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Alvarez (2023) - Teoría de la Elasticidad usando Matlab y Maxima - volumen 1 - fundamentos

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Diego Andrés Alvarez Marín

Academic year: 2023

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Prefacio

El libro pretende ser un texto guía no sólo para el curso de Teoría de la Elasticidad, sino también para cursos posteriores sobre Elementos Finitos (análisis estructural unidimensional, bidimensional, tridimensional y axisimétrico), mecánica computacional o plasticidad. Los códigos de Matlab y Maxima analizados en el libro se pueden encontrar en https://github.com/diegoandresalvarez/solidos/tree/master/.

Conceptos básicos

  • Propiedades del sólido elástico isótropo
  • Diferenciales de primer, segundo y tercer orden
  • Fuerzas que actúan sobre un sólido
  • Preguntas de control de lectura

2 Tenga en cuenta que hay incluso más estados de la materia que normalmente no se mencionan. De acuerdo con lo anterior, la diferencia f(x,y,z)dΓ será una diferencia de segundo orden que representa la fuerza ejercida sobre la superficie o diferencia de área dΓ, donde dΓ ⊂ ∂Ω; En este caso, hemos denotado por ¯X, ¯Y y ¯Z las componentes de la fuerza superficial en la dirección de los ejes de coordenadas x, y y z, respectivamente.

Figura 1.2. Diferenciales de línea, de área (superficie) y de volumen. Estos son respectivamente diferenciales de primer, segundo y tercer orden.
Figura 1.2. Diferenciales de línea, de área (superficie) y de volumen. Estos son respectivamente diferenciales de primer, segundo y tercer orden.

Estudio de los esfuerzos en un punto

Tensiones o esfuerzos

El vector ∆f ∶= [fx, fy, fz]T representa la resultante de la fuerza interna que actúa sobre el área ∆A, que contiene el punto Py se. El principio de tensión de Cauchy establece que a medida que la superficie se vuelve muy pequeña y tiende al punto P, la tensión o deformación (denotada por q) en el punto (x,y,z) asociada con el plano normal. 2.1) La ecuación (2.1) nos dice que el vector tensión q depende de la ubicación en el cuerpo y de la orientación en el plano en el que actúa.

Figura 2.1. Fuerzas superficiales f 1 , f 2 , . . . , f n , másicas b e internas que actúan sobre un sólido
Figura 2.1. Fuerzas superficiales f 1 , f 2 , . . . , f n , másicas b e internas que actúan sobre un sólido

Estudio de las tensiones en un punto bidimensional

  • Análisis de un elemento infinitesimal rectangular
  • Análisis de un elemento infinitesimal triangular

En la fórmula anterior, la tensión τx y actúa sobre una superficie con área tdy, mientras que τyx actúa sobre una superficie con área tdx. En el último caso, la superficie AB puede interpretarse como análoga a la superficie rectangular ∆ que se muestra en la Figura 2.1; Desde este punto de vista, el vector q puede entenderse como un vector de fuerzas internas.

Figura 2.3. Análisis de esfuerzos en un elemento triangular de espesor t (no mostrado) localizado sobre el plano x y
Figura 2.3. Análisis de esfuerzos en un elemento triangular de espesor t (no mostrado) localizado sobre el plano x y

Estudio de las tensiones en un punto tridimensional

  • Análisis de un paralelepípedo infinitesimal
  • Análisis de un elemento tetraédrico infinitesimal

Como nota final, vale la pena señalar que las tres caras del cubo que se muestran en la figura 2.4 se llaman caras positivas porque están en el lado positivo de los ejes x, y y z; Por otro lado, esta derivación desprecia la variación de las tensiones en las caras del tetraedro y supone que están distribuidas uniformemente entre las caras.

Figura 2.4. Componentes de esfuerzos en 3D. El gráfico muestra el sentido positivo de los esfuerzos
Figura 2.4. Componentes de esfuerzos en 3D. El gráfico muestra el sentido positivo de los esfuerzos

Notación indicial

Nuevamente, la notación σi j puede referirse a un elemento de la matriz de tensiones σ o simbolizar la propia matriz σ; Todo depende del contexto. Cabe señalar que el delta de Kronecker es la notación indexada de la matriz identidad.

Cambio de base

Desde este punto de vista, la ecuación (2.11) convierte un punto específico en el sistema de coordenadas global (sistema de coordenadas "incómodo") a sus respectivas coordenadas en el sistema cartesiano en el que deseamos operar. Consideraremos el cambio fundamental que ocurre cuando los ejes eˆ1 y eˆ2 giran un ángulo θ en el plano cartesiano bidimensional.

