σ-álgebra de Borel Memo Garro

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σ-´

algebra de Borel

Memo Garro

Introducci´on

En esta ocasión estudiaremos una σ-álgebra particular que para la probabilidad moderna es de importancia sustancial. Ésta es conocida como σ-álgebra de Borel, y fue introcucida por primera vez por el matemático francés Émilie Borel a principios del siglo pasado. El concepto de variable aleatoria (fundamental en la aplicación de modelos tanto estad´ısticos como estocáticos de los más diversos fenómenos) hace nece-saria la referencia a la σ-álgebra de Borel. Su consideración es también cardinal en la modelación de espacios de probabilidad espec´ıficos sobre espacios cuyas propiedades son bastante prácticas, como los espacios Rn. En fin, para este concepto vale la pena un apunte aparte, el cual espero disfruten.

1 σ-´

_{algebra de Borel en R}

Definici´on 1.1. Consideremos la clase O que re´_{une todos los conjuntos abiertos de R (con} la topolog´ıa usual). La σ-´_{algebra de Borel en R se define como la σ-´algebra generada por} O, y se denota por B(R). Esto es σ(O) = B(R). Los subconjuntos que pertenecen a B(R) son llamados connjuntos de Borel o simplemente borelianos.

Ejemplo 1.1. Los conjuntos siguientes son conjuntos de Borel en R.

1. (a, b), con a, b ∈ R. En efecto, cualquier intervalo abierto pertenece a la clase O, por tanto pertenece a B(R).

2. (−∞, a) y (b, ∞), para a, b ∈ R, son subconjuntos abiertos de R, entonces pertencen a la familia O, y por ello pertenecen a B(R).

3. (−∞, x] y [y, ∞), para toda x, y ∈ R. En efecto, (−∞, y) ∈ B(R) y (x, ∞) ∈ B(R), entonces (−∞, x] = {(x, ∞)}c_{∈ B(R) y [y, ∞) = {(−∞, y)}}c_{∈ B(R).}

4. Los intervalos cerrados [a, b]. Tenemos que [a, b] = {(−∞, a) ∪ (b, ∞)}c_{, y (−∞, a) y}

(b, ∞) pertenecen a B(R), luego [a, b] ∈ B(R). 5. Los intervalos de la forma [a, b) y (a, b]. En efecto,

[a, b) = [a, ∞) ∩ (−∞, b) ∈ B(R) y _{(a, b] = (−∞, b] ∩ (a, ∞) ∈ B(R).} 6. Si x ∈ R, entonces {x} ∈ B(R). En efecto,

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7. Q ∈ B(R). El conjunto de los n´umeros racionales es numerable, luego Q =

[

q∈Q

{q} ∈ B(R),

dado que {q} ∈ B(R), para todo q ∈ Q. En general, bajo este mismo argumento, todo subconjunto numerable de R es un boreliano, por ejemplo N y Z.

8. El conjunto de los n´_{umeros irracionales I tambi´en pertenece a B(R), dado que I = Q}c y Q ∈ B(R) .

La lista de ejemplos, seg´un parece, podr´ıa continuar indefinidamente y en primera instancia pareciera ser que pr´_{acticamente cualquier subconjunto de R pertence a B(R), sin} embargo puede probarse, con no poca dificultad, que existen tantos subconjuntos de R que no pertenecen a B(R) como elementos tiene la recta real.

Por otro lado, la σ-álgebra de Borel es generada por una familia demas´ıado abstracta y que para fines prácticos es en muchas de las veces inútil su consideración, aunque la Definición 1.1 no deja de perder relevancia en pruebas te´_{oricas de algunas propiedades de B(R). Ya en un} art´ıculo anterior hab´ıamos notado que una misma σ-álgebra puede ser generada por más de una familia de subconjuntos, es este el caso de B(R), pues existen familias de subconjuntos en R más simples las cuales también generan a B(R), y cuya importancia práctica es relevante. Proposición 1.1. Si I1 := {(x, y) : x, y ∈ R}, entonces B(R) = σ(I1).

Demostraci´on. Evidentemente I1 ⊂ O, luego σ(I1) ⊂ σ(O) = B(R). Ahora probaremos la

contensi´_{on contraria. Si O ∈ O (es decir, O es un subconjunto abierto de R), entonces existe} una sucesi´on de intervalos En= (an, bn) tal que O = S_n∈NEn. Y dado que En∈ I1 ⊂ σ(I1)

para toda n ∈ N, entonces O = S

n∈NEn ∈ σ(I1). Esto implica que O ⊂ σ(I1) (por las

propiedades de una σ-´_{algebra), de donde B(R) = σ(O) ⊂ σ(I}1).

