An´alisis del sistema din´amico b´asico

Definamos condiciones iniciales para el sistema (5.70).

De (5.68) tenemos que

W =F

Ldσ

dτ −β₁σ−2(b₁λ¯₂+θb₂λ₂)

La primera hip´otesis en (5.16) y la definici´on deσdada en (5.21) implican queσ→τ cuando τ → −∞,luego dσ

dτ →1 cuando τ → −∞.Adem´as, λ₂(σ) →0 y ¯λ₂(σ) →0 cuando τ → −∞. M´as a´un,L=β₁σ+θλ₂−λ¯₂→β₁σcuandoσ→ −∞.Finalmente,F = (1+θ−2θλ₁(σ))⁻¹→ _1+θ¹ cuandoτ → −∞.Por lo tanto, W →0 cuandoτ → −∞.

Por lo que tenemos la condici´on inicial:

σ

τ →1, W →0 cuandoτ → −∞ (5.71)

La segunda suposici´on en (5.16) y (5.21),(5.68) implican que σ y W necesitan tener los mismos valores l´ımites (5.71) cuandoτ → ∞. As´ı, la validez de nuestras hip´otesis es equivalente a la existencia de una trayectoriaγ_s= (σ=σ_s(τ), W =W_s(τ)) que satisface la condici´on (5.71)

y σ_s

τ →1, W_s→0 cuando |τ| → ∞

110 5.4. An´alisis del sistema din´amico b´asico.

Para realizar un an´alisis m´as detallado, usamos las propiedades de las convoluciones que se enuncian a continuaci´on:

Lema 5.4. Bajo las hip´otesis del Lema 1 las siguientes relaciones son v´alidas:

λ1(−σ) = λ1(σ)>0, λ1(σ) =λ⁰₁+O(σ²)cuando σ→0 sgn(σλ₂(σ)) = −1, sgn(σλ¯₂(σ)) = 1

λ₂(−σ) = −λ₂(σ), λ¯₂(−σ) =−¯λ₂(σ),

λ₂(σ) = σλ¹₂+O(σ³), λ¯₂(σ) =σλ¯¹₂+O(σ³)cuando σ→0, B_∆(−σ) = B_∆(σ), B_∆(σ) =B⁰_∆+O(σ²)

donde

λ⁰₁ =λ₁(0), B_∆⁰ =B_∆(0), λ¹₂= 1

a₂ Z _∞

−∞

ηω0(η)dω0(z) dz

z=θηdη <0, λ¯¹₂=− 1 a₂θ

Z _∞

−∞

ηω0(η)dω0(z) dz

z=^η_θdη >0.

Demostraci´on: Indicaremos ´unicamente la prueba de la relaci´onλ2(σ) =σλ¹₂+O(σ³).

Usando la f´ormula de Taylor de primer orden y tomando en cuenta queω0es par, obtenemos:

λ₂(σ) =σλ¹₂+σ³β₁³ 6

Z _∞

−∞

ηω₀(η)ω₀^′′′(θη+ξβ₁σ)dη, (5.74) dondeξ ∈[0,1].Reescribimos la ´ultima integral como la siguiente suma:

Z ₋1

−∞

+ Z _∞

1

+ Z _∞

1

ηω₀(η)ω^′′′₀(θη+ξβ₁σ)dη, (5.75) La segunda integral es acotada por una constante. Para la ´ultima integral tomamos en cuenta que

θη+ξβ1σ>cte·η para |σ| ≪1, uniformemente en ξ∈[0,1].

Consideraciones similares para la primera integral en (5.75) implican que el residuo en (5.74)

es del ordenO(σ³).

Estas propiedades y las f´ormulas (5.67),(5.69),(5.72),(5.73) implican los siguientes resulta- dos:

Corolario 5.1. El sistema (5.70) es invariante con respecto al cambio de variables τ → −τ, σ→ −σ, W → −W.