Figura 2.7. Dos bases ortonormales especificadas por los vectores e ˆ 1 , e ˆ 2 , e ˆ 3 y e ˆ ′ 1 , e ˆ ′ 2 y e ˆ ′ 3
Figura 2.7. Dos bases ortonormales especificadas por los vectores e ˆ 1 , e ˆ 2 , e ˆ 3 y e ˆ ′ 1 , e ˆ ′ 2 y e ˆ ′ 3

Matriz de esfuerzos expresada en otro sistema de coordenadascoordenadas

  • Particularización de la matriz de tensiones al caso bidimensional

Las ecuaciones (2.16) y (2.19) constituyen las fórmulas para la transformación de la matriz de tensiones entre los sistemas de coordenadas {eˆ1, eˆ2, eˆ3} y {eˆ′1, eˆ′2, eˆ′3}. La matriz de tensiones sigmaP se calcula en el sistema de coordenadas */. 16 /* indicado por los vectores definidos en la matriz T */. 19.

Figura 2.9. Problema de Flamant: plano de espesor t sometido a una carga lineal. La carga P mostrada se expresa en unidades de fuerza sobre unidad de longitud, ya que es una carga longitudinal.
Figura 2.9. Problema de Flamant: plano de espesor t sometido a una carga lineal. La carga P mostrada se expresa en unidades de fuerza sobre unidad de longitud, ya que es una carga longitudinal.

Esfuerzos normales y tangenciales sobre un plano

Aquí AB debe considerarse como parte del área rectangular ∆ que se muestra en la Figura 2.1. Se pregunta al lector por qué se debe colocar el valor absoluto en la ecuación anterior.

Figura 2.10. El esfuerzo q se puede descomponer en dos vectores ortogonales, un esfuerzo normal σ n que es colineal con el vector nˆ y un esfuerzo cortante σ s que yace en el plano
Figura 2.10. El esfuerzo q se puede descomponer en dos vectores ortogonales, un esfuerzo normal σ n que es colineal con el vector nˆ y un esfuerzo cortante σ s que yace en el plano

Esfuerzos y direcciones principales

  • Tensiones y direcciones principales en dos dimensiones
  • Tensiones y direcciones principales en tres dimensiones
  • Método de Newton-Raphson para encontrar las raíces del polinomio característico de la matriz de tensiones utilizandopolinomio característico de la matriz de tensiones utilizando
  • Ortogonalidad de las direcciones principales

Finalmente, observe que la transformación de la matriz de un sistema de coordenadas a otro, dada por la ecuación (2.16), se puede utilizar para verificar que en el sistema e. Cuando se tiene una computadora Matlab, es fácil calcular las raíces del polinomio característico de la matriz de tensiones σ usando el comando raíces, de la siguiente manera.

Figura 2.11. El sistema de esfuerzos aplicados en el sólido mostrado en la figura (a) es equivalente al sistema de esfuerzos aplicados en (b); en otras palabras, los esfuerzos σ x , σ y
Figura 2.11. El sistema de esfuerzos aplicados en el sólido mostrado en la figura (a) es equivalente al sistema de esfuerzos aplicados en (b); en otras palabras, los esfuerzos σ x , σ y

Círculo de Mohr en problemas bi- y tridimensionales

  • Círculo de Mohr en dos dimensiones
  • Gráfica e interpretación del círculo de Mohr en dos dimensiones
  • La función atan2
  • Círculo de Mohr en tres dimensiones

Hemos encontrado que, ya sea calculando los valores y vectores propios de la matriz de tensiones bidimensional (2.36) o simplemente aplicando las ecuaciones (2.61) y (2.62) podemos calcular las direcciones y magnitudes de las tensiones principales. Ejemplo 2.8 Cálculo de tensiones σz asociadas a un esfuerzo cortante máximo. Dado un estado sólido con un estado de tensión σx = σy = τx y = 1 Pa, τxz = τyz = 0 Pa, determine el valor de σz para el cual el esfuerzo cortante máximo τm´ax en los puntos es 3 Pa.

