 45 2 tan ) 2 ( 2 6 Rta cm L y U L to por y L U A U S S S Problema 3.El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a través de un tubo vertical que tiene 2 mm de diámetro interior. Considerando que cada gota se desprende 1 segundo después que la anterior, hallar cuánto tiempo tardará en salir 10 gramos de alcohol. El diámetro del cuello de la gota en el momento en que ésta se desprende tómese igual al diámetro interior del tubo.
Solución Datos e incógnitas m N gr m t s t mm d al alcohol T / 02 , 0 ; 10 ??;.. ;.. 1 ;.. 2 .
En la figura se muestra el DCL de la gota un instante antes de desprenderse del tubo, sobre ella actúan: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
kg m g d m mg d mg r mg longitud W F F S S S S S y 0128 , 0 8 , 9 10 . 2 02 , 0 2 . 2 . 2 0 3 267
Para determinar el número de gotas (N), que hay en 10 gramos de alcohol se usa una regla de tres simple, esto es gotas N entonces kg N kg gota 780 3 10 . 10 0128 , 0 1 Finalmente se determina el tiempo que demora e salir 10 gramos de alcohol
...Rta. ... minutos... 13 780 1 780 . T T t seg seg gotas t N t Problema 4.De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de desprenderse. Considerar que las gotas son esféricas. El diámetro del cuello de la gota en el momento de desprenderse tómese igual al diámetro interior del tubo.
Solución Datos e incógnitas. : ?? ;.. 1 ;.. / 073 , 0 N m r mm R S
En la figura se muestra el DCL de la gota en un instante antes de desprenderse del tubo, las fuerzas que obran son: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
a. ...Rt ... mm... 23 , 2 8 , 9 1000 2 10 . 073 , 0 3 2 3 . 2 0 3 3 3 3 3 4 R g r R g R r mg longitud W F F S S S S y
Problema 5.¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que resulta de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de radio cada una?
Solución Datos e incógnitas T ??;.. hg 13600kg/m ;..r 1mm;..R 3
En la figura se muestra las gotas en estado inicial y final.
En primer lugar se determina el área total de las gotas pequeñas
4 .
8 . ...(1)2 r2 r2
A
En forma análoga se determina el área de la gota formada después de la unión de las gotas pequeñas
4 R2
...(2) A La energía liberada al disminuir la superficie, como consecuencia de la unión de las gotas será
2
...(3) 4 4 . 8 2 2 2 2 0 Hg Hg Hg ff i R r E R r A A U E Como no se conoce el valor de R se determina teniendo en cuenta que la masa del fluido antes de la unión de las gotas es igual a la masa del fluido después de la unión, es decir
268
) 4 ...( ... ... 2 . 2 2 2 3 3 3 4 3 3 4 2 1 r R R r V V M m M m m R r Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
) 5 ...( ... ... 10 . 57 , 2 5 , 0 2 2 10 4 2 2 . 4 2 . 2 4 6 3 2 2 3 2 3 2 3 2 J E r r r E Hg Hg La energía de 2,57.10-6 J, se utiliza para el
calentamiento de la gota de mercurio formada. Según la calorimetría se tiene
1
3 6 4 3 3 3 6 4 3 3 4 0, 24 2, 57.10 0, 033 0, 24 2, 57.10 13600 2 .10 (0, 033) 1, 64.10 º ... . Hg e Hg E m c T R T T T C Rta Problema 6.¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de tensión superficial para aumentar al doble el volumen de una pompa de jabón que tiene 1 cm de radio? El coeficiente de la tensión superficial del agua jabonosa tómese igual 0,043 N/m.
Solución Datos e incógnitas . ?? ;.. / 043 , 0 ;.. 1 1 cm N m U r S
En primer lugar se determina el nuevo radio de la pompa debido al aumento de volumen
) 1 ....( ... ... 2 10 2 . 2 . 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 4 3 2 3 4 1 2 r r r r r V V Se procede ahora a determinar el área total de la superficie de la pompa,
4 .
...(3) 2 ) 2 ...( ... ... . 4 2 2 2 1 2 1 1 r A r A El trabajo se procede a determinar mediante la ecuación
...Rta.
...
...
J...
64
10
10
.
2
043
,
0
8
8
2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1
ff i Hg S ff iU
r
r
A
A
U
Problema 7Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que hay dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm que se encuentra a la profundidad de h = 20 cm bajo la superficie libre del agua. La presión atmosférica exterior es p0 =765 mmHg. Solución Datos e incógnitas mmHg p cm h mm d pa ??;.. 0,01 ;.. 20 ;.. 0 765
En la figura se muestra la burbuja ubicada en el interior del agua.