Corolario 5.2. Bajo las hip´otesis del lema 5.2:

L

σ=0= 0 (5.76)

y las siguientes estimaciones son v´alidas uniformemente en σ

(1 +θ)⁻¹6F 6(1 +θ−2θλ⁰₁)⁻¹=F0 6(1−√

θ)⁻². (5.77)

Por el Lema 5.4 sabemos que λ₂(σ) es impar, entonces λ2(σ) = λ2(0) + dλ2

dσ (σ) σ=0(σ)

= λ¹₂σ+λ³₂σ³+λ⁵₂σ⁵+· · ·

= λ¹₂σ+O(σ³);

como λ₂(σ) = _a¹

2

R_∞

−∞ηω₀(η)ω₀(θη+β₁σ)dη, de aqu´ı que dλ₂

dσ = β₁ a₂

Z _∞

−∞

ηω₀(η)ω₀(z) dz

θηdη, entonces

λ¹₂ = β1

a₂ Z _∞

−∞

ηω0(η)dω0(θη) dz dη.

Similarmente, para ¯λ₂.

La igualdad (5.76) muestra que el sistema (5.70),(5.72),(5.73) tiene una singularidad en la recta (0, W) en el plano (σ, W). Asumiremos que esta singularidad es de tipo ¹_σ y que no hay otros puntos de singularidad. Por lo tanto, elegimos la hip´otesis adicional:

E1) Sean la funci´onF y el n´umeroθ= ^β_β¹

2 tales que las siguientes desigualdades se cumplen:

L(σ)>0para σ >0, L₁= dL dσ

σ=0>0.

Notemos que la ´ultima condici´on implica en particular la desigualdad

θ6= 1 (5.78)

Rec´ıprocamente, bajo la condici´on (5.78) las estimaciones (5.77) garantizan que F 6 cte uniformemente en σ.

As´ı, la singularidad de Q es de tipo ¹_σ. De hecho, para θ = 1 las singularidades de Q y P son de tipo _σ¹ nuevamente. Sin embargo, este caso necesita considerarse separadamente y aqu´ı supondremos la validez de la condici´on (5.78).

Hacemos la observaci´on de que la hip´otesisE1)se puede verificar para cualquierF no lineal y para cualquier θdefinido por los datos iniciales. M´as a´un, esta hip´otesis es realizable.

Ahora investiguemos cuando una trayectoria puede pasar del semi-plano izquierdo al dere- cho. Obviamente, esto puede pasar ´unicamente a trav´es del punto (0,0), pues todo el ejeW es una singularidad del sistema.

Consideremos una vecindad peque˜na del origen de coordenadas. El Lema 5.4 implica que el sistema din´amico tiene la siguiente representaci´on para|σ|61:

112 5.4. An´alisis del sistema din´amico b´asico.

Primero, n´otese que

L = σ+Oλ₂−¯λ₂

= σ+θσλ¹₂−σλ¯¹₂+O(σ³) cuandoσ →0

= σ[1 +θλ¹₂−λ¯¹₂] +O(σ³)

= σL1+O(σ³)

= σ[L₁+O(σ²)] cuandoσ →0.

dondeL₁ = [1 +θλ¹₂−¯λ¹₂]. Tambi´en n´otese que 1

F = 1 +θ−2θλ1

= 1 +θ−2θ(λ⁰₁+O(σ²))por el Lema5.4

= 1 +θ−2θλ⁰₁+O(σ²) cuando σ→0

= F0⁻¹+O(σ²).

As´ı, la primera ecuaci´on del sistema es:

dσ

dτ = 1

L W

F +σ+ 2(b1λ¯2+θb2λ2)

= 1

σ[L₁+O(σ²)]

1 F0

+O(σ²)

W +σ+ 2σ(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂) +O(σ³)

= 1

σ[L₁+O(σ²)]

W F0

+σ+ 2σ(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂) +O(σ²)W +O(σ³)

= σ

σ[L1+O(σ²)]

1 F0

W

σ + 1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂) +O(σ)W +O(σ²)

, entonces,

dσ dτ = 1

L₁ 1

F⁰ W

σ + 1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂)

+O(σ)W +O(σ²).

de _F¹ +O(σ²) = ^1+O_O^(σ2)

0 se sigue que F =F0 1

1+O(σ²) =F0(1− O(σ⁴) +· · ·).

En ^dW_dτ ,tomandoF =F0: dW

dτ = F 2

(1−θλ²₁)Q²−2 [1−λ1(b2−θb1)]Q+ 1−2λ1(θb²₁+b²₂)

− 1 ν²

λ1+ B_∆ 2β₁β₂

= F0

2

(1−θ(λ⁰₁)²)Q²−2[1−λ⁰₁(b₂−θb₁)]Q+R +O(σ²),

conR= 1−2λ⁰₁(θb²₁+b²₂)−_F0²_ν2

λ⁰₁+ _2β^B∆0

1β2

.

