ASIGNATURA / COURSE TITLE
Geometría diferencial / Differential Geometry
1.1. Código / Course number
30070
1.2. Materia / Content area
Geometría diferencial / Differential Geometry
1.3. Tipo / Course type
Formación optativa / Elective subject
1.4. Nivel / Course level
Máster M2 / Master M2
1.5. Curso / Year
2012/2013
1.6. Semestre / Semester
1º / 1st (Fall semester)
1.7. Número de créditos / Credit allotment
8 ECTS credits
1.8. Requisitos previos / Prerequisites
Los estudiantes deberían haber cursado el curso Geometría III del grado en Matemáticas de la UAM u otro de contenido similar. El curso Geometría IV del grado en Matemáticas de la UAM es recomendable, pero no es estrictamente necesario.
Students should have taken the UAM graduate course Geometry III, or one
1.9. Requisitos mínimos de asistencia a las sesiones presenciales / Minimum attendance requirement
La asistencia es muy recomendable / It is strongly reccommended that students attend class regularly.
1.10. Datos del equipo docente / Faculty data
Profesor / Professor: Gabino González Diez Department of Mathematics
Facultad de Ciencias
Oficina / Office - Módulo 511 - 17
Teléfono / Telephone: +34 91 497 4987 Email: [email protected]
Página web / Homepage: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gabino/
Horas de tutorías / Office hours: By arrangement.
1.11. Objetivos del curso / Course objectives
Al final del curso, el estudiante debería:
• comprender los objetos básicos y las técnicas de geometría diferencial.
• sentirse cómodo con conceptos como foliación, grupo de Lie, variedad Riemanniana, geodésica...
• entender el significado de estos conceptos en ejemplos concretos como esferas, toros, variedades producto y cocientes, espacios proyectivos reales y complejos, grupos de Lie clásicos, etcetera.
At the end of the course, the student should:
• have mastered the basic objects and techniques of differential geometry.
• feel confortable with concepts such as foliation, Lie group, Riemannian manifold, geodesic, etc.
• manage to understand the meaning of these concepts in concrete examples such us spheres, tori, product and quotient manifolds, complex and real projective spaces, classical Lie groups, etc.
1.12. Contenidos del programa / Course contents
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN.
• Resumen de geometría diferential elemental.
• Campos de vectores y formas diferenciales.
• Integración en variedades. Teorema de Stokes.
• Rápida introducción a la cohomología de De Rham.
CAPÍTULO II: TEOREMA DE FROBENIUS
• Flujo de un campo de vectores.
• Derivada de Lie y corchete de Lie.
• Distribuciones, integrabilidad y teorema de Frobenius. Foliaciones.
CAPÍTULO III: GRUPOS DE LIE
• Grupos de Lie y sus álgebras de Lie. Ejemplos.
• Grupos de Lie simplemente conexos.
• Aplicación exponencial.
• La representación adjunta.
CAPÍTULO IV: GEOMETRÍA RIEMANNIANA.
• Variedades Riemannianas. Ejemplos.
• La conexión de Levi-Civita. Derivada covariante. Campos paralelos.
• Geodésicas. La aplicación exponencial.
• El tensor de curvatura. Curvatura seccional. Ejemplos.
• Fórmulas de variación y el teorema de Synge.
CHAPTER I: INTRODUCTION .
• Summary of basic differential geometry.
• Vectors fields and differential forms.
• Integration of manifolds. Stokes’ theorem.
• A quick introduction to De Rham cohomology.
CHAPTER II: FROBENIUS THEOREM
• Flows of vector fields.
• Lie derivative and Lie bracket.
• Distributions, integrability and Frobenius’ theorem. Foliations.
CHAPTER III: LIE GROUPS
• Exponential map.
• The Adjoint representation
CHAPTER IV: RIEMANNIAN GEOMETRY.
• Riemannian manifolds. Examples.
