El capítulo 4 analiza el problema de identificar el orden del sistema y especificar los índices de Kronecker. En este capítulo se establece la notación utilizada en el trabajo y se resumen brevemente los principales resultados de los métodos subespaciales.
Modelos en Forma de Espacio de los Estados
La teoría de identificación de sistemas lineales trata de encontrar las matrices, ya sea del modelo (2.1.1) o del (2.1.2), que generen realizaciones de mínima dimensión, es decir, que utilicen el menor número de estados que sean necesarios para representar el sistema dinámico que produce la salida observada. En concreto, los métodos subespaciales buscan la identificación de una realización de mínima dimensión.
Controlabilidad y Observabilidad
Además, como se muestra en Casals et al. 1999), bajo supuestos relativamente débiles, cualquier modelo de la forma general (2.1.1) puede escribirse como (2.1.2) mediante una transformación de sus parámetros. Rosenbrock (1970) muestra que una realización de (2.1.2) tiene una dimensión mínima si y solo si se cumplen las condiciones de control y observabilidad anteriores, que implican que se cumplen las condiciones de rango (2.2). .2) y (2.2.4).
Definiciones de la Estructura Subespacial
De manera similar, (2.1.2) se considera observable si el vector de estado inicial, x0, puede determinarse de manera única a partir de la información de entrada y salida entre los momentos t = 0 y t = n−1. Definición 2.3.6 (Matriz de proyección rectangular) Dada una matriz A ∈ Rm×n con rg(A) =m ≤n, la matriz de proyección rectangular del espacio fila A se denota por ΠA y se define como: ΠA =A +A, donde A+ pseudo Moore-Penrose inversa A.
M´ etodos de Subespacios
Se proponen dos nuevos criterios de detección para d a partir de la evaluación de sus funciones de penalización. En la Sección 5.1, se deriva un nuevo algoritmo de la notación y los resultados presentados en la Sección 2.
Ra´ıces Unitarias y Cointegraci´ on 15
Procesos univariantes
Esta ecuación genera un cierto tipo de función de penalización dependiendo del valor de los parámetros estimados. La figura 3.1.1 muestra una de las distribuciones empíricas seleccionadas y1t junto con su función de penalización ajustada, G4(d > 0).
Procesos multivariantes
De manera similar, los gráficos también proporcionan las funciones de penalización estimadas de que Ga(d > 4) es la función de penalización utilizada para detectar al menos cinco raíces de la unidad y Gb(d > 3) es la función de penalización utilizada para detectar al menos cuatro raíces de la unidad .
Cointegraci´ on
- Rango de cointegraci´ on
- Estimaci´ on de la matriz de cointegraci´ on
La Tabla 3.2.10 también muestra los resultados de estimar el grado de cointegración. A su vez, la Tabla 3.2.11 presenta la estimación del número de relaciones de cointegración.
Conclusiones del Cap´ıtulo
El cálculo de los índices de Kronecker (KI) mediante el método propuesto da buenos resultados con el modelo VARMA trivariado analizado, aunque puede generar un coste computacional importante en sistemas de gran dimensión y con un orden dinámico. amica tambien alta (ya que ambas aumentan el numero de combinaciones de indice). El algoritmo de especificación IK y la estimación mediante métodos subespaciales (SUBEST1), devuelve un conjunto de. Un método rápido para especificar los índices de Kronecker condicionado a la estimación previa del orden del sistema.
Orden del Sistema e Indices de Kronecker 54
Procedimientos a priori
Así, como muestra Bauer (2001), SVC es solo uno de los criterios, sin embargo, muchos otros son posibles, ya que simplemente se trata de comparar la cantidad de información que presenta VS (medida por algún tipo de norma) con una penalización de la función según el tamaño de la muestra. Para obtener una función de penalización que depende del tamaño de la muestra y la dimensión de los subespacios, se procede como en el Capítulo 3. Por otro lado, la función de penalización aparece ajustada a ν1,H(T,i) y la propuesta. de la literatura, C(T).
Procedimientos a posteriori
Por otro lado, el cálculo de la matriz de cointegración existente en una serie de series requiere estimar un modelo en EE e identificar la dimensión del sistema para el mismo. Por tanto, para estimar la matriz de cointegración, el algoritmo propuesto proporciona una especificación automática de n a partir de la información de los criterios y el contraste de hipótesis previas. Para estimar la estructura estacional, la Matriz Estacional de Blok Hankel o período s se define como,.
Ejercicios de simulaci´ on
El modelo sigue siendo de orden 2, y la incorporación de la parte de media móvil mejora la estimación de n en todos los métodos presentados. Nótese cómo el uso de la matriz de ponderación Ω2 en el criterio SV C mejora significativamente los resultados. Los resultados de las simulaciones están en línea con los presentados en las tablas anteriores.
Especificaci´ on de los ´ındices de Kronecker
Definir un conjunto de índices de observabilidad basados en el criterio de selección del modelo. Este procedimiento se basa en una comparación de todos los modelos que especifican un límite superior (ρmax o nmax) que restringe. Por lo tanto, las desviaciones estándar de los parámetros estimados también están disponibles en el algoritmo SUBEST1, que proporciona el IK y devuelve una estimación de la forma VARMAX correspondiente (ver Casals, 1997).
