La hipótesis de homocedasticidad, que se expresa como la varianza del error es consistente con Var(u|x1,x2, ,xk) =σ2, no afecta si el estimador MCO es insesgado o consistente. Sin embargo, los estimadores de las varianzas, Var( ˆβj ), están sesgados sin la hipótesis de homocedasticidad. Dado que las desviaciones estándar del estimador OLS se basan en estas varianzas, no son correctas para construir intervalos de confianza o para probar hipótesis sobre el modelo.
En resumen, las estadísticas que usamos para probar hipótesis bajo las hipótesis clásicas no son válidas si hay heteroscedasticidad. El teorema de Gauss-Markov, que establece que el estimador MCO es el mejor entre el lineal y el insesgado, depende enteramente de la hipótesis de homocedasticidad. Bajo las hipótesis clásicas (excepto homocedasticidad), condicionadas a los valores xi de la muestra.
Respuesta: Una de las razones por las que se utilizan es que, si se cumple la hipótesis de homocedasticidad y los errores son normales, entonces el estadístico t clásico sigue exactamente las distribuciones de Student, para cualquier tamaño de muestra. Algunos de ellos, aunque pueden detectar heteroscedasticidad, no prueban directamente la hipótesis de que la varianza del error no depende de las variables. Dado que suponemos que u tiene esperanza condicional cero, Var(u|x) =E(u2|x), por lo tanto, la hipótesis nula de homocedasticidad es equivalente a.
Bajo la hipótesis nula, a menudo es razonable suponer que el error v es independiente de x1,x2,...,xk. Si el valor p es menor que el nivel de significación elegido, rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad. El valor p asociado es 0,002, lo que indica una fuerte evidencia en contra de la hipótesis nula.
Esto significa que las desviaciones estándar de la estimación anterior no son confiables. La hipótesis de homocedasticidad, Var(u|x1, ..,xk) = σ2, puede ser reemplazada por la hipótesis menos fuerte de que el error cuadrático, u2, no está correlacionado con todas las variables independientes (xj), con sus cuadrados (xj2) , y con todos los productos cruzados (xjxh para j 6=h). Es decir, tenemos solo dos restricciones para probar la hipótesis nula de homocedasticidad, independientemente del número de variables en el modelo original.
Dado que inc siempre es positivo, se garantiza que la varianza de la ecuación sea positiva. Como sabemos que las propiedades de los estimadores MCO son buenas (por ejemplo, es AZUL bajo la hipótesis de Gauss-Markov), entonces podemos estimar el modelo transformado por MCO. Este estimador es diferente del estimador MCO de la ecuación original y se denomina mínimos cuadrados ponderados (WLS), que es un caso especial de los mínimos cuadrados generalizados, estimadores GLS.
Las desviaciones estándar y los estadísticos t y F se obtienen de la regresión MCO de las variables transformadas.
Estimaci´ on de La forma de la heteroscedasticidad: GLS factibles
Usamos esta función exponencial porque los modelos lineales no garantizan que los valores pronosticados sean positivos y las varianzas estimadas deben ser positivas para usar WLS. Si se conocieran los parámetros δj, simplemente aplicaríamos WLS como dijimos antes, pero esto no suele ser así y tendremos que usar los datos para estimar los parámetros y calcular los pesos. En pocas palabras, transformaremos la ecuación en una lineal, que con una pequeña transformación puede ser estimada por MCO.
Dado que el modelo anterior satisface la hipótesis de Gauss-Markov, podemos utilizar MCO para obtener estimadores insesgados de δj. Si pudiéramos usar hi en lugar de ˆhi en el procedimiento WLS, sabemos que nuestros estimadores serían insesgados y, si el modelo de heteroscedasticidad fuera correcto, también serían eficientes. Pero estimar loshi con los mismos datos nos lleva al hecho de que el estimador FGLS no es imparcial, por lo que tampoco puede ser AZUL.
Se debe tener cuidado al calcular las estadísticas F para realizar múltiples pruebas de hipótesis después de la estimación por WLS. Es decir, primero estimamos el modelo sin restringir con MCO y luego, con los mismos pesos, estimamos el modelo restringido. Usaremos los datos SMOKE.RAW para estimar una función de demanda para el consumo diario de cigarrillos.
Dado que la mayoría de las personas no fuman, la variable dependiente, cigs, es cero para la mayoría de las observaciones. A continuación se presenta la ecuación estimada por mínimos cuadrados ordinarios, con las desviaciones estándar clásicas. Donde cigarrillos es la cantidad de cigarrillos fumados diariamente, income es el ingreso anual, spot price es el precio de un paquete de cigarrillos (en centavos), educ es los años de estudio, age es la edad en un año yrestaurant es una variable ficticia que toma el valor uno si la persona vive en un estado donde hay restricciones para fumar en restaurantes.
Como usaremos WLS, no insertamos . desviaciones estándar robustas a la heteroscedasticidad para la estimación OLS. Por cierto, 13 de los 807 valores pronosticados fueron inferiores a cero, lo que representa menos del 2 % de la muestra y no es un problema importante). Una regresión de Breusch-Pagan de los cuadrados de los residuos de MCO en las variables independientes da R2 = 0,040.
Si el tamaño de la muestra es grande, un valor aparentemente pequeño de R2 puede conducir a un fuerte rechazo de la hipótesis de heteroscedasticidad.
