Universidad de Sevilla Grado en Físicas 2022/2023 Análisis Matemático - Bloque 2
Profesora: Martina Magliocca
Ejercicios de revisión 17 Abril 2023
Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables.
Funciones implícita e inversa
Ejercicio 1 (Dominio) Representar gráficamente los dominios de las siguientes funciones.
• f(x,y) =p
2x2+4xy−x−2y;
• f(x,y) =log(2−y−x2) −e
√
1−x−y2;
• f(x,y) =√
x+log
(x2+y2)(y+3)
;
• f(x,y) = 1
log(y−1) +log(x+2).
Ejercicio 2 (Curvas de niveles) Dibujar las curvas de niveles de los campos escalares para los valores dek propuestos.
• f(x,y) =log(xy), k= −1, 1, 3;
• f(x,y) =exy, k=1, 2, 3;
• f(x,y) = x+yx−y, k= −2, 0, 2;
• f(x,y) =yex, k= −1, 0, 1.
Ejercicio 3 (Límites) Calcular, si existen, los siguientes límites:
• lim
(x,y)→(1,0)
xy−y (x−1)2+y2;
• lim
(x,y)→(0,0)
x2+y2 px2+y2+1−1;
• lim
(x,y)→(0,0)xylog(x2+y2);
• lim
(x,y)→(1,0)
y2logx (x−1)2+y2;
• lim
(x,y)→(1,1)
(x−1)5− (x−1)2−3(y−1)2 x2+3y2−2(x+3y−2) ;
• lim
(x,y)→(0,−2)
x3sin(y2−4) (y+2)sinx . Ejercicio 4 (Continuidad) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
•
f(x,y) =
xy−2x−y+2
x2−2x+y2−4y+5 si (x,y)̸= (1, 2), 0 si (x,y) = (1, 2),
•
f(x,y) =
x4+4x3+4x2+x2y2
4+y2+x2+4x si (x,y)̸= (−2, 0),
4 si (x,y) = (−2, 0).
Ejercicio 5 (Derivada direccional) Utilizar la definición para calcular las derivadas direccionales de las funciones abajo según los vectores v propuestos y en los puntos indicados.
• f(x,y) =3x−2y2, v = (4, 3), (1, 0);
• f(x,y,z) =x2+2y2+3z2, v= (1,−1, 2), (1, 1, 0);
• f(x,y) =sin(x2+y2), en (1, 1) y en la dirección del vector que va del ese punto a (3, 2).
Ejercicio 6 (Diferenciabilidad)
• Demuestra utilizando la definición que la función
f(x,y) =3x−2y2 es diferenciable en (4,−1).
• Escribir, en los puntos indicados, la ecuación del plano tangente a la gráfica de f(x,y) =arctan(x+2y) en (0, 0) y f(x,y) = 1
(x2+y2) en (1, 1).
• Estudiar si las siguientes funciones son continuas, diferenciables y C1 en todo R2.
f(x,y) =
x2y2
log(1+x2+y2) si (x,y)̸= (0, 0), 0 si (x,y) = (0, 0),
f(x,y) =
(x+3y)3
px2+y2 +log(1+y2) si (x,y)̸= (0, 0),
0 si (x,y) = (0, 0),
f(x,y) =
x2y−y2x
x2+y2 si (x,y)̸= (0, 0), 0 si (x,y) = (0, 0).
Ejercicio 7 (Matriz jacobiana) Calcular la matriz jacobiana de las siguientes funciones.
2
• f(x,y) = (xy,x,y);
• f(x,y,z) = (xy+z,xz+y,zy+x);
• f(x,y,z) =
xy2z3, z2 x+y
;
• f(x,y) = (yex+y, log(x2+y)).
Ejercicio 8 (Movimiento de partículas) Calcular velocidad, aceleración y espacio recorrido de las partículas que se mueven según las trayectorias siguientes.
• f(t) = (2t,t2), t∈[1, 2];
• f(t) = (1,et,t2), t∈[0, 1];
• f(t) = (3t2, cost,−sint+1), t∈π
2,π
;
• f(t) = (logt,t+1,−t3), t ∈[1, 2];
Ejercicio 9 (Matriz hessiana) Calcular la matriz hessiana de las siguientes funciones.
• f(x,y) =xex+y;
• f(x,y) =x√ x+y;
• f(x,y,z) =z2log(xy);
• f(x,y,z) =x2−xz+3yz−z2.
Ejercicio 10 (Polinomio de Taylor) Escribir los polinomios de Taylor del segundo orden de las sigu- ientes funciones en el origen.
• f(x,y) =sinxsiny; • f(x,y,z) =ex+y+z; • f(x,y,z) =e2x+y−cos(3x+z).
Ejercicio 11 (Funciones compuestas y regla de la cadena)
• Sean f, g dos funciones reales diferenciables, y sea φ(x,t) = f(x−t) +g(x+t). Probar que φ satisface la ecuación de ondas
φtt(x,t) =φxx(x,t).
• Sean f=f(u,v) una función en C2(R2)y g(x,y) = x−y2,x+y2
. Probar que h=f◦g verifica hxx−4hyy =4fuv.
• Dada la ecuaciónr= 4
3+√
5 sinθ en coordenadas polares, hallar su forma en coordenadas cartesianas.
• Escribir en coordenadas cilíndricas y esféricas la ecuación de ondas ftt =c(fxx+fyy+fzz) siendo f:R+×R3 →R, f=f(t,x,y,z).
Ejercicio 12 (Función implícita)
3
• Probar que la ecuación
f(x,y) = (x−1)log(siny) + (y−1)tanx2 =0
define a una función implícita gtal que y=g(x)en un entorno del punto (x,y) = (1, 1) y calcular g′(1).
• Probar que la ecuación
f(x,y,z) =x2y−y2x+z2cos(xz) =1
define a una función implícita g tal que z =g(x,y) en un entorno del punto (x,y,z) = (0,√ 2, 1) y calcular gx(0,√
2) y gy(0,√ 2).
• Probar que la ecuación
f(x1,x2,y1,y2) = (2, 1) con f = (f1,f2) dadas por
f1(x1,x2,y1,y2) =x21+x22+y21−y22, f2(x1,x2,y1,x4) =x21−x22−y21+y22,
define a y1, y2 como funciones dex1, x2 en un entorno del punto(x1,x2,y1,y2) = (1,−1, 1,−1). Siendo (y1,y2) =g(x1,x2), calcular Jg(1,−1).
Ejercicio 13 (Función inversa)
• Calcular los valores de α tales que
f(x,y) = (x+αy,αx+y)
sea localmente invertible.
• Calcular la función inversa y la matriz jacobiana de
f(x,y) = (excos(2y),exsin(2y)) donde posible.
• Hallar los valores de α, β∈Rtales que
f(x,y) = (eαx+eβx,eαx−eβx)
sea invertible localmente. Si posible, determinar la inversa local conα=1, β=2 y la expresión de la matriz jacobiana en el entorno de un punto arbitrario de R2.
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