YA SABEN HACER LAS CUENTAS, Y AHORA QUÉ?

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YA SABEN HACER LAS CUENTAS, ¿Y AHORA QUÉ?

Muchos docentes se hacen esta pregunta. ¿Qué estrategias utilizar para mejorar el desempeño de los niños en la resolución de problemas? ¿Cómo avanzar en el conocimiento del Sistema de Numeración Decimal y en las propiedades de las operaciones, cuando ya saben hacer los algoritmos convencionales en forma mecánica?

Aunque la escuela pretenda postergar el ingreso del algoritmo al aula, con el objetivo de priorizar su comprensión y avanzar en los aspectos mencionados que los sustentan, muchas veces la familia decide enseñarlos a los efectos de “adelantar” un conocimiento que les parece demorado innecesariamente.

Es conveniente, entonces, plantearse un trabajo sistemático de problematización de los algoritmos, que contrarreste una aplicación mecánica y que además sea fuente de nuevos aprendizajes.

Con la multiplicación…

Comencemos por analizar una multiplicación:

Desarrollemos1 a continuación los pasos que se suelen seguir para efectuar el algoritmo de multiplicación convencional:

1º. Multiplicar cada dígito de 75 por 5; 5x5 =25, pongo el 5 y “me llevo” el 2; 5x7 = 35, más 2 que me llevaba 37.

2º. Multiplicar cada dígito del 75 por 2, dejando un lugar libre: 2x5 = 10, pongo el 0 debajo del 7 y “me llevo 1”. Luego, 2x7 =14, más 1 que me llevo, 15. Una forma de reflexionar sobre este “relato” tan conocido es intentar responder y fundamentar matemáticamente las siguientes preguntas:

1

Problema adaptado de “La matemática escolar” de Horacio Itzcovich.

12

75

x 25___

375

150____

1875

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 ¿Por qué se multiplica cada dígito y no el número entero? ¿Es lo mismo? Es necesario partir del análisis de la descomposición polinómica que se realiza tanto del 75 y como del 25, para multiplicar. En esta descomposición están involucradas las propiedades del SND.

También lo está la Propiedad Distributiva de la multiplicación respecto a la adición, porque se multiplica a 75, descompuesto previamente en 70 + 5 por 25, descompuesto a su vez en 20 + 5, solo que en todos los casos tratamos a las decenas (70 y 20), como si fueran unidades.

Como todos los productos son entre “unidades”, cobran gran importancia los repertorios de cálculos memorizados: tablas de multiplicar y de sumar.

Es importante tener claro que operar solo con dígitos, constituye una ventaja para resolver el algoritmo que lo convierte en una herramienta práctica y eficiente, pero es un obstáculo para su comprensión ya que no se “ve” el valor de las cifras que se multiplican.

 ¿Qué significa la frase “me llevo 2”?

La respuesta está en las propiedades del SND, el primer producto de 5 x 5 es 25, o sea 20 + 5, volvemos a la descomposición, por lo que en el lugar de las unidades se debe colocar el 5, reservando el 2 (2 decenas o 20 unidades), en forma escrita para no olvidarlo, para agregarlo al producto de las decenas.

 ¿Por qué se deja un lugar al multiplicar por el segundo dígito?

(el 2 del 25)

Nuevamente la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición está en juego. Estamos multiplicando el “2 del 25” por el 75 descompuesto en 70 + 5. Como ese “2” no es un simple dos, sino 2 decenas o 20 unidades, entonces el resultado de 20 unidades por 75 unidades está en el orden de los miles porque tenemos decenas por decenas, 10 x 10.

Además como estamos multiplicando por 20, que es 2 x 10, sabemos que esa multiplicación termina en 0, otro repertorio de cálculo. Es decir que el resultado de 75 x 20 termina en 0. Esto significa que cuando “encolumnemos” para la adición de los productos parciales, el segundo sumando “termina en 0”, por lo tanto podemos eliminar ese cero gracias a que la adición tienen como elemento neutro al 0. De aquí surge el asunto de “dejar un lugar”.

 ¿Se podría comenzar a multiplicar por el dígito 2 del 25 y no por

el 5?

Explorar esta posibilidad lleva necesariamente a cuestionar lo que ya mencionamos como una ventaja del algoritmo, se debe tener muy claro que la cifra 2 del 25 es

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20 y por tanto, independiente de la forma que se represente el cálculo sería el siguiente:

Es esencial reflexionar sobre qué propiedades usamos tanto del SND como de las operaciones y poner en evidencia la arbitrariedad de los algoritmos.

