xxii, 628 p. : il. ; 24 cm. – (Colecci´on Ciencia y tecnolog´ıa) Incluye bibliograf´ıas e ´ındice.
Sep´ulveda Soto, Alonso. ISBN 978-958-714-207-5 1. Electromagnetismo II. T´ıt. III. Serie
537 cd 21 ed. A1191695
Electromagnetismo
Alonso Sep´
ulveda Soto
Ciencia y Tecnolog´ıa
Colecci´on Ciencia y tecnolog´ıa c
Alonso Sep´ulveda Soto c
Editorial Universidad de Antioquia ISBN: 978-958-714-207-5
Primera edici´on: marzo de 2009
Correcci´on de texto: ´Edgar Arley C´ardenas Mesa. Diagramaci´on: Lorena Campuzano Duque
Dise˜no de cubierta: Anastasia Garz´on Vidal, Imprenta Universidad de Antioquia Impresi´on y terminaci´on: Imprenta Universidad de Antioquia
Impreso y hecho en Colombia / Printed and made in Colombia
Prohibida la reproducci´on total o parcial, por cualquier medio o con cualquier prop´osito, sin autorizaci´on escrita de la Editorial Universidad de Antioquia.
Editorial Universidad de Antioquia
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Para mis amigos de mesa en Carlos E, como brindis por las noches de f´ısica bohemia
Pr´ologo x
Lista de s´ımbolos xiv
1. Electrost´atica 1
1.1. Ley de Coulomb . . . 1
1.2. Campo el´ectrico . . . 4
1.2.1. Distribuciones de carga . . . 5
1.3. Ley de Gauss . . . 8
1.3.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . 11
1.4. Potencial electrost´atico . . . 11
1.5. Ecuaci´on de Poisson . . . 12
1.6. El campo electrost´atico es conservativo . . . 13
1.7. Potencial y trabajo . . . 13
1.7.1. Recalibraci´on del potencial . . . 16
1.8. Ecuaciones de campo . . . 18
1.9. C´alculo de campos . . . 18
1.10. Campo autoconsistente . . . 22
1.11. Discontinuidades en los campos . . . 23
1.12. Unicidad del potencial . . . 26
2. Funci´on de Green 29 2.1. Soluci´on al problema del potencial . . . 29
2.1.1. Intermezzo . . . 32
2.2. Expansi´on en funciones ortonormales . . . 33
2.2.1. Bases discretas . . . 33
2.2.2. Bases continuas . . . 36
2.3. Evaluaci´on de la funci´on de Green . . . 38
2.3.1. Problema unidimensional . . . 38
2.3.2. Problema bidimensional . . . 43 viii
Contenido / ix
2.3.3. Problema bidimensional polar . . . 50
2.3.4. El problema tridimensional . . . 53
3. Im´agenes electrost´aticas 59 3.1. Carga frente a un plano equipotencial . . . 59
3.2. Carga puntual frente a una esfera . . . 64
3.2.1. Carga puntual q frente a una esfera conductora cargada y aislada . . . 68
3.2.2. Carga puntual q frente a una esfera conductora equipotencial . . . 69
3.2.3. Esfera conductora colocada en un campo E uniforme . . . . 70
4. Ecuaci´on de Laplace 72 4.1. Ecuaci´on de Laplace en dos dimensiones . . . 72
4.1.1. Coordenadas cartesianas . . . 72
4.1.2. Coordenadas polares . . . 78
4.2. Ecuaci´on de Laplace en tres dimensiones . . . 85
4.2.1. Coordenadas cartesianas . . . 85
4.2.2. Coordenadas esf´ericas . . . 89
4.2.3. Coordenadas cil´ındricas . . . 124
4.2.4. Coordenadas esferoidales oblatas . . . 140
5. Multipolos el´ectricos 147 5.1. Expansi´on multipolar . . . 147
5.1.1. Multipolos cartesianos . . . 148
5.1.2. Expansi´on en arm´onicos esf´ericos . . . 152
5.2. Energ´ıa potencial electrost´atica . . . 158
5.2.1. Distribuci´on discreta . . . 158
5.2.2. Distribuci´on continua . . . 160
5.3. Expansi´on multipolar de la energ´ıa . . . 163
5.4. Expansi´on multipolar de la fuerza . . . 168
5.5. Expansi´on multipolar del torque . . . 170
6. Electrost´atica macrosc´opica 172 6.1. Polarizaci´on . . . 172
6.2. Campo en el exterior de un diel´ectrico . . . 173
6.3. Campo en el interior de un diel´ectrico . . . 176
6.4. Ecuaciones de campo en diel´ectricos . . . 177
6.5. Susceptibilidad el´ectrica . . . 177
6.6. Condiciones de frontera . . . 180
6.6.2. Funci´on de Green con semiespacios diel´ectricos . . . 187
6.6.3. Energ´ıa potencial en presencia de diel´ectricos . . . 193
6.7. Energ´ıa de un diel´ectrico . . . 197
7. Magnetost´atica 200 7.1. Leyes de Amp`ere y Biot-Savart . . . 200
7.2. Ecuaciones diferenciales . . . 205
7.3. Invarianza gauge . . . 210
7.4. El problema de Green . . . 212
8. Multipolos magn´eticos 222 8.1. Expansi´on multipolar . . . 222
8.1.1. Dipolo magn´etico . . . 225
8.2. Expansi´on multipolar de la fuerza . . . 226
8.3. Expansi´on multipolar del torque . . . 228
9. Magnetost´atica macrosc´opica 229 9.1. Potencial vectorial . . . 229
9.2. Ecuaciones de campo . . . 232
9.3. Condiciones de frontera . . . 234
9.4. C´alculo de potenciales y campos . . . 234
9.4.1. Potencial escalar magn´etico . . . 235
10. Campos dependientes del tiempo 251 10.1. Ley de inducci´on de Faraday . . . 252
10.2. Fuerza de Lorentz y ley de inducci´on . . . 255
10.3. Forma diferencial de la ley de inducci´on . . . 256
10.4. Energ´ıa del campo magn´etico . . . 258
10.5. Conservaci´on de la carga el´ectrica . . . 261
10.6. Corriente de polarizaci´on . . . 263
10.7. Ecuaci´on de Amp`ere-Maxwell . . . 264
10.8. Forma integral de la cuarta ecuaci´on . . . 266
10.9. Ecuaciones de Maxwell . . . 270
10.10. Potenciales electrodin´amicos . . . 271
10.11. Gauges y potenciales . . . 272
10.12. Medios materiales . . . 273
10.12.1. Gauge de Lorentz . . . 274
10.12.2. Gauge de Coulomb . . . 276
10.13. Potenciales y mec´anica cu´antica . . . 279
10.14. Ecuaciones de onda para E y B . . . 280
Contenido / xi
10.16. Unicidad y ecuaci´on de ondas . . . 285
10.17. Ecuaci´on de ondas homog´enea . . . 288
10.17.1. Coordenadas cartesianas . . . 288
10.17.2. Coordenadas esf´ericas . . . 291
10.17.3. Coordenadas cil´ındricas . . . 294
11. Ondas y funciones de Green 298 11.1. Ecuaci´on de ondas inhomog´enea . . . 298
11.1.1. El m´etodo de Fourier . . . 301
11.2. Espacio-tiempo infinito . . . 304
11.2.1. Condici´on de radiaci´on . . . 307
11.3. Funci´on de Green-Helmholtz . . . 309
11.3.1. Difracci´on de ondas escalares . . . 311
11.4. Otra forma de evaluar G(r, r′) . . . 314
11.5. Funci´on de Green esf´erica . . . 315
11.5.1. Ondas planas escalares y arm´onicos esf´ericos . . . 317
11.6. Funci´on de Green cil´ındrica . . . 318
11.7. Soluci´on al problema electrodin´amico . . . 319
11.8. Aplicaciones . . . 320
11.8.1. Carga puntual en reposo . . . 320
11.8.2. Carga oscilante . . . 321
11.8.3. Dipolo el´ectrico puntual oscilante . . . 323
11.8.4. Carga puntual en movimiento uniforme . . . 328
11.9. Transformadas y ecuaciones de Maxwell . . . 332
11.9.1. Carga puntual en movimiento uniforme . . . 334
12. Leyes de conservaci´on 335 12.1. La noci´on de conservaci´on . . . 335
12.2. Conservaci´on de la energ´ıa . . . 336
12.3. Conservaci´on del momento lineal . . . 339
12.3.1. Fuerza y esfuerzos . . . 341
12.3.2. Presi´on ejercida por el campo . . . 344
12.4. Teorema de Poynting . . . 346
13. Ondas planas 348 13.1. Descripci´on b´asica . . . 348
13.1.1. Velocidad de grupo . . . 351
13.1.2. Vector de propagaci´on complejo . . . 353
13.2. Polarizaci´on . . . 355
13.2.1. Casos particulares . . . 356
13.3.1. Incidencia normal . . . 358
13.3.2. Incidencia oblicua . . . 360
13.3.3. Coeficientes de reflexi´on y transmisi´on . . . 367
13.3.4. El caso general . . . 368
13.4. Reflexi´on total interna . . . 369
13.5. Ondas en medios conductores . . . 372
13.6. Corriente en buenos conductores . . . 377
13.7. Reflexi´on y transmisi´on en metales . . . 382
