0Esta tesis está financiada por la Agencia Noruega para la Investigación y la Innovación a través de una beca de doctorado. A lo largo del siglo XX se han obtenido algunas generalizaciones de este resultado (por ejemplo, Federer (1959)), que están estrechamente relacionadas con avances cruciales en la teoría de la medida geométrica.
Sobre la estimaci´ on de conjuntos
Conceptos b´ asicos y resultados previos de la estimaci´ on de conjuntos
Sea {sn} una secuencia de subconjuntos compactos de RD, no vacío, suponga que en sn una bola de radio αn se enrolla libremente con αn> α> 0. Por otro lado, es inmediatamente verificable que una bola de radio se dispara libremente a través del conjunto del conjunto, entonces el contenido de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición de la condición, el Contador de la Variñe de la Variñe finita. está bordeado).
Aspectos computacionales
En Cuevas et al. (2007) se propone un estimador consistente para el caso en que el conjunto y el complemento satisfacen la hipótesis de estandaridad y existen dos muestras, una dentro y otra fuera del conjunto. Para el caso en que el conjunto y el complemento sean r-convexos y además existan dos muestras, en Pateiro-L'opez (2008) se propone un estimador del contenido de la arista de Minkowski y se muestra que su orden de convergencia es 0 log(n)/n1/(d+1).
Ideas geom´ etricas en el estudio de los datos funcionales
La función de volumen de los conjuntos mostrados en (c) y (d) también es polinomial pero, a diferencia de (b), la expresión polinomial (ver los cálculos del Teorema A.1 en el apéndice) es válida para ∈[0,+∞). Tenga en cuenta que generar datos de la densidad f(x;L0) es fácil, ya que solo podemos depender de L0 y R (asumiendo que se conoce el valor de L0) tomar un círculo de radio r tal que la circunferencia sea L0 y llevarlos uniformemente al conjunto B(0, r+R)\ B(0, r).
Estimaci´ on param´ etrica 17
Alcance positivo y f´ ormula de Federer
Se puede demostrar en Ambrosio et al (2008) que si Ses es compacto y tiene un alcance positivo, es posible definir su contenido de Minkowski. Aquí presentaremos los resultados en caso de que el conjunto sea un cono, ya que nos será útil más adelante.
El caso general
Por lo tanto, la condición del cono convexo no garantiza que la función de volumen del conjunto paralelo sea polinomial en algún intervalo. Esto significa que, en general, no es cierto que para cualquier conjunto S tal que la bola ruede libremente sobre Sc, el volumen del conjunto paralelo sea polinomial.
Estimaci´ on param´ etrica: Caso tridimensional
- Introducci´ on
- M´ etodo de los Momentos
- Aspectos pr´ acticos de los estimadores
Dado que los estimadores momento a momento presentados en la sección anterior en la dimensión 2 tienen una expectativa infinita, lo mismo debería ser cierto en la dimensión 3. La motivación para definir esta distancia se deriva del hecho de que si Zn (con n ∈ N) y Z son variables aleatorias, tenemos y despejando, los estimadores de L0 y son:.
Gr´ aficos y Simulaciones en R 3
Se puede demostrar que dL es una metrización de la topología débil sobre el conjunto de medidas de probabilidad en R. En el caso del problema de regresión, lo que buscamos es verificar cuando f =η y µ es la distribución de la variable X.
Aplicaciones de la propiedad de cono convexidad a la estimaci´ on de conjuntos 30
Antecedentes hist´ oricos
En Zaremba (1911) se demuestra que si para todo x∈∂U es posible encontrar un cono incluido en el complemento del conjunto, con vértice en x, entonces existe una solución al problema de Dirichlet en U (nótese que lo que estamos haciendo es evitar que el conjunto tenga una renta muy aguda). El resultado de Zaremba generaliza el trabajo de Poincar'e (1899), en este último Poincar'e demostró que si en cada punto de la arista es posible colocar una bola tangente al conjunto, incluida en el complemento, entonces hay solución.
