Matem´atica Discreta
Segundo curso del Grado en Matem´aticas, UAM Curso 2011-2012
Hoja 5
C´alculo de n´umeros y polinomios crom´aticos 1. Decide si los siguientes grafos son bipartitos o no:
2. Calcula n´umeros crom´aticos, polinomios crom´aticos, y el n´umero de formas de colorear con cinco colores para los tres siguientes grafos:
3. Halla el n´umero y el polinomio crom´atico del grafo ruedaRn (n+ 1 v´ertices,nde ellos formando un ciclo, y el restante unido por aristas a todos los dem´as).
4. ¿Cu´antas listas distintas (con repetici´on permitida) de longitud 7 se pueden formar con los cuatro s´ımbolos{a, b, c, d}de manera que en posiciones consecutivas aparezcan s´ımbolos distintos, y que adem´as el s´ımbolo de la posici´on central sea distinto del s´ımbolo en la posici´on primera y del s´ımbolo en la posici´on ´ultima?
5. Calc´ulese el n´umero de 7-listas con repetici´on que se pueden formar con 10 s´ımbolos ajust´andose a las siguientes exigencias: 1) no se puede poner el mismo s´ımbolo en posiciones consecutivas; 2) los tres s´ımbolos centrales han de ser distintos; y 3) las posiciones segunda y sexta han de llevar tambi´en s´ımbolos diferentes.
6. Se han de realizar 13 tareas. Cada una de ellas lleva una hora de trabajo continuo. Se dice que dos de ellas son incompatibles si en ning´un instante se puede estar trabajando en las dos a la vez. Las tareas 11 y 12 son incompatibles entre s´ı e incompatibles con cada una de las numeradas de 1 a 10. Las tareas de 1 a 10 con n´umeros consecutivos son incompatibles.
La tarea 13 es incompatible con todas las dem´as. ¿Cu´antas horas hacen falta, como m´ınimo, para realizar todas las tareas?
7. ¿De cu´antas formas se puede dividir el conjunto {3,5,7,30,42,70}en 4 subconjuntos no vac´ıos, de tal manera que los elementos de un mismo subconjunto son primos entre s´ı?
(Dos n´umeros son primos entre s´ı si su m´aximo com´un divisor es uno).
8. Calcula el polinomio crom´atico del grafo “escalera”En, que tiene |V(En)| = 2n+ 2 v´ertices y |A(En)|= 3n+ 1 aristas:
1 2 3 n
(Sugerencia: “separa” el ´ultimo cuadrado).
9. Sea G un grafo cuyos mn v´ertices son los enteros {1,2, . . . , nm} y cuyo conjunto de aristas es
A(G) =
{a, b} : a−b≡0 (m´odm) . Halla su n´umero crom´atico y su polinomio crom´atico.
Reflexiones sobre n´umeros y polinomios crom´aticos
10. Prueba
que siGes un grafo connv´ertices y todos ellos tienen gradok, entoncesχ(G)≥ n n−k; que el n´umero de aristas de un grafoGes, por lo menos,
χ(G) 2
.
11. Sea G= (V, A) un grafo con n v´ertices y sea Gc su grafo complementario. Es decir, V(Gc) = V(G) (mismos v´ertices) y A(Gc) = A(Kn)\A(G) (contiene las aristas que le
“faltan” a G). Compru´ebese que
χ(G)χ(Gc)≥n .
12. ¿De cu´antas maneras se puede colorear un grafoGusandoexactamente ncolores?
13. En clase se ha calculado el polinomio crom´atico de un grafo que es “uni´on” de dos que comparten un v´ertice o una arista. Se pide demostrar la siguiente generalizaci´on: siGes la
“uni´on” de dos grafosG1 yG2 que comparten unKn, entonces
pG(k) =pG1(k)pG2(k) pKn(k)
(los casos n = 1 y n = 2 son los citados anteriormente). Se pide tambi´en encontrar un contraejemplo que muestre que el resultado an´alogo no es cierto si la intersecci´on de G1
yG2 no es un grafo completo.
