Examen de Admisi´on al Programa de Posgrado Convocatoria de Ingreso 2009
Nombre:
Duraci´on m´axima: 3 horas.
Primera parte: Examen de Algebra Lineal
1. (a) Encuentre la matriz de la transformaci´on lineal P : R2 → R2 que proyecta el vector ~u sobre la rectay =x.
(b) Encuentre la matriz de la transformaci´on lineal R:R2 →R2 que refleja el vector ~u sobre la rectay =x.
2. Encuentre una base para el rango y una para el espacio nulo de la matriz A=
1 2 1 3 2 5
.
3. Sea A=
2 3
−1 −1
. CalculeA13.
4. ¿Bajo qu´e condiciones sobre el vector~b tiene soluci´on el sistema A~x=~b para cada una de las matrices A=
1 2 1 3 2 5
y A=
1 2 3 3 1 2 1 1 1
?
5. D´e un ejemplo de una funci´on f :R2 → R tal que f(a~v) = af(~v) para todos a ∈ R y ~v ∈ R2 pero que f no sea lineal.
Examen de Admisi´on al Programa de Posgrado Convocatoria de Ingreso 2009
Nombre:
Segunda parte: Examen de C´alculo
1. Considere la funci´on f(x) = xsinx si x ∈Q, y f(x) =−xsinx si x /∈ Q. Demuestre que f es discontinua en todo punto x 6= 0 y derivable en x = 0. Diga si la derivada de f es acotada.
Justifique su respuesta.
2. Sea || · || una norma en R2. Demuestre que la funci´on f(x) = ||x||, x ∈R2, es continua. Esta funci´on es derivable? Demuestre su afirmaci´on o d´e un contraejemplo.
3. Demuestre que si la serieP
kak es convergente yP
kbk es absolutamente convergente, entonces P
kakbk tambi´en es absolutamente convergente.
4. Encuentre las derivadas parciales de la funci´onf(x, y) :=Rx2−xy
0 exp(−t2)dt.
5. Encuentre los m´aximos y m´ınimos de la funci´on f(x, y) =x2−y2 sobre la regi´on D= [0,1]× [0,1].
