El problema de Galois inverso aparece naturalmente en la teoría de Galois. Usaremos este resultado en particular en el capítulo sobre cómo resolver el problema de Galois inverso para grupos abelianos finitos.
Existencia de una extensión de Galois con grupo de Galois un grupo abeliano finito
Si ε es una tercera raíz primitiva de la unidad, la extensión Q(ε)/Q es Galois, y su grupo de automorfismos es precisamente G. Hemos usado la construcción de prueba para afirmar que el grupo de Galois de K es el que estamos buscando.
Cálculo de un polinomio con grupo de Galois un gru- po abeliano finito
El lector interesado en comprobar que esta afirmación es cierta puede consultar el apéndice B, que incluye un programa de verificación cuyo objeto es calcular el grupo de Galois de un polinomio sabiendo que dicho grupo es abeliano finito. Finalmente, también se incluye en el Apéndice E una tabla en la que se resuelve el problema inverso de Galois para todos los grupos abelianos finitos de orden menor o igual a 15.
Existencia de un polinomio con grupo de Galois S n
En este capítulo intentaremos dar respuesta al problema de Galois inverso al trabajar con grupos simétricos. Antes de enunciar el resultado principal de la sección, notamos que el polinomio x3−2 tiene el grupo S3 como grupo de Galois. Dejamos este caso de lado porque la prueba de van der Waerden funciona a partir de d= 4. Resolviendo el problema de Galois inverso para grupos simétricos).
Construimos g1 un polinomio irreducible de grado n−1 sobre F3 y g2 un polinomio lineal sobre F3.f2 es igual a g1g2. Tenga en cuenta que el coeficiente asociado con f1 es −15 y no 15, esto se debe a que 3 no cambia el polinomio al reducir el módulo 30, y tomando −15 en lugar de 15 asegura que f es un polinomio mónico. Una observación interesante es que en este caso, a diferencia de los grupos abelianos finitos, el polinomio con grupo de Galois Snno es el polinomio mínimo de la extensión que tiene ese grupo de Galois.
Y en nuestro caso, el hecho de que obtuviéramos un polinomio que tiene un grupo de Galois Sn en lugar de un polinomio que genera una expansión con un grupo de GaloisSn es una suerte, ya que estamos trabajando con polinomios de grado en lugar de polinomios de grado.
Cálculo de un polinomio con grupo de Galois S n
Este programa, a pesar de funcionar para cualquier grupo simétrico, puede resultar algo lento cuando consideramos un Sn grande, ya que el cálculo de polinomios irreducibles sobre Fp requiere el cálculo de un campo de descomposición y por tanto puede llevar un tiempo. En el Apéndice D, ofreceremos un programa alternativo que resuelve el problema de una manera más eficiente, pero para desarrollarlo necesitamos los conceptos teóricos del siguiente capítulo. Como en el caso de los grupos abelianos finitos, el lector puede encontrar la solución del problema inverso de Galois para los primeros grupos simétricos en el Apéndice F.
En este capítulo abordaremos el problema de la construcción de polinomios en Q[x] cuyo grupo de Galois es igual a An. Una diferencia notable con los capítulos anteriores es que la construcción no será directamente sobre Q, sino sobre Q(t), paratuna indeterminada. Así, construiremos una familia de polinomios en Q(t)[x] con grupo Galois An sobre Q(t), y gracias a un magnífico teorema de Hilbert, podremos concluir que existen polinomios en Q[x] con grupo Galois An.
Para ello necesitamos construir, según la misma idea, una familia de polinomios en Q(t)[x] con un grupo de Galois Sn, lo que nos dará una nueva forma de resolver el problema inverso de Galois sobre el grupo simétrico.
Preliminares
Un punto importante antes de comenzar es que esto no excluye la construcción del Teorema 3.1.4, ya que era una construcción mucho más simple a nivel teórico y, además, los polinomios obtenidos a través del Teorema 3.1.4 no son posibles de construir con nuestro nuevo método. De hecho, si if es separable, tenemos que slice(f)6= 0 y de hecho es un polinomio simétrico en las raíces i def, entonces debe ser fijado por el grupo de Galois de f, lo que implica que se encuentra en K. Sabemos que podemos considerar el grupo de Galois de f(t) como un subgrupo de Sn ya que sus elementos permutan las n raíces de f(t).
Tenemos que este subgrupo es un subgrupo de An si y solo si el discriminante de f(t) es un cuadrado perfecto en Q. De esto concluimos que el grupo de Galois def(t) es un subgrupo de Ansí y solo si rige δ, entonces δ∈Q. La misma demostración vale para cualquier extensión de Q y en la práctica, dado que nos interesa trabajar sobre Q y extensiones de Q, podemos aplicar el Teorema 4.1.6 a cualquier polinomio irreducible, ya que gracias al Teorema 1.2.7 todos estos polinomios son divisibles.
Existencia de polinomios con grupo de Galois AnA Como mencionamos al principio del capítulo, vamos a comenzar construyendo uno.