Proposici´on 1.2. Si I2 := {(−∞, x) : x ∈ R}, entonces σ(I2) = B(R).

Demostraci´on. Claramente I2 ⊂ O, luego σ(I2) ⊂ σ(O) = B(R). Ahora bien, si a ∈ R,

entonces

(−∞, a] = \

n∈N

(−∞, a + 1/n), y como (−∞, a + 1/n) ∈ I2 ⊂ σ(I2), entonces (−∞, a] =

T

n∈N(−∞, a + 1/n) ∈ σ(I2),

por lo tanto (a, ∞) = {(−∞, a]}c _{∈ σ(I}

2). De este modo, si tambi´en b ∈ R, entonces

(−∞, b) ∈ σ(I2), de donde

(a, b) = (−∞, b) ∩ (a, ∞) ∈ σ(I2).

Lo anterior prueba que I1 ⊂ σ(I2), entonces por la proposici´on anterior, B(R) = σ(I1) ⊂

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Proposici´on 1.3. Si I3 := {(−∞, x] : x ∈ R}, entonces σ(I3) = B(R).

Demostraci´_{on. Sabemos que (−∞, x] ∈ B(R), para toda x ∈ R, luego I}3 ⊂ B(R), de donde

σ(I3) ⊂ B(R). Por otro lado, si x ∈ R entonces

(−∞, x) = [

n∈N

(−∞, x − 1/n],

y (−∞, x − 1/n] ∈ I3 ⊂ σ(I3), para toda n ∈ N, por tanto (−∞, x) =S_n∈N(−∞, x − 1/n] ∈

σ(I3). Esto prueba que I2 ⊂ σ(I3), de modo que B(R) = σ(I2) ⊂ σ(I3).

2 σ-´

_{algebra de Borel en R}

2

_{y R}

n

De la definici´_{on de B(R) en la sección precedente, se desprenden generalizaciones muy} naturales del concepto de σ-álgebra de Borel para espacios de más de una dimensión. Definición 2.1. Si O2 es la familia que reúne todos los subconjuntos abiertos de R2, (con

la topolog´ıa usual) entonces la σ-´_{algebra de Borel en R}2 _{es la σ-´}_{algebra generada por O} 2, y

se denota como B(R2). Esto es B(R2) = σ(O2).

Ejemplo 2.1. 1. Si ¯x0 = (x0, y0) y r > 0, entonces la bola abierta con centro en ¯x0 y

radio r definida como B(¯x0, r) = {(x, y) ∈ R2 : p(x − x0)2 + (y − y0)2 < r} es un

conjunto en B(R2_{). Un rect´}_{angulo abierto (a, b) × (c, d) es un conjunto abierto en}

R2, por tanto pertenece a B(R2). En general, el interior de cualquier pol´ıgono regular pertenece a B(R2_).

2. Si (x, y) ∈ R2_{, entonces {(x, y)} ∈ B(R}2_{). En efecto,}

{(x, y)} = \

n∈N

B((x, y), 1/n), y como B((x, y), 1/n) ∈ B(R2_{), entonces {(x, y)} =}T

n∈NB((x, y), 1/n) ∈ B(R 2_).

3. Q × Q es un subconjunto numerable en R2_{, entonces}

Q × Q = [

(q,r)∈Q×Q

{(q, r)} ∈ B(R2_),

puesto que {(q, r)} ∈ B(R2_{) para todo par ordenado (q, r) ∈ Q × Q. En general,}

cualquier subconjunto numerable de R2 pertenece a B(R2), por ejemplo N × Q, N × N, etc.

4. La recta {(x, y) ∈ R2 _{: x = 0} pertenece a B(R}2_{). En efecto, si definimos los conjuntos}

A = {(x, y) ∈ R2 : x < 0} y B = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, entonces A ∪ B ∈ B(R2), pues A y B son abiertos en R2_{. Adem´}_{as {(x, y) ∈ R}2 _{: x = 0} = {A ∪ B}}c _{∈ B(R}2_).

Ahora, si consideramos la recta R = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b, con a > 0, b ∈ R fijas}, entonces R ∈ B(R2_{). En efecto, los subconjuntos A := {(x, y) ∈ R}2 _{: (x, y) ∈ R y y >}

ax + b}, y B := {(x, y) ∈ R2 _{: (x, y) ∈ R y y < ax + b} pertencen a B(R}2_{) puesto que}

son subconjuntos abiertos de R2, adem´as

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5. Un segmento de recta R en R2 pertence tambi´_{en a R}2. En efecto, si definimos una sucesión de subconjuntos Tn, n ∈ N, donde cada Tn es un triángulo isóseles (interior

y frontera) que tiene por base al segmento P y tiene altura 1/n, entonces Tn ∈ B(R),

para toda n ∈ N. Y dado que

P = \

n∈N

Tn,

entonces P ∈ B(R2).