13.7.1. Buenos conductores . . . 384 13.8. Gu´ıas de ondas . . . 385 13.9. Modos TE . . . 390 13.10. Modos TM . . . 393 13.11. Cavidades resonantes . . . 395 13.12. Cable coaxial . . . 397 14. Radiaci´on 399 14.1. Campos debidos a ρ y J arbitrarios . . . 399
14.1.1. C´alculo de B . . . 400
14.1.2. C´alculo de E . . . 401
14.2. Campos debidos a cargas puntuales . . . 402
14.2.1. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . 402
14.2.2. C´alculo de E y B . . . 403
14.3. Carga en movimiento uniforme . . . 407
14.4. Carga acelerada a baja velocidad . . . 412
14.5. Distribuci´on angular de la radiaci´on . . . 415
14.5.1. Carga con velocidad y aceleraci´on colineales . . . 416
14.5.2. Carga en movimiento circular . . . 419
14.6. Carga en movimiento relativista . . . 422
14.7. Espectro de Fourier de la radiaci´on . . . 423
15. Campos multipolares 428 15.1. Potenciales . . . 428
15.2. Campos E y B . . . 432
15.3. Dipolo el´ectrico . . . 435
15.3.1. Potencia radiada . . . 435
15.3.2. Radiaci´on de momento angular . . . 438
15.4. Expansi´on en modos normales . . . 441
15.4.1. Campos de multipolo magn´etico (TE) . . . 443
15.4.2. Campos de multipolo el´ectrico (TM) . . . 444
15.5. Arm´onicos esf´ericos vectoriales . . . 445
Contenido / xiii
15.5.2. Completez . . . 445
15.5.3. Propiedades . . . 446
15.6. Formas l´ımite para los campos . . . 449
15.6.1. Campo cercano . . . 449
15.6.2. Campo lejano . . . 451
15.7. Energ´ıa portada por la radiaci´on . . . 453
15.8. Distribuci´on angular de la radiaci´on . . . 454
15.9. Momento angular de la radiaci´on . . . 455
15.10.Fuentes de la radiaci´on multipolar . . . 458
15.10.1. Fuentes peque˜nas . . . 460
15.10.2. C´alculo de la potencia radiada . . . 464
15.10.3.C´alculo del momento angular . . . 465
15.11.Ondas vectoriales planas y esf´ericas . . . 466
15.12.Scattering de ondas planas . . . 469
15.12.1.Ondas escalares . . . 469
15.12.2.Ondas vectoriales . . . 474
16. Relatividad especial 477 16.1. Transformaci´on de Galileo . . . 477
16.1.1. ¿Es invariante la ecuaci´on de ondas? . . . 479
16.2. Postulados . . . 480
16.3. Transformaci´on de Lorentz . . . 482
16.3.1. Convenci´on suma . . . 483
16.3.2. Transformaci´on de Lorentz unidimensional . . . 483
16.3.3. L´ımite no relativista . . . 485 16.3.4. Contracci´on de longitudes . . . 485 16.3.5. Dilataci´on temporal . . . 486 16.3.6. Adici´on de velocidades . . . 487 16.3.7. Experimento de Fizeau . . . 488 16.4. Generadores de Lorentz . . . 489
16.4.1. Transformaci´on de Lorentz pura . . . 492
16.4.2. Rotaci´on de coordenadas . . . 495
16.5. Generadores. Versi´on covariante . . . 498
16.6. El espacio-tiempo . . . 499
16.7. Grupo de Poincar´e . . . 502
16.8. Reglas de transformaci´on . . . 503
16.9. Operadores diferenciales . . . 505
16.9.1. D´Alembertiano . . . 505
16.10. Cinem´atica en el espacio-tiempo . . . 506
16.11. Momento lineal, fuerza . . . 509
16.13. Colisiones y masa-energ´ıa . . . 512
16.14. Formulaci´on lagrangiana . . . 513
16.14.1.Part´ıcula libre . . . 514
16.14.2.Part´ıcula en un campo escalar . . . 514
16.14.3.Part´ıcula en un campo 4-vectorial Aµ . . . 516
16.15. Carga q en un campo E . . . 517
16.16. Carga q en un campo B . . . 518
16.17. Oscilador arm´onico relativista . . . 520
16.17.1.Tratamiento alterno . . . 521
17. Electrodin´amica relativista 522 17.1. Tensores y ecuaciones b´asicas . . . 522
17.2. S´ıntesis . . . 526
17.3. Electrodin´amica en medios materiales . . . 528
17.4. Soluci´on en ondas planas . . . 529
17.5. Invariantes . . . 531
17.6. Fuerza de Lorentz . . . 532
17.7. Momento-energ´ıa del campo . . . 533
17.7.1. Teor´ıa covariante de la superconductividad . . . 537
17.8. Conservaci´on del momento angular . . . 539
17.9. Potenciales retardados . . . 539
17.10. C´alculo de φµν . . . 545
17.11. Aplicaciones . . . 546
17.11.1. 4-vectores . . . 547
17.11.2. Tensores de campo . . . 550
17.12. Campo de una l´ınea de corriente . . . 553
17.13. Radiaci´on por cargas aceleradas . . . 555
17.14. Electrodin´amica lagrangiana . . . 556
17.15. Electrodin´amica de medios en movimiento . . . 558
17.16. Electrodin´amica matricial . . . 560
Ap´endices 567 A. Funciones de Green 567 A.1. Operadores diferenciales y su adjunto . . . 567
A.2. Definici´on de la funci´on de Green . . . 571
B. Delta de Dirac 574
Contenido / xv
D. Operadores diferenciales 581
E. Identidades vectoriales y di´adicas 585
F. Vectores polares y axiales 587
F.1. Reglas de transformaci´on . . . 587
F.2. Aplicaciones en electromagnetismo . . . 590
G. Funciones de Legendre y Bessel 592 G.1. Algunas propiedades de Pℓ(x) . . . 592 G.2. Algunas propiedades de Pℓm(x) . . . 594 G.3. Algunas propiedades de Qℓm(x) . . . 594 G.4. Algunas propiedades de Jmy Nm. . . 595 G.5. Algunas propiedades de Iν y Kν . . . 597 G.6. Algunas propiedades deJℓ y ηℓ . . . 598 H. MKS y esu 600 I. F´ormulas ´utiles 602 J. Alfabeto griego 604 Bibliograf´ıa 605 Indice anal´ıtico 608
Introducci´
on
Una teor´ıa brillante no es m´as que un hermoso sue˜no, un gran ensayo po´etico. Si el sue˜no se realiza, si el poema se comprueba en los hechos, entonces se convierte en informaci´on. Le´on Brillouin
Entre las teor´ıas f´ısicas del siglo XIX la electrodin´amica maxwelliana es la de m´as
alta est´etica. No s´olo por la amplia variedad de fen´omenos que describe desde
un peque˜no conjunto de ecuaciones b´asicas; no s´olo por su capacidad predictiva
que hizo de la luz un fen´omeno electromagn´etico, sino tambi´en porque fue ejem-plo supremo, paradigma, de toda teor´ıa de campos, sin dejar de lado el hecho de que su formulaci´on matem´atica no fue distorsionada por el surgimiento de la teor´ıa especial de la relatividad, pues su estructura fue compatible con los
prin-cipios de la teor´ıa de Einstein. La electrodin´amica cl´asica relativista difiere de la
formulaci´on maxwelliana original s´olo por la iluminada expresi´on covariante que
integr´o los campos el´ectrico y magn´etico en una sola entidad matem´atica.
La electrodin´amica no establece diferencia esencial alguna entre los fen´omenos
el´ectricos, magn´eticos y luminosos. Es de hecho la m´as poderosa s´ıntesis que el pensamiento logr´o establecer desde la unificaci´on newtoniana de la f´ısica del
cielo y la tierra. Y es s´olo comparable en su profunda perspectiva a la relatividad
general y a la mec´anica cu´antica.
Esta ciencia tuvo su origen en la primera gran s´ıntesis de Gilbert (1600) sobre los fen´omenos magn´eticos que lo condujo a proponer que la Tierra es un gran
im´an y en las mediciones sobre la fuerza entre cargas el´ectricas que dieron origen
a la ley de Coulomb (1785). En el a˜no 1820 el descubrimiento de Oersted de la
que revelaron una oculta relaci´on: las corrientes el´ectricas, constituidas por cargas en movimiento y por tanto fuente de acciones el´ectricas, eran a la vez fuente de efectos magn´eticos. A partir de estos experimentos decisivos se hizo posible el
dise˜no de imanes artificiales —conocidos como electroimanes y solenoides— y se
comprendi´o que toda forma de magnetismo se debe a corrientes el´ectricas, ya
sean macrosc´opicas como en los solenoides y electroimanes o microsc´opicas como
en los imanes naturales y las br´ujulas.