Entonces, para |σ|61,el sistema es, dσ

dτ = 1

L₁ 1

F0

W

σ + 1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂)

+O(σ)W +O(σ²) (5.79) dW

dτ = F0

2

"

(1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

−2(1−λ⁰₁(b₂−θb₁))dσ dτ +R

#

+O(σ²).

Ahora, podemos transformar el sistema (5.79) de la siguiente manera, despejandoW de la primera ecuaci´on en (5.79) tenemos:

W =F0σ

L₁dσ

dτ −1−2(b₁¯λ¹₂+θb₂λ¹₂)

+O(σ²W +σ³) (5.80) y derivando con respecto aτ:

dW

dτ =F0L₁ d dτ

σdσ

dτ

−

1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂) F0

dσ dτ +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

, sustituyendo en la segunda ecuaci´on de (5.79):

F0L₁ d dτ

σdσ

dτ

− F0

1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂)dσ dτ +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

= F0

2

"

(1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

−2(1−λ⁰₁(b₂−θb₁))dσ dτ +R

#

+O(σ²)

Luego,

2L₁ d²

dτ²(σ²)−2[1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂)]dσ dτ +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

= (1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

−2(1−λ⁰₁(b₂−θb₁))dσ

dτ +R+O(σ²), entonces

L₁ d²

dτ²(σ²) = (1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

+

−2(1−λ⁰₁(b₂−θb₁)) + 2(1 + 2(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂))dσ dτ + R+O(σ²) +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

, as´ı

L₁ d²

dτ²(σ²) = (1 +θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

+

2λ⁰₁(b₂−θb₁) + 4(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂)dσ dτ + R+O(σ²) +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

,

114 5.4. An´alisis del sistema din´amico b´asico.

teniendo en cuenta que ¯λ₂ =θ(σλ₁+θλ₂) encontramos que λ¯¹₂ = λ¯2

σ +O(σ²) = θ(σλ1+θλ2)

σ +O(σ²)

= θλ₁(σ) +θ²λ₂(σ)

σ +O(σ²)

= θλ₁(σ) +θ²λ¹₂+O(σ²)

= θλ⁰₁+θ²λ¹₂+O(σ²)

= θ(λ⁰₁+θλ¹₂) +O(σ²) entonces,

2λ⁰₁(b₂−θb₁) + 4(b₁λ¯¹₂+θb₂λ¹₂) = 2λ⁰₁(b₂−θb₁) + 4b₁θ(λ⁰₁+θλ¹₂) + 4θb₂λ¹₂+O(σ²)

= 2b2λ⁰₁−2θb1λ⁰₁+ 4θb1λ⁰₁+ 4θ²b1λ¹₂+ 4θb2λ¹₂+O(σ²)

= 2b₂λ⁰₁+ 2θb₁λ⁰₁+ 4θ²b₁λ¹₂+ 4θb₂λ¹₂+O(σ²)

= 2(λ⁰₁+ 2θλ¹₂)(b₂+θb₁) +O(σ²)

= 2N +O(σ²).

donde, se toma

N = (λ⁰₁+ 2θλ¹₂)(b₂+θb₁). (5.81) De aqu´ı que,

L₁ d²

dτ²(σ²) = (1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

+ 2Ndσ

dτ +R+O(σ²) +O

σdW

dτ + (W +σ)dσ dτ

. (5.82) Ahora, aplicando el m´etodo de Cauchy-Kovalevskaya y tomando en cuenta queσ =σ(τ) es impar, escribimos:

σ=a₁τ +a₃τ³+a₅τ⁵+· · · (5.83) con coeficientes arbitrarios a_i.

El m´etodo de Cauchy-Kovalevskaya es un m´etodo por medio del cual podemos encontrar la soluci´on de una ecuaci´on diferencial parcial num´ericamente.

Para nuestro problema, primeramente escribimos la ecuaci´on (5.82) de la siguiente manera:

L₁ d²

dτ²(σ²)−(1−θ(λ⁰₁)²) dσ

dτ 2

−2Ndσ

dτ −R= 0 Entonces, para orden deτ⁰:

(2L₁−1 +θ(λ⁰₁)²)a²₁−2N a₁−R= 0.

