Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica

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Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica Repaso de electricidad y magnetismo básicos

Felipe Valencia Hernandez [email protected]

Departamento de física, Universidad Nacional de Colombia http://sites.google.com/a/unal.edu.co/curso1000020

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Un fenómeno eléctrico

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Carga eléctrica

• Este, y muchísimos otros fenómenos importantes en la naturaleza, está asociado a una propiedad

intrínseca de los constituyentes de la materia llamada

la carga eléctrica.

• Hay dostiposde carga eléctrica que, por convención, llamamos positiva y negativa.

• El electrón tiene una carga de −e ∼ −1.6 × 10−19_C.

El protón tiene una carga e y el estado natural de un átomo es neutro.

• El Coulomb (C) es la unidad de carga en el S.I, en el sistema electrostático la unidad de carga es el esu.

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Cuantización de la carga

Cada partícula estable (entidad elemental que puede existir independientemente por tiempos prolongados)tiene una carga eléctrica que es un múltiplo entero de la

magnitud e que se considera, entonces, elquantumde carga eléctrica.Objetos como los quarks tienen cargas de 1/3epero cuando forman partículas como los protones siempre se combinan para obtener múltiplos enteros de e.

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Conservación de la carga

En todos los procesos físicos elementales, incluso en los más sofisticados que se han estudiado en los costosísimos

aceleradores de partículas, la carga neta de un sistema aislado se conserva.

Esto quiere decir que, incluso si hay creación o destrucción de partículas, por cada partícula de carga q que desaparece, debe aparecer una partícula con la misma carga.

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Densidades de carga

Aunque estrictamente las cargas están cuantizadas, cuando se tiene un sistema macroscópico hay un número muy grande de cargas elementales involucradas.Recuerde, nuevamente, que el número de Avogadro es del orden de 1023!

Incluso en regiones muy pequeñas del espacio puede haber suficientes cargas elementales como para que podamos promediar y describir la carga del sistema con una densidad continua, ρ(~r)tal que la carga en cualquier region sea

q(V ) = Z

V

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Ejemplo

ε₀ d R C= A/d Q=CV V Q −Q

Un condensador de placas paralelas circular tiene una

capacitancia deC = oA_d.tomando un disco de 10cm de radio, y

una separación de 5mm, tendríamos C ∼ 5.5 × 10−11F. Para una diferencia de potencial de V = 1V olt, la carga sobre cada lámina sería, entonces, Q ∼ 5.5 × 10−11Coul∼ 3.4 × 108_{e. ¿En}

promedio cuántos electrones habría en una malla (2d)

razonable para hacer integración o diferenciación? Si tomamos una malla de 500x500, tendríamos todavía ∼ 1300e en cada

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Fuerza eléctrica

Todos los objetos cargados interactúan entre sí, con fuerzas que son atractivas cuando las cargas son de diferente tipo (signo) y repulsivas cuando son del mismo signo.

La intensidad de la fuerza eléctrica entre dos objetos disminuye con la distancia. La forma exacta de esa fuerza dependerá de la estructura del objeto, es decir, de cómo están distribuidas las partículas elementales que lo forman.

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Cargas puntuales

r

₁

r

2

q

₁

q

2

F

r − r = r

_{1 2 12}

Si dos objetos tienen cargas netas q1 y q2 y si la distancia

entre ellos es mucho mayor que sus tamaños, se verifica que la fuerza es proporcional a q1 y a q2,inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia,y está en al dirección de la línea que une sus centros.Cuando podemos olvidarnos de las formas y tamaños de los objetos, decimos que soncargas puntuales.

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Ley de Coulomb

r₁ r2

q₁ q2

F

r − r = r_{1 2 12}

Las observaciones anteriores se pueden, entonces, resumir en la ley de fuerzas:

~ F1,2 = K q1q2 |~r12|2 ˆ r12= K q1q2( ~r1− ~r2) | ~r1− ~r2|3

Es apenas natural suponer que la interacción entre dos objetos grandes se podrá conocersumandosobre muchas cargas puntuales.