En 1831 una larga serie de experimentos de Faraday demostr´o la imposibilidad
de separar los fen´omenos el´ectricos de los magn´eticos. Faraday descubri´o que
solenoides en movimiento con corriente constante, o solenoides en reposo con corriente variable con el tiempo, generan corrientes sobre circuitos cercanos. Estos hallazgos, que se conocen como efecto Faraday o inducci´on electromagn´etica, dieron nacimiento en la mente de Faraday a la idea de campo electromagn´etico. A partir de las intuiciones de Faraday, Maxwell, en su precisa s´ıntesis de 1864,
mostr´o adem´as la unidad de los fen´omenos el´ectricos, magn´eticos y luminosos. Las
ondas electromagn´eticas antes de ser generadas en el laboratorio fueron predichas a trav´es de una teor´ıa que aseguraba que del amplio espectro de oscilaciones
electromagn´eticas posibles lo que llamamos luz es s´olo una estrecha franja, aquella
que asociamos al arco iris y cuya peculiaridad esencial es que corresponde a ondas electromagn´eticas detectables por el ojo.
De ah´ı surgi´o la unificaci´on de la ´optica y la electrodin´amica, fusi´on de la
que surgi´o a su vez con Lorentz y Abraham, entre otros, una teor´ıa el´ectrica de
la materia, de acuerdo con la cual la luz interact´ua con las cosas s´olo porque
ellas est´an hechas de part´ıculas el´ectricamente cargadas. En particular, es un
hecho experimental que el ´ındice de refracci´on depende de la frecuencia de la luz refractada, lo que es responsable de la dispersi´on en los prismas y del arco iris. Para posibilitar una explicaci´on consistente fue necesario introducir la idea de
una estructura el´ectrica de los ´atomos, entes con los que se trabajaba ya en la
qu´ımica de la ´epoca.
En cada experimento, la teor´ıa de Maxwell mostr´o su eficacia descriptiva hasta
la ´epoca de los experimentos de Hertz, quien habiendo generado ondas de radio,
y probado por tanto una de las conclusiones de Maxwell, descubri´o un nuevo
efecto —el fotoel´ectrico— que se resisti´o a cualquier descripci´on maxwelliana:
este fen´omeno comenz´o a mostrar los l´ımites de la electrodin´amica cl´asica. El
primer indicio de la debilidad de la electrodin´amica maxwelliana surgi´o casi en
el momento (Hertz, 1887) en que se probaba su eficacia.
En 1900, con el trabajo de Planck, y en 1905, con el de Einstein, la teor´ıa de la luz se encontr´o con una nueva opci´on: la luz puede tambi´en describirse como
un paquete de part´ıculas. Esta nueva idea abri´o un camino en el que el fot´on encontr´o un lugar como part´ıcula dotada de frecuencia.
La electrodin´amica cl´asica es ejemplo hermoso de una teor´ıa de campos sin
acci´on a distancia, pues seg´un ella las acciones electromagn´eticas se propagan con
velocidad finita, a lo sumo con la velocidad de la luz en el vac´ıo. En la relatividad especial resultar´ıa ser ´esta la m´axima velocidad posible.
El presente texto, que en buena medida es un ejercicio de f´ısica matem´atica,
no pretende explorar las bases experimentales de la electrodin´amica. Hace ´enfasis,
con toda intenci´on, en sus aspectos matem´aticos, por lo que largamente se detiene
en la teor´ıa de funciones de Green concebida como una herramienta poderosa en esta teor´ıa lineal.
No pretende, por tanto, ser un texto autocontenido y deber´ıa ser precedido por un buen curso b´asico sobre los fen´omenos electromagn´eticos, pues el esp´ıritu
que lo anima es f´ısico-matem´atico.
Es necesario decir que no se pretende en forma alguna suplantar o completar los textos hermosos, que en la literatura cient´ıfica abundan sobre el tema. Baste
con aceptar que la inspiraci´on fundamental y el tono de la presentaci´on quieren
ser los que surgen de una lectura cuidadosa y comprensiva del inagotable libro de J. D. Jackson “Classical electrodynamics”. Si el orden, los temas, los desarrollos y el esp´ıritu que anima este texto llegan a parec´ersele no ser´a una coincidencia.
Los problemas propuestos, a diferencia de muchos textos cl´asicos, est´an
inter-calados con el hilo central de la exposici´on. Esto indica que cada problema puede ser resuelto con los conceptos desarrollados hasta ese momento.
Env´ıo
La vida es escuela ´unica. M´as all´a de la academia persistente que tanto nos asiste,
est´an el desorden vital y las noches inevitables y hermosas que tanto ense˜nan.
En ellas, entre las copas, est´an el amigo, el compa˜nero, el estudiante, cada uno
con su inocente sugerencia o su cr´ıtica amable y profunda. De cada una de las personas que me ha regalado la vida es este texto. A ellas lo env´ıo.
Entre los que participaron en la elaboraci´on de este texto en LATEX, mi especial
reconocimiento a Johan Mazo, Guillermo Miranda y Diego Restrepo por la trans-cripci´on, a Gonzalo Montoya por su trabajo de edici´on y a Lorena Campuzano por su paciencia y dedicaci´on en el trabajo de diagramaci´on y ajuste en Latex.
Alonso Sep´ulveda Soto
Lista de s´ımbolos
S´ımbolos matem´
aticos
h i: Promedio sobre un ciclo ≈: Aproximadamente igual a ≃: Igual o del orden de ⇒: implica que ∝: Proporcional a ψ∗: Complejo conjugado de ψ | ψ |: M´odulo de ψ i:√−1 T: Matriz, d´ıada e
T: Matriz o d´ıada transpuesta
T−1: Matriz inversa |T|: Determinante de la matriz T ∇: Gradiente ∇2: Laplaciano : D’Alembertiano
Escalares
c: Velocidad de la luz en el vac´ıo
d4x: Volumen del espacio-tiempo
E: Energ´ıa
E: Densidad volum´etrica de energ´ıa
G(r, r′): Funci´on de Green
i, I: Corriente el´ectrica L: Lagrangiano
L: Densidad lagrangiana m: Masa
S, S′: Sistemas de referencia t: Tiempo W : Trabajo δ(x− x′): Delta de Dirac en 1D δ(r− r′): Delta de Dirac en 3D δ(xσ− x′σ): Delta de Dirac en 4D ǫ: Permitividad Γ(n): Funci´on Gamma
λ: Densidad lineal de carga µ: Permeabilidad
ν: Frecuencia
ρ: Densidad volum´etrica de carga; coordenada radial polar σ: Densidad superficial de carga
ΦM: Potencial escalar magn´etico
φ: Potencial escalar el´ectrico
χe: Susceptibilidad el´ectrica χm: Susceptibilidad magn´etica Ω: ´Angulo s´olido ω: Frecuencia angular
Polinomios
Hl(1)(x), H (2) l (x): Funciones de Hankelh(1)l (x), h(2)l (x): Funciones de Hankel esf´ericas
H(x) : Funciones de Hermite
Iν(x), Kν(x): Funciones de Bessel modificadas
Jν(x): Funciones de Bessel
jν(x): Funciones de Bessel esf´ericas
Nν(x): Funciones de Neumann
ην(x): Funciones de Neumann esf´ericas
Pl(x): Polinomios de Legendre
Pm
l (x): Polinomios asociados de Legendre
Ql(x): Funciones de Legendre de segunda clase
Qml (x): Funciones asociadas de Legendre de segunda clase
Ylm(θ, ϕ): Arm´onicos esf´ericos escalares
Vectores
A: Potencial vectorial magn´etico a: Aceleraci´on
B: Inducci´on magn´etica
D: Desplazamiento el´ectrico
E: Intensidad del campo el´ectrico ˆei : Vector unitario en direcci´on i
F: Fuerza
f : Densidad volum´etrica de fuerza
g: Densidad volum´etrica de momento lineal; aceleraci´on de gravedad H: Intensidad de campo magn´etico
J: Densidad de corriente el´ectrica K: Generador de Lorentz
k: Vector de propagaci´on
L: Momento angular dl: Diferencial de longitud
M: Magnetizaci´on; generador de Lorentz
m: Momento de dipolo magn´etico ˆ
n: Vector unitario normal P: Polarizaci´on
p: Momento de dipolo el´ectrico; momento lineal Q: Multipolo magn´etico esf´erico
R: Posici´on relativa r: Posici´on
S: Vector de Poynting dS: Diferencial de superficie
ˆt: Vector unitario tangencial
v, V: Velocidad
η: Densidad lineal de dipolo magn´etico; par´ametro de Lorentz
λ: Densidad superficial de corriente
Πe: Vector de Hertz el´ectrico
Πm: Vector de Hertz magn´etico
σi: Matrices de Pauli
ϕ: Par´ametro de transformaci´on de Lorentz
τ: Torque
ω: Velocidad angular
4-vectores
e
Kµ: Densidad de fuerza de Lorentz
kµ: Propagaci´on
pµ: Momento-energ´ıa
uµ, Uµ: Velocidad ˙uµ: Aceleraci´on
xµ: Posici´on ∂µ: Derivada covariante γµ: Matrices de Dirac dσµ: Hipersuperficie
D´ıadas
I: D´ıada identidadQ: Momento de cuadrupolo el´ectrico
T: Densidad de flujo de momento lineal; tensor de Maxwell
Tr´ıadas
e I
Q : Momento de cuadrupolo magn´etico
Tensores
δij: Delta de Kronecker en 3D
δν
µ: Delta de Kronecker en 4D
ǫijk: S´ımbolo de Levi-Civita en 3D
ǫµνσρ: S´ımbolo de Levi-Civita en 4D
gµν: Tensor m´etrico
Mµν: Tensor polarizaci´on-magnetizaci´on
Mµνσ: Tensor densidad de momento angular
Nµν: Tensor torque
Λν
µ: Elementos de la matriz de Lorentz
Πµν: Tensor de Hertz
τµν: Tensor momento-energ´ıa del campo electromagn´etico
φµν: Tensor de campo electromagn´etico
φ∗
µν: Tensor dual del campo electromagn´etico
1
Electrost´
atica
El concepto inicial y fundamental de la electrost´atica es el de carga el´ectrica.