Denotemos comoM = 2L₁−1 +θ(λ⁰₁)².

La ecuaci´on obtenida para orden deτ⁰ tiene soluci´on si y s´olo siN²+M R>0.Supongamos que esto se satisface.

En ordenτ² :

[2L₁+M]a−N a₃ = 0.

En ordenτ⁴ :

(4L₁+M)a₁−N a₅= 1

10[9(1−θ(λ⁰₁))²−30L₁]a²₃=f₅(a₁, a₃).

En ordenτ⁶ :

[6L₁+M]a₁−N a₇ = 1

14a₃a₅[30(1−θ(λ⁰₁)²)−112L₁] =f₇(a₁, a₃, a₅).

En ordenτ²ⁿ:

{[2nL1+M]a1−N}a2n+1=f2n+1(a1, a2, a5, . . . , a2n−1)

De este procedimiento se sigue que la ecuaci´on (5.82) y algebra simple implican las siguientes ecuaciones:

M a²₁−2N a1−R = 0 (5.84)

[(M+ 2nL₁)a₁−N]a_2n+1 = f_2n+1(a₁, . . . , a_2n−1), n>1, (5.85) donde

M = 2L₁−(1−θ(λ⁰₁)²). (5.86)

SiM 6= 0, para a₁ obtenemos dos ra´ıces a^±₁ = 1

M

N±p

N²+M R

(5.87) Consecuentemente, la funci´onσ(τ) tiene la representaci´on (5.83) ´unicamente bajo las condi- ciones

N²+M R >0, y (M + 2nL₁)a^±₁ −N 6= 0 ∀n= 1,2, . . . (5.88) La primera desigualdad en la ecuaci´on (5.88) garantiza la existencia de las ra´ıces y la segunda de no ser v´alida los coeficientes a_i en (5.85) se anular´ıan.

Sin embargo, M puede ser arbitraria (incluyendo el caso M = 0 ya que θ(λ⁰₁)² < 1 para θ <1 y θ(λ⁰₁)² >1 paraθ >1) y tenemos que investigar todas las posibles situaciones.

SeaM >0. Entonces,

a⁻₁ <0, a⁺₁ >0 y M a⁻₁ < N < M a⁺₁ SeaR >0. Entonces ambas condiciones (5.88) se satisfacen ya que

(M+ 2nL⁰₁)a⁺₁ −N >2nL⁰₁a⁺₁ >0 y (M+ 2nL⁰₁)a⁻₁ −N <2nL⁰₁a⁻₁ <0

116 5.4. An´alisis del sistema din´amico b´asico.

Luego, siR <0, entonces necesitamos suponer la validez de la primera condici´on en (5.88).

M´as a´un, la segunda condici´on (5.88) puede ser transformada a la siguiente forma:

N 6=p

N²+M R(1 +q_n) para todan= 1,2, . . . , (5.89) donde los n´umerosq_n definidos de la siguiente manera,

q_n:= M 2nL₁ = 1

n

1−1−θ(λ⁰₁)² 2L₁

,

son positivos. Para M > 0 y R < 0 ambas ra´ıces a^±₁ son positivas si y s´olo si N > 0, pues de lo contrario, de (5.87) N² +M R > 0 lo cual implica que 0 < N² +M R < N² entonces

√N²+M R <√

N² =N. As´ı, si M > 0,R < 0 yN <0 entonces a⁺₁ <0 y a⁻₁ <0.Si R= 0 entonces existena⁺₁ >0 si y s´olo si N >0.

Considerando de la misma manera el caso M <0 obtenemos la condici´on:

E2) Sea M 6= 0. M´as a´un, sean la funci´on F y las velocidades Vi tales que las siguientes hip´otesis se valen:

E2a) SiM >0 entoncesR >0 oR <0 y se satisfacen las condiciones (5.89),N >0 y

N²+M R >0, (5.90)

o R= 0 yN >0.

E2b) Si M < 0 entonces R < 0 y se satisface (5.89) o R > 0 y se satisfacen (5.89), (5.90) y N <0 oR= 0 yN <0 y

1−θ(λ⁰₁)6= 2L₁(1 + 2n) para todan= 1,2, . . . .

