INTRODUCCI´ON A LA MATEM´ATICA DISCRETA

(1)

INTRODUCCI ´ ON A LA MATEM ´ ATICA DISCRETA

BOLET´IN DE PROBLEMAS

(2)

(3)

´I NDICE GENERAL

1. R^ECURSION´ 5

2. ARITMETICA ENTERA´ 9

3. ARITMETICA MODULAR´ 19

4. T ´ECNICAS DE CONTAR 31

(4)

(5)

R ^ECURSI _ON ´ 1

Ejercicio 1.1 Encontrar una f órmula expl´ıcita para los términos de la sucesi ón definida por:

u₀ = 0, u₁ = 1, u_n = 5un−1−6un−2 (n≥2)

Ejercicio 1.2 Hallar una f órmula expl´ıcita para los términos de la sucesi ón definida por:

u0 = 1, u1 = 0, un= 6un−1−8un−2 (n ≥2).

Ejercicio 1.3 Hallar una f órmula expl´ıcita para los términos de la sucesi ón definida por:

u₀ = 1, u₁ = 2, u₂ = 3, u_n = 5un−1−8un−2+ 4un−3 (n≥3).

Ejercicio 1.4 Hallar una f órmula expl´ıcita para el término general de la sucesi ón definida mediante

a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 3, a_n−an−1 = 4

(an−1−an−2)−(an−2−an−3)

(n ≥3).

Ejercicio 1.5 Hallar el t´ermino general de las sucesiones definidas por:

(6)

6 RECURSION´

1. u_n= 4un−1 paran ≥1conu₀ = 2.

2. un= 4un−2 paran ≥2conu0 = 2, u1 = 3.

3. u_n+ 5un−1+ 4un−2 = 0paran≥2conu₀ = 1, u₁ = 1.

4. u_n+2+ 5u_n+1+ 4u_n= 0paran≥0conu₀ = 1, u₁ = 1.

5. un+ 5un−1+ 4un−2 = 0paran≥2conu0 = 1, u1 = 3.

6. u_n+2+ 8u_n+1+ 16u_n= 0paran ≥0conu₀ = 1, u₁ = 1.

7. u_n+3+u_n+2−8u_n+1−12u_n= 0paran ≥0conu₀ = 1, u₁ = 1, u₂ = 2.

8. u_n+3−6u_n+2+ 12u_n+1−8u_n= 0paran ≥0conu₀ = 1, u₁ = 1, u₂ = 0.

1. u_n+1−u_n = 2n+ 3paran≥0conu₀ = 1.

2. un+1−un = 3n²−nparan ≥0conu0 = 3.

3. u_n+1−2u_n = 5paran≥0conu₀ = 1. 4. u_n+1−2u_n = 2ⁿparan ≥0conu₀ = 1.

1. u_n+2+ 3u_n+1+ 2u_n= 3ⁿ(n≥0)conu₀ = 0yu₁ = 1. 2. u_n+2+ 4u_n+1+ 4u_n= 7 (n ≥0)conu₀ = 1yu₁ = 2.

Ejercicio 1.8

1. Determinar una f órmula expl´ıcita para el término general de la sucesi ónun definida por la recurrencia lineal y homogénea

u0 = 1, u1 = 6

u_n = 6un−1−9un−2 ∀n≥2

(7)

Recursi ´on 7

2. Determinar una f órmula expl´ıcita para el término general de la sucesi ónu_n definida por la recurrencia lineal no homogénea

u₀ = 1, u₁ = 6

u_n= 4n+ 6u_n−1−9u_n−2 ∀n ≥2

Ejercicio 1.9 Nos regalan tres sellos y decidimos iniciar una colecci ón. El a ño siguiente, la incrementamos con 8 sellos más (tendr´ıamos entonces 11 sellos). Si cada a ño compramos un n úmero de sellos igual al doble de los que compramos el a ño anterior, ¿al cabo de cuántos a ños habremos superado el mill ón de sellos?