De-sempe˜na en el electromagnetismo un papel an´alogo al que el concepto de masa
gravitacional desempe˜na en la teor´ıa de Newton de la gravitaci´on universal. La
carga el´ectrica aparece por primera vez en la ley de Coulomb. Tanto en la
elec-trost´atica como en la gravitaci´on la ley b´asica que rige la interacci´on es de la
forma 1/r2, y en ambos casos las teor´ıas correspondientes conducen con facilidad
a la idea de campo como fuerza por unidad de carga o por unidad de masa. Tam-bi´en en ambos casos es posible definir el potencial el´ectrico o gravitacional, cuyo
comportamiento matem´atico se expresa con una ecuaci´on de Poisson. La forma
del potencial en ambas teor´ıas conduce a una ley de conservaci´on de la energ´ıa.
Lo anterior sugiere que la electrost´atica y la gravitaci´on tienen una estructura matem´atica semejante, aunque carga y masa tengan un contexto f´ısico bastante
diferente. La magnetost´atica y los campos variables disolver´an las semejanzas.
Este cap´ıtulo pretende construir la base te´orica de la electrost´atica, y mostrar
los m´etodos m´as elementales de soluci´on a sus ecuaciones b´asicas.
1.1. Ley de Coulomb
Los experimentos de Coulomb (1785) permiten concluir que la fuerza entre dos
cuerpos peque˜nos y fijos, cargados el´ectricamente y separados una distancia
grande comparada con sus dimensiones:
• Es proporcional al producto q1q2 de las cargas (cantidad de electricidad).
• Act´ua a lo largo de la l´ınea que une las cargas.
• Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las
Figura 1.1:Las cargas q1 y q2 experimentan interacci´on el´ectrica
• Es atractiva si las cargas el´ectricas son de signo opuesto, repulsiva si son del mismo signo.
Los experimentos, empezando con los de Millikan (1907), han demostrado que
la carga el´ectrica est´a cuantizada. Las cargas el´ectricas del prot´on y el electr´on
son iguales en magnitud y opuestas en signo, siendo el electr´on negativo. Se
acepta actualmente que el prot´on y el neutr´on est´an formados por quarks u y d
cuyas cargas el´ectricas son 2/3 y –1/3 de la carga del prot´on. La estructura del
prot´on es uud y la del neutr´on es udd.
Puede demostrarse que la fuerza total sobre una carga peque˜na, debida a una
distribuci´on de cargas, es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por
cada una de las cargas sobre la carga de prueba. Esto significa que las fuerzas
el´ectricas satisfacen el principio de superposici´on.
La ley de Coulomb (v´ease figura 1.1) tiene, en un sistema inercial, la forma:
Fq1→q2 = {Fuerza que q1 ejerce sobre q2}
= kq1q2(r2− r1) | r2− r1|3
.
Es obvia la analog´ıa con la ley de gravitaci´on, excepto por el hecho de que la masa es siempre positiva y de que la acci´on gravitacional depende de la masa,
factor que ya aparece en la mec´anica. Esto trae como consecuencia que en la
teor´ıa de gravitaci´on hay solo una cantidad nueva, la constante de Cavendish G, que puede determinarse experimentalmente. En contraste, en la ley de Coulomb aparecen dos cantidades nuevas, q y k, ninguna de las cuales se refiere a cantidades introducidas previamente en f´ısica.
La constante de proporcionalidad k puede determinarse al escoger una unidad de carga. De modo rec´ıproco, puede tambi´en escogerse arbitrariamente la
cons-Electrost´atica / 3
tante de proporcionalidad, lo que fija la unidad de carga. Esto significa que es posible definir dos tipos de unidades el´ectricas:
1. Unidades electrost´aticas (esu). La unidad de carga es aquella que ejerce
una fuerza de 1 dina sobre otra igual colocada a 1 cm de distancia. Esta unidad se conoce como statcoulomb (stc). La constante de proporcionalidad
tiene valor 1 en dinas cm2/stc2.
2. Unidades MKS (sistema internacional). La constante de
proporcionali-dad se escoge con el valor k = 10−7c2= 8,9874
×109, donde c es la velocidad
en m/s de la luz en el vac´ıo. Con este valor de k la unidad de carga queda
fijada y se conoce como coulomb (C), tal que k≃ 9 × 109N m2/C2.
Habi-tualmente se escribe k = 1/4πǫ0 donde ǫ0 = 8,854× 10−12C2/N m2. El
coulomb es la cantidad de carga que colocada en el vac´ıo a 1 metro de otra
igual la repele con una fuerza de 1/4πǫ0N .
Puesto que es posible escribir, cambiando de unidades:
8,9874× 109N m2/C2 = 8,9874× 1018dina cm2/C2
= 1 dina cm2/stc2
se sigue que la relaci´on entre los dos tipos de unidades de carga es:
1 C = 2,997× 109stc
≈ 3 × 109stc.
El ap´endice H muestra la forma de hacer conversiones entre los dos sistemas
de unidades. En este texto se utiliza el sistema esu La fuerza que la carga q1
ejerce sobre la carga q2se escribe, entonces, en e.s.u. como:
Fq1→q2 =
q1q2(r2− r1)
| r2− r1|3
. (1.1)
An´alogamente, la fuerza ejercida por q2sobre q1 es:
Fq2→q1 =
q1q2(r1− r2)
| r1− r2|3
,
tal que F1→2+ F2→1= 0, en concordancia con la ley de acci´on-reacci´on.
Las cargas q1 y q2 se consideran cantidades algebraicas escalares que toman
valores reales positivos o negativos. Para signos iguales (++ o−−) habr´a
1.2. Campo el´
ectrico
La ley de Coulomb (1.1), que describe la interacci´on entre cargas, puede tambi´en
pensarse como interacci´on entre q2 y el campo el´ectrico generado por q1 en el
punto donde se halla q2(v´ease figura 1.2). Definimos el campo el´ectrico E1debido
a q1 como la fuerza por unidad de carga q2, ejercida por q1:
E1(r2) = F1→2 q2 (1.2) = q1(r2− r1) | r1− r2|3 .
An´alogamente, el campo el´ectrico debido a la carga q2 tiene la forma:
Figura 1.2:Las l´ıneas de campo el´ectrico asociado a una carga puntual positiva salen de la fuente q1 E2(r1) = F2→1 q1 = q2(r1− r2) | r2− r1|3 .
N´otese que el campo el´ectrico as´ı definido depende s´olo de la carga que lo
genera —la fuente—, siendo independiente de la carga de prueba.
El campo el´ectrico es un vector y satisface el principio de superposici´on: el
campo debido a una distribuci´on de cargas es igual a la suma de los campos
generados por cada elemento de la distribuci´on. Al igual que r y F, el campo E
Electrost´atica / 5
As´ı pues, el campo el´ectrico en el punto r′ generado por una carga puntual q
localizada en el punto r′ se expres como (v´ease figura 1.3):
E = q(r− r′)
| r − r′|3 . (1.3)
Figura 1.3:La direcci´on de las l´ıneas del campo electrost´atico de una carga puntual va desde la posici´on r′ de la carga hasta el punto r
Cuando el campo es generado no por cargas puntuales sino por una
distribu-ci´on continua de cargas, esta distribuci´on puede ser afectada por la presencia de
una carga de prueba finita q′. Bajo estas condiciones la fuerza medida sobre q′
no da informaci´on exacta sobre el campo original sino sobre el campo perturbado
por la presencia de q′. Con el fin de eliminar el efecto perturbador de q′se define
el campo el´ectrico debido a una distribuci´on de cargas que ejerce sobre q′ una
fuerza F, como el l´ımite:
E = l´ım
q′→0
F q′.