Siendo la presión interior del aire pa y la presión p
en un punto inmediatamente fuera de la burbuja, la diferencia de presiones se expresa como
) 1 ....( ... ... 4 2 d p p R p p S S a a
Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p ) 2 ....( ... ... 0 gh p p
269
) 3 ...( ... / 31160 10 . 01 , 0 073 , 0 4 ) 2 , 0 ( 9800 4 2 0 3 0 0 m N p p p d gh p p a a S En seguida se procede a convertir la presión de 31160 N/m2 a mmHg ) ...(4 mmHg... 76 , 233 / 31160 / 3 , 133 1 2 2 X m N X m N mmHg
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
Rta. ... mmHg... 76 , 998 75 , 233 765 a a p mmHg mmHg p Problema 8.
La presión atmosférica que hay dentro de una pompa de jabón es de 1 mmHg mayor que la atmosférica. ¿Qué diámetro tiene esta pompa? El coeficiente de la tensión superficial de la solución jabonosa tómese igual a 0,043 N/m.
Solución Datos e incógnitas. m N d mmHg p p 01 ;.. ??;..S 0,073 / En la figura se muestra la situación descrita en el enunciado
La diferencia de presión para una pompa de jabón viene expresada por la relación
0
4
S ap
p
R
08
S ap
p
d
Entonces el diámetro será
2 0 2 28 0, 043
/
8
d
1
8 0, 043
/
133, 3
/
S aN m
p
p
mmHg
N m
d
N m
Problema 9.En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm. La diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y en el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a) ¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco en el tubo capilar? (b) ¿Cuál es la diferencia entre los niveles del agua en el recipiente y en el tubo capilar si este líquido mojara perfectamente?
Solución Parte (a) Datos e incógnitas . ?? ' ??;.. ;.. 8 , 2 ;.. 1 mm h cm R H d
En la figura se muestra el DCL del agua ubicada dentro del capilar
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
) 1 .( ... 0 CD S AB y F W F F F
Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la
presión atmosférica y actúan en la misma área, entonces se cancelan y la ec. (1) se escribe
270
2 .
cos
. ...(2) cos . 2 cos 2 h r g r gV r mg L W F S S C S S Despejando θ se obtiene
) 3 ...( º... 20 939726 , 0 cos 073 , 0 2 10 . 8 , 2 10 . 5 , 0 9800 2 . . . cos 2 3 S h r gDe la geometría del menisco se obtiene
...Rta. mm... 532 , 0 939726 , 0 5 , 0 939726 , 0 cos R R R r Parte (b)
Cuando el fluido moja perfectamente la superficie el ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y la altura en este caso será
.Rta. ... cm... 98 , 2 ' 10 . 5 , 0 9800 073 , 0 2 . . º 0 cos 2 ' 3 h r g h S Problema 10¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo capilar cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere que el benzol moja perfectamente.
Solución Datos e incógnitas 2 / 03 , 0 ;.. 5 , 0 ??;..r mm N m h S
En la figura se muestra el DCL del benzol dentro del capilar
Del problema anterior se tiene que
...Rta. ... mm... 9 , 13 10 . 5 , 0 8 , 9 880 º 0 cos 03 , 0 2 . . cos 2 3 h h r g h S Problema 11Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra el mercurio que hay en dos tubos capilares comunicantes cuyos diámetros respectivos son d1
=1 mm y d2 =2 mm. Considere que el mercurio no
moja en absoluto. Solución Datos e incógnitas . ?? / 5 , 0 ; º 180 ;.. 1 ;.. 2 , 0 2 1 h m N mm r mm r S
En la figura se muestra la ubicación del mercurio en los capilares comunicantes
271
La sobrepresión p1, producida por la superficieconvexa del mercurio en la rama más delgada del tubo, se equilibra con la debida a la diferencia entre los nivele de Hg, en ambas ramas y con la sobrepresión p2 en la rama ancha, esto es
) 1 ....( ... . . 2 1 p g h p
Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se tiene que θ =180º, y las presiones complementarias será ) 3 ...( ... 2 ) 2 ...( ... 2 2 2 1 1 r p r p S S
Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta
...Rta. ... mm... 5 , 7 10 . 1 5 , 0 8 , 9 13600 10 . 5 , 0 10 . 1 5 , 0 2 . . . 2 . . 2 2 6 3 3 2 1 1 2 2 1 h h r r g r r h h g r r S S S Problema 12¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la mecha de una hornilla de petróleo para que este último suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la hornilla (esta altura es h = 10 cm)? Considerar que los poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja perfectamente.
Solución Datos e incógnitas . / 03 , 0 / 800 ;.. º 0 ;.. 10 ??;.. 3 m N m kg cm h d S P
En la figura se muestra el DCL del petróleo en capilar formado en la mecha.
