Elementos con cambios de sección - Tracción en la mecánica de materiales

Capítulo 1 Tracción en la mecánica de materiales

1.8. Elementos con cambios de sección

Mecánica de Materiales

53

50 Figura 57. Configuración de parámetros de simulación en Ejercicio 7 Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción SZ: Tensión normal de Z, en unidades de ksi. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales.

Figura 58. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 7

Paso 8: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción Cortar, dentro del nuevo panel se selecciona el plano de vista lateral, con un valor de 0 in de distancia que corresponde a la mitad del elemento.

51 Figura 59. Configuración de plano de corte de tensiones en Ejercicio 7 Paso 9: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones, y seleccionar la opción Identificar valores, marcar la opción En la ubicación, luego seleccionar cada uno de los tres elementos en su sección central, donde se obtienen valores de esfuerzos alcanzados de -2.36 ksi, -5,31 ksi y -21,29 ksi, aproximados con el resultado analítico.

Figura 60. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 7

Sin embargo, la deformación se puede obtener considerando una sección de una barra como un elemento diferencial empleando la Ecuación 14

δ = ∫ N(x) A(x)E

(14)

Las ecuaciones 8, 9 y 14 sólo se aplican a elementos prismáticos de materiales linealmente elásticos, donde se supone que la distribución de esfuerzos es uniforme en toda la sección transversal. En el caso de elementos cónicos; se consiguen resultados satisfactorios para la deformación alcanzada sólo si el ángulo de conicidad es pequeño, si la conicidad es grande se necesitan métodos de análisis más precisos (Goodno & Gere, 2018).

Ejercicio 8

Una barra rectangular de aluminio de 0.75 in de espesor tiene una sección transversal uniforme y cónica. La profundidad en la sección cónica varía como h(x) = (2 − 0.02x), mientras la carga P es de 10 kips.

Determine: El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas.

Datos:

L

_AB

= 50 in L

_BC

= 20 in P = 10 kips ( 1000 lbf

1 kips ) = 1x10

⁴

lbf E = 10000 ksi ( 1000 lbf in

1 ksi ) = 1x10

⁷

lbf

in

h(x) = (2 − 0.02x)

Mecánica de Materiales

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52 Sin embargo, la deformación se puede obtener considerando una sección de una barra como un elemento diferencial empleando la Ecuación 14

δ = ∫ N(x) A(x)E

(14)

Ejercicio 8

Determine: El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas.

Datos:

L

_AB

= 50 in L

_BC

= 20 in P = 10 kips ( 1000 lbf

1 kips ) = 1x10

⁴

lbf E = 10000 ksi ( 1000 lbf in

1 ksi ) = 1x10

⁷

lbf in

h(x) = (2 − 0.02x)

53 Resolución:

AAB= (2h) (3

4 ) = 2(2 − 0.02x) (3

4 ) = 1.5(2 − 0.02x) in² = (2 in) (3

4 in) = 1.5 in² Se aplica sumatoria de fuerzas en x para encontrar la fuerza interna del elemento cortado.

∑ F

= 0

P − N

_AB

= 0 P = N

_AB

N

_AB

= P N

_AB

= 1x10

⁴

lbf

Al cortar en el segmento BC se determina que la carga N_BC es igual a la N_AB. CORTE SECCIÓN A-B

N_BC= N_AB= 10 kips Se aplica la Ecuación 14.

δ_AB = ∫ N_AB A_ABE

A = ∫ 1x10⁴lbf

[1.5(2 − 0.02x) in²] (1x10⁷ lbf in²)

50 0

δ_AB = 6.667x10⁻⁴∫ 1 (2 − 0.02x)

0 = (6.667x10⁻⁴) ( 1

−0.02) ln(2 − 0.02x)|

0 50

δAB = −0.033[ln(2 − 0.02(50)) − ln(2 − 0.02(0))] = 0.023 𝑖𝑖𝑖𝑖 La sección BC es homogénea por lo que se aplica la Ecuación 8.

CORTE SECCIÓN B-C δ

_{𝐵𝐵𝐵𝐵}

= PL

A

_BC

E =

N

_BC

L

_BC

A

_BC

E =

(1x10

⁴

lbf)(20 in) (1.5 in

) (1x10

⁷

lbf

in

) = 0.013 𝑖𝑖𝑖𝑖

La deformación total se determina aplicando la Ecuación 10.

δ

_Total

= δ

₁

+ δ

₂

δ

_AC

= δ

_AB

+ δ

_BC

= 0.023 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 0.013 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0.036 𝑖𝑖𝑖𝑖

Validación por SolidWorks:

Paso 1: Crear un nuevo plano a partir de la vista de Alzado a 50 in de distancia.