Ejercicio 1.10 Los dos primeros términos de una sucesi ón valen, respectivamente, 1 y 2. Sabiendo que cada término es la media aritmética del anterior con la media aritmética de los dos adyacentes (anterior y posterior), se pide:

1. Hallar una f órmula expl´ıcita para los términos de dicha sucesi ón.

2. Describir un procedimiento para calcular el t´ermino 40 realizando, a lo m´as, 10 operaciones (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones).

Ejercicio 1.11 Determina la soluci ón general de una recurrencia lineal no homogénea cuya ecuaci ón caracter´ıstica tiene una ra´ız igual a 2 que es doble, otra ra´ız simple igual a 3 y el término independiente es la funci ón(2n+ 4)2ⁿ.

Ejercicio 1.12 Halla una recurrencia lineal homog´enea cuyo t´ermino general sea 1. un= 3ⁿ⁺²+n3ⁿ⁻²

2. u_n= 2ⁿ⁺¹+n2ⁿ⁻¹ 3. u_n=n5ⁿ⁻²+ 2ⁿ⁺¹ 4. u_n=n2ⁿ⁻¹+ 3n+ 1

(8)

8 RECURSION´

Ejercicio 1.13 Halla la soluci ón general de una ecuaci ón de recurrencia lineal no ho- mogénea cuya ecuaci ón caracter´ıstica tiene una soluci ón simple r₁ = 2 y una soluci ón dobler₂ =−2y el término independiente es la funci ón(3n−6)2ⁿ.

Ejercicio 1.14 La soluci ´on general de la ecuaci ´on

u_n+2+b₁u_n+1+b₂u_n =b₃n+b₄

esc₁2ⁿ+c₂3ⁿ+n−7. Calcula los coeficientesb,1≤i≤4.

Ejercicio 1.15 Calcula el t´ermino general de la sucesi ´on definida por a₀ = 20, a₁ = 22, a₂ = 24

a_n = 4a_n−1−5a_n−2+ 2a_n−3+n·2ⁿ, n ≥3

Ejercicio 1.16 Calcula el t´ermino general de la sucesi ´on definida por a₀ = 0, a₁ = 1

a_n= 3an−1−2an−2, ∀n≥2

Ejercicio 1.17 Resolver la siguiente relaci ´on de recurrencia:

u_n+2+ 4u_n+1+ 3u_n= 3ⁿ (n≥0) con u₀ = 0 y u₁ = 1 Ejercicio 1.18 Resolver la siguiente relaci ´on de recurrencia:

u_n+2−6u_n+1+ 9u_n= 3·2ⁿ+ 7·3ⁿ (n ≥0) con u₀ = 1 y u₁ = 4 Ejercicio 1.19 Calcula el t´ermino general de la sucesi ´on definida por a₀ = 0 y a_n = 2an−1+npara todon ≥1.

Ejercicio 1.20 Calcula el t´ermino general de la sucesi ´on definida por a₀ = 1, a₁ = 2

a_n= 5a_n−1−4a_n−2, ∀n≥2

(9)

A ^RITM ETICA ENTERA ´ 2

Ejercicio 2.1 Usar el principio de inducci ´on para probar que, para todo enteron ≥0, se tiene:

1. n²+ 3nes divisible por2. 2. n³+ 3n²+ 2nes divisible por6.

Ejercicio 2.2 Demostrar por inducci ´on que2ⁿ> n+ 1para todos los enterosn ≥2.

Ejercicio 2.3 Resolver las siguientes cuestiones:

1. Demostrar por inducci ´on paran≥1, que1 + 2 + 3 +· · ·+n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . 2. Hacer una tabla de valores deS_n = 1³+ 2³+ 3³+· · ·+n³ para1≤n≤6. 3. Inducir de la tabla una f ´ormula paraS_n.

