Demuestra que u= 0

Ecuaciones Diferenciales Parciales Tarea 3: Ecuaciones del calor y de Laplace 1. Sea u arm´onica en R³, tal que

kuk²_L2(R³)= ˆ

R³

u(x)²dx≤M < +∞.

Demuestra que u= 0.

2. Sean

B₁ ={(x, y)∈R² : x²+y² <1},

B⁺₁ ={(x, y)∈R² : x²+y² <1, y >0}.

Sea u∈C²(B₁⁺)∩C(B₁⁺), arm´onica en B₁⁺ y tal queu(x,0) = 0. Demuestra que la funci´on v(x, y) =

(u(x, y), y≥0,

−u(x,−y), y <0,

es arm´onica enB₁. A esto se le conoce como elprincipio de reflexi´on de Schwarz. (Sugerencia:

Sea w la soluci´on al problema ∆w = 0 en B₁, w = v en ∂B₁. Define V(x, y) = w(x, y) + w(x,−y). Prueba que V ≡0.)

3. Principio del m´aximo de Hopf: Sea Ω⊂R² abierto y acotado. Sea u∈C¹( ¯Ω), arm´onica y positiva en Ω. Suponiendo que u(x0) = 0 en un punto x0 ∈∂Ω, y que en x0 se cumple la condici´on del c´ırculo interior, a saber, que existe un c´ırculo (o un disco)B_R(x₀)⊂Ω tal que

B_R(x₀)∩∂Ω = {x₀},

demuestra que la derivada normal exterior de u enx0 es estrictamente negativa:

∂u

∂n(x₀)<0.

(Sugerencia: Usa el principio del m´aximo para comparar u con la funci´on w(x) = log|R| −log|x0−x|

logR−log(R/2) m´ın

∂B_R/2(x0)u en el anillo circular A=B_R(x₀)\B_R/2(x₀).)

4. Sea Ω ⊂Rⁿ, abierto, acotado, con ∂Ω suave. Demuestra que si ∆u= 0 en Ω, y adem´as u=∂u/∂n=∇u·nˆ= 0 (donde ˆnes el vector normal unitario en∂Ω) en una porci´on abierta Γ de ∂Ω, entonces u= 0 en Ω.

5. Sea Ω⊂Rⁿ, abierto, con n≥2. Sea u∈C²(Ω), con x∈Ω. Demuestra que

∆u(x) = l´ım

r→0⁺

2n r²

1 ω_n

ˆ

|η|=1

u(x+rη)dS_η − u(x)

.

N´otese que esta f´ormula implica la propiedad del promedio (si la funci´on es arm´onica).

(Sugerencia: Considera la expansi´on de Taylor de segundo orden alrededor de x.) 1

6. Sea u la soluci´on al problema de Dirichlet en el semi-planoRⁿ+ ={x_n>0}:

∆u= 0, en Rⁿ+, u=g, sobre ∂Rⁿ+,

dada por la f´ormula de Poisson. Suponiendo que g es acotada, y que g(x) = |x| para todo x∈∂Rⁿ+, con|x| ≤1, demuestra que∇uno es acotado cerca de x= 0. (Sugerencia: Estima (u(λˆe_n)−u(0))/λ.)

7. Demuestra la segunda desigualdad de Harnack: si u es arm´onica en la bola B_R(0)⊂ Rⁿ, n≥2, con R >0, entonces para toda x∈B_R(0),

Rⁿ⁻²(R− |x|)

(R+|x|)ⁿ⁻¹ u(0)≤u(x)≤ Rⁿ⁻²(R+|x|) (R− |x|)ⁿ⁻¹ u(0).

8. Sea Ω ⊂ Rⁿ abierto y conexo. Sea u arm´onica en Ω. Suponiendo que R > 0 es tal que BR(x0)⊂Ω, sean 0 < a≤b ≤R con b² =aR. Demuestra que

ˆ

|η|=1

u(x₀+aη)u(x₀+Rη)dη = ˆ

|η|=1

u(x₀+bη)²dη.

Concluye que siues constante en una vecindad entonces es id´enticamente constante en todo Ω. (Sugerencia: Sea la funci´on

ξ(r₁, r₂) = ˆ

|η|=1

u(x₀+r₁η)u(x₀+r₂η)dη,

definida en (r₁, r₂)∈(0, R]×(0, R]. Demuestra, usando la identidad de Green y la armoni- cidad de u, que la funci´on h(λ, ρ) = ξ(λρ, λ⁻¹ρ), con 0 < ρ < R y ρ/R < λ < R/ρ es independiente de λ. Usa esto para verificar queξ(b, b) =ξ(a, R).)