Existencia de polinomios con grupo de Galois A n Como mencionamos al principio del capítulo, vamos a comenzar construyendo una
De esto deducimos que el grupo de Galois deg(y, t) sobre Q(t) posee una transpuesta (ver [5, Sección 3.3]) y por lo tanto también tiene Gal(L/Q(s)). La solución será similar a la del Teorema 4.2.1, es decir, construiremos una familia de polinomios g(y, u)∈Q(u)[y] cuyo grupo de Galois será An y nuevamente del Teorema 4.1.3 tendremos infinitas especializaciones sobre Q que conservan ese grupo de Galois. En ambos casos es claro que Q(t) =Q(u2) y por tanto si mostramos que Q(u)⊂L tiene sentido considerar el grupo de Galois Gal(L/Q(u)) como un grupo de Galois de g sobre Q(u), ya que en este caso la extensión sería Galois porque L/Q(u2) es una extensión finita de Galois y el campo Q(u) es una extensión intermedia.
Una observación después de la demostración es que para el infinito racional se tiene que g(y, t) =yn−nty+ (n−1)t ∈Q[y] tiene como grupo de GaloisAn. La familia g(y, t) descrita en (4.1) tiene así la propiedad de que para infinitos est racionales tiene un grupo de Galois de Q igual a Sn y para otros infinitos t tiene un grupo An. Sin embargo, G(u) no necesariamente tiene que ser irreducible en Q(u), lo cual no es un problema, ya que podemos garantizar que L a Q(u) es la extensión, ya que podemos garantizar que L/ como L tiene/ tiene. u2) es Galois finito, y por lo tanto para cualquier campo intermedio K tenemos que L/K es Galois.
Terminamos con un ejemplo en el que mostramos un polinomio en Q[x] con un grupo de Galois igual a A9.
Cálculo de polinomios con grupo de Galois A n
Pero para valores t = 0.1, obtenemos que el discriminante es 0 y por lo tanto el polinomio tiene al menos una raíz múltiple, es decir, no es un polinomio separable y el campo de descomposición no es una extensión de Galois. Sea L el campo de descomposición de g(y,ab), que es una extensión de Galois porque es un campo de descomposición sobre Q. Así, gracias al Teorema 4.3.3, podemos obtener nuevos polinomios a partir de cualquier polinomio con nuestro grupo de Galois.
Es decir, no tenemos que pasar por la construcción de los propios grupos de Galois o de los cuerpos de descomposición. Como en capítulos anteriores, el lector puede encontrar una tabla de polinomios cuyo grupo de Galois es An en los primeros casos en el Apéndice F. En el caso de grupos abelianos finitos, tenemos que trabajar con extensiones muy grandes de los racionales y saber identificar subgrupos y subextensiones a través de la teoría de Galois.
Por otro lado, los grupos de sustitución siempre aparecen como el grupo de Galois de una familia fija de polinomios, pero hemos visto que no todos los miembros de la familia son válidos.
APÉNDICE A
Este tampoco puede ser el segundo caso, ya que eso significaría que (xd1)−1 =xd2, lo que por un lado implica que xd2.
APÉNDICE B
Primero buscamos el grupo Gal(Q()/Q), donde es una raíz p-ésima primitiva de la unidad. Partimos de suponer que H es el grupo total y lo variamos entre los diferentes subgrupos de Galp, aprovechando que sabemos que solo existe un subgrupo cuyo orden es el que buscamos, el m, ahora definimos un programa de verificación, es decir, un programa tal que, dado un polinomio obtenido con nuestros programas, devuelva el grupo abeliano final que tiene como grupo de Galois.
La necesidad de definir este programa que buscamos es que Sage devuelve el grupo como un objeto que comprueba las propiedades del grupo y podemos procesarlo como tal, pero con el inconveniente de que solo indica que ese es el grupo de Galois que buscamos, de forma que dificulta la identificación del grupo. Vamos a utilizar esta función de Sage, que devuelve el grupo de Galois de un polinomio, y nuestro conocimiento de la teoría de grupos, para escribir un programa que tome el grupo Z/n1Z×Z/n2Z× ×Z/nlZ como entrada1 de la lista [n1, n2,. Finalizamos el apéndice con una explicación del programa definido en el apartado 2.2 que resuelve el problema inverso de Galois para grupos abelianos finitos.
Los grupos cíclicos del mismo orden necesitan polinomios distintos, por lo que debemos variar el segundo parámetro de nuestro programa para grupos cíclicos tantas veces como aparezca el grupo en listaL.
APÉNDICE C
En particular, usaremos que un n-ciclo elevado a un múltiplo de n es una identidad y que un p-ciclo elevado a un número que no sea un múltiplo de p se convierte nuevamente en unp-ciclo. De hecho, no hay otra forma de obtener un ciclo p con potencias de nuestra permutación. De lo contrario, a la potencia descrita en el punto anterior, obtendríamos un producto de p−ciclos, que no siempre es un p−ciclo.
Así que el programa que nos interesa recibe como entrada un número primo p y la lista obtenida en Dedekind, comprueba si cumple los tres requisitos y devuelve True si es así y False en caso contrario. En otras palabras, el programa distingue si se puede obtener un ciclo p a partir de una permutación o no. Estas variables simbolizan la información que hemos obtenido en las reducciones que hemos realizado hasta ahora, especialmente si ya hemos demostrado en una reducción que el grupo de Galois del polinomio tiene un ciclo 3 o un ciclo p para p > n2.
En este caso, el programa no acaba de devolver el polinomio y por tanto entra de nuevo en el bucle.
APÉNDICE D
Tenga en cuenta que aunque este programa es más eficiente que el propuesto en la Sección 3.2, siempre devuelve polinomios de la forma xn−ntx+ (n−1)t.
APÉNDICE E
APÉNDICE F
7] The Sage Developers, SageMath, The Sage Mathematics Software System Weergawe 8.4. Disponible enhttps://www.sagemath.org.