Observaci´on 5.2. Te´oricamente, tambi´en existe un caso especifico cuando M = 0. Sin em- bargo, en este trabajo no lo consideraremos.

Calculando la coordenadaW de las trayectorias en la forma similar a (5.83), esto es W =ω₁τ+ω₃τ³+· · · , (5.91) pasamos al siguiente resultado:

Lema 5.5. Supongamos que las hip´otesis A-E2 se satisfacen. Entonces, existe al menos una trayectoria γ_s = {(σ=σ_s(τ), W =W_s(τ))} del sistema (5.70), (5.72), (5.73) la cual pasa del semiplano izquierdo (W, σ) al semiplano derecho cuando τ crece desde −τ₀ hasta τ₀, para τ₀ suficientemente peque˜na.

Observemos lo siguiente:

1. a⁻₁ y a⁺₂ significa que hay dos posibles curvas en el diagrama de flujo las cuales pueden ser ambas positivas.

2. ω_i ya_i nos dan las pendientes de cada una de tales curvas, m= ω_i a_i.

El siguiente paso en el an´alisis es la consideraci´on del sistema (5.70), (5.72), (5.73) para σ→ ±∞.Ya que las convoluciones se anulan cuando σ → ±∞, tenemos:

Q= 1 + (1 +θ)W σ +O

1 σ²

1 +W

σ

, P = 1

2(1 +θ)(Q−1)²+O 1

σ²

. (5.92) Ahora, procedemos a resolver el sistema (5.70), (5.92) en sus t´erminos principales para|σ| grande. Resolveremos el sistema (5.70) por separaci´on de variables se sigue que:

De lo anterior tenemos:

dσ

dW = 2(1 +θ)[σ+ (1 +θ)W] σ[(1 +θ)^{2 W}_σ2

]

= 2σ[σ+ (1 +θ)W] (1 +θ)²W²

= 2σ²

(1 +θ)W² + 2σ W

Esta es una ecuaci´on diferencial homog´enea. Ahora, haciendo el cambio de variablesσ =uW se sigue que dσ = udW +W du dividiendo esta igualdad por dW tenemos que ^udW+W_dW ^du =

2

(1+θ)u²+ 2uentoncesudW +Wdu=h

2 (1+θ)u²+2u

idW, as´ıWdu=

2

(1+θ)u²+u

dW. Luego, du

2

(1+θ)u²+u = dW W , denotemos por κ= _1+θ² entonces _au^du2+u = ^dW_W .

Ahora, integrando Z _∞

−∞

du κu²+u =

Z _∞

−∞

dW W . Utilizaremos el m´etodo de integraci´on en fracciones parciales:

1

κu²+u = 1

u(κu+ 1) = A

u + B

κu+ 1 = A(κu+ 1) +Bu

u(κu+ 1) = (Aκ+B)u+A κu²+u , entonces 1≡(Aκ+B)u+A. As´ı,Aκ+B ≡0 y A= 1 entonces B≡ −κ.

De aqu´ı que, Z _∞

−∞

du κu²+u =

Z _∞

−∞

1

u − κ κu+ 1

du= ln(u)−κ Z _∞

−∞

du κu+ 1

= ln(u)−ln(κu+ 1) = ln( u κu+ 1),

118 5.4. An´alisis del sistema din´amico b´asico.

donde hicimos uso del cambio de variables,x=κu+ 1.

Ahora, ln(_κu+1^u ) = ln(W) + ln(α), donde ln(α) es una constante, de aqu´ı que _κu+1^u =αW. Luego, de σ=uW tenemos u= _W^σ.As´ı,

σ W

κ_W^σ + 1 =αW, (5.93)

entoncesσ= ₁₋^αW_ακW² .

Buscamos la soluci´on que pase por el punto (σ₀, W₀); as´ı de (5.93) se sigue que α =

σ0

W0(κσ0+W0).Luego, σ= αW²

1−ακW = W²

ρ−κW = W²

ρ−_1+θ² W = W²

2 1+θ

_1+θ

2 ρ−W = 1 +θ 2

W²

C−W, (5.94) de aqu´ı que σ = ^1+θ_{2 C}^W₋²_W; en estas igualdades se denotaron como ρ = _α¹ y por C = ^1+θ₂ ρ, de donde

C =W₀

1 +1 +θ 2

W0

σ₀

. (5.95)

Como σ es grande concluimos que _σ¹ es peque˜no, _σ¹ = _1+θ^{2 c}_W^−W2 . As´ı, si |σ| ≫ 1 entonces W ≈ C. En otro caso, si W es muy grande es un caso que no nos preocupa ya que buscamos queW →0.

