Geometr´ıa II
Segundo de Matem´aticas UAM, curso 2005-2006 Examen parcial (grupo de ma˜nana), 8-3-2006
Nombre y Apellidos . . . .
1.
¿Es posible en una curva birregular del espacio todas las rectas binormales concurran en un punto? Si es posible, ¿qu´e tipo de curva ser´a?2.
Consideremos la curva γ dada porγ(t) = (t, t2, t3).
Halla su curvatura y su torsi´on en el origen (0,0,0). ¿En qu´e punto tiene la curva una torsi´on (en valor absoluto) m´axima?
3.
Considera la curva γ dada por γ(t) =
cos(t),2
3t3/2,sin(t)
, t >0. (a) Dibuja (aproximadamente) su traza.
(b) Empezamos a recorrer la traza partiendo del punto de coordenadas (cos(8),32
3
√2,sin(8)),
y seguimos hasta haber recorrido una longitud de 743 sobre la curva. ¿Cu´ales son las coordenadas del punto del espacio en el que nos encontraremos?
Notas y comentarios:
La recta binormal en γ(s) es aqu´ella que pasa por el punto γ(s) y contiene al vector binormalb(s).
Geometr´ıa II
Segundo de Matem´aticas UAM, curso 2005-2006 Examen parcial (grupo de tarde), 8-3-2006
Nombre y Apellidos . . . .
1.
Seaα:R−→R3 una curva birregular parametrizada por longitud de arco. Denotamos por {tα(s), nα(s), bα(s)} su triedro de Frenet y por κα(s) y τα(s) sus funciones de curvatura y torsi´on. Definimos ahora la curvaγ(s) =
s
0 nα(u)du.
Comprueba que γ est´a parametrizada por longitud de arco y obt´en una expresi´on para la curvaturaκγ(s).
2.
Consideremos la curva γ dada porγ(t) = (et, e2t, t), t∈R.
Halla su curvatura y su torsi´on en el punto (1,1,0). ¿Es cierto que la curva tiene torsi´on negativa en todos sus puntos?
3.
Considera la curva γ dada porγ(t) = (cosh(t),sinh(t), t), t∈R.
(a) Dibuja (aproximadamente) su traza.
(b) Empezamos a recorrer la traza partiendo del punto (1,0,0). Tras recorrer una longitud de√ 2 sobre la curva, ¿cu´ales son las coordenadas del punto del espacio en el que nos encontraremos?
Notas y comentarios:
cosh(x)2−sinh(x)2 = 1;
cosh(x)2+ sinh(x)2 = 2 cosh(x)2−1 = 1 + 2 sinh(x)2.