Los coeficientes de los polinomios ciclotómicos son números enteros, por lo tanto al definir la función Φn por medio. El capítulo 1 se centra en el estudio de los polinomios ciclotómicos y las formas binarias ciclotómicas. Las formas binarias ciclotómicas están definidas por polinomios ciclotómicos, por lo que la primera parte de este capítulo está dedicada principalmente a estas funciones.
La segunda sección se centra en el estudio de los valores mínimos de los polinomios ciclotómicos.
Polinomios ciclot´ omicos y formas binarias
Obtendremos unos límites inferiores que dependerán sólo de los divisores primos debido a la naturaleza de los polinomios ciclotómicos, así como un límite para la función de Euler ϕ. El siguiente teorema nos permitirá obtener una expresión para φn(x) que incluya la función M¨obiusµ (Definición A.1), lo que nos ayudará a derivar más propiedades en polinomios ciclotómicos. Esta última expresión para φn(x) nos ayudará a derivar algunas fórmulas muy útiles para calcular polinomios ciclotómicos.
Gracias a este corolario podemos derivar una propiedad muy interesante que reduce significativamente los cálculos para obtener el polinomioφn(x).
Las constantes c n
El siguiente lema es un resultado auxiliar que nos permitirá obtener una cota inferior importante para las constantes cn en términos de la función de Euler ϕ. Para probar (4.7), tenemos que demostrar que π2|s| − tθ está acotado cuando |s| tiende al infinito, con la ecuación (4.8) esto es equivalente a la prueba de esto. Como χ es cuadrático, entonces χ = χ−1, entonces de la ecuación funcional tenemos esto.
En el caso concreto, tenemos una representación muy importante, que es consecuencia del carácter multiplicativo de la función.
Caracterizaci´ on de los primos en Z [i]
Como a es producto de primos racionales, π debe dividir uno de ellos por el teorema 2.13. En cualquier caso, ξ tiene sólo sus asociados y unidades como divisores, por lo tanto ξ es primo. La afirmación anterior implica que si π es un número primo de este tipo, entonces π también es primo, ya que N(π) = N(π).
Si p fuera primo en Z[i], dividiría x+i o x−i, pero esto es falso debido a los números.
Enteros de Eisenstein
La norma de una unidad es 1 y todo entero de Eisenstein cuya norma es 1 es una unidad. Las unidades son entonces las soluciones de la ecuación a2 −ab+b2 = 1, y con un análisis de la ecuación (2.4) vemos que las únicas soluciones están dadas por. No olvidemos que queremos demostrar que el teorema fundamental de la aritmética es verdadero en Z[j], para ello necesitamos el siguiente teorema.
Se sigue el teorema fundamental de inZ[j] usando el mismo argumento que inZ[i, ya que es el teorema anterior el que da origen al algoritmo de Euclides y además nos permite encontrar el máximo común divisor entre dos números enteros, que además es único asociado.
Caracterizaci´ on de los primos en Z [j]
Ahora estamos listos para caracterizar los números primos que pueden representarse mediante la forma binaria ciclotómica Φ3(x, y) =x2 +xy+y2. Un número entero n≥1 tiene la forma n=x2+xy+y2 si y sólo si n puede expresarse como un producto. Por el contrario, si n es de la forma (2.5), las ecuaciones anteriores nos muestran que n es la norma del número entero x−yj y, por tanto, n=x2+xy+y2.
La función Z(s;z) se define en cualquier rango que no incluya ceros de ζ(s), ya que la función no sería analítica en estos puntos. Entonces F(s) es continua a una función holomorfa en el dominio D definido anteriormente (ver desigualdad (3.1)), y tenemos Dado que la función Γ(s) aparece en (4.6), necesitaremos demostrar algunos resultados que la involucren.
Tenga en cuenta que el límite es el mismo en ambos casos porque h(θ) es una función par. Para demostrar que la función L(p) tiene exactamente estos valores, veremos qué sucede en cada caso. Como ejemplo de función multiplicativa, tenemos la función de Euler ϕ:N→N dada por.
Otra función aritmética importante es la función de M¨obius denotada como µ(n) y definida a continuación. Por ejemplo, la función de Riemann ζ(s) está dada para σ >1 por la función aritmética multiplicativa f(n) = 1 para todosn ∈N, entonces. La función gamma también satisface la siguiente igualdad conocida como fórmula de Gauss.
Por eso la función gamma es una generalización del factorial de un número entero positivo. Pruebas de los resultados aquí presentados, así como más información sobre la función Γ(s) se pueden consultar en [4].
M´ etodo de Selberg-Delange 31
F´ ormula de Hankel
Denotaremos por D el conjunto simplemente conexo obtenido al eliminar el segmento [1−c,1] de la región libre de ceros de ζ(s). En esta sección presentaremos un resultado clásico sobre la función gamma, que necesitaremos en nuestro estudio de las series de Dirichlet que "parecen" una potencia compleja de la función zeta de Riemann. Dado r > 0, definimos el contorno de Hankel denotado por H como la curva por trozos formada por el círculo |s|=r excluyendo el punto s=−r, junto con el radio (−∞,−r] que contiene dos tiempos tiene signo , con argumentos π y −π respectivamente.
