Metodos Estadisticos-hidrologia Gumbel y Pearson

(1)

METODOS ESTADÍSTICOS.

Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno.

Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere.

A continuación se explican los métodos de:  Gumbel

 Log-Pearson III

Gumbel consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.

(2)

MÉTODO DE GUMBEL.

Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuación:

Q

_max

=

Q

_m

−

σ

Q

σ

N

(

Y

_N

−

lnT )

_…1 Siendo:

σ

Q

=

√

∑

i=1 N

Q

i2

−

N Q

m2

N−1

…2 Donde:

Q

_max

=

¿

_{Caudal máximo para un periodo de retorno determinado,} en m3/s.

N= número de años de registro.

Qi =Caudales máximos anuales registrados, en m3/s.

Q

m

=

∑

i=1 N

Q

_i

N

, Caudal promedio, en m3/s T= Periodo de retorno.

σ

_N

, Y

_N

=

¿

_{Constantes función de N, tabla 6.13 (Variables} reducidas)

σ

_Q _{= Desviación estándar de los caudales.}

Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar

Q

_max _{dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:}

1. Si ф=1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

(3)

∆ Q=±

_√

Nα σm

σ_Q σ_N

√

N …3

Donde:

N= número de años de registro

√

Nα σ

_m _{=constante en función de ф, tabla 6.14.}

σ

N _{= Constantes función de N, tabla 6.13}

σ

_Q _{= Desviación estándar de los caudales (ecuación 2)}

(4)

Tabla 6.14 Valores de

√

Nα σ

m en función de ф.

(5)

∆ Q=±

1.14 σ

Q

σ

N

… 4

La zona de ф comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transición, donde

∆ Q

_{es proporcional al cálculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor} de ф.

El caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual al caudal máximo con la ecuación (1), más el intervalo de confianza, calculado con (3) ó (4).

Q

_d

=

Q

_max

+

∆Q … 5

EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.

Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.

(6)

En este río se desea construir una presa de almacenamiento.

Calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente.

Año(1) m3/s(2)Caudal Año(1) m3/s(2)Caudal

1970 1660 1985 563 1971 917 1986 520 1972 3800 1987 360 1973 1410 1988 367 1974 2280 1989 658 1975 618 1990 824 1976 683 1991 850 1977 934 1992 1230 1978 779 1993 522 1979 921 1994 581 1980 876 1995 557 1981 740 1996 818 1982 1120 1997 1030 1983 610 1998 418 1984 1150 1999 953 SOLUCIÓN. Año(1) Caudal m3/s(2) Q2_(M3/S) 1970 1660 2755600 1971 917 840889 1972 3800 14440000 1973 1410 1988100 1974 2280 5198400 1975 618 381924 1976 683 466489 1977 934 872356 1978 779 606841 1979 921 848241 1980 876 767376 1981 740 547600 1982 1120 1254400 1983 610 372100

(7)

1984 1150 1322500 1985 563 316969 1986 520 270400 1987 360 129600 1988 367 134689 1989 658 432964 1990 824 678976 1991 850 722500 1992 1230 1512900 1993 522 272484 1994 581 337561 1995 557 310249 1996 818 669124 1997 1030 1060900 1998 418 174724 1999 953 908209 SUMATOR IA 28749 40595065 Paso 1.

Calcular el caudal promedio.

Q_m=

∑

i =1 N _Q i N

Q

_m

=

28749

30

=958.3m3/s

Q

m 2

=958.3

2

=

¿

_918338.89 Paso 2.

Cálculo de la Desviación estándar de los caudales.

σ

Q

σ

Q

=

√

∑

i=1 N

Q

i2

−

N Q

m2

N−1

σ

_Q

=

√

40595065−30(918338.89)

30−1

=670.6893

Paso 3.

(8)

Cálculo de los coeficientes σN, YN

σN 1.11238

(9)

Paso 4.

Cálculo del Caudal Máximo.

Q

_max

=

Q

_m

−

σ

Q

σ

N

(

Y

_N

−

lnT )

Para los periodos de retorno de 50 y 100 años.  Para T=50

Q

_max

=958.3−

670.6893

1.11238

(0.53622−ln50)

Q

_max

=2993.68

_m3_/s  Para T=100

Q

_max

=958.3−

670.6893

1.11238

(0.53622−ln100)

Q

max

=3411.60

_m3_/s Paso 5. Cálculo de ф. ф=1-1/T Para T=50años ф=1-1/50=0.98 Para T=100años T=1-1/100=0.99 Paso 6.

Cálculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que ф es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuación:

∆ Q=±

1.14 σ

Q

σ

N

(10)

∆ Q=±

1.14∗670.6893

1.11238

=687.34

m3/s

Paso 7.

Cálculo del caudal de diseño.

Q

d

=

Q

max

+

∆Q

 Para T=50

Q

_d

=2993.68+687.34

Q

_d

=3681.02m 3/s

 Para T=100

Q

d

=3411.60+687.34

Q

_d

=4098.94 m 3/s

MÉTODO

LOG PEARSON TIPO III

Distribución estándar para análisis de frecuencia de caudales máximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968).

La transformación Qd = Log QT se usa para reducir la asimetría; en caso de que

la asimetría para esta situación valga cero la distribución log Pearson III se reduce a una log normal.