• The Levi-Civita connection. Covariant derivative. Parallel fields.
• Geodesics. The exponential map.
• The curvature tensor. Sectional curvature. Examples.
• Variation formulae and the Synge theorem.
1.13. Referencias de consulta / Course bibliography
Berger, Marcel. A panoramic view of Riemannian geometry. Springer. 2003.
Boothby, William Munger. An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. 1975.
Do Carmo, Manfredo Perdigão. Riemannian geometry. Birkhäuser. 1992.
Chamizo, Fernando. 2007. «Geometría IV (tensores, formas, curvatura, relatividad y todo eso)». Available at
http://www.uam.es/fernando.chamizo/libreria/fich/apgeomiv08.pdf.
Gallot, S, Hulin D, Lafontaine J. Riemannian Geometry. Springer Universitext. 1990.
Lee, Jhon M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer GTM. Vol.218. 2003.
Poor, W.: Differential geometric structures. McGraw-Hill, 1981.
Spivak, Michael.Comprehensive introduction to differential geometry. Publish or Perish, inc. 1979.
Walschap, Gerard. Metric structures in differential geometry. Springer. GTM. Vol. 224.
2004.
Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Springer.
GTM. Vol. 94. 1983
2.
Métodos docentes / Teaching methodology
Clases en grupo (dos veces por semana)
Conjuntos de problemas, a entregar en una fecha de entrega predeterminada.
Presentación por los estudiantes de las soluciones de los ejercicios propuestos.
Group lectures (twice a week)
Problem set assignments: Regularly given, with a predetermined deadline for their completion.
Presentation by the students of the solutions given to the proposed exercises and essays.
3.
Tiempo de trabajo del estudiante / Student workload
Nº de horas Porcentaje Contact
hours
Class lectures 40 h (20%)
70 h (35%) Problem sessions
Programmed office hours 8 h (9%)
Seminars and essays 10 h (5%)
Final exam 2h (1%)
Non contact hours
Problems preparation 78h (39%)
130h (65%)
Weekyl study 46h (23%)
Exam preparation 6h (3%)
Total workload: 25 horas x 8 ECTS 200h
4.
Métodos de evaluación y porcentaje en la calificación final / Evaluation procedures and weight of components in the final grade
1) Ejercicios para entregar: 50%.
2) Examen final o actividades complementarias: 30%.
3) Ejercicios en-clase, participación: 20%
Las actividades extra pueden incluir seminarios impartidos por los estudiantes, escribir ensayos, ejercicios de mayor dificultad, etcetera. Estas actividades podrían sustituir al examen final.
1) Home assignments: 50%.
2) Final exam or extra activities: 30%.
3) In-class exercises, participation: 20%
The extra activities can encompass student seminars, essays, higher difficulty exercises, etc. They can substitute to the final exam.
EVALUACIÓN EXTRAORDINARIA / Make up exam:
Examen ante tribunal de Máster/ Examination by a committee.
5.
Cronograma* / Course calendar
Seman a Week
Contenido Contents
Horas presenciales
Contact hours Horas no presenciales Independent study
time 1 Basic differential
geoemtry. 4.5 5
2 Vectors fields and
differential forms 4.5 9
3 De Rham
cohomology 4.5 9
4 Flows of vector fields 4.5 9
5 Lie derivative and Lie
bracket. 4.5 9
6 Frobenius theorem. 4.5 9
7 Lie groups and Lie
algebras 4.5 9
8 Exponential map 4.5 9
Seman a Week
Contenido Contents
Horas presenciales
Contact hours Horas no presenciales Independent study
time 9 Riemannian
manifolds 4.5 9
10 Levi-Civita
connection 4.5 9
11 Geodesics 4.5 9
12 The curvature tensor. 4.5 9
13 Variation formulae and the Synge
theorem. 4.5 9
14-16 Examination period 11.5 17
*Please note that this schedule is only tentative