4. Demostrar por inducci ón matemática la validez de la f órmula anterior. Si no se consigue, repetir la etapa anterior.

(10)

10 ARITMETICA ENTERA´

Ejercicio 2.4 Probarpor inducci ´onen los enterosn ≥2la igualdad (2n−1) + (2n−3) +· · ·+ 3 =n²−1

Ejercicio 2.5

1. Se considera la sucesi ón(a_n)definida pora₁ = 1ya_n =an−1+nparan ≥2. Hacer uso del método de inducci ón para probar quea_n+a_n−1 = n² cualquiera que sea el enteron≥2.

2. Sin hacer uso del método de resoluci ón de recurrencias lineales, determinar la f órmula expl´ıcita del término general de la sucesi ón(a_n).

Ejercicio 2.6 Probar mediante inducci ´on completa quea_n < ⁷₄n

∀n ∈ Z⁺ donde(a_n) es la sucesi ´on definida por







a₁ = 1, a₂ = 3,

a_n =an−1+an−2, ∀n ≥3

Ejercicio 2.7 Dada la sucesi ´on de Fibonacci definida por







f1 = 1, f2 = 1

f_n=fn−1+fn−2, ∀n ≥3

probar, por inducci ´on enn, que

∀n∈Z⁺ es f1+f3+· · ·+f2n−1 =f2n

Ejercicio 2.8 Dada la sucesi ´on de Fibonacci definida por







f₁ = 1, f₂ = 1

fn=fn−1+fn−2, ∀n ≥3

probar, por inducci ´on enn, que

n

X

i=1

f_i(f_i−1) = (f_n−1)(f_n+1−1)

(11)

Aritm´etica entera 11

Ejercicio 2.9 Demostrar por inducci ´on que siu_nes la sucesi ´on definida por:

u₁ = 3, u₂ = 5, u_n= 3un−1−2un−2 (∀n ≥3),

entonces,u_n = 2ⁿ+ 1para todo enteron ≥1.

Ejercicio 2.10 Demostrar por inducci ´on que si F_n es la sucesi ´on de Fibonacci definida por:

F₀ = 0, F₁ = 1, F₂ = 1, F_n=Fn−1+Fn−2 (∀n ≥3),

entonces,F_n= 1

√5

1 +√ 5 2

!n

− 1

√5

1−√ 5 2

!n

paran ∈N.

Ejercicio 2.11 Demostrar que la sucesi ´on de Fibonacci verifica que mcd (F_n, F_n+1) = 1 para todon ≥1.

Ejercicio 2.12 Probar quec|ayc|bsi, y s ´olo si,c| mcd (a, b).

Ejercicio 2.13 Probar que si elmcd (a, b) = dentoncesa/dyb/dson primos entre s´ı.

Ejercicio 2.14 Probar que para cualquier enteronse verifica que mcd(a, b) = mcd(a, b+a·n)

Ejercicio 2.15 ¿Si a divide a b y c divide a d, debea+cdividir ab+d?

Ejercicio 2.16 Probar que sia, b, c,ydson cuatro enteros mutuamente coprimos entoncesmcd(ab, cd) = 1.

Ejercicio 2.17 Probar que ces m últiplo com ún de a yb si, y s ólo si, es un m últiplo de m=mcm(a, b)

Ejercicio 2.18 Probar o encontrar un contraejemplo de las siguientes implicaciones:

1. a³|b² ⇒a|b 2. a²|b³ ⇒a|b

(12)

Ejercicio 2.19 ¿Qu´e restos se pueden obtener al dividir un cuadrado perfecto entre 3?,

¿y entre 5?, ¿y entre 6?

Ejercicio 2.20 Definimos elm´ınimo com ´un m ´ultiplode dos enterosm, ncomo mcm (m, n) = mn

mcd (m, n) 1. Dar un algoritmo para calcular elmcm de dos n ´umeros.

2. Usar el algoritmo anterior para hallar elmcm de1769y551.

Ejercicio 2.21 Sean a y b dos n ´umeros enteros positivos. Demostrar que si m = mcm (a, b), entoncesmcd (m/a, m/b) = 1

Ejercicio 2.22 Calcularmcd (1485,1745)y expresarlo de la forma1485u+ 1745v. Ejercicio 2.23 Hallarmcd (1092,1155,2002)y expresarlo como1092u+ 1155v+ 2002w. Nota: usar quemcd (a₁, a₂, a₃) = mcd (mcd (a₁, a₂), a₃).

Ejercicio 2.24 Hallarmcd (910,780,286,195). Ejercicio 2.25

1. Demostrar que, para todo enteron,el valor den(n²+ 2)es m ´ultiplo de 3.

2. Deducir, de lo anterior, que la suma de los cubos de tres enteros consecutivos es siempre m ´ultiplo de 9.

Ejercicio 2.26 Probar que sia∈Zno es m ´ultiplo de 2 ni de 3 entoncesa²−1es divisible por 24.

Ejercicio 2.27 ¿Tiene soluciones enteras la ecuaci ´on12x+ 21y = 46? Justif´ıquese la respuesta.

Ejercicio 2.28 Hallar la soluci ´on general de la ecuaci ´on1485x+ 1745y= 15.

(13)

Ejercicio 2.29 Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuaci ´on diof´antica lineal 5x+ 12y= 71.

Ejercicio 2.30 Seac∈ Z⁺con10≤c≤1000.

1. Determinar el m´ınimo valor de cpara el que la ecuaci ´on84x+ 990y = cadmite soluciones. Resolverla en dicho caso.

2. ¿Existe alg ´un valor dec(en el rango especificado) para el que dicha ecuaci ´on admita soluciones positivas?

Ejercicio 2.31 Una determinada empresa desea emitir un anuncio por 2 cadenas de televisi ón con el objetivo de que sea visto diariamente por 910 personas. Al realizar un estudio de audiencia de las dos cadenas se sabe que cada vez que se emite en la primera cadena CTV1 va a ser visto por 325 personas, mientras que en la segunda CTV2 s ólo será visto por 26. ¿Cuántas veces al d´ıa debe emitirse en cada una de las cadenas para cubrir el objetivo previsto de las, exactamente, 910 personas teniendo en cuenta que CTV1 cobra 600 euros cada vez que lo emite y CTV2 s ólo cobra 60?

Ejercicio 2.32 Un coleccionista de obras de arte ha adquirido varios cuadros y dibujos de un artista moderno. Las pinturas le han costado 649 euros cada una y los dibujos se los han dejado a 132 euros cada uno. Cuando el coleccionista llega a su casa, no recuerda si el coste total de las obras de arte ha sido de 2716 o 2761 euros.

1. ¿Cu´anto les han costado exactamente?

2. ¿Cu´antos cuadros y cuantos dibujos ha comprado?

Ejercicio 2.33 La unidad monetaria de INTERIA es el “interio” existiendo ´unicamente billetes de 18, 20 y 45 interios.

1. Probar que se puede realizar una compra por cualquier cantidad entera.

(14)

2. ¿C ómo podr´ıa pagarse 1 interio? ¿es única la soluci ón? Justifica la respuesta.

Ejercicio 2.34 Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por enviar los del tipo A nos cobran 15 céntimos de euro más que por los del tipo B. Sabiendo que hemos enviado más paquetes del tipo B que del tipo A, que en total hemos enviado 12 paquetes y que nos han cobrado un total de 13 euros con 20 céntimos, ¿cuántos hemos enviado de cada tipo y qué nos han cobrado por cada uno?

Ejercicio 2.35 La compa ñ´ıa CABITELEnos cobra por llamar desde una de sus cabinas 50 céntimos de euro el minuto por una llamada a Madrid y 1 euro con 20 céntimos si es a Par´ıs. No contabiliza fracciones, es decir, por 1 minuto y 1 segundo nos cobra 2 minutos.

Si la cabina no devuelve cambio pero podemos (sin colgar) volver a marcar otro teléfono mientras exista crédito, ¿se pueden consumir 10 euros sin perder dinero y sin que se nos corte la llamada teniendo en cuenta que queremos hablar necesariamente con dos personas, una que se encuentra en Madrid y otra que se encuentra en Paris? ¿Cuántos minutos podremos hablar con cada una de ellas? ¿Existe más de una soluci ón?

Ejercicio 2.36 Se considera la ecuaci ón diofántica lineal3x+ 7y=cdondec∈ Z⁺. 1. Hallar la soluci ón general de la ecuaci ón.

2. ¿Cu´al es el m´ınimo valor que puede tomarcpara que la ecuaci ´on posea soluciones positivas?

3. ¿A partir de qué valor decpodemos garantizar que la ecuaci ón siempre va a tener soluciones positivas? (independientemente de que para alg ún valor anterior también puede admitirla).

4. ¿Entre qu´e dos valores debe situarsecpara poder garantizar la existencia de dos soluciones positivas, sin poder garantizar la existencia de una tercera? ¿Podr´ıa darse el caso de que para alguno de los valores encontrados tuviese tres soluciones positivas?

(15)

5. ¿Cuál es el m´ınimo valor que puede tomarcpara que la ecuaci ón admita soluciones pares (tantoxcomoydeben ser pares)? Hallar para dicho valor dectodas las soluciones pares de la ecuaci ón.

Ejercicio 2.37 Encontrar la soluci ´on general de la ecuaci ´on 282x+ 88y = 14. ¿Posee soluciones positivas?

Ejercicio 2.38 Se considera la ecuaci ´onax+ 45y= 150cona <45ymcd(a,45)6= 1.

1. Determinar el mayor valor deapara el que dicha ecuaci ´on admite soluciones enteras.

2. Determinar el mayor valor deapara el que admite soluciones enteras y positivas.

Ejercicio 2.39 Disponemos de láminas de 3 y 5 mil´ımetros de espesor. ¿Cuál es el n úme- ro m´ınimo de láminas que debemos apilar para conseguir un espesor de 31 mil´ımetros?

Ejercicio 2.40

1. Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuaci ´on81x+ 12y= 270.

2. Encontrar la soluci ´on general de la ecuaci ´on2x+ 9y = 270.

Ejercicio 2.41 Resolver la ecuaci ón diofántica 24x+ 16y = 32. ¿Tiene soluciones positivas? ¿Hay alg ún entero positivo cde manera que la ecuaci ón 24x+ 16y = c tenga siempre soluciones no negativas para todo entero mayor o igual ac?

Ejercicio 2.42 El franqueo de una carta es de40c´entimos y se dispone de sellos de4y5 c´entimos. ¿De cuantas maneras se puede hacer?

Ejercicio 2.43 Un turista tiene1000coronas checas y quiere cambiar ese dinero en una cantidad exacta de libras chipriotas y zlotys polacos. El cambio que le ofrece un oficina es el siguiente:1zloty polaco= 13coronas checas;1libra chipriota= 18coronas checas.

La oficina no proporciona fracciones de ninguna moneda, ¿de cu´antas formas diferentes puede dar la oficina el cambio? Describir una de dichas formas.

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Ejercicio 2.44 Usando dos recipientes de capacidades 9 y 7 litros respectivamente y teniendo en cuenta que se dispone de una cantidad ilimitada de agua y de un desag ¨ue,

1. ¿Se puede conseguir medir, exactamente, un litro de agua?

2. Si las capacidades de los recipientes fuesen r y s litros respectivamente, ¿qu´e capacidades podr´ıan medirse?

Ejercicio 2.45 ¿Cu´ales de las siguientes ecuaciones diof´anticas admite soluciones enteras?

1. 234x+ 715y= 807 2. 234x+ 716y= 806 3. 235x+ 715y= 806

Ejercicio 2.46 Se desea invertir 600 euros en la compra de dos tipos de componentes electr ónicos. Suponiendo que el componente de tipo A cuesta 17 euros y el precio del tipo B es de 12 euros. ¿Cuánto deben comprarse de cada tipo de forma que el n úmero de componentes del tipo B sea inferior a los del tipo A?

Ejercicio 2.47 Demostrar que se podr´ıa dar cualquier importe mayor o igual que8euros usando billetes de3y de5euros.