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Campo eléctrico

r₁ r₂ _r N r q₁ q₂ q_N q F E=F/q

Si tenemos, entonces, un sistema de cargas fijas, q1, .., qN

y queremos conocer la fuerza que siente una carga de prueba, q, tendríamos: ~ F = N X i=1 Kqqi(~r − ~ri) |~r − ~ri| 3 = q N X i=1 Kqi(~r − ~ri) |~r − ~ri| 3 = q ~E(~r)

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Campo eléctrico

En general, definiremos elcampo eléctricocomo la fuerza eléctrica por unidad de carga que siente una carga de prueba en un punto del espacio:

~ E = F~

q

Si las fuentes estan fijas en el espacio, o si la carga de prueba es suficientemente pequeña como para no alterar la configuración de las fuentes, el vector ~E no depende de la carga q, así que se puede conocer la fuerza para cualquier carga moviendose en presencia de las fuentes conociendo el campo.

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Preguntas

(En S.I. K ∼ 8.9 × 109N m2/C2)

• Siendo que hay del orden de 1023_{partículas cargadas en}

cada pedazo de materia, por qué no sentimos la enorme fuerza eléctrica correspondiente?

• Para el electron: me∼ 10−30Kg, y la constante gravitaional

es G ∼ 6.7 × 10−11. ¿Cuánto más grande es la fuerza eléctrica entre dos electrones que la gravitacional a una distancia dada?

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Líneas de campo

Las líneas de campo eléctrico, entonces, salen de las cargas puntuales positivas y entran a las negativas.

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Ley de Gauss

La ley de Coulomb implica que para el campo eléctrico se debe cumplir que el flujo sobre una superficie cerrada sea proporcional a la carga encerrada:

I S(V ) ~ E ~da = 4ΠKeQ(V ) = 4ΠKe Z V ρdV → ∇ · ~E = 4ΠKeρ

donde ρ(~r) es la densidad de carga en cada punto. Esta ley se cumple para el campo eléctrico en todas las circunstancias,aún cuando la forma sencilla de la ley de

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Ley de Gauss...

En efecto, consideremos primero el flujo del campo de una carga puntual en una superficie esférica centrada en la carga:

2 2

_Ω

q r E E=kq/r E da=E da da= r d Entonces: I ~ E · ~da = Z kq r2dΩ = kq Z dΩ = 4πkq = q (S.I)

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Ley de Gauss...

Si la superficie no es esférica, para cada pedazo de la integral, podríamos comparar el valor exacto con el que daría sobre un segmento esférico: r da q r E da = E da cos E=kq/r Θ 2 2 da= r d /cos Ω Θ Θ Θ Entonces, nuevamente:

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Ley de Gauss...

¿Qué pasa si la carga no está contenida en la superficie? Simple, consideremos una superficie con un cuello :

1 2 S S q A S Tenemos: I S ~ E · ~da = 4πkq = I S1 ~ E · ~da + I S2 ~ E · ~da Pero ya vimos que:

I ~ E · ~da = 4πkq→ I ~ E ~da = 0

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Ley de Gauss...

Cuando el campo sea producido por muchas cargas diferentes tendremos, entonces, que el flujo del campo en la superficie cerrada será proporcional a las cargas encerradas en esa superficie, como afirmamos anteriormente. Esta ley de Gauss nos permite encontrar aproximaciones del campo eléctrico para geometrías sencillas.

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Problemas

• Encuentre el campo en el interior y en el exterior de una esfera uniforme de carga. Verifique que para los puntos en el exterior el campo es igual al de una carga puntual en el centro, y que en el interior es proporcional a la distancia al centro.

• Encuentre el campo producido por dos placas paralelas planas con densidades superficiales de carga uniformes σ y −σ. Puede considerar las placas suficientemente grandes como para olvidarse de los efectos de borde.

