Demostrar que el l´ımite uniforme de funciones arm´onicas en un dominio es una funci´on arm´onica

Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones (Grado de Matem´aticas, UAM) Curso 2020/21

Hoja de problemas 3: La ecuaci´on de Laplace

1. Demostrar que el l´ımite uniforme de funciones arm´onicas en un dominio es una funci´on arm´onica.

2. Sea F = [0,1]. Dar ejemplos de familias L ⊂C_R(F) tales que (a)L es acotada, pero no equicontinua;

(b)L es equicontinua, pero no es acotada;

(c)L es infinita, acotada y equicontinua.

Demostrar que, de hecho, toda familia finitaL ⊂C_R(F) es acotada y equicontinua.

Determinar, en cu´ales de estos ejemplos,Les relativamente compacta enC_R(F). En cada caso cuando no lo sea, encontrar una sucesi´on de funciones {f_n} ⊂ L, que no tiene subsucesiones convergentes en la norma deC_R(F).

3.^∗ Demostrar el Lema de Arzel`a-Ascoli (o una parte de ella) para el caso de un intervalo compacto en R.

4. Sea F es un conjunto compacto y convexo en R^N tal que F 6= ∅ y F = intF. Sea L es una familia acotada de funciones enC_R(F), que cumple la condici´on

|∇f(x)| ≤K, x∈F, f ∈ L,

dondeK es una constante absoluta. Demostrar que entonces la familiaL es equicontinua.

5. Sea (u_k)^∞_k=1 una sucesi´on creciente de funciones arm´onicas definidas en un abierto conexo Ω tal que (u_k(x))^∞_k=1 converge para alg´un puntox ∈Ω. Demostrar que la sucesi´on converge uniformemente en cada subconjunto cerrado y acotado de Ω y que el l´ımite es una funci´on arm´onica.

Nota: Esto da un m´etodo alternativo para demostrar la existencia de soluciones del problema de Dirichlet para la ecuaci´on de Laplace sin utilizar Arcel`a-Ascoli.

Indicaci´on. Usar la desigualdad de Harnack para demostrar que la sucesi´on es de Cauchy enC_R(K) para cualquier subconjunto compacto K de Ω.

6. Sean R1 > R0 > 0 y N ≥ 2. Consid´erese el dominio Ω = {x ∈ R^N : R0 < |x| < R1}. Calcular la probabilidad de que una part´ıcula Browniana que inicia su movimiento en unx ∈Ω, salga de Ω por la parte interior de su frontera.

7. Se considera la funci´on

u(x, y, z) =x²(x²+ay²+ 1) +y²(y²+bz²+ 1) +z²(z²+cx²+ 1).

Determinar, para qu´e valores de par´ametros a, b, c es esta funci´on subarm´onica en R³.

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8. Sea Ω un dominio enR^N. Demostrar lo siguiente.

(a)Siu₁, u₂, . . . , u_m son continuas en Ω, entonces v:= m´ax(u₁, u₂, . . . , u_m) es tambi´en continua.

(b)Si u₁, u₂, . . . , u_m son subarm´onicas en Ω, entonces v:= m´ax(u₁, u₂, . . . , u_m) es tambi´en subarm´onica.

(c) Si u es subarm´onica en Ω, A = u(Ω) ⊂ R es su imagen y ϕ : A → R es continua, creciente y convexa, entonces la composici´on f◦v es subarm´onica en Ω.

Nota:Observar queA es un intervalo.

9. (a) Sean Ω un dominio enR^N,u una funci´on arm´onica en Ω yA:=u(Ω) su imagen. Seaϕ:A7→R una funci´on continua y convexa. Demostrar quev:=ϕ◦u es subarm´onica.

(b) Demostrar quex7→log|x|es subarm´onica enR^N \ {0} siN ≥2.

(c) Demostrar quev:=|Du|² es subarm´onica siu es arm´onica.

10. Sean Ω⊂R^N un dominio acotado yu∈C²(Ω)∩C(Ω) una soluci´on de

∆u=−1 en Ω, u|_∂Ω = 0.

Demostrar que para todox₀ ∈Ω se tiene queu(x₀)≥ 1 2N m´ın

x∈∂Ω|x−x₀|².