En general puede probarse que si f : R → R es una funci´on continua, entonces el conjunto Gr´_{afica(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ R} pertenece a B(R}2_).

Del mismo modo que en el caso unidemensional, puede probarse que existe una infinidad no numerable de subconjuntos de R2 que no pertenecen a B(R2).

La σ-´_{algebra B(R}2_{) puede tambi´}_{en ser generada por familias m´}_{as simples.}

Proposici´on 2.1. Si D1 := {B((x, y), r) : (x, y) ∈ R2 y r > 0}. Entonces B(R2) = σ(D2).

Demostraci´on. Es claro que D2 ⊂ O2, entonces σ(D2) ⊂ σ(O2) = B(R2). Ahora bien, si

O ∈ O2, entonces existe una sucesi´on de bolas abiertas Bn tales que O = S_n∈NBn, y como

Bn ∈ D1 ⊂ σ(D1) para toda n ∈ N, entonces O ∈ σ(D1). Esto prueba que O2 ⊂ σ(D1), por

tanto B(R2_{) = σ(O}

2) ⊂ σ(D2).

Proposici´on 2.2. Si D2 := {(a, b) × (c, d) : a, b, c, b ∈ R}, entonces σ(D2) = B(R2).

Demostraci´on. Los elementos de D2 son subconjuntos abiertos en R2, luego D2 ⊂ B(R2).

Ahora bien, si O ∈ O2 _{(es decir, O es una abierto en R}2_{), entonces existe una sucesi´}_{on B} n

de bolas abiertas tal que O = S∞

n=1Bn. Para cada bola Bn definimos el rect´angulo abierto

Rn m´as grande que podemos inscribir dentro de Bn. De este modo, no es dif´ıcil probar que

O = ∞ [ n=1 Bn = ∞ [ n=1 Rn,

y dado que Rn ∈ D2 para cada n ∈ N, entonces O ∈ σ(D2), esto prueba que O2 ⊂ σ(D2),

por tanto B(R2_{) = σ(O}

2) ⊂ σ(D2)

Proposici´on 2.3. Si D3 := {(−∞, x] × (−∞, y] : x, y ∈ R}, entonces σ(D3) = B(R2).

Demostraci´_{on. Si x, y ∈ R, entonces} (−∞, x] × (−∞, y] =

∞

\

n=1

(−∞, x + 1/n) × (−∞, y + 1/n),

y (−∞, x+1/n)×(−∞, y+1/n) ∈ B(R2_{), para toda n ∈ N, luego (−∞, x]×(−∞, y] ∈ B(R}2_).

Esto prueba que D3 ⊂ B(R2), de donde σ(D3) ⊂ B(R2).

Ahora probaremos la contensi´on contraria. Consideremos el rect´angulo abierto (a, b)×(c, d) y definimos los subconjuntos

A1 = (−∞, a] × (−∞, d],

A2 = (−∞, b] × (−∞, c] y

Bn = (−∞, b − 1/n] × (−∞, d − 1/n]\(A1∪ A2)

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Evidentemente A1, A2 ∈ σ(D3) y Bn∈ σ(D3), para toda n ∈ N. Y dado que (a, b) × (c, d) = ∞ [ n=1 Bn= ∞ [ n=1 (a, b − 1/n] × (c, d − 1/n],

se sigue que (a, b) × (c, d) ∈ σ(D3). Esto prueba que D2 ⊂ σ(D3), de donde B(R2) = σ(D2) ⊂

σ(D3).

Definici´on 2.2. Sea On la clase de subconjuntos abiertos de Rn (respecto a la topolog´ıa

usual). Definimos la σ-´_{algebra de Borel en R}n como la σ-´algebra generada por On y la

denotamos por B(Rn). Esto es σ(On) = B(Rn). Los subconjuntos que pertenecen a B(Rn)

son llamados borelianos en Rn_.

Del mismo modo, puede probarse que B(Rn) es generada por familias más simples pero de consideración mucho más práctica.

Proposici´on 2.4. Si E1 es la clase que re´une todas las bolas abiertas en Rn, entonces

B(Rn_{) = σ(E} 1). Proposici´on 2.5. Si E2 := {(x1, y1)×· · · (xn, yn) : xi, yi ∈ R, i = 1, ..., n}, entonces B(Rn) = σ(E2). Proposici´on 2.6. Si E3 := {(−∞, x1] × · · · (−∞, xn] : xi ∈ R, i = 1, ..., n}, entonces B(Rn_{) = σ(E} 3).

Y las correspondientes pruebas se basan en argumentos similares a los usados en las proposi-ciones anteriores.