1.2.1. Distribuciones de carga
• De acuerdo con el principio de superposici´on (v´alido en general para campos
lineales), el campo debido a una distribuci´on discreta de cargas formada por n
cargas puntuales qi colocadas en puntos ri (v´ease figura 1.4) est´a dado, por:
E(r) = n X i=1 qi(r− ri) | r − ri|3 . (1.4)
Figura 1.4:El campo electrost´atico de una distribuci´on de cargas puntuales es la combi-naci´on lineal de los campos de cada carga
• Para una distribuci´on continua de cargas (v´ease figura 1.5), la sumatoria an-terior se convierte en una integral, por lo cual:
E(r) =
Z dq(r′)(r
− r′)
| r − r′ |3 . (1.5)
La distribuci´on continua puede ser lineal, superficial o volum´etrica, con
densi-Figura 1.5:El campo el´ectrico de una distribuci´on volum´etrica de cargas se obtiene por integraci´on sobre el volumen de la distribuci´on de los campos debidos a cada elementos diferencial
dades de carga dadas, respectivamente, por λ(r′), σ(r′), ρ(r′); esto es:
dq(r′) = λ(r′) dl(r′), dq(r′) = σ(r′) dS(r′), dq(r′) = ρ(r′) dV (r′) .
El campo debido a una colecci´on de cargas puntuales puede describirse,
Electrost´atica / 7
como el producido por una densidad volum´etrica equivalente. As´ı:
q = carga total = n X i=1 qi× 1 = n X i=1 qi Z δ(r′− r i) dV′ = Z Xn i=1 qiδ(r′− ri) dV′= Z ρ(r′) dV′.
En consecuencia, la densidad volum´etrica de carga equivalente a una colecci´on
de cargas puntuales es:
ρ(r′) =
n
X
i=1
qiδ(r′− ri) . (1.6)
Por tanto, el campo el´ectrico de esta distribuci´on se expresa como:
E(r) = Z dq(r′)(r − r′) | r − r′ |3 = Z ρ(r′)(r − r′) | r − r′|3 dV′ = n X i=1 qi Z δ(r′− r i)(r− r′) | r − r′|3 dV′ = n X i=1 qi(r− ri) | r − ri|3,
que es la expresi´on (1.4). La densidad volum´etrica equivalente a una sola carga
puntual colocada en r′ es:
ρ(r) = q δ(r− r′) . (1.7)
Las distribuciones puntuales, lineales y superficiales son distribuciones singu-lares: un punto, una l´ınea, un plano, son singularidades del espacio. La
construc-ci´on de ρ(r) para la distribuci´on puntual ser´a extendida a distribuciones lineales
y superficiales.
En lo que sigue se asumir´a que cualquier distribuci´on de cargas, discreta o
continua, es equivalente a una distribuci´on volum´etrica.
Consid´erense dos ejemplos:
1. Plano xy con carga superficial σ(x, y). Para una porci´on finita del plano, y
comoRδ(z) dz = 1: q = Z σ dx dy = Z σ dx dy Z δ(z) dz = Z σ(x, y)δ(z) dV = Z ρ(r) dV . (1.8)
La densidad volum´etrica de carga es:
2. L´ınea de carga λ(z) perpendicular al plano xy y que pasa por (x0, y0). Para
una porci´on del alambre, conR δ(x− x0) dx = 1 =Rδ(y− y0) dy:
q = Z λ dz = Z λ dz Z δ(x− x0) dx Z δ(y− y0) dy = Z ρ(r) dV . (1.9)
La distriduci´on volum´etrica equivalente es, entonces:
ρ(r) = λ(z) δ(x− x0) δ(y− y0) .
1.3. Ley de Gauss
Una forma de evaluaci´on del campo E, utilizable en los casos en que la
distribu-ci´on de carga tiene una alta simetr´ıa, proviene de la ley de Gauss. Consid´erese primero el caso ‘trivial’ de una carga puntual.
Sea una carga puntual q localizada en O′, y una superficie cerrada S cuya
forma es arbitraria. El punto O′ puede ser interior o exterior a S. El campo
electrost´atico en un punto r sobre la superficie est´a dado por la ecuaci´on (1.3):
E = q(r− r
′)
| r − r′ |3.
El flujo diferencial a trav´es de dS(r) (v´ease figura 1.6) es:
E· dS(r) = q(r− r′)· dS(r)
| r − r′|3 ;
integrando sobre una superficie cerrada S que contenga la carga: I E· dS = q I (r − r′)· dS | r − r′ |3 = q Z 4π dΩ ,
donde, por definici´on del ´angulo s´olido:
dΩ = (r− r′)· dS
| r − r′|3 .
Al realizar la integraci´on en dΩ para la superficie cerrada se obtiene cero si O′
est´a fuera de S y 4π si O′ est´a dentro. Esto es, utilizando la propiedad b´asica de
la funci´on delta, se sigue: I
E· dS = 4πq
Z
V
Electrost´atica / 9
Figura 1.6: Geometr´ıa involucrada en la obtenci´on de la ley de Gauss para una carga puntual. El punto O′puede estar dentro o fuera de la superficie
para O′ dentro de S, y cero para O′ fuera de S. En forma simple:
I
s
E· dS = 4πq .
q es la carga encerrada en la superficie. Si no hay cargas dentro de ella: I
s
E· dS = 0 .
Para un conjunto de n cargas puntuales contenidas dentro de la superficie I s E· dS = 4π n X i=1 qi,
expresi´on en la que, de acuerdo con el principio de superposici´on:
E = E1+ E2+ E3+ . . . En.
Estos resultados pueden extenderse al caso de una distribuci´on continua de cargas
los elementos diferenciales dq, tal que: I
s
E′· dS = 4πdq(r′) ,
dondeHsE′· dS da el flujo del campo a trav´es de S debido a dq. El flujo total,
Figura 1.7:Geometr´ıa involucrada en la ley de Gauss para una distribuci´on
debido a toda la distribuci´on de carga, es:
I
s
E· dS = 4π
Z dq ;
la integraci´on sobre la carga encerrada en la superficie conduce a:
I
s
E· dS = 4πq . (1.10)
Conviene enfatizar en que q es la carga neta dentro de la superficie.
En su forma integral la ley de Gauss afirma que el flujo neto de l´ıneas del
cam-po electrost´atico a trav´es de una superficie cerrada se debe s´olo a la presencia
de las cargas encerradas en la superficie (v´ease figura 1.8). Las cargas localizadas fuera de la superficie, aunque contribuyen al campo en todos los puntos, no con-tribuyen al flujo neto.
Si no hay cargas dentro de la superficie S o si su suma se anula dando una
carga neta cero, las l´ıneas de campo entran y salen en igual n´umero dando flujo
neto cero.
La forma de las l´ıneas del campo electrost´atico no cambia con el tiempo.
Como se ver´a en los cap´ıtulos sobre campos variables las formas de estas l´ıneas
Electrost´atica / 11 q q S S S –q
Figura 1.8:Presencia de cargas a. dentro de la superficie S; b. fuera de ella; c. dos cargas iguales y opuestas dentro de la superficie
1.3.1. Ley de Gauss en forma diferencial
Partiendo de la ley integral de Gauss (1.10): I s E· dS = 4πq = 4π Z ρ(r) dV,
donde se ha tenido en cuenta que toda distribuci´on equivale a una distribuci´on
volum´etrica; utilizando el teorema de la divergencia: I
s
E· dS =
Z
∇· E dV,
v´alido para un volumen arbitrario, se obtiene una expresi´on v´alida para cualquier
distribuci´on est´atica de cargas:
∇· E(r) = 4πρ(r) . (1.11)
De acuerdo con esta ecuaci´on, las cargas el´ectricas son fuentes —o sumideros—
de l´ıneas del campo electrost´atico.
1.4. Potencial electrost´
atico
Para una distribuci´on continua de carga es v´alida la ecuaci´on (1.5):
E(r) =
Z dq(r′)(r− r′)
| r − r′ |3 ;
−∇ 1 | r − r′| = r− r′ | r − r′ |3,
donde ∇ opera s´olo sobre r, se sigue:
E(r) =− Z dq(r′)∇ 1 | r − r′| =−∇ Z dq(r′) | r − r′ |.