11. (Dependencia continua) Seau∈C²(B1(0))∩C(B1(0)) una soluci´on suave de

−∆u=f en B₁(0), u=g en∂B₁(0).

Demostrar que existe una constanteC, independiente deu, tal que m´ax

B1(0)|u| ≤C( m´ax

∂B1(0)|g|+ m´ax

B1(0)|f|).

12. (a) SeaE ⊂R^N abierto yu∈C²(E) tal que ∆u=uen E. Demostrar queuno puede tener m´aximos positivos ni m´ınimos negativos enE.

(b) SeaE ⊂R^N abierto, yc∈C(E),c <0 enE. Demostrar que el problema

∆u+cu= 0 en Ω, u=g en ∂Ω, tiene a lo sumo una soluci´on u∈C²(E)∩C(E).

13. Hemos visto en la Teor´ıa que la soluci´on u∈C²(Ω)∩C( ¯Ω) del problema (∆u+cu=f en Ω,

u=ϕ en∂Ω (1)

es ´unica sices una funci´on continua en Ω yc(x)≤0,∀x∈Ω.

Consideremos el caso del parallelep´ıpedo: Ω = [0, `<sub>1</sub>]× · · · ×[0, `_N], donde`<sub>1</sub>, . . . , `_N >0. Aplicando el m´etodo de separaci´on de variables, demostrar que existe una sucesi´on infinita de constantespositivas c_j → +∞ tales que en los correspondientes problemas (1) no hay unicidad, si ponemos c(x) ≡ c_j, x∈Ω.

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14. (a)Consideramos la semibola abiertaB⁺ ={x∈R^N : x∈B1(0), xN >0}. Sea u∈C²(B⁺)∩C(B₁(0)∩ {x_N ≥0})

arm´onica enU⁺ conu= 0 en B₁(0)∩ {x_N = 0}. Dadox∈B₁(0), definimos v(x) :=

u(x) six_N ≥0,

−u(x₁, . . . , xN−1,−x_N) sixN <0.

Probar queves arm´onica enB₁(0). Este resultado se conoce comoPrincipio de reflexi´on de Schwartz. (b)Resu´elvase el problema

∆u= 0 six²+y² <1, y >0, u(x,0) = 1 si −1< x <1, u(x, y) = 0 six²+y² = 1, y >0.

15. SeaE ⊂R^N abierto. Demostrar que v∈C(E) pertenece aσ(E) si y solo si para todo abiertoE⁰ ⊂E tal queE⁰⊂E y toda funci´on arm´onica u tal queu=v en∂E⁰ se tiene quev≤u enE⁰.

16. Sea Ω⊂R^N (N ≥2) un dominio suave yu ∈C²(Ω) tal que ∆u= 0 en Ω. Demostrar que cualquier esfera de radio suficientemente peque˜no centrada en un punto dondeu se anule contiene al menos un cero deu.

17. (a) (Principio de comparaci´on) Sea Ω ⊂ R^N abierto y acotado. Decimos que u ∈ C²(Ω)∩C(Ω) es subsoluci´ondel problema

−∆u=f en Ω, u=g en∂Ω,

si−∆u≤f en Ω, u≤g en ∂Ω,y que es supersoluci´onsi−∆u≥f en Ω, u≥gen ∂Ω.

Demostrar que siu es subsoluci´on del problema yv es supersoluci´on, entonces u≤v en Ω.

(b) Demostrar que siϕ:R→Res una funci´on continua estrictamente decreciente, entonces el principio de comparaci´on para subsoluciones y supersoluciones es v´alido para el problema no lineal

−∆u=ϕ(u) en Ω, u= 0 en ∂Ω.

18. SeaN = 2 y sea Ω un dominio acotado enR², cuya frontera es una uni´on finita de curvas de claseC¹. Demostrar que todo Problema de Dirichlet para la ecuaci´on de Laplace (PDL) en ¯Ω tiene una ´unica soluci´on.

Indicaci´on:Utilizando la expresi´on para la soluci´on fundamental de la ecuaci´on de Laplace, demostrar que cada puntox∗ de la frontera de Ω posee una funci´on barrera.

19. Demostrar que lo mismo se cumple para todo dominio enR², acotado por una curva de Jordan.

Indicaci´on: Utilizar el Teorema de Jordan (es sobre las propiedades topol´ogicas de las curvas de Jordan en el plano),

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