An´ alisis emp´ırico de especificaci´ on autom´ atica
La Tabla 4.2.1 muestra la frecuencia relativa de estimación de los IA con el criterio SBC (predeterminado en SUBEST1) en función del índice de McMillan estimado por NID. La Tabla 4.2.2 muestra el valor promedio de los parámetros estimados de cada una de las matrices del sistema cuando se selecciona correctamente el conjunto de índices. ˆn es la estimación del orden del proceso obtenido como moda de los criterios utilizados en NID y ˆρi es la especificación del conjunto de índices de Kronecker de ˆn y el criterio de información de Schwartz (1978). , SBC.
Conclusiones del Cap´ıtulo
La estimación de MVE se inicializa con el valor real de los parámetros. A modo ilustrativo se muestra el diagnóstico de los errores en la segunda estimación (6.1.3). Respecto a la estimación original, existen algunas diferencias en los valores de los parámetros estimados, principalmente en la matriz de medias móviles.
Estimaci´ on Restringida Basada en M´ etodos de Subespacios 88
Ejercicios de Simulaci´ on
Las tablas 5.2.10 y 5.2.11 muestran los resultados obtenidos para dos modelos de heteroscedasticidad condicional comunes en la literatura financiera. Las tablas muestran los resultados obtenidos con tres modelos univariados no estacionales: Gaussian AR(2), Gaussian ARMA(2,1) y ARMA(2,1) con errores t de Student y un modelo bivariante VARMA(2,1). ). Como era de esperar, los resultados de la Tabla 5.2.10 son similares a los del modelo AR con errores de observación en precisión y eficiencia debido a la cercanía de las dos formulaciones en EE.
Conclusiones del Cap´ıtulo
Este capítulo está dedicado a realizar varios ejercicios empíricos, con datos reales y secuencias simuladas, de los algoritmos presentados en este trabajo. El método de identificación, especificación y estimación de los capítulos anteriores se aplica paso a paso, tanto en el caso univariante regular y/o estacional como en el caso multivariante, con o sin cointegración. La Sección 6.1.2 presenta los resultados del análisis basado en la metodología propuesta de varias series temporales reales y simuladas utilizadas en la literatura.
Modelos Univariantes
- Tr´ afico de Pasajeros de L´ıneas A´ ereas (Box y Jenkins, 1976) 102
Además, el proceso de identificación de series revela la existencia de una representación multiplicativa de ARMA según la literatura. En cuanto al orden del sistema, en la mayoría de las series sin estacionalidad, su calificación en los seis criterios utilizados concuerda con la encontrada en el análisis gráfico de la metodología de Box y Jenkins (1976). La única diferencia significativa entre la puntuación final de la especificación semiautomática y la de la literatura se presenta en la serie H.
Modelos Multivariantes
- Series de Precios de la Harina (Tiao y Tsay, 1989)
- Series de tipos de inter´ es de EEUU (Mart´ın˜Manj´ on y Tread-
La primera estimación arroja valores de los parámetros muy cercanos a los presentados en (6.2.3), donde el elemento (1,3) de la matriz θˆ no es significativo. La tabla de resultados de la estimación del orden del sistema muestra el valor de los diferentes criterios y el p-valor de la prueba de χ2 para el intervalo (0:4). El algoritmo devuelve tanto las estimaciones de los parámetros del modelo como sus desviaciones estándar.
Devuelve una estimación consistente de los parámetros de un modelo en la estructura theta-din. Las estimaciones se obtienen maximizando una función de los parámetros con forma de verosimilitud.
Conclusiones 128
Descomposici´ on en Valores Singulares (SVD)
Los valores singulares de A se denominan σi con i = 1, .., p mientras que los vectores ui y vi son respectivamente los vectores singulares izquierdo y derecho de A.
Coeficientes de Correlaci´ on Can´ onica (CCC)
Las siguientes líneas de código 1) definen el valor de los parámetros de la matriz y simulan el modelo, y 2) estiman la representación escalonada de VARMA. Las siguientes líneas definen el modelo, simulan los datos y estiman los valores de los parámetros. Métodos rápidos de estimación lineal para modelos vectoriales autorregresivos de medias móviles Journal of Time Series Analysis, vol.
Ap´ endice de Algoritmos 138
Algoritmo SUBEST1
Calcula el conjunto óptimo de índices de Kronecker y devuelve la estimación del modelo escalonado VARMAX asociado (solo para series no estacionales). Una vez que se determina el modelo óptimo, se devuelve el conjunto de índices y los parámetros estimados de la representación escalonada VARMAX asociada. Opcionalmente, se puede introducir un vector de variables exógenas (u) y una "bandera lógica" que hace referencia al criterio utilizado para distinguir los índices de Kronecker (ct).
Algoritmo SUBEST1SEAS
Algoritmo SUBEST2
HQ Criterio de información de Hannan y Quinn SVC Criterio de valor singular de Bauer. Sistema NIDC SVD Criterio de identificación de pedidos Desglose de valores singulares. Algoritmo NID para identificación de raíces unitarias, relaciones de cointegración, estimación de matriz de cointegración y determinación del orden del sistema Algoritmo SUBEST1 para especificación y estimación de IK.