De este procedimiento concluimos que la soluci´on del sistema (5.70), (5.92) esta dada por las ecuaciones (5.94) y (5.95), dondeW₀=W

σ=σ0

. Por lo tanto, W =C+O

1

|σ|

cuando |σ| ≫1.

M´as a´un,

W =C−1 +θ 2τ +O

1

|τ|²

.

La ´ultima f´ormula, implica la estabilizaci´on de las coordenadas W de cualquier trayectoria paraτ → ±∞, si|W0|=|W(τ0)|es acotada por una constante y|σ0|=|σ(τ0)|es suficientemente grande.

De aqu´ı se sigue que la curvaγ_s buscada no existe, pues hemos mostrado que las hip´otesis ya establecidas en (5.71) no se satisfacen.

El ´ultimo paso del an´alisis del sistema (5.70), (5.72), (5.73) es la consideraci´on de las isocli- nas.

Recordemos que las isoclinas se obtienen haciendoQ≡0 yP ≡0 es decir, ^dσ_dτ = 0 y ^dW_dτ = 0;

luego la pendiente en el planoσ−W es ^dW_dσ = ^P_Q. SiP = 0 obtenemos la curva en el planoσ−W que es atravesada por las trayectorias en forma horizontal. Si Q= 0 entonces ^dW_dσ =∞as´ıQ es

la curva en el planoσ−W que es atravesada por las trayectorias en el sistema din´amico en forma vertical. Es otras palabras, las isoclinas son curvas que son atravesadas por las trayectorias del retrato fase con una pendiente constante.

La isoclinaγ_Q={(σ, W), Q(σ, W) = 0} es la curva

W_Q=−F(σ+ 2(b₁λ¯₂+θb₂λ₂)),

la cual para|σ|suficientemente grande es la rectaW_Q^∞=W_Q=−_1+θ^σ cuando|σ| → ∞.Hacemos hincapi´e en que la curva WQ =WQ(σ) intersecta a la trayectoria γs en el origen. De hecho, si W_s denota aγ_s como la funci´on W_s(σ),entonces de (5.80) tenemos

W_s=F0σ

L₁dσ dτ −α

, conα= 1 + 2(b1λ¹₂+θb2λ¹₂).As´ı que

dW_s

dσ = F0L₁ d dσ

σdσ

dτ

− F0α

= F0L₁ d dσ

σ(a₁+ 3a₃τ²+· · ·)

− F0α

= F0L₁a₁σ− F0α, pues|τ| ≪1 si|σ| ≪1.

Ahora, si|σ| ≪1,por el lema 5.4 tenemos que

W_Q =−Fσ(1 + 2(b₁λ¹₂+θb₂λ¹₂)) =−Fσα.

De modo que

dW_s

dσ −dW_Q dσ

σ=0 =F0L1a1>0.

Para encontrar la isoclina γ_P = {(σ, W), P(σ, W) = 0} necesitamos resolver primeramente la ecuaci´on

(1−θλ²₁)Q²−2D₁Q+D₂= 0, (5.96) donde

D₁ = 1−λ₁(b₂−θb₁), D₂ = 1−2λ₁(b²₂+θb²₁)− 2 ν²F

λ₁+ B_∆ 2β₁β₂

. Denotemos porQ_±(σ) a las ra´ıces de (5.96).

Q^±= D1±p

D²₁−(1−θλ²₁)D2

(1−θλ²₁) , (5.96) tiene soluciones si y s´olo si el discriminante

D = D₁²−(1−θλ²₁)D2

= [1−λ₁(b₂−θb₁)]²−(1−θλ²₁)

1−2λ₁(b²₂+θb²₁)− 1 Fν²

λ₁+ B_∆ 2β1β2

120 5.5. Consideraciones gr´aficas

In document Jessica Yuniver Santana - POSGRADO EN MATEMÁTICAS (página 127-138)