La altura del petróleo en el capilar se determina a partir de la ecuación.
...Rta. ... mm... 15 , 0 10 . 10 8 , 9 800 03 , 0 4 . . º 0 cos 4 . . cos 2 3 h d g r g h S S Problema 13Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se introduce en un líquido. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido sabiendo que la cantidad de éste que se eleva por el tubo capilar pesa 88.10-2 N. Solución Datos e incógnitas N W mm r S L 2 10 . 2 . 88 ??;.. ;.. 2
En la figura se muestra el DCL del fluido en el capilar y las fuerzas que actúan sobre el fluido
272
Del equilibrio de fuerzas se tiene
2 .
cos ...(1) cos 0 W r W L F S C S y Asumiendo que el fluido moja perfectamente el capilar cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe
. ... / 10 . 02 , 7 10 . 2 2 10 . 2 , 88 . 2 . 2 2 3 2 Rta m N r W W r S S S Problema 14.Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está introducido verticalmente en un recipiente con agua. ¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el líquido que hay dentro del tubo capilar para que éste se encuentre al mismo nivel que el agua que hay en el recipiente ancho? La presión exterior es p0=760 mmHg. Considere que el agua moja
perfectamente. Solución Datos e incógnitas 2 0 760 101308 / ?? ;.. / 073 , 0 ;.. 16 , 0 m N mmHg p p m N mm r S
Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el agua en el depósito se debe insuflar aire como se muestra en la figura.
Analizando el menisco que forma el fluido se tiene
0 3 2 2 ' 2 ' 2 0, 073 0,16.10 102220, 5 / 767 mmHg...Rta. S S p p R p p R p p p N m p Problema 15.Un tubo capilar está introducido verticalmente en un recipiente con agua. El extremo de este tubo está soldado. Para que el nivel del agua fuera igual dentro del tubo que en el recipiente ancho hubo que sumergir el tubo en el líquido hasta el 15% de su longitud. ¿Qué radio interior tendrá el tubo? La presión exterior es igual a 750 mmHg. Considerar que el agua moja perfectamente.
Solución Datos e incógnitas . 750 ??;.. ;.. / 073 , 0 N m R p0 mmHg S
En las figuras se muestran al tubo capilar antes y después de sumergirlo
273
Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen del aire atrapado dentro del tubo son) 1 ....( ... V y 0 0 p
Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión y el volumen del aire atrapado serán
y V (2)
p
Según la ley de Boyle, debe cumplirse que ) 3 ...( ... ... 0 0V p pV
En la figura se muestra la posición del tubo en el fluido
La presión se calcula a partir del menisco formado por el fluido dentro del tubo
) 4 ...( ... 2 2 0 0 R p p R p p S S
Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta que V0 = A0h0, se tiene
...(5) 2 2 2 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 h h h p R p h h h p R h h h p R p h A p A h h R p S S S S Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la
ecuación (5) se escribe
...Rta. mm... 096 , 0 3 , 133 750 5 , 1 5 , 1 100 073 , 0 2 100 5 , 1 100 5 , 1 2 0 0 0 0 R h p h h R S Problema 16El tubo barométrico A de la figura está lleno de mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5 mm y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar directamente la presión atmosférica por la columna de mercurio de este tubo? Hallar la altura de la columna en cada uno de los casos antes mencionados, si la presión atmosférica es p0 = 758
mmHg. Considerar que el mercurio no moja en absoluto. Solución Datos e incógnitas . 758 ??;.. ;.. / 5 , 0 / 13600 ;.. 5 , 1 ;.. 5 0 3 2 1 mmHg p h m N m kg cm d mm d S Hg De la hidrostática se tiene ) 1 ..( ... . . 0 p gh p pA B
Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se tiene ,
2
S B V Hgp
p
R
,4
...(2)
S B V Hgp
p
d
274
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta) 3 ...( ... . . 4 , 0 gh d p p S Hg V
Debido a que la presión del vapor de mercurio es muy pequeña pV,Hg. 0, la ec. Anterior se escribe
) 3 ...( ... ... . . 4 0 gh d p S
Caso (a), Remplazando los valores dados resulta
Rta. ... ... mm... 755 8 , 9 13600 10 . 5 5 , 0 4 ) 3 , 133 ( 758 3 h hCaso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se tiene
Rta. ... ... mm... 757 ' ' 8 , 9 13600 10 . 5 , 1 5 , 0 4 ) 3 , 133 ( 758 2 h h Problema 17.El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75 cm. ¿Qué corrección habrá que introducir al medir la presión atmosférica por la altura de la columna de mercurio de este tubo? Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Solución Datos e incógnitas . ?? / 5 , 0 ; / 13600 ;.. 75 , 0 3 corrección m N m kg cm d Hg S
En la figura se muestra el tubo barométrico sin considerar la tensión superficial
Aplicando la ley de la hidrostática se tiene
) 1 ...( ... ... ... 133280 8 , 9 13600 0 . . . 0 1 1 0 1 , 0 0 p h h p h g p p h g p p p Hg Hg V B A En la figura se muestra el tubo barométrico teniendo en cuenta los efectos de tensión superficial
Del gráfico se observa que tomando los puntos de igual presión, resulta
) 2 ...( ... 4 . . . 4 . . . . 2 0 2 0 2 , 0 2 ' h gd g p h g d p h g p p p h g p p p S S Hg V B B o A Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene
3
2 1 10 . 5 , 7 8 , 9 13600 5 , 0 4 h hA la altura del menisco hay que añadirle 2 mm . ... ... 2 2 1 h mm Rta h Problema 18.