9. Sea

g(x) =

(1, x >0, 0, x <0.

Demuestra que la soluci´on al problema de Cauchy,

u_t−u_xx = 0, x∈R, t >0, u(x,0) =g(x), x∈R, est´a dada por

u(x, t) = 1 2

1 +φ(x/√ 4t)

,

donde

φ(s) = 2

√π ˆ _s

0

e^−t2dt.

La funci´on φ se conoce como la funci´on de error.

2

10. Sea >0. Sea u∈C²(R×(0,+∞)), con u >0, una soluci´on de u_t−u_xx = 0, x∈R, t >0.

Demuestra que

v(x, t) = −2u_x u satisface la ecuaci´on de Burgers viscosa:

v_t+vv_x =v_xx,

parax∈R,t >0. Este cambio de variables se conoce comola transformaci´on de Hopf-Cole, y es notable pues transforma una ecuaci´onnolineal (Burgers) a la ecuaci´on del calor.

11. Encuentra una soluci´on (escrita como una convoluci´on) al siguiente problema:

u_t+u=u_xx+ 2u_x, x∈R, t >0, u(x,0) = sinx, x∈R. Demuestra que para cada x∈R, fijo,u(x, t)→0 si t→+∞.

(Sugerencia: Encuentra un cambio de variables de la forma u = ve^αx+βt de modo que el problema se reduzca a resolver la ecuaci´on del calor. Recuerda que

ˆ

R

Φ(x, t)dx= 1 (4πt)^1/2

ˆ

R

e^−x2/4tdx= 1, para cada t >0.)

12. Suponiendo que cada una de las funciones u₁(y, t), . . . , u_n(y, t), con n ≥ 2, es soluci´on de la ecuaci´on del calorunidimensional, ut =uyy, demuestra que la funci´on

v(x, t) =

n

Y

j=1

u_j(x_j, t), x∈Rⁿ, t >0,

es soluci´on de la ecuaci´on del calor en dimensi´on n, es decir, v_t−∆v = 0. (¿Qu´e tiene de especial la ecuaci´on del calor de modo que este argumento funciona? No existe una propiedad an´aloga para la ecuaci´on de Laplace, por ejemplo.)

13. Sea Ω ⊂ Rⁿ acotado, abierto, con frontera suave. Sea T > 0, y Ω_T = Ω× (0, T], Γ_T = Ω_T \Ω_T. Demuestra que si u ∈ C²(Ω_T)∩C(Γ_T) es soluci´on de u_t −∆u = 0 en Ω_T, entonces

m´ınΓ_T u≤u(x, t)≤m´ax

Γ_T u, para todo (x, t)∈Ω_T.

3

14. Sea Ω ⊂ Rⁿ acotado, abierto, con ∂Ω suave. Demuestra que si existe una soluci´on u ∈C²( ¯Ω×[0, T)) con T >0 fijo, de la soluci´on a la ecuaci´on del calor no homog´enea con condiciones iniciales y de Neumann,

u_t−∆u=h(x, t), x∈Ω, T > t >0, u(x,0) = f(x), x∈Ω,

∇u·ˆn= ∂u

∂n =g(t), x∈∂Ω, T > t > 0, entonces es ´unica. (Sugerencia: Aplica el m´etodo de energ´ıa.)

15. Sea Ω ⊂ Rⁿ, abierto, acotado, con frontera suave. Sea u ∈ C¹(Ω×(0, T)), con T > 0, soluci´on de

u_t−∆u= 0, en Ω×(0, T), que adem´as satisface las condiciones de frontera:

u= 0 en Γ₁ ⊂∂Ω para todo t∈(0, T); y,

∂u/∂n= 0 en Γ₂ ⊂∂Ω para todo t∈(0, T),

donde ∂Ω = Γ₁∪Γ₂. (´Este es un problema mixto: con condiciones de Dirichlet y Neumann en porciones de la frontera.) Demuestra que

ρ(t) =ku(·, t)k_L²_(Ω):=

ˆ

Ω

u(x, t)²dx,

es una funci´on no creciente de t∈(0, T). (Sugerencia: Aplica el m´etodo de energ´ıa.) Total: 150 pts.

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