Notaci´ on y definiciones b´ asicas
En este capítulo nos centraremos en los conjuntos que satisfacen la condición del cono de convexidad para conos con ángulo y altura fijos (finitos o no). Esta condición recuerda la propiedad clásica del soporte hiperplano de conjuntos convexos. Definimos el casco cono-convexo ancho de un conjunto acotado S ⊂Rd, que denotaremos Cρ,h(S), como la intersección de todos los subconjuntos de Cρ,h que lo contienen.
Definimos la envolvente convexa convexa en el sentido estricto de un conjunto acotado S, que denotaremos Cρ(S), como la intersección de todos los subconjuntos de Cρ que lo contienen. Usando la definición de ˜Cρ,h(S), existe un conjunto de conos Cρ,h(un), disjuntos con ˜Cρ,h(S), tal que n∈Cρ,h(un).
Propiedades de convergencia
Sabemos que, por el enunciado anterior dH(∂Sn, ∂S) → 0, por lo tanto podemos suponer que existe xn ∈ ∂Sn tal que xn → x, ahora el razonamiento para encontrar el cono Cρ,h(x) es análogo al que hicimos en la demostración de la Proposición 3.6 a). Consideramos nuevamente la sucesión acotada {Cρ,ξn,h(xn)}, esta sucesión converge en la distancia de Hausdorff al cono cerrado Cρ,ξ,h(x) para algunaξ tal que kξk= 1. Supongamos por absurdo que existe z ∈ Cρ,ξ,ξ,h(x) ∩n, como →d x, →S, y Tomamos 0 tal que forn es lo suficientemente grande, B(z, ε)⊂Cρ,ξ,h(xn ) de donde d(z, Sn)≥εpara n infinito, lo que contradice que Sn tiende a S en la distancia de Hausdorff.
Los conjuntos cono convexos son una clase de Glivenko-Cantelli
El siguiente teorema, debido a Billingsley y Topsøe (ver Billingsley y Topsøe (1967)), impone condiciones a la subclase A para que sea una clase P-uniforme. Ahora, utilizando los teoremas 3.10 y 3.11, podemos demostrar que, dadas h y ρ, la familia de subgrupos cerrados que satisfacen la condición de convexidad finita es una clase P-uniforme. La clase Cρ,hU de subgrupos cerrados no vacíos que satisfacen la condición ρ,h como un cono de convexidad (3.1) es una clase P-uniforme (y en particular una clase Glivenko-Cantelli).
En la última desigualdad, usamos que si A∩K6=∅, entonces A∩K∈ A. Tenga en cuenta que, por la Proposición 3.6 c), el mismo resultado se cumple para la clase de conjuntos que satisfacen la condición 3.2, según lo determinado por el siguiente teorema. Entonces la clase C˜ρ,hU de subconjuntos cerrados no vacíos que satisfacen la condición ρ,h con el cono de convexidad (3.2) es una clase P-uniforme (y en particular la clase Glivenko-Cantelli).
Estimaci´ on de conjuntos cono convexos
- Tasas de convergencia para la distancia de Hausdorff
- Tasas de convergencia en la distancia en medida
- Tasas de convergencia para la envolvente por complemento
En los apartados anteriores obtuvimos, bajo la hipótesis de que el conjunto S es un cono convexo en sentido amplio, las tasas de convergencia para la distancia de Hausdorff y la masa. Por tanto, lo que haremos será definir, para cada x ∈ S, familias inevitables tales que. Suponga que PX es absolutamente continua con la densidad f, tal que 0< k1≤f(x)≤k2<∞para casi todo x∈S, donde k1 y k1 son constantes.
El orden de convergencia que obtuvimos es más lento que el obtenido en Pateiro-L´opez (2008) (ver Teorema 2.5.2) para conjuntos r-convexos en los que rueda una esfera de radio α >0 enS ySc, pero es importante resaltar que la clase de conjuntos en los que trabajamos es mucho mayor. Una estimación no paramétrica de la medida límite de conjuntos cónico-convexos.