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Magnetismo

El movimiento de cargas eléctricas da origen a otro tipo de interacción, llamada magnetismo, que se hace presente en la interacción entre corrientes o imanes naturales. I I I I I N S q v

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Fuentes del magnetismo(I)

• En el caso de los alambres con corriente, es claro que la fuente del fenómeno magnético es la corriente misma.

• En el caso de los imanes naturales, podríamos tratar de entender el magnetismo imaginando corrientes a nivel atómico y molecular. Pero la realidad es que su magnetismo está relacionado con el momento

angular intrinseco ospinde los electrones.

• Estos momentos intrínsecos se comportan, hasta un cierto punto, como diminutos anillos de corriente, así que por ahora no necesitamos considerarlos como una fuente adicional.

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Campo magnético

Así como la interacción electrostática se puede estudiar en términos del campo eléctrico, los fenómenos

magnéticos tienen asociado un campo magnético ~B. En efecto, cuando hay fuentes de magnetismo, la fuerza que siente cualquier partícula cargada que se mueve en su presencia, se puede escribir en términos de un campo

~ B(~r): ~ Fm = q~v × ~B S.I F~m = q ~v c × ~B esu

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Nota breve, unidades de los campos

~

Fe = q ~E → [E] = [F ]/[q] = N/C S.I; [E] = dyn/esu esu

~

Fm = q~v × ~B → [B] = [F ]/[v][q] = N s/(mC) = T esla S.I

~ Fm = q

~v

c × ~B → [B] = [F ]/[q] = dyn/(esu) = gauss esu 1g = 10−4T

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Ley de Biot-Savart

El equivalente a la ley de Coulomb para el campo

magnético, es decir, la ley que nos da la relación entre el campo y sus fuentes (densidades de corriente ~J) en el caso estático es la ley de Biot Savart:

~ B(~r) = Km Z ~ J (~r0_{) × (~}_{r − ~}_r0₎ ~r − ~r 0 3 d 3_r0 o, para un circuito : d ~B(~r) = Km I ~dl × (~r − ~r0₎ ~r − ~r 0 3

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Regla de mano derecha

I dl r −r’ r _r’ dB

El producto vectorial ~dl × (~r − ~r0₎_{tiene una interpretación}

geométrica sencilla: la dirección en el espacio de la contribución de cada segmento del circuitocircula

alrededor de la corriente siguiendo la regla de la mano derecha.

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Lineas de campo

I

Las líneas de campo magnético, entonces,circulan alrededor de las corrientesy son siempre cerradas.

UniServeScience

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Ley de fuerza de Lorentz

q E E v B q q v x B F = q E + q v x B

Entonces, cuando una partícula cargada se mueve en presencia de campos eléctricos y magnéticos, siente una fuerza total:

~

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~

E

y ~

B

deben estar relacionados

Considere una partícula que se mueve paralela a una línea larga de campo. Un observador que ve moverse a la partícula con una velocidad ~v ve una fuerza magnética

~

F = q~v × B. Qué pasa con el observador que se mueve en ese instante con la partícula? Para él ~v0 _{= 0}_{y no hay}

fuerza magnética! q I’ q v I Fm _F?

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~

E

y ~

B

deben estar relacionados

Como los dos observadores son sistemas inerciales de referencia, deben ver la misma física y tener una forma de ponerse de acuerdo en sus observaciones.La única forma para lograr esto es que el observador en movimiento vea un cierto campo eléctrico,así que campos eléctricos y magnéticos pueden ser, en esta situación, objetos intercambiables dependiendo del observador.