∇puede extraerse de la integral porque no participa en la integraci´on. Entonces,
E(r) =−∇φ(r) , (1.12)
donde se ha definido el potencial electrost´atico o potencial escalar: φ(r) =
Z dq(r′)
| r − r′| . (1.13)
1.5. Ecuaci´
on de Poisson
Tomando el laplaciano en (1.13) y seg´un (B.2) del ap´endice B:
∇2φ(r) = ∇2Z dq(r′) | r − r′| = Z dq(r′)∇2 1 | r − r′| = −4π Z dq(r′) δ(r− r′) ;
puesto que toda distribuci´on de carga el´ectrica es equivalente a una distribuci´on
volum´etrica, se sigue:
∇2φ(r) =−4π
Z
ρ(r′)δ(r− r′) dV′ =−4πρ(r) ,
resultado que se conoce como ecuaci´on de Poisson:
∇2φ(r) =
−4πρ(r) . (1.14)
La ley de Gauss en la forma diferencial (1.11) puede ahora obtenerse en una forma m´as simple. De:
E(r) =−∇φ(r) ,
puede escribirse, tomando la divergencia:
∇· E(r) = ∇ · (−∇φ(r))
= −∇2φ(r)
Electrost´atica / 13
PROBLEMA: Utilizando la densidad de carga volum´etrica equivalente para una dis-tribuci´on discreta de cargas puntuales demuestre que:
φ(r) = n X i=1 qi | r − ri| .
1.6. El campo electrost´
atico es conservativo
Tomando el rotacional en (1.12) se tiene:
∇× E(r) = −∇ × ∇φ(r) ,
pero el ´ultimo t´ermino es id´enticamente nulo para una funci´on φ(r) “bien
com-portada”, es decir, univaluada, continua y derivable, lo que significa que el campo electrost´atico es siempre conservativo:
∇× E(r) = 0 . (1.15)
Esta ´ultima ecuaci´on exige que el campo de Coulomb sea central y que
satisfa-ga el principio de superposici´on, pero no impone restricci´on sobre la dependencia
con r. En general, puede demostrarse que un campo central M(r) de la forma: M(r) = k
Z f (r′)(r
− r′)
| r − r′ |n+1 dV (r′), con n = real ,
satisface la ecuaci´on ∇×M(r) = 0. Es decir, es conservativo. f(r) es la densidad
volum´etrica de la fuente del campo M(r).
Contrastando con lo anterior, la ecuaci´on ∇· E = 4πρ es v´alida s´olo si la
dependencia con r es de inverso cuadrado (n = 2).
PROBLEMA: Demuestre que el campo M(r) propuesto anteriormente es conservati-vo, y que ∇ · M(r) ∝ f(r) s´olo si n = 2. Eval´ue el potencial escalar correspon-diente. Tenga en cuenta que:
r− r′ | r − r′|n+1 = ( −n−11 ∇ 1 |r−r′|n−1 si n 6= 1 ∇ln | r − r′| si n = 1
1.7. Potencial y trabajo
El conjunto de puntos del espacio con el mismo valor del potencial conforma
una superficie (o regi´on) equipotencial. El interior de un conductor en equilibrio
superficies de potencial constante. La relaci´on E =−∇φ afirma que las l´ıneas de
campo E son perpendiculares a las equipotenciales. El signo menos (−) indica
que E sigue la direcci´on en que el potencial decrece.
Las l´ıneas de campo E satisfacen la condici´on E× dr = 0. Esta expresi´on
provee la forma de las l´ıneas de campo si se conoce E.
Ahora, con el fin de dar un sentido f´ısico al potencial φ(r), debe calcularse el trabajo realizado sobre una carga puntual q para llevarla desde a hasta b en presencia de un campo el´ectrico (v´ease figura 1.9):
Wa→b = Z b a Fext.· dl = −q Z b a E· dl = q Z b a ∇φ· dl = q Z b a dφ = q [φ(b)− φ(a)] .
Figura 1.9:Diagrama para el c´alculo del trabajo realizado sobre una carga el´ectrica pun-tual. Contrarrestando el campo el´ectrico en que se mueve la carga, mediante una fuerza externa puede llevarse la carga desde a hasta b
En consecuencia, el trabajo realizado no depende de la trayectoria sino de los puntos inicial y final; es cierto, entonces, que:
Wa→b
q = φ(b)− φ(a) = −
Z b
a
E· dl . (1.16)
Se sigue (v´ease figura 1.10) que el trabajo realizado por una fuerza
Electrost´atica / 15
En efecto, para una trayectoria cerrada: W q = − I E· dl = − Z b a E· dl − Z a b E· dl = [φ(b)− φ(a)] + [φ(a) − φ(b)] = 0 ;
por tanto, para un campo electrost´atico puede concluirse que: I
E· dl = 0 =
I F· dl .
De modo estrictamente matem´atico, este resultado es consecuencia de ∇× E = 0
Figura 1.10:El trabajo realizado por una fuerza electrost´atica a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo.
aplicado al teorema de Stokes: Z s ∇× E · dS = I c E· dl ,
donde S es la superficie limitada por el contorno C (v´ease figura 1.11).
PROBLEMA: Demuestre la conservaci´on de la suma de la energ´ıa cin´etica y potencial el´ectrica para una part´ıcula con carga q colocada en un campo el´ectrico:
1 2mv
Figura 1.11:Direcciones de los vectores de superficie y l´ınea para el teorema de Stokes.
1.7.1. Recalibraci´on del potencial
El trabajo realizado por el campo el´ectrico para mover una carga entre dos puntos
depende s´olo de la diferencia de potencial entre ellos; existe por tanto una
inde-terminaci´on en el valor num´erico del potencial, puesto que puede a˜nadirse una
constante arbitraria C sin afectar las cantidades f´ısicas medibles (como trabajo
y campo E). As´ı, definiendo un nuevo potencial φ′ como:
φ′= φ + C , (1.17)
se sigue, reemplazando en la expresi´on para el trabajo:
Wa→b′ = φ′(b)− φ′(a) = φ(b)− φ(a) = W
a→b,
y tambi´en,
E′=−∇φ′=−∇(φ + C) = −∇φ = E .
El campo electrost´atico es invariante bajo la recalibraci´on φ′= φ + C,
tam-bi´en conocida como transformaci´on gauge. An´alogamente, la aceleraci´on g de
gravedad, expresable por g =−∇G, es invariante bajo la recalibraci´on del
po-tencial gravitacionalG′=G + C.
De acuerdo con lo anterior el potencial electrost´atico puede escribirse en la forma general (v´alida para cargas en el espacio infinito, sin fronteras):
φ(r) =
Z ρ(r′)
| r − r′|dV′ + φ0, φ0= constante arbitraria . (1.18)
Dado el car´acter no un´ıvoco del potencial es posible escoger un potencial
Electrost´atica / 17
f´ısicamente es la diferencia de potencial, es decir: el campo E). Esto puede verse
en el caso particularmente simple de una carga puntual Q. Utilizando la ecuaci´on
(1.16) y acudiendo a la figura 1.12: Z b a E· dl = Q Z b a ˆr· ˆr r2 dr = Q −1r b a = Q −r1 b + 1 ra = φ(a)− φ(b) ,
que puede expresarse en la forma: φ(a) = Q 1 ra − 1 rb + φ(b) .
Figura 1.12:Diagrama para el c´alculo del potencial debido a una carga puntual
Si se escoge ra = r y rb→ ∞ se tendr´a:
φ(r) = Q
r + φ(∞) .
Se asume por conveniencia, por simplicidad y arbitrariamente que φ(∞) = 0, as´ı:
φ(r) = Q
r .
La escogencia del potencial lejano como φ(∞) = 0 es siempre posible para
distribuciones localizadas de carga, esto es, distribuciones que en cada direcci´on
del espacio tienen extensi´on finita. Toda distribuci´on de esta clase se ‘ve’ desde
Sin embargo, para el caso de un alambre rectil´ıneo infinito y cargado es cierto
que φ∝ ln r, por lo que no es posible escoger φ(∞) = 0. Pero puede escogerse
φ(a) = 0 en un punto a arbitrario (ni r = 0, ni r → ∞). Es obvio que en este
caso la distribuci´on de carga no est´a localizada. En general para distribuciones no
localizadas no es posible hacer φ(∞) = 0. Hay que tener presente, sin embargo,
que en la pr´actica experimental, y en el mundo real, toda distribuci´on es finita y
localizada; m´as a´un si se toma en cuenta el tama˜no finito del universo.
1.8. Ecuaciones de campo
Han sido obtenidas dos ecuaciones diferenciales de campo, (1.11) y (1.15):
∇· E(r) = 4πρ(r), ∇× E(r) = 0 .
Estas ecuaciones, junto con las condiciones de frontera, son en principio suficientes para evaluar el campo electrost´atico. Recu´erdese, en efecto, el siguiente teorema del c´alculo vectorial:
Un campo vectorial est´a completamente especificado si se conocen
su divergencia y su rotacional en cada punto del volumen de inter´es,
y las condiciones de frontera.
Con el prop´osito de calcular los campos es m´as conveniente, sin embargo,
trabajar con la ecuaci´on de Poisson (1.14):
∇2φ(r) =
−4πρ(r) .