Qd=log Q

_T Siendo:

(11)

´

LogQ=

_∑

logQ_i/N

Donde:

Q

_T _{= Máxima avenida correspondiente al periodo de retorno T.}

´

LogQ

_{= promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:}

K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado.

σ Log Q = desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es:

σ log Q=

[∑

(

logQ

_i

−

LogQ )

´

2

_/(

_N−1)

_]

1 /2

Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs). El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la fórmula:

Cs log Q=

N

∑

(

logQ

i

−

logQ

´

i

)

3

(

N −1)(N −2)(σ logQ)

3

(12)

(13)

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 años.

TABLA 6.15. CAUDALES MÁXIMOS

Año(1

) Caudal m3/s(2) Año(1) Caudal m3/s(2)

1970 1660 1985 563 1971 917 1986 520 1972 3800 1987 360 1973 1410 1988 367 1974 2280 1989 658 1975 618 1990 824 1976 683 1991 850 1977 934 1992 1230 1978 779 1993 522 1979 921 1994 581 1980 876 1995 557 1981 740 1996 818 1982 1120 1997 1030 1983 610 1998 418 1984 1150 1999 953 SOLUCION 1.- Cálculos Previos

m _(m3/seg)CAUDAL log Q

1 3800 3.5798 0.4387 0.2906 2 2280 3.3579 0.1941 0.0855 3 1660 3.2201 0.0916 0.0277 4 1410 3.1492 0.0537 0.0125 5 1230 3.0899 0.0298 0.0051 6 1150 3.0607 0.0205 0.0029 7 1120 3.0492 0.0174 0.0023 8 1030 3.0128 0.0091 0.0009 9 953 2.9791 0.0038 0.0002 10 934 2.9703 0.0028 0.0001 11 921 2.9643 0.0022 0.0001 12 917 2.9624 0.0020 0.0001 13 876 2.9425 0.0006 0.0000 14 850 2.9294 0.0001 0.0000 15 824 2.9159 0.0000 0.0000

(log Q

i

−

Lo gQ)

´

2

(log Qi

−

´

LogQ)

3

(14)

16 818 2.9128 0.0000 0.0000 17 779 2.8915 0.0007 0.0000 18 740 2.8692 0.0023 -0.0001 19 683 2.8344 0.0069 -0.0006 20 658 2.8182 0.0098 -0.0010 21 618 2.7910 0.0160 -0.0020 22 610 2.7853 0.0174 -0.0023 23 581 2.7642 0.0235 -0.0036 24 563 2.7505 0.0279 -0.0046 25 557 2.7459 0.0294 -0.0050 26 522 2.7177 0.0399 -0.0080 27 520 2.7160 0.0406 -0.0082 28 418 2.6212 0.0878 -0.0260 29 367 2.5647 0.1244 -0.0439 30 360 2.5563 0.1304 -0.0471 sumator ia 28749 87.5225 1.4235 0.2757

2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

´

LogQ=

_∑

logQ_i/N

N= 30

2.9174 m3/seg

3.- Calculo de Desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es (� �� )

σ log Q=

_[∑

(logQ

_i

−

LogQ )

´

2

_/(

_N−1)

_]

1 /2 σ Log

Q= 0.2216

4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)

Cs log Q=

N

∑

(

log Q

i

−

logQ

´

i

)

3

(

N −1)(N −2)(σ logQ)

3

Cs logQ 0.9366

(15)

P ¿(1/T ) *10 0

Periodo de Retorno Probabilidad K

T= 50 años 2.00% 2.5138

T= 100 años 1.00% 2.9804

6.- Calculo del Caudal de Diseño

log Q

T

= ´

LogQ+K σ LogQ

Periodo de Retorno Qd unidad

T= 50 años 3.4744 2980.93 m3/seg

T= 100 años 3.5777 3782.21 m3/seg

AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METODO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS

(16)

0 20 40 60 80 100 0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00 3000.00 3500.00 4000.00 GUMBEL Linear (GUMBEL) LOG - PEARSON III

Linear (LOG - PEARSON III) REGISTRO

TIEMPO (AÑOS) CAUDAL (M3/S)

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, es la distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular el Qd. CAUDAL DE DISEÑO T (años) Qd (m3/s) 50 3460.28 100 4149.90

BIBLIOGRAFÍA

 Villón Bejar, Máximo: hidrología. Segunda Edición: editorial Villón, Febrero del 2002. Lima-Perú  http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2 006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt  http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf

(17)

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS

AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METODO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS

MET.GUMBEL

MET.PEAR SON

T(años) Caudal(m_3/s) T (años) Caudal_(m3/s)

60 315.69 60 223.2 150 360.72 150 226.6 150 360.72 150 226.6 30 281.40 30 219.1 30 281.40 30 219.1 PROMEDIO DE AMBOS MET.

(18)

T(años) Caudal(m_3/s) 60 269.47 150 293.68 150 293.68 30 250.25 30 250.25 20 40 60 80 100 120 140 160 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00

COMPARACION

GUMBEL Logarithmic (GUMBEL) PEARSON Logarithmic (PEARSON)

PROMEDIO Logarithmic (PROMEDIO)

T(años) Caudal(m3/s)

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribuciones por ambos métodos estadísticos no tienen caudales similares por lo cual sacaremos un promedio de caudales de ambos métodos por los T(años) respectivos.