En el convencional se prioriza el hermetismo y la economía, pero no dejan de estar presentes las propiedades del SND y de la operación, así como los repertorios de cálculos, aunque se deba hacer un trabajo específico para explicitarlas.

También están presentes en los algoritmos artesanales las propiedades tanto de las operaciones como del SND, solo que en ellos prima la transparencia porque muestran el razonamiento de quien lo realiza.

Varias propuestas pueden movilizar el hermetismo de los algoritmos convencionales por ejemplo:

A partir del cálculo de 75 x 25 ó 25 x 75 determinar sin hacer nuevas cuentas los resultados de:

Es posible “mostrar” lo que sucede dentro del algoritmo convencional de la multiplicación de diferentes formas, y reflexionar sobre las distintas posibilidades,

75 X 25 20 x 70 = 1400 20 x 5 = 100 1400 +100 = 1500 75 x 25___ 375 150____ 1875 25 x 75___ 125 175____ 1875 375: 5 = 25 x 70 = 1875 – 1750 = 1500: 75 = 1875: 75 = 1750: 70 = 375: 75= 25 x 7 = 175: 70 = 150: 20 = 1875 – 1750 = 1875 – 375 =

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lo cual no quiere decir que estos procedimientos se conviertan en algoritmos alternativos.

2 3 8

X 4 5

1 1 9 0

9 5 2

1 0 7 1 0

En estos ejemplos, observar los cambios en los productos parciales al aplicar la Propiedad Conmutativa.

4 5

x 2 3 8

3 6 0

1 3 5

9 0

1 0 7 1 0

También se puede poner a discusión como sería una multiplicación “usando el método largo”, con el fin de analizar qué propiedades de las operaciones y cuáles del SND están en juego, qué repertorios estamos usando, etc.

 ¿Qué sucede cuando multiplicamos decimales? ¿Por qué

200 30

8

40 8000 1200 320 9520

5 1000 150 40 1190

9000 1350 360 10710

40

5

200 8000 1000 9000

30 1200 150 1350

8

320

40

360

9520 1190 10710

4 5 X 3 8 4 0 3 2 0 + 1 5 0 1 2 0 0 1 7 1 0

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Como en los demás algoritmos analizados, la respuesta está en las propiedades del SND y las propiedades de las operaciones. Los productos parciales por economía no conservan la coma decimal, la que se recupera en el producto.

Es decir que como en los naturales se ignora si se trata de decenas o centenas, en este caso se ignoran los décimos y los centésimos y se trabaja siempre con unidades.

Las operaciones con las expresiones fraccionarias fundamentan estos procedimientos y los hacen más visibles.

3,2 X 2,7 2 2 4 6 4 8, 6 4 7/10 x 2/10 = 14/100 7/10 x 3 = 21/10 21/10 + 14/100 = 210/100+ 14/100 = 224/100 224/100 = 2,24 2 x 2/10 = 4/10 2 x 3 = 6 6 + 4/10 = 60/10 + 4/10 = 64/10 64/10 = 6,4 2,24 + 6,4 = 8,64

Con la división…

El algoritmo de la división y en especial el de la división entre dos cifras ha significado un gran obstáculo en la escuela primaria; para los docentes desde las dificultades de su enseñanza y para los alumnos desde la complejidad de entender y recordar todos sus pasos.

Analicemos la oralización que acompaña la ejecución de este algoritmo ya que involucra además de la división a la multiplicación y a la sustracción.

El uso de la sustracción ha hecho que algunos colectivos docentes opten por privilegiar en los primeros años la enseñanza del algoritmo de la sustracción por compensación para facilitar la enseñanza de la división.

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Por ejemplo:

8 4 3 l 17 1 6 3 4 9 1 0

Lo primero que se dice es: 8 para repartir entre 17, no alcanza, hay que tomar 84. Si tenemos en cuenta que el 8 vale 100 ¿como es posible afirmar que no alcanza para repartir entre 17?

La gran mayoría de niños no puede responder a esta pregunta. Lo que no es posible es que el cociente tenga centenas. Esta última reflexión nos ayudaría a saber el orden de magnitud del cociente.

Se debe entonces dividir 84 decenas entre 17 y el cociente es 4 decenas.

Es necesario descomponer el 84 en 80 + 4, aunque no se tenga en cuenta el número global, y lamentablemente se dice en general “como el 8 no alcanza, hay que tomar 84”, sin importar qué representa ese 84.