Por fuera de las distribuciones de carga, esto es, en regiones donde sea nula
la densidad volum´etrica de cargas ρ(r) = 0, es v´alida la ecuaci´on de Laplace:
∇2φ(r) = 0 . (1.19)
1.9. C´
alculo de campos
Conocida la distribuci´on de carga, el potencial o el campo E pueden calcularse
utilizando uno de los siguientes modos: a. E(r) = Z ρ(r′)(r− r′) | r − r′ |3 dV′; b. φ(r) = Z ρ(r′) | r − r′|dV′ + φ0 y luego E =−∇φ ;
Electrost´atica / 19
c. HsE· dS = 4πq ;
d. ∇2φ(r) =
−4πρ(r) o ∇2φ(r) = 0 ;
e. M´etodo de im´agenes y de transformaciones conformes .
Discusi´on
• Los m´etodos a y b son esencialmente equivalentes, siendo preferible el b s´olo porque es m´as f´acil evaluar una integral escalar que una vectorial. Estos dos
m´eto-dos exigen el conocimiento previo de ρ(r′) en todo el espacio (si el problema es de
espacio infinito), o la distribuci´on ρ(r′) en el volumen y σ(r′) sobre su frontera.
Generalmente en los problemas con frontera se conoce ρ(r′) en el interior, pero
sobre la frontera no se conoce la distribuci´on de carga sino el potencial —o su
derivada normal—, como en el caso mostrado en la figura 1.13.
Figura 1.13:Carga puntual a distancia h de una placa equipotencial
De (1.13), incluyendo una recalibraci´on φ0, se consigue:
φ(r) =
Z ρ(r′)
| r − r′|dV′ + φ0,
en esta ecuaci´on ρ(r′) es la densidad volum´etrica total de carga:
ρ(r′) = q δ(r′) + ρ′(r′) ,
ρ′(r′) es la carga volum´etrica equivalente a la carga superficial inducida en z = 0.
Pero ρ′(r′) no es conocido de antemano, y no puede deducirse del hecho de que
φ = 0 en z = 0 a menos que el problema haya sido resuelto por otro m´etodo.
As´ı pues, los m´etodos a y b s´olo son utilizables si no hay superficies de frontera;
• El m´etodo c exige el previo conocimiento de la forma de las superficies
equipotenciales (que hacen el papel de superficies gaussianas enHsE·dS). Es ´util
cuando las distribuciones de carga tienen alta simetr´ıa, por ejemplo: distribuci´on
con simetr´ıa esf´erica o cil´ındrica. Falla en su aplicabilidad para distribuciones asim´etricas.
Adem´as, puesto queHsE· dS = 4πq involucra s´olo el flujo neto, la ecuaci´on
no permite evaluar E a menos que todas las cargas est´en dentro del volumen. Cargas fuera de ´el contribuyen con campos dentro de V que no pueden evaluarse por este m´etodo, pues no contribuyen al flujo.
Por otra parte, este m´etodo no admite con facilidad la inclusi´on de condiciones
de frontera.(¿C´omo calcular el campo de una esfera uniformemente cargada colo-cada dentro de una caja equipotencial?)
• El m´etodo de las im´agenes ser´a analizado m´as tarde. No es de aplicaci´on general. El m´etodo de transformaciones conformes es aplicable a problemas bidi-mensionales. No ser´a desarrollado en este texto.
• En el m´etodo d se trata de solucionar una ecuaci´on diferencial parcial lineal inhomog´enea (Poisson) u homog´enea (Laplace).
En primer lugar, la ecuaci´on de Laplace puede resolverse por separaci´on de
variables en once sistemas de coordenadas (que incluyen todos los de inter´es
en f´ısica); las constantes de integraci´on permiten con relativa facilidad acoplar
la soluci´on a las condiciones de frontera. Las soluciones a la ecuaci´on dan
ge-neralmente nacimiento a funciones ortogonales. Gran cantidad de situaciones que
implican trabajar s´olo en el exterior de distribuciones de carga son manejables
con este m´etodo.
En segundo lugar, la ecuaci´on de Poisson es una ecuaci´on inhomog´enea y
no admite separaci´on de variables. La integraci´on de esta ecuaci´on es factible
mediante el uso de teoremas integrales. Este camino, de una amplia generalidad,
y que ser´a adoptado en gran parte de lo que sigue, llevar´a a introducir la t´ecnica
de funciones de Green, tema del pr´oximo cap´ıtulo.
La introducci´on de tales funciones no se restringe solo al electromagnetismo,
pues su aplicaci´on es v´alidad en todas las teor´ıas lineales de campos. El ejemplo
c´asico es la electrodin´amica cu´antica.
Ejercicio
Calcule el potencial y el campo el´ectrico para un alambre muy largo de densidad lineal λ (v´ease figura 1.14). El potencial ser´a calculado en el plano medio de un
alambre finito L, y luego se har´a L−→ ∞.
El potencial se calcula de (1.13) y puede calibrarse de modo que φ0 = 0.
Electrost´atica / 21
Figura 1.14:Alambre vertical recto con densidad de carga λ
φ(r) = Z dq(r′) |r − r′| = λ Z z=L z=−L dz p ρ2+ z2 = λ " ln p ρ2+ z2+ z ρ !#z=L z=−L = λ ln p 1 + ρ2/L2+ 1 p 1 + ρ2/L2− 1 ! .
Expandiendo binomialmente los dos anteriores radicales para ρ/L≪ 1 se obtiene,
conservando s´olo el primer t´ermino:
φ(r) =−2λ ln(ρ/2L) , (1.20)
de donde, tomando el gradiente se obtiene el campo E :
E =−∇φ = 2λρ ˆeρ.
El campo E puede calcularse en una forma muy simple utilizando la ley de
Gauss en forma integral. Esto se debe a la alta simetr´ıa de la distribuci´on de carga.
Sin embargo, en otro caso simple, el de un anillo de carga, no s´olo es inaplicable la
ley de Gauss sino que la integraci´on directa del potencial es bastante complicada,
PROBLEMA: Demuestre que los campos en el eje de un anillo de radio a y densidad lineal de carga λ est´an dados por:
φ =√2πaλ
z2+ a2, E=
2πλa2z (z2+ a2)3/2kˆ.
Obtenga E por integraci´on directa y tambi´en calculando ∇φ.
1.10. Campo autoconsistente
La ecuaci´on (1.14) es fundamental en la b´usqueda de soluci´on a los problemas
electrost´aticos. Si se conoce la distribuci´on de carga, alg´un tipo de integraci´on
puede proveer el valor del potencial. Ocurre sin embargo que en muchos casos
no solo el potencial sino tambi´en la distribuci´on de carga son inc´ognitas del
problema, lo que exige un acercamiento m´as cuidadoso a su soluci´on.
Para dar un ejemplo sencillo consid´erese una nube de electrones que fluye
desde el ´anodo al c´atodo de un ca˜n´on de electrones. Con el prop´osito de simplificar
sup´ongase que la nube viaja entre un par de placas planas paralelas conductoras separadas una distancia L, cuya diferencia de potencial es V , y que los electrones tienen una velocidad despreciable al salir del c´atodo.
Puesto que el problema propuesto es unidimensional la ecuaci´on de Poisson
tiene la forma simple:
d2φ
dx2 =−4πρ .
La conservaci´on la de energ´ıa exige que la energ´ıa potencial electrost´atica se
transforme en cin´etica tal que:
qφ = 1
2mv
2;
la densidad de corriente se escribe J = ρv = ρp2qφ/m. La cantidad J mantiene
el mismo valor en todos los puntos entre las placas (¿por qu´e?), de modo que
reemplazando ρ en la ecuaci´on unidimensional de Poisson se sigue:
d2φ
dx2 =−4πJ
r m
2qφ;
con φ = 0 en x = 0 la soluci´on es (ensaye φ = Axn):
φ3= 81mπ
2
2q J
2x4.
Electrost´atica / 23
Figura 1.15:Los campos normales a cada lado de una interfase dependen de la carga superficial
Si el potencial en x = L es V se consigue, para la densidad volum´etrica de
corriente, la expresi´on:
J = 2qV
3
81mπ2L4.
PROBLEMA: Un filamento delgado que act´ua como c´atodo emite electrones por calentamiento y estos son atraidos hacia un cascar´on cil´ındrico que lo rodea y que hace el papel de ´anodo. Entre el c´atodo y el ´anodo hay una diferencia de potencial V . Si los electrones son emitidos con baja velocidad ¿cu´al es el potencial en la regi´on interna? ¿Cu´al es la densidad volum´etrica de carga?
1.11. Discontinuidades en los campos
1. Ahora bien, los teoremas de unicidad de las soluciones a las ecuaciones de
campo campo permiten saber cu´ales son, para cada tipo de ecuaci´on, las
condiciones de frontera pertinentes.
Consid´erese una superficie (abierta o cerrada) con densidad superficial de
carga σ(r), con vector unitario ˆn, normal a la superficie y dirigido del medio
2 al 1. Campos E1 y E2 existen a cada lado de la superficie. En el caso
electrost´atico las condiciones de frontera pueden ser obtenidas partiendo
de la ley de Gauss (1.10) y tomando una peque˜na caja cil´ındrica de altura
despreciable (v´ease figura 1.15), de modo que la ´unica contribuci´on venga
de las bases del cilindro, puede demostrarse que:
a b
EN
Figura 1.16:Condiciones de frontera. a. Para el campo el´ectrico; b. para el potencial
tal que hay discontinuidad de 4πq en la componente normal del campo el´ectrico, al cruzar la superficie cargada (v´ease figura 1.16).
Adicionalmente, tomando una peque˜na trayectoria cerrada en la que los
lados perpendiculares a la interfase son infinitesimalmente peque˜nos (v´ease
figura 1.15), y haciendo uso de H E· dl = 0, puede demostrarse que la
componente tangencial de E es continua a trav´es de la superficie. Esto
es Et|1 = Et|2. El potencial el´ectrico tambi´en es continuo a trav´es de la
superficie (v´ease figura 1.16). V´ease tambi´en secci´on 6.6. Ahora, teniendo en cuenta que:
a. Un conductor perfecto no admite campo E en su interior.
b. Seg´un el teorema de Stokes, un conductor en su superficie s´olo admite
campo normal, entonces el campo E1 en el interior es nulo, tal que:
(E2− E1)· ˆn = 4πσ ⇒ σ =
1 4πnˆ· E .
donde E es el campo en la superficie S. As´ı, la densidad superficial de carga en el conductor es:
σ =−4π1 (ˆn· ∇φ)s,
o tambi´en, teniendo en cuenta la definici´on de derivada normal:
σ =− 1 4π ∂φ ∂n s , (1.22)
Electrost´atica / 25
2. Consid´erese a continuaci´on el potencial electrost´atico debido a una capa dipolar superficial, como en la figura 1.17. Esta capa consta de una
super-ficie de carga σ, y otra muy cercana y paralela localmente, de carga −σ,
separadas una distancia d. De la ecuaci´on (1.13), con φ0= 0, se sigue:
– – – – – – – – – – – – – – –
Figura 1.17:Geometr´ıa de una capa dipolar
φ(r) = Z S′ σ(r′) | r − r′ |dS′− Z S σ(r′) | r − r′+ ˆn d|dS′;
con r− r′≫ ˆn d, es posible realizar la siguiente expansi´on:
1 | r − r′+ ˆn d| = 1 p (r− r′)2+ 2(r− r′)· ˆn d + d2 ≈ 1 | r − r′|p1 + 2(r− r′)· ˆn d/| r − r′|2 ≈ 1 | r − r′| 1−(r− r′)· ˆn d | r − r′|2 , por lo cual el potencial toma la forma:
φ(r) = Z σ(r′)(r − r′)· ˆn d | r − r′|3 dS′ = Z σ(r′) d (r − r′)· dS′ | r − r′|3 = Z D(r′) dΩ ,
donde D(r′) = σ(r)d es la densidad superficial de momento de dipolo. Por
simplicidad supongamos una capa dipolar uniforme, D(r′) constante. As´ı:
φ(r) = D Z
dΩ ,
lo que indica que hay una discontinuidad de 4π al atravesar la capa dipolar (v´ease figura 1.18).
1.12. Unicidad del potencial
Desde un punto de vista f´ısico es razonable esperar que la especificaci´on del
potencial sobre una superficie cerrada defina un potencial ´unico. Esta es llamada
condici´on o problema de Dirichlet.
Similarmente puede esperarse que la especificaci´on de los campos E normales,
esto es, de la derivada normal del potencial sobre la superficie cerrada, tambi´en
defina un potencial ´unico. Este es el problema de Neumann. Con el prop´osito de
Figura 1.18:El valor del ´angulo s´olido depende del punto desde elcual se eval´ua. a. desde el interior es 4π; b. desde el exterior es cero
estudiar estas posibilidades ha de deducirse la primera identidad de Green. Del teorema de la divergencia (v´ease ap´endice D):
Z
∇· A dV =
I
A· dS, con A = φ∇ψ
se obtiene, por integraci´on sobre el volumen:
Z
φ∇2ψ + ∇ψ
· ∇φdV =
I
Electrost´atica / 27
Ahora bien, se trata ahora de probar la unicidad de la soluci´on a la ecuaci´on
de Poisson dentro de un volumen V, sujeto a condiciones de frontera sobre S. Para
ello, sup´ongase que existen dos soluciones φ1 y φ2 que satisfacen la ecuaci´on de
Poisson y las mismas condiciones de frontera. Es decir:
Dirichlet: φ1|s= φ2|s= φs Neumann: ∂φ1 ∂n s=∂φ2 ∂n s= ∂φ∂ns. Por conveniencia, se introduce la cantidad U definida como:
U = φ2− φ1;
se sigue entonces:
∇2U =
∇2φ
2− ∇2φ1=−4πρ + 4πρ = 0 .
Para el caso de Dirichlet:
Us= φ2|s−φ1|s= 0 ;
y para el caso de Neumann:
∂Us ∂n = ∂φ2 ∂n s− ∂φ1 ∂n s= 0 De (1.23) con φ = ψ = U : Z U∇2U + (∇U )2dV = Z Us ∂Us ∂n dS ;
la integral es cero ya que Us= 0 (o ∂Us/∂n = 0). Como∇2U = 0 se concluye:
Z
(∇U )2dV = 0
y por tanto ∇U = 0, U = constante = C. En s´ıntesis:
• Para el problema de Dirichlet: φ2|s= φ1|s, expresi´on que conduce a:
Us = φ2|s−φ1|s= C = 0
⇒ φ2= φ1;
• Para el problema de Neumann: ∂U ∂n s= 0 = ∂ ∂n(φ2− φ1) s= 0 ⇒ φ2− φ1 = constante
En este caso las dos soluciones difieren al m´aximo, en una constante, lo que
es apenas obvio puesto que la condici´on de frontera no da el potencial sino su
derivada normal, quedando a´un la libertad de una constante aditiva al potencial.
As´ı, excepto por la recalibraci´on, el potencial es ´unico.
Puede demostrarse, y no se har´a aqu´ı, que no es posible especificar
libre-mente y de modo simult´aneo las condiciones de Dirichlet y Neumann sin caer en
contradicci´on.
Esto es, no hay soluci´on si φ y ∂φ/∂n se especifican independientemente
sobre la misma frontera, pues hay soluciones ´unicas para cada tipo de condicion
separadamente y ´estas no son en general compatibles.
Sobre la superficie de un conductor, por ejemplo, no es posible imponer,
si-mult´aneamente, que φ sea constante y que la componente normal de E tenga un
valor arbitrariamente asignado, ya que, como sabemos, la condici´on de
equipoten-cialidad de la superficie garantiza autom´aticamente que el campo es m´as intenso en las puntas de los conductores.
En conexi´on con lo anterior n´otese que: Z
Us∂Us
∂n dS
es cero ya sea que se utilice la condici´on de Dirichlet o la de Neumann. Es posible
especificar φ sobre una porci´on de la frontera y ∂φ/∂n sobre una porci´on diferente
(como decir: φ en S1 y ∂φ/∂n en S2, con S = S1+ S2).
Los problemas electrost´aticos, en s´ıntesis, se especifican mediante condiciones
de Dirichlet o Neumann; sobre la misma regi´on de la superficie una excluye a la
otra. En este texto el inter´es se centrar´a en las condiciones de Dirichlet. Si las
condiciones de frontera son las de Neumann los desarrollos propuestos pueden rehacerse sin dificultad.
2
Funci´
on de Green
La ecuaci´on de Poisson es diferencial parcial de segundo orden, lineal e
inho-mog´enea. Esta ´ultima caracter´ıstica le impide ser resuelta por los m´etodos usuales
en la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales parciales homog´eneas, como el de
se-paraci´on de variables o de Fourier.
Una t´ecnica de soluci´on de ecuaciones inhomog´eneas, vers´atil y de amplia
ge-neralidad, fue desarrollada en el siglo XIX por George Green, utilizando una idea
simple: la soluci´on a la ecuaci´on de Poisson, para cualquier distribuci´on de carga,
y con condiciones de frontera bastante generales, puede construirse evaluando primero el potencial debido a una carga puntual, sometida a las mismas fronteras.
El potencial de esta carga puntual se conoce como funci´on de Green. Un cierto
conjunto de condiciones de frontera sobre los potenciales ha de ser impuesto en concordancia con los teoremas de unicidad de la secci´on 1.10, en tanto que un
conjunto relativamente m´as simple deber´a imponerse sobre la funci´on de Green.
En este cap´ıtulo se aplica la teor´ıa de Green a la soluci´on de la ecuaci´on
de Poisson. El ap´endice A contiene una formulaci´on m´as general. La t´ecnica de Green puede beneficiarse de la teor´ıa de autofunciones, que ser´a desarrollada
en sus puntos esenciales. Por ahora la presentaci´on se restringe a coordenadas
cartesianas y polares.
2.1. Soluci´
on al problema del potencial
Asociada a la ecuaci´on de Poisson (1.14), puede definirse una funci´on G(r, r′)
correspondiente al potencial en el punto r debido a una carga puntual unidad
localizada en r′:
