Ecuaciones Diferenciales I
Semestre 2022-2
Tarea 5
Fecha de entrega: 8 de abril, 2022.
1. (2 pts.) Supongamos queψsatisface la ecuaci´onψ0+aψ =b1(t), y queφsatisfaceφ0+aφ=b2(t), dondeb1, b2:I ⊆R→Rson continuas ya∈Res constante.
(a) Prueba queξ=ψ+φsatisfaceξ0+aξ =b1(t) +b2(t).
(b) Aplica el inciso (a) para encontrar la soluci´on y=y(t) de la ecuaci´on y0+y= sint+ 3 cos(2t),
cuya gr´afica pasa por el origen.
2. Mediante el m´etodo de sustituci´on apropiado, encuentra la forma general de las primitivas o, respectivamente, resuelve el problema de valores iniciales, para las siguientes ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden:
(a) (1 pt.) (Similaridad.)t2y0−t2−ty−y2 = 0.
(b) (1 pt.) (Bernoulli). y0 = y−σy3, donde > 0 y σ > 0 son constantes, y y(0) = 1. Esta ecuaci´on aparece en el estudio de estabilidad en fluidos.
(c) (1 pt.) (Riccati). Encuentra una soluci´on particulary=yr(t) a la ecuaci´on y0 = y2
cost−ytant+ cost.
Aplica la transformaci´on apropiada para hallar la soluci´on general. (Sugerencia: No intentes verificar que la soluci´on final es, en efecto, soluci´on de la ecuaci´on diferencial.)
(d) (2 pts.) (Inversi´on de y0). (ty0−y)(yy0 +t) = 2y0. (Sugerencia: Usa el cambio de variables u = y2, v = t2 y encuentra la ecuaci´on para du/dv = p. El resultado es una ecuaci´on tipo Clairaut cuya primitiva es conocida.) ¿Existe alguna soluci´on singular?
(e) (2 pts.) (d’Alembert) Encuentra todas las primitivas de la ecuaci´ony=−ty0+3t4(y0)2. ¿Existe alguna soluci´on singular?
3. (1 pt.) Resuelve el siguiente problema con valores iniciales:
y0−ylogy
1 +t = (1 +t)y, y(0) = 1.
(La funci´on log(·) indica logaritmo natural, es decir, con basee.)
Total: 10 pts.
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