Continúa:

A 80 + 4 se debe restar el producto de 17 X 4, el cual se decompone en

40 + 28 porque es lo que surge del 7 X 4 = 28 y 4 x 10= 40; esto tampoco lo ven los niños porque dicen 4 x 1= 4

Queda entonces: 80 + 4 – ( 40 + 28 )

La única forma posible, en el conjunto de los Naturales, de restar 4 a 28 es que el 4 “se convierta en 34”, o sea agregarle decenas hasta que supere al 28, esos 30 se le agregan al 40, cuando se dice me “llevo 3” y 40 se convierte en 70. Ahí aparece la compensación. Cuando se dice 4 x 1 = 4; más 3 que me llevaba, este 3 que me llevo no es otra cosa que 3 decenas que se agregan, luego decimos: son 7 al 8 va 1, sin nombrar las unidades con las que estamos trabajando.

Hacemos otra cuenta que remplaza la anterior pero por la Propiedad de Invarianza se mantiene el mismo cociente.

80 + 34 - 70 + 28 _____________

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En realidad la cuenta es 114 – 98 = 16 pero con los 30 agregados convenientemente a ambos términos, en el minuendo en las decenas y en el sustraendo en las centenas para eliminar la dificultad, de esta forma se garantiza el mismo cociente.

Si lo vemos todo en unidades sería 800 + 340

-700 + 280 ___________

100 + 60 es decir las mismas 16 decenas

Estas 16 decenas se completan “bajando” las 3 unidades que quedan en el dividendo; hay que dividir ahora 163 entre 17, el cociente 9 al multiplicarlo por 7 da 63 y 9 x 10 es 90. Procediendo de la misma forma que al comienzo del cálculo, 90 + 63, debe de restarse a 100 + 63, resultando un resto 10.

Los algoritmos de las divisiones de por sí son complejos, admiten propuestas que las problematicen, es decir que obliguen a transparentarlas de forma de establecer las relaciones que los sustentan y que son las propiedades de las operaciones y las del SND.

Un ejemplo de problematización del algoritmo de la división puede ser:

A partir de la siguiente división responder:2

3284,7 13,8 0524 238 1107 003 2

Ejemplos adaptados de talleres realizados en los IINN de Montevideo por los docentes de Didáctica -Taller de Matemática: Rodríguez Rava, Pazos, Curti , Fripp, Varela, Dellepiane.

¿Cuánto queda por repartir cuando llevo repartidos 200 a cada uno? ¿Cuánto queda por repartir cuando llevo repartidos 230 a cada uno? ¿Cuál será el cociente de 3284,7 : 27,6 ?

¿Cuál será el cociente de dividir 3284,7 : 6,9 ?

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Otra propuesta para continuar trabajando a favor de la comprensión en lugar de la memorización sin comprender podría ser:

Teniendo en cuenta esta división,

347 l 29

57 11 28

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) 347: 29 >11 b) 347: 29 >12 c) 347: 29 = 11, 28 d) 347: 29 = 11 + 28/29

Si continuamos la cuenta hasta obtener décimos en el cociente, podemos hacer nuevas preguntas. 347 l 29 57 11,9 280 19

Usando solo esta información discutir si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. a) 347/29 >11,9 b) 347/29 < 12 c) 347/29> 11,89 d) 347/29 = 11,9 + 19/29 e) 347/29 = 119/10 + 19/29 f) 347/29 = 119/10 + 19/290 g) 347/29 = 119/10 +1,9 : 29

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Como expresamos al principio del artículo, la idea es problematizar el trabajo con los algoritmos convencionales para poder lograr que los alumnos les encuentren sentido y que no sean una repetición memorizada de los mismos.

Poder establecer las relaciones entre las propiedades dentro de cada operación y con otras operaciones; evidenciar las propiedades del SND que sustentan ese mecanismo memorizado, es fundamental en la construcción de sentido en el concepto de operación. El trabajo con los algoritmos, la problematización de ellos, son algunos de los aspectos a recorrer en el trabajo de la enseñanza de las operaciones a nivel básico. Por tanto “saber” el algoritmo convencional es mucho más que ejecutarlo.

Bibliografía utilizada

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Rodríguez Rava, Beatriz (2005) – “De las operaciones...¿qué podemos enseñar?” en Rodríguez, B y Xavier de Mello, A. –comps- (2005) El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. Montevideo.

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