Figura 2.17. Círculo de Mohr en dos dimensiones. El círculo de Mohr es el conjunto de todos los puntos ( σ n , τ n ) que aparecen al variar el parámetro θ en el intervalo [ 0 ○ , 180 ○ )
Figura 2.17. Círculo de Mohr en dos dimensiones. El círculo de Mohr es el conjunto de todos los puntos ( σ n , τ n ) que aparecen al variar el parámetro θ en el intervalo [ 0 ○ , 180 ○ )

La analogía del bombillo y la caja y el concepto de tensortensor

Ahora, en la analogía anterior, el bulbo dentro de la caja representa un tensor de segundo orden. Nuevamente, el tensor de voltaje (bombilla) simplemente se ilumina y la pendiente de la caja en la que se encuentra es irrelevante.

Ejercicios propuestos

Un sólido está sometido a un campo de tensiones σy = 1 Pa, el resto de la tensión normal y cortante es cero. ¿Cuáles son la tensión normal y la tensión cortante que actúan sobre un plano inclinado con vector normal [2, 3, 4]T y sometido a las tensiones σx?

Preguntas de control de lectura

¿Cuál es la relación entre el ángulo obtenido mediante las ecuaciones (2.61) y los cosenos directores de los vectores propios de la matriz de tensiones en el caso bidimensional? Por qué en la Sección 2.9.4 trabajamos en el espacio que se basa en los vectores propios nˆ1,nˆ2,nˆ3 en lugar de usar el formado por los vectores ortogonales,ˆ.

Estudio de los desplazamientos y las pequeñas deformaciones en un punto

Campo vectorial de desplazamientos de un sólido

Si un punto ubicado en la posición (x,y) se mueve una cantidad su(x,y) y v(x,y) en la dirección de los ejes x e y respectivamente, la función que cambia la posición del punto es la llamado desplazamiento (desplacementen inglés) y viene dado por el vector42. En el caso tridimensional aparece una componente w que indica el desplazamiento en la dirección del eje, de modo que.

Componentes de la deformación en un punto

  • Deformación lineal (o deformación longitudinal)
  • Deformación angular

Aquí, la línea continua muestra la forma antes de la deformación; la línea discontinua muestra la forma deformada. De las ecuaciones (3.12) y (3.14) y de la discusión en la sección anterior, se puede deducir que en notación indexada.

Figura 3.3. Componentes de deformación. Aquí el diferencial de sólido que ocupa la posición ABCD se deforma hasta alcanzar la posición A ′ B ′ C ′ D ′
Figura 3.3. Componentes de deformación. Aquí el diferencial de sólido que ocupa la posición ABCD se deforma hasta alcanzar la posición A ′ B ′ C ′ D ′

Las galgas extensométricas

Su estabilidad a lo largo del tiempo puede ser cuestionable ya que el envejecimiento del adhesivo puede afectar su rendimiento. Para medir las deformaciones en todas las direcciones, pero esta vez en el caso tridimensional, se necesitarían al menos seis metros en al menos tres planos diferentes.

Especificación de la deformación en otras direcciones

Dado que la dirección de los vectores eˆ′1,eˆ′2eˆ′3 es arbitraria, siempre que sean mutuamente ortogonales, de la ecuación (3.17) se deduce que la deformación longitudinal en una dirección del vector unitario nˆ está dada por 52 Aquí, la primera y segunda columnas de la matriz de transformación T representan las coordenadas de los vectores unitarios ˆ′1 y ˆ′2, que definen respectivamente los ejes x′yy′, como se ilustra en la Figura 2.8.

Figura 3.7. Componentes de deformación. Aquí los ejes de coordenadas x, y, x ′ y y ′ siguen, respectivamente, la dirección y el sentido de los vectores i ˆ ≡ e ˆ 1 y j ˆ ≡ e ˆ 2
Figura 3.7. Componentes de deformación. Aquí los ejes de coordenadas x, y, x ′ y y ′ siguen, respectivamente, la dirección y el sentido de los vectores i ˆ ≡ e ˆ 1 y j ˆ ≡ e ˆ 2

Rotación

Como ejercicio, el lector debería demostrar que en el caso bidimensional y con referencia a la Figura 3.3, ωz= γ1−2γ2. Ambos lados de esta última igualdad se muestran en la Figura 3.10: los vectores de la izquierda se muestran en verde, mientras que los de la derecha se muestran en rojo.