Usaremos `1 para denotar el rayo cuyo argumento es −π y de manera análoga usaremos `2 para denotar el otro rayo. Este resultado es válido para z con Rez < 1 y se extiende a todos los z mediante continuación analítica. Para cada X >1, sea H(X) la parte del contorno de Hankel que se encuentra en el semiplano σ >−X. Tenga en cuenta que para s=σe±iπ con σ >1 tenemos.
M´ etodo de Selberg-Delange
El valor de la integral sobre la curva que acabamos de definir es igual al valor de la integral sobre el segmento original, ya que la curva cerrada formada por el segmento original y su deformación no contiene polos de la función que queremos integrar . En la segunda sección estudiaremos el comportamiento asintótico del número de números enteros que pueden representarse mediante formas ciclotómicas binarias, para ello tendremos que presentar algunos resultados preliminares sobre la serie de Dirichlet y la función gamma. Nuestro plan es utilizar los signos de Dirichlet apropiados para formar una función L de Dirichlet que nos permita utilizar el método de Selberg-Delange.
Por lo tanto, introduciremos una función auxiliar que nos permite encontrar números primos mayores o iguales a 5 que sean congruentes con 1 módulo 12. Tenga en cuenta que la función 1/Γ es una función entera con ceros simples en los enteros no positivos. es decir, Γ(s) es distinto de cero y meromórfico con polos simples en los números enteros no positivos.
Resultados 53
Comportamiento asint´ otico de la cantidad de enteros representables
Nos interesa el comportamiento asintótico de la cardinalidad de A(Φ{n≥3};N) y para ello utilizaremos el método de Selberg-Delange. Necesitamos algunos resultados relacionados con la serie de Dirichlet, por lo que en esta sección demostraremos algunas propiedades de estas funciones. Usaremos la notación habitual s = σ+it para denotar el número complejo s, usaremos χ para denotar un signo de Dirichlet, L(s, χ) denotaremos la serie de Dirichlet asociada con el signo χ, y cómo es normalχ0 denotaría un protagonista.
Según la fórmula de Stirling dada por el teorema C.1, vemos que para |s| Se satisface lo suficientemente grande en la banda a≤σ ≤b. El siguiente lema será de gran importancia para cumplir las hipótesis del método de Selberg-Delange, en nuestro estudio del comportamiento asintótico del número de números enteros representados por formas binarias ciclotómicas no triviales, proporciona una buena estimación para caracteres cuadráticos primitivos en la región 0≤σ ≤1. Como usaremos el principio de convexidad de Phragm´en-Lindel¨, nos interesa conocer un límite para los extremos de la región 0 ≤ σ ≤ 1, pero consideraremos una región un poco más grande porque tendremos la convergencia absoluta usando el serieP.
Ahora podemos continuar nuestro estudio del comportamiento asintótico de la cardinalidad de A(Φ{n≥3};N). Todos los cálculos posteriores de valores de signos (•p) se derivan de las propiedades dadas en la sección de signos de Dirichlet del Apéndice A. En la región clásica libre de cero de las funciones L -Dirichlet existe c0 > 0 tal que en el dominio.
Todas las hipótesis del Corolario 3.8 se satisfacen con z = 1/4 y obtenemos que existe una serie (βj) tal que para todo M ≥0 se satisface uniformemente para N ≥2 que. Nuevamente para la región adecuada clásica libre de cero tenemos la serie de Dirichlet L(s, χ3).
Un resultado sobre la densidad de las representaciones
El área de la elipse G constriñe el área de soluciones superiormente y el área de la elipse E la constriñe inferiormente. Obtendremos una equivalencia asintótica para la suma del lado derecho de la ecuación; El lector interesado puede consultar [8] para más información sobre los personajes de Dirichlet.
Una de las primeras cuestiones que surge al considerar una serie de Dirichlet es la de la convergencia. El siguiente teorema es particularmente importante porque nos permite calcular la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet. El teorema B.3 nos dice que para s =σ+it∈C con σ < σc no hay convergencia para la serie de Dirichletα(s) =P.
Cuando en la recta σc+it la singularidad no es necesariamente α(s), el comportamiento mencionado dependerá de (an)∞n=1. Hablamos de las series de Dirichlet en general, aunque nos interesan aquellas series de Dirichlet que están relacionadas con funciones aritméticas multiplicativas. En el Teorema B.5 hablamos de singularidades de la serie de Dirichlet y como consecuencia en el caso de χ0 L(s, χ0) tiene un polo en s= 1.
El siguiente resultado es una ecuación funcional para funciones de L-Dirichlet con implicaciones muy importantes para su estudio analítico. En el caso especial del signo cuadrático primitivo χ, tenemos que (χ) = 1 y χ=χ−1, por lo que la ecuación funcional tiene la forma. El teorema anterior junto con el teorema B.12 nos permite concluir que para χ6=χ0, L(s, χ) tiene una expansión entera analítica.