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Inducción, FEM inducida

El primer ejemplo de estos acoples entre los campos es que si en una región del espacio hay un campo magnético variable, aparece un campo eléctrico cuya integral de línea sobre una curva cerrada es diferente de cero (la

suma de los voltajes no es igual a cero). A ésta suma no

nula de voltajes en un lazo , se la conoce históricamente

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Ley de inducción de Faraday

Estudiando en detalle diferentes escenarios, podemos encontrar que la FEM inducida depende del cambio en el flujo magnético: F EM = I C ~ E ~dr = −d dtΦm

donde Φm es el flujo del campo magnético en la región

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Problema

Una espira de área transversal A rota con velocidad angular constante ω en presencia de un campo magnético uniforme B. ¿Cuál es la FEM inducida?

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Divergencia de ~

B

Las líneas de campo eléctrico siempre circulan alrededor de las fuentes, esto quiere decir que el flujo de campo sobre cualquier superficie cerrada es necesariamente nulo:

I

S(V )

~

B ~da = 0 ∇ · ~B = 0

Esta ley sería diferente si existieran fuentes puntuales del campo magnético, que se portaran como las cargas, es decirmonopolosmagnéticos, pero tales objetos no han sido detectados jamás.

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Ley de Faraday de nuevo

Teníamos que: I C(A) ~ E ~dr = Z A ∇ × ~E ~da = −d dtΦm = − Z A ~ ∂B ∂t ~ da Así que tenemos que:

∇ × ~E = −∂ ~B ∂t

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Ley de Ampere

La ley de Biot-Savart implica una relación entre la circulación de campo magnético y la corriente que atraviesa una superficie:

I C(A) ~ B ~dr = 4ΠKm Z A ~ J ~da así que tendríamos:

∇ × ~B = 4ΠKmJ~

A diferencia de la ley de Gauss eléctrica, esta leysólo es

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Problema

Encuentre la fuerza magnética, por unidad de longitud, entre dos hilos paralelos y largos que conducen cada uno una corriente I. (Recuerde que en el caso de las corrientes, el factor qv en la ley de Lorentz se reemplazaría por Idl )

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Ley de Ampere...

I C Q(t) B JA=I JA=0 La relaciónH_C(A)B ~~dr = 4ΠKm R AJ ~~dadebería cumplirse

para cualquier superficie anclada en un contorno.¿Qué pasa cuando intentamos usarla en las dos superficies de la figura? Obviamente algo falta!

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Inducción electromagnética

Lo que falta en el ejemplo anterior es la ley recíproca a la ley de Faraday: un cambio en el flujo eléctrico también produce una circulación de campo magnético:

I C(A) ~ B ~dr = 4ΠKm Z A ~ J ~da + Km Ke dΦE dt en SI es usual escribir Ke = _4Π1_o,Km = _4Πµo, así que

Km

Ke = µoo.Tenemos, entonces dos leyes de inducción:

∇ × ~E = −∂B ∂t y ∇ × ~B = µo ~ J + µoo ∂E ∂t

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Potencial vectorial

Como el campo ~B tiene siempre divergencia nula, sabemos de nuestro cálculo vectorial, que se puede siempre encontrar un campo ~A, que llamamos potencial vectorial de forma que:

~

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Potencial escalar

También tenemos que : ∇ × ~E = −∂ ~B ∂t = −∇ × ∂ ~A ∂t → ∇ × ( ~E + ∂ ~A ∂t) = 0 Osea que el campo:

~ E +∂ ~A ∂t es conservativo. Entonces: ~ E + ∂ ~A ∂t = −∇φ → ~E = −∇φ − ∂ ~A ∂t

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Calibraciones

Como los objetos importantes son ~B y ~E, y no ~A y φ, podemos tener muchos diferentes potenciales vectoriales y escalares que producen los mismos campos.El tipo de transformaciones que nos llevan de un conjunto de

potenciales a otro se llamancalibraciones o gauges. Los campos serán los mismos siempre que hagamos:

~

A0 _{= ~}_{A + ∇g y φ}0

= φ − ∂g ∂t

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Final, final, final!

Es todo por hoy.