Estimaci´ on no param´ etrica de la medida de la frontera de conjuntos cono-convexos . 45
- Espacios maximales en conjuntos cono convexos
- Contraste de hip´ otesis sobre ρ
Dado que generalmente no conocemos la medida del grupo, suponer que es uno es una restricción muy fuerte, por lo que en lugar del Teorema 3.33 usaremos una versión un poco más general. En este apartado supondremos que tenemos S ⊂Rd tal que S = ˜Cρ(S) (siendo ρ el supremo de valores para los que se ha verificado la propiedad en cuestión), y que existe r > 0 tal que S está en las hipótesis del Teorema 1.11 con r0=r. En esta parte, siguiendo las ideas del apartado anterior, propondremos una prueba de la hipótesis α a nivel asintótico, para el parámetro r de los conjuntos r-convexos, que están en las hipótesis del Teorema 1.11 (con r = r0) y tales que S = int(S).
La demostración es análoga a la del Teorema 3.9 para los cascos ρconoconvexos. Sea S ⊂Rd un conjunto compacto no vacío tal que µd(S)>0, sea >0 el supremo de los valores que hacen S en las hipótesis del Teorema 1.11 con r0 =r.
Contraste de hip´ otesis de convexidad
- Algoritmo y simulaciones
Aunque el siguiente teorema presenta una prueba de hipótesis que es fácil de implementar y da buenos resultados en las simulaciones que veremos más adelante, es importante aclarar que la condición (P) es una restricción en la forma de la arista del conjunto que excluye conjuntos convexos muy simples, como un cuadrado. Si es tangente a solo dos segmentos de ∂Cn, el centro x pertenece a la bisectriz de un ángulo interior y, como máximo, es tangente a uno o más puntos muestrales, dichos centros y radios son una cantidad finita, dependiendo de d. Las simulaciones que se muestran en la Tabla 3.3 muestran la potencia estimada ˆβ de la prueba, con base en 1000 repeticiones de la prueba, para diferentes valores de ϕ y diferentes tamaños de muestra.
En la cuarta simulación, comparamos el efecto de colocar una entrada, como en la Figura 3.8(a), con colocar tres ranuras iguales. Como se puede observar en la primera de las tablas de 3.4, es más fácil detectar la no convexidad mediante una gran indentación que varias pequeñas indentaciones, incluso en el caso de que se conserve el ángulo de indentación.
Un estimador consistente del par´ ametro
Aspectos computacionales de la propiedad de Poincar´ e
- Algoritmo en R d
- Aplicaci´ on a diferentes datos
En el apartado 2 daremos algunas caracterizaciones y propiedades de la distancia H y propondremos un algoritmo para su cálculo en el caso de funciones continuas. El objetivo es obtener estimadores de la función de regresión η con restricciones de forma geométrica. Teniendo en cuenta las aplicaciones en el procesamiento de imágenes y en la teoría de la aproximación, definiremos una métrica (la distancia de Hausdorff entre las hipografías) que hace que el espacio de las funciones semicontinuas superiores sea localmente compacto.
Se encuentran variantes de la misma en la literatura en trabajos que la relacionan con la teoría de la aproximación. El cálculo mediante algoritmos de la distancia de Hausdorff entre conjuntos tiene aplicaciones en el procesamiento de imágenes digitalizadas y por ello es objeto de estudios recientes. En esta sección, enunciaremos un resultado de consistencia cuadrática media para el estimador de la función de regresión η, basado en el método del vecino más cercano, cuando la variable X toma valores en el espacio (E,H).
En otras palabras, tenemos consistencia para el espacio (E,H) de la regla de clasificación basada en el método del vecino más cercano si se verifica la condición 4.5 (nótese que aquí está claro).
