PRÁCTICA 4
SUBESPACIOS VECTORIALES
1.- EL COMANDO NullSpace.
a)SINTAXIS
Para una matriz A є Mnxm(R) el comando NullSpace[A] calcula una base del subespacio vectorial de Mmx1(R) de las soluciones de la ecuación matricial AX = 0
EJEMPLO
Resolver el sistema lineal homogéneo siguiente x + y + 2 z = 0,
y + z = 0, 2 x + 2 z = 0, RESOLUCIÓN
Utilizamos el comando NullSpace
NullSpace[{{1, 1, 2}, {0, 1, 1}, {2, 0, 2}}]
y obtenemos, {{-1, -1, 1}}
Esto significa que las soluciones de la ecuación matricial,
2 0 2
1 1 0
2 1 1
z y x
=
0 0 0
son los elementos del subespacio vectorial de M3x1(R), generados por la matriz columna,
1 1 1
Por lo tanto las soluciones del sistema de ecuaciones son:
x = - λ
y = - λ, λ є R, z = λ
UNA APLICACIÓN PRÁCTICA
El comando NullSpace puede utilizarse para decidir si un sistema de ecuaciones que sea COMPATIBLE tiene una o más de una solución. Ya sabemos que si un
sistema de ecuaciones real o complejo es compatible entonces es determinado si y sólo si el subespacio vectorial de las soluciones del sistema homogéneo es trivial.
EJEMPLO
Estudiar si el siguiente sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible
x +y +z +t = 6 x -y +z -t =-2 3x -y +3z -t = 2 7x -5y +7z -5t =-6 RESOLUCIÓN
En primer lugar con el comando LinearSolve comprobamos si el sistema es compatible
LinearSolve[{{1,1,1,1},{1,-1,1,-1},{3,-1,3,-1},{7,-5,7,-5}},{6,-2,2,-6}]
Como respuesta se obtiene {2, 4, 0, 0}
Por lo tanto es compatible. Ahora usamos el comando NullSpace, NullSpace[{{1,1,1,1},{1,-1,1,-1},{3,-1,3,-1},{7, -5, 7, -5}}]
La respuesta es
{{0, -1, 0, 1}, {-1, 0, 1, 0}}
Esto significa que el sistema es compatible indeterminado y además, las soluciones del sistema son de la forma
0 0 4 2
+ α
1 0 1 0
+ β
0 1 0 1
=
4 2
con α,β є R
Expresado con las incógnitas
x = 2 – β; y = 4 – α; z = β; t = α; con α,β є R o bien
x = 2 – z; y = 4 – t; con z,t є R
Puede comprobarse que utilizando el comando Solve se obtiene la misma solución.
EJERCICIO
Repetir el ejemplo anterior con el sistema de ecuaciones siguiente 2x -y +3z = 9,
3x -5y +z = -4, 4x -7y +z = 5
2.- ECUACIONES DE SUBESPACIOS VECTORIALES.
a)
DE CARTESIANAS A PARAMÉTRICAS
Si conocemos las ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial de un espacio vectorial dado podemos calcular sus ecuaciones paramétricas con el comando Solve
EJEMPLO
Encontrar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R4, cuyas ecuaciones cartesianas son:
x - y - z = 0, x + y - t = 0, RESOLUCIÓN
Para obtener las ecuaciones paramétricas, primero resolvemos el sistema lineal anterior. Hay que tener en cuenta que el sistema siempre es compatible porque es homogéneo y además, si se trata de un subespacio, no nulo, tiene más de una solución.
Solve[{x - y - z == 0, x + y - t == 0}, {x, y, z, t}]
Esto nos da como solución {{x → t/2 + z/2, y → t/2 - z/2
Lo cual quiere decir que las ecuaciones paramétricas del subespacio son x = α /2 + β /2,
y = - α /2 + β /2 α,β є R z = α
t = β
De las ecuaciones paramétricas se obtiene directamente un sistema de generadores para el subespacio {(1/2,-1/2,1,0), (1/2,1/2,0,1)}, que son claramente independientes y por lo tanto una base.
EJERCICIO
Obtener una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales.
i) {(x, y, z) є R3 : 2 x - y + 4 z}
ii) {(x, y, z, t) є R4 : x + y – z, x - t = 0}
b)
DE PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS:
EL COMANDO Eliminate.
Si conocemos la ecuaciones paramétricas de un subespacio de un espacio, vectorial dado podemos calcular sus ecuaciones cartesianas con el comando Eliminate.
EJEMPLO
Supongamos que las ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial de R3 son x = 2 λ + μ
y = λ– μ λ є R z = - λ + 3 μ
Obtener las ecuaciones cartesianas.
RESOLUCIÓN
Para obtener las ecuaciones cartesianas, escribimos:
Eliminate[{x==2 λ+ μ, y==λ-μ, z==-λ+3 μ}, {λ,μ}]
y obtenemos como solución 2 x == 7 y + 3 z
Esta última ecuación, o bien una proporcional es la que se obtiene, utilizando el método de Gauss para la eliminación de los parámetros del sistema de
ecuaciones dado.
Representa la condición para que el sistema, sea compatible y es por lo tanto la ecuación cartesiana buscada.
Así pues, el comando Eliminate aplicado a un sistema de ecuaciones lineales nos proporciona las condiciones de compatibilidad de dicho sistema.
EJERCICIO
Encontrar las ecuaciones cartesianas del subespacio vectorial de R3, generado por las familia {(1, 2, 1), (1, 3, 2), )1, 1, 0), (3, 8, 5)}