En este plano crear un croquis y dibujar un rectángulo de centro con medidas de 0.75 x 2 in. Luego proceder a extruirlo con un valor de 20 in. En el plano de alzado crear un croquis y dibujar un rectángulo de centro con medidas de 0.75 x 4 in. Emplear la operación Recubrir y seleccionar el segundo croquis creado con la cara del sólido en el recuadro de Perfiles.

Figura 62. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 8

Paso 2: Crear un estudio de Simulación a través de la pestaña Simulation, ir al comando Nuevo estudio, seleccionando la opción de Análisis estático. Luego en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Pieza y seleccionar el comando Aplicar/Editar material, se abrirá la ventana de la biblioteca de materiales, seleccionar el material de aluminio Aleación 1060.

Mecánica de Materiales

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54 La deformación total se determina aplicando la Ecuación 10.

δ

_Total

= δ

₁

+ δ

₂

δ

_AC

= δ

_AB

+ δ

_BC

= 0.023 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 0.013 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0.036 𝑖𝑖𝑖𝑖

Validación por SolidWorks:

Paso 1: Crear un nuevo plano a partir de la vista de Alzado a 50 in de distancia.

Figura 62. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 8

55 Figura 63. Asignación de materiales en Ejercicio 8

Paso 3: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar la cara del extremo con mayor sección transversal.

Figura 64. Asignación de sujeciones en Ejercicio 8

Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Fuerza, marcar la cara del extremo de menor sección transversal y asignar una carga de 10000 lbf.

Figura 65. Asignación de cargas en Ejercicio 8

Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de in. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 3 decimales.

Figura 66. Configuración de trazado de deformaciones en Ejercicio 8

Mecánica de Materiales

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56 Figura 65. Asignación de cargas en Ejercicio 8

Figura 66. Configuración de trazado de deformaciones en Ejercicio 8

57 Paso 6: En el panel del lado izquierdo hacer clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Identificar valores, luego seleccionar la arista de la línea de separación entre los sólidos y la arista del extremo, donde se pueden obtener valores de deformaciones alcanzadas de 0.023 in y 0.036 in, similar al resultado analítico.

Figura 67. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 8

CA P Í T U LO I I .

T o r s i ó n e n l a m e c á n i c a d e m a t e r i a l e s y

D i a g r a m a s d e F u e r z a s C o r t a n t e s y M o m e n t o s

Mecánica de Materiales59

61

2.1. Nociones básicas de la torsión

El estudio de la torsión resulta ser de suma importancia en el diseño de elementos de máquinas, ya que la gran mayoría de equipos requieren algún sistema de potencia que por medio de la torsión pueda producir un movimiento y aprovecharse para realizar un trabajo (Díaz de León, González Ajuech, &

Rosete Fonseca, Juan Carlos and Díaz de León Mendoza, Naheli, 2018). Un componente que cumple esta función es el eje trasero de un tractor, en donde se transmite un movimiento de giro hacia las ruedas del vehículo, como se muestra en la Figura 68.

Figura 68. Eje de transmisión de tractor

Un elemento sometido a torsión se refiere al elemento que ante la acción de una carga tiende a rotar o torcerse. Esta carga normalmente se le conoce como:

torque, momento rotacional, momento de giro o par. Cuando se aplica un torque se desarrollan esfuerzos cortantes que si son excesivos podrían producir una deformación torsional conduciendo al fallo de un elemento (Mott & Untener, 2018a).

2.2. Elementos prismáticos de sección circular

Considérese una barra cilíndrica que se encuentra fija en un punto y en el otro extremo se aplica un torque que provocará una distorsión del elemento. En las secciones coloreadas como se muestra en la Figura 69 se puede evidenciar un cambio de posición de la línea de acción original formándose un ángulo ϕ, conocido como ángulo de torsión.

Figura 69. Distorsión de eje sometida a torsión.

Relacionando las distancias de radio y longitud con la deformación angular γ y el ángulo de torsión se obtiene la Ecuación 15.

γ = rϕ

L (15)

Los torques producen esfuerzos cortantes, si se considera que se encuentran por debajo del límite elástico aplicando la ley de Hooke mediante la Ecuación 7 se obtiene la Ecuación 16.

τ = Gγ = Grϕ L =

Tr

J (16)

Los valores de momento polar de inercia para cilindros se expresan mediante las Ecuaciones 17 y 18

J

_{cil sólido}

= πr

⁴

2 (17)

J

_{cil hueco}

= π(r

_o⁴

− r

_i⁴

)

2 (18)

En un elemento de sección circular las secciones transversales permanecen planas y sin distorsión debido a que este es axisimétrico, es decir que su aspecto sigue siendo el mismo cuando se ve desde una posición fija y se gira a un determinado ángulo (Beer, Dewolf, & Johnston E, Russell and Mazurek, David F, 2020).

Se deben las siguientes suposiciones para el estudio de barras circulares a torsión (Singh, 2021b):

Mecánica de Materiales

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60 Figura 69. Distorsión de eje sometida a torsión.

Relacionando las distancias de radio y longitud con la deformación angular γ y el ángulo de torsión se obtiene la Ecuación 15.

γ = rϕ

L (15)

Los torques producen esfuerzos cortantes, si se considera que se encuentran por debajo del límite elástico aplicando la ley de Hooke mediante la Ecuación 7 se obtiene la Ecuación 16.

τ = Gγ = Grϕ L =

Tr

J (16)

Los valores de momento polar de inercia para cilindros se expresan mediante las Ecuaciones 17 y 18

J

_{cil sólido}

= πr

⁴

2 (17)

J

_{cil hueco}

= π(r

_o⁴

− r

_i⁴

)

2 (18)

Se deben las siguientes suposiciones para el estudio de barras circulares a torsión (Singh, 2021b):

• El elemento es recto y tiene una sección transversal uniforme en toda su longitud.

• Las secciones planas permanecen planas y no se deforman después de ser sometidas a torsión.

• Los esfuerzos aplicados en el elemento están dentro del límite elástico.

• La torsión a lo largo del eje es uniforme.

• El material del eje es homogéneo e isótropo.

Ejercicio 9

Una barra de sección circular de un diámetro de 1 in que se encuentra fija es sometida a un torque T=1800 lb-in aplicado en su otro extremo. Considerando el módulo de elasticidad y rigidez E = 14x10⁶ psi y G = 5.25x10⁶ psi correspondientemente. Determine cuál es la magnitud del esfuerzo máximo cortante en el extremo libre y el ángulo de torsión.

Datos:

d = 1 in L = 10 in T = 1800 lbf in E = 14x10

⁶

psi

G = 5.25x10

⁶

psi

Resolución:

r = d 2 =

1 in

2 = 0.5 in

Aplicando la Ecuación 17

J

_{cil sólido}

= J = πr

⁴

2 =

π(0.5 in)

⁴

2 = 0.0982 in

⁴

Aplicando la Ecuación 16 en sus diferentes versiones.

τ = Tr J =

(1800 lbf in)(0.5 in)

0.0982 in

⁴

= 9164.96 lbf

in

= 9164.96 psi τ = Grϕ

L ϕ = τL

Gr =

(9164.96 psi)(10 in)

(5.25x10

⁶

psi)(0.5 in) = 0.0349 rad ( 180°

π rad) = 2°

Validación por SolidWorks:

Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando un círculo de 1 in a partir del origen, luego proceder a extruirlo con una medida de 10 in.

Figura 70. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 9

Paso 2: Crear un plano a partir de alzado a 5 in de distancia. En este plano crear un croquis y dibujar una línea constructiva. Después crear un punto seleccionando uno de los extremos del croquis.

Mecánica de Materiales

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62 Aplicando la Ecuación 17

J

_{cil sólido}

= J = πr

⁴

2 =

π(0.5 in)

⁴

2 = 0.0982 in

⁴

Aplicando la Ecuación 16 en sus diferentes versiones.

τ = Tr J =

(1800 lbf in)(0.5 in)

0.0982 in

⁴

= 9164.96 lbf

in

= 9164.96 psi τ = Grϕ

L ϕ = τL

Gr =

(9164.96 psi)(10 in)

(5.25x10

⁶

psi)(0.5 in) = 0.0349 rad ( 180°

π rad) = 2°

Validación por SolidWorks:

Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando un círculo de 1 in a partir del origen, luego proceder a extruirlo con una medida de 10 in.

Figura 70. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 9

63 Figura 71.Creación de plano y elementos de referencia en ejercicio 9 Paso 3:Ir al menú del lado izquierdo, dar clic derecho en Sensoresy seleccionar la opción Agregar sensor. En el apartado Tipo de sensor seleccionar la opción Datos de simulación, en el apartado Cantidad de Datosseleccionar Sensibilidad de flujo de trabajoy marcar el punto creado anteriormente.

Figura 72. Creación de sensores en ejercicio 9

Paso 4:Crear un estudio de Simulación a través de la pestaña Simulation, ir al comando Nuevo estudio, seleccionando la opción de Análisis estático. Luego en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Pieza y seleccionar el comando Aplicar/Editar material, se abrirá la ventana de la biblioteca de materiales, copiar el material el material de aluminio Aleación 1060y pegarlo en una nueva carpeta

de materiales personalizados. Realizar el ajuste y asignación de las propiedades de materiales como se muestra a continuación.

Figura 73. Asignación de materiales en Ejercicio 9

Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar uno de los extremos.

Figura 74. Asignación de sujeción fija en Ejercicio 9

Paso 6: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Rodillo/Control deslizante, marcar la sección cilíndrica.

Mecánica de Materiales

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64 de materiales personalizados. Realizar el ajuste y asignación de las propiedades de materiales como se muestra a continuación.

Figura 73. Asignación de materiales en Ejercicio 9

Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar uno de los extremos.

Figura 74. Asignación de sujeción fija en Ejercicio 9

Paso 6: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Rodillo/Control deslizante, marcar la sección cilíndrica.

65 Figura 75. Asignación de sujeción móvil en Ejercicio 9

Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Torsión. Seleccionar primero la cara del segmento libre y luego la superficie cilíndrica, asignando el valor de 1800 lbf in.

Figura 76. Asignación de cargas en Ejercicio 9

Paso 8: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción ΤYZ: Tensión cortante en dir. Z en plano XZ, en unidades de psi.

Desmarcar el casillero de deformada. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales.

Figura 77. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 9

Paso 9: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones, y seleccionar la opción Identificar valores, luego marcar la opción De sensores, donde se puede observar un valor del esfuerzo cortante máximo en los extremos de 9145,96 psi, aproximado con el resultado analítico.

Figura 78. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 9

Paso 10: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UY: Desplazamiento de Y en unidades de pulgadas. Desmarcar el casillero de deformada. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con el valor de 4. Se obtienen los valores máximos de deformaciones máximas y mínimas de 0,0173 y 0.0177 in respectivamente, al sumar estos dos valores y dividir el resultado con el diámetro del eje de 1 in se obtiene el ángulo de torsión de 0.035 rad.

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66 Figura 77. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 9

Figura 78. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 9

67 Figura 79. Identificación de desplazamientos en Ejercicio 9

Validación por MDSolids:

Se debe seleccionar el módulo de Torsión, luego se debe ingresar los datos conocidos marcando el casillero indicado en el orden sugerido como se muestra en los recuadros de color rojo, finalmente en el recuadro de color azul se obtienen los resultados del esfuerzo máximo cortante y ángulo de torsión con valores aproximados a lo obtenido de forma analítica.

Figura 80. Configuración de parámetros en MDSolids en Ejercicio 9

1 3

Ejercicio 10

Considere el eje del ejercicio anterior con una variación, presenta un agujero de 0.90 in.

Determine cuál es la magnitud del esfuerzo máximo cortante considerando un cambio de diámetro hasta 0.05 in con un paso de 0.10 in.

Datos:

d

= 1 in d

= 0.95 in

L = 10 in T = 1800 lbf in

Resolución:

r

= d

2 =

1 in

2 = 0.5 in r

= d

2 =

0.95 in

2 = 0.475 in

Aplicando la Ecuación 18.

J

_{cil hueco}

= π(r

_o⁴

− r

_i⁴

)

2 = π((0.5 in)

⁴

− (0.375 in)

⁴

)

2 = 0.018 in

⁴

Aplicando la Ecuación 16.

τ = Tr

J =

(1800 lbf − in)(0.95 in)

0.018 in

⁴

= 50000 lbf

in

= 50000 psi

Repitiendo el proceso de cálculo se puede determinar los valores de esfuerzos para diferentes diámetros de agujeros. Empleando el software Mathcad se determinan estos valores.

Mecánica de Materiales

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68 Ejercicio 10

Considere el eje del ejercicio anterior con una variación, presenta un agujero de 0.90 in.

Determine cuál es la magnitud del esfuerzo máximo cortante considerando un cambio de diámetro hasta 0.05 in con un paso de 0.10 in.

Datos:

d

= 1 in d

= 0.95 in

L = 10 in T = 1800 lbf in

Resolución:

r

= d

2 =

1 in

2 = 0.5 in r

= d

2 =

0.95 in

2 = 0.475 in

Aplicando la Ecuación 18.

J

_{cil hueco}

= π(r

_o⁴

− r

_i⁴

)

2 = π((0.5 in)

⁴

− (0.375 in)

⁴

)

2 = 0.018 in

⁴

Aplicando la Ecuación 16.

τ = Tr

J =

(1800 lbf − in)(0.95 in)

0.018 in

⁴

= 50000 lbf

in

= 50000 psi

Repitiendo el proceso de cálculo se puede determinar los valores de esfuerzos para diferentes diámetros de agujeros. Empleando el software Mathcad se determinan estos valores.

69 Validación por SolidWorks:

Paso 1: Realizar los pasos del Ejercicio 9, luego crear un croquis en el plano de alzado, dibujando un círculo de diámetro de 0.95 in, luego realizar una extrusión por corte marcando la opción Hasta el siguiente.

Figura 81. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 10

Paso 2: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla, ajustar la perilla en Fino, además activar el casillero de Parámetros de mallado >Malla basada en curvatura. Hacer clic en la opción Ejecutar este estudio.

In document Mecánica de Materiales - Repositorio UTEQ (página 53-61)