Figura 3.11. Rotación rígida alrededor del punto A. Observe que en el punto A se ha graficado el vector ω = [ 0, 0, θ ] T con el símbolo ⊙ ; dicho vector sale del papel y apunta hacia el lector
Figura 3.11. Rotación rígida alrededor del punto A. Observe que en el punto A se ha graficado el vector ω = [ 0, 0, θ ] T con el símbolo ⊙ ; dicho vector sale del papel y apunta hacia el lector

Deformaciones principales

  • Expresión de las deformaciones principales en el caso bidimensional utilizando maximización y minimización debidimensional utilizando maximización y minimización de
  • Expresión de las deformaciones principales utilizando valores y vectores propiosvectores propios

En ambos casos, estos sistemas de ecuaciones se pueden expresar como un problema de valores propios y vectores propios. A continuación se puede dar una interpretación alternativa del problema anterior de valores y vectores propios: como se estudió en la Sección 3.5 y con referencia a la Figura 3.10, el vector ÐÐC2C→′ ∶=εÐ→AC describe la dirección de deformación del elemento.

Figura 3.13. Cálculo de sin 2θ 1 , cos 2θ 1 , sin 2θ 2 y cos 2θ 2 . Estas relaciones trigonométricas se obtuvieron teniendo en cuenta que tan 2θ 1 y tan 2θ 2 están dadas por la ecuación (3.34).
Figura 3.13. Cálculo de sin 2θ 1 , cos 2θ 1 , sin 2θ 2 y cos 2θ 2 . Estas relaciones trigonométricas se obtuvieron teniendo en cuenta que tan 2θ 1 y tan 2θ 2 están dadas por la ecuación (3.34).

Ejercicios propuestos

Derive una expresión para estimar las deformaciones εx, εy y γxy y a partir de mediciones realizadas con la galga extensométrica que se muestra en la Figura 3.15. A su vez, encuentre los planos donde ocurren las deformaciones angulares máximas: ¿de qué tamaño son?

Figura 3.15. Roseta referida en el ejercicio propuesto 3. de la sección 3.7.
Figura 3.15. Roseta referida en el ejercicio propuesto 3. de la sección 3.7.

Preguntas de control de lectura

Por qué, cuando ocurre deformación, siempre está asociada con el desplazamiento, pero por otro lado, cuando ocurre el desplazamiento, no necesariamente ocurre la deformación. Explique en detalle el papel que juega la rotación del campo vectorial de desplazamiento al describir la rotación de un punto en un sólido cuando se deforma.

Relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones

Materiales frágiles y materiales dúctiles

Antes de comenzar la discusión, es importante distinguir entre materiales frágiles y materiales dúctiles. Por otro lado, un material es dúctil cuando se deforma notablemente una vez alcanzado el llamado límite elástico.

Comportamiento elástico y plástico de los materiales dúctilesdúctiles

En particular, la curva FGF comienza a ceder cuando se alcanza nuevamente la curva tensión-deformación original en el punto F. Durante este proceso, el material cambia su estructura atómica, provocando un aumento en el límite elástico del material, aunque pierde su ductilidad al volverse más frágil.

Figura 4.2. Ejemplo típico de la curva esfuerzo-deformación para un esfuerzo uniaxial de tracción en un material dúctil con comportamiento
Figura 4.2. Ejemplo típico de la curva esfuerzo-deformación para un esfuerzo uniaxial de tracción en un material dúctil con comportamiento

La ley de Hooke y los módulos de Young y Poisson

  • Deformación de un sólido sometido a esfuerzos normales en las direcciones x, y y zdireccionesx,yyz
  • Deformación de un sólido sometido a esfuerzos tangenciales
  • Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos
  • Ley de Hooke generalizada para materiales anisótropos
  • Ley de Hooke generalizada para materiales ortótropos

Los módulos de Young y los coeficientes de Poisson para diferentes materiales se muestran en la Tabla 4.1. Considere un cuadrado cuyo lado tiene longitud L, hecho de un material lineal, elástico e isotrópico, y que está sometido a los esfuerzos σx =−τ,σy =τ,τx y =0 yσz =0, como se ilustra en la Figura 4.7a.

Figura 4.4. Deformación de un diferencial de sólido sometido a la contracción lateral que se produce por el efecto de Poisson
Figura 4.4. Deformación de un diferencial de sólido sometido a la contracción lateral que se produce por el efecto de Poisson

Relación entre las direcciones principales asociadas a los esfuerzos y a las deformaciones para materialesa los esfuerzos y a las deformaciones para materiales

Relación entre las direcciones principales asociadas con las tensiones y deformaciones de los materiales y las tensiones y deformaciones de los materiales.