¿Qué error relativo cometemos al calcular la presión atmosférica, igual a 760 mmHg, por la altura de la columna de mercurio de un tubo barométrico cuyo diámetro interior es iguala: (a) 5 mm y (b) 10 mm? Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
275
Solución Datos e incógnitas 0 ;.. / 5 , 0 ;.. / 13600 . ;. 10 ;.. 5 ;.. 760 .. ?? , 3 2 1 0 Hg V S Hg R p m N m kg mm d mm d mmHg p e Del problema anterior se tiene que cuando no se tiene en cuenta la tensión superficial, resulta
) 1 ...( ... ... . . . 0 0 g p H H g p
Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial, se obtiene
) 2 ...( ... 4 . . . 4 . . . . 0 0 , 0 ' h gd g p h g d p h g p p p h g p p p S S Hg V B B o A Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
) 3 ....( ... ... . . 4 h d g H S
El error relativo viene expresado por
) 4 ..( ... ... 4 4 . . 4 . . . 4 . . 4 . . . 4 . . 0 0 0 0 0 S S R S S S S R d p e d g g p d g d g g p d g g p g p h h H e
Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será
. .. ... ... %... 396 , 0 5 , 0 4 10 . 5 3 . 133 760 5 , 0 4 3 Rta e e R R Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será
. .. ... ... %... 197 , 0 5 , 0 4 10 . 10 3 . 133 760 5 , 0 4 3 Rta e e R R Problema 19.Sobre la superficie del agua se depositó cuidadosamente una aguja de acero grasienta (suponiendo que el agua no moja en absoluto). ¿Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para mantenerse a flote?. Solución Datos e incógnitas m N d m kg m kg w S w ac / 073 , 0 ??; ;.. / 1000 ; / 7700 , 3 3
En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando en el agua por acción de la tensión superficial, las fuerzas que actúan son: el peso (W) y la fuerza de tensión superficial que tiene una dirección vertical porque el agua no moja en absoluto
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
) 1 ....( ... ... 0 W F F S y
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
2L...(2) F longitud F S S S S El peso de la aguja será
) 3 .( ... 4 . . . . . . . 2 2 g L d W g L r g V W ac ac ac 276
...Rta. ... ... mm... 57 , 1 8 , 9 7700 . 073 , 0 8 . 8 4 . . . . 2 2 d g d g L d L ac S ac S Problema 20.¿Flotará en la superficie del agua un alambre grasiento de platino de 1 mm de diámetro?. Suponga que el agua no moja en absoluto.
Solución Datos e incógnitas 3 / 21400 ;... / 073 . 0 ;.. 1mm N m kg m d S pt
Para verificar si flota o no el alambre de platino, se calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso del alambre y se aplican las ecuaciones de equilibrio al DCL mostrado en la figura
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
2L...(1) F longitud F S S S S El peso de la aguja será
) 2 .( ... 4 . . . . . . . 2 2 g L d W g L r g V mg W pt pt pt Para que exista equilibrio debe cumplirse que
2 , 2 3 40
0
. .
2
0
4
2 0, 073
21400 9,8 1.10
0
0,146 0.1647
0
0, 0187
0...(3)
Y S Pt S wF
F
W
L g d
L
De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota puesto que no existe equilibrio ya que el peso es mayor que la fuerza de tensión superficial.
Problema 21.
En el fondo de un depósito que contiene mercurio hay un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener este orificio para que cuando la altura de la columna de mercurio sea de 3 cm éste último no pueda salir de él?. Solución Datos e incógnitas 3 max / 13600 ;. / 5 , 0 ;.. 3 ??;.. m kg m N cm h d Hg S
En la figura se muestra la situación planteada en el problema
Del menisco debe observarse que la diferencia de presiones está dado por
) 1 .( ... ... 4 0 d p p S
Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene ) 2 ...( ... . . 0 gh p p Hg