Cambios de volumen y la dilatación cúbica

Suponga que la densidad del agua de mar es 1 g/cm3 y desprecie la variación lateral de la presión del agua en las caras del cubo. Comprender el cambio de volumen de un sólido usando el teorema de divergencia usando el teorema de divergencia.

Figura 4.12. En (a) y (b) podemos observar, respectivamente, un cubo antes y después de la deformación con sus respectivos volúmenes; el volumen del cubo sin deformar y ya
Figura 4.12. En (a) y (b) podemos observar, respectivamente, un cubo antes y después de la deformación con sus respectivos volúmenes; el volumen del cubo sin deformar y ya

Entendiendo el cambio de volumen de un sólido mediante el teorema de la divergenciamediante el teorema de la divergencia

De hecho, se puede observar un flujo de material a través del contorno imaginario del sólido antes de la deformación. El teorema de la divergencia nos permite calcular el cambio de volumen de un material, ya sea como la suma de los pequeños cambios de volumen de cada uno de los diferenciales dV que lo componen, o mediante el flujo del material por el contorno del material. .

Figura 4.13. Cuando el sólido cambia de volumen, su forma también varía. De hecho se puede observar un flujo de material a través del contorno imaginario del sólido antes de la deformación
Figura 4.13. Cuando el sólido cambia de volumen, su forma también varía. De hecho se puede observar un flujo de material a través del contorno imaginario del sólido antes de la deformación

Módulo de expansión volumétrica o módulo de compresibilidad

Nótese que a medida que el índice de Poisson tiende a 0,5, el módulo de compresibilidad tiende a infinito, es decir, el material no se expande volumétricamente y, en consecuencia, cuanto más tiende el índice de Poisson a 0,5, más incompresible es el sólido. . Finalmente, el módulo de compresibilidad es una propiedad del material que determina su incompresibilidad y es una medida de la capacidad de una sustancia para resistir cambios de volumen cuando se somete a tensiones normales, de igual magnitud, en todas las direcciones.

Particularización de tres a dos dimensiones

  • Tensión plana
  • Deformación plana
  • Relación entre los esfuerzos principales obtenidos en el análisis bidimensional y tridimensional

Tenga en cuenta que en el caso de tensión plana, εz no es cero, aunque σz sí lo es. De acuerdo con lo anterior, en el caso de tensiones planas, la matriz de tensiones será

Figura 4.15. Elemento en estado de tensión plana.
Figura 4.15. Elemento en estado de tensión plana.

Interpretación de los gráficos de colores de esfuerzos y deformacionesesfuerzos y deformaciones

  • Interpretación de los gráficos de esfuerzos σ x , σ y y τ x y
  • Interpretación de los gráficos de las deformaciones ε x , ε y , ε z
  • Interpretación de los gráficos de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante máximoesfuerzo cortante máximo
  • Relación de los diagramas de colores de una viga con sus diagramas de fuerza cortante y momento flectordiagramas de fuerza cortante y momento flector
  • Disposición de los flejes si la viga estuviera hecha con concreto reforzadoreforzado
  • Código de Matlab empleado para generar las figuras

Las fuerzas principales se calcularon utilizando el método explicado en el Apartado 2.9.1 para cada uno de los puntos interiores de la viga. Por esta razón, los métodos de diseño a flexión utilizan el diagrama de cortante de viga.

Figura 4.20. Viga referida en la sección 4.9.
Figura 4.20. Viga referida en la sección 4.9.

Modificación de la ley de Hooke para tener en

Deformaciones térmicas en el caso de tensión plana

Deformaciones térmicas en el caso de deformación plana

Figure

Figura 2.7. Dos bases ortonormales especificadas por los vectores e ˆ 1 , e ˆ 2 , e ˆ 3 y e ˆ ′ 1 , e ˆ ′ 2 y e ˆ ′ 3
Figura 2.10. El esfuerzo q se puede descomponer en dos vectores ortogonales, un esfuerzo normal σ n que es colineal con el vector nˆ y un esfuerzo cortante σ s que yace en el plano
Figura 2.12. Sólido analizado en el ejemplo 2.3. Los esfuerzos principales correspondientes a σ x = 3 Pa, σ y = 2 Pa y τ x y = −4 Pa son (σ 1 ) x y = 6.53
Figura 2.13. Ubicación espacial de los esfuerzos y direcciones principales en tres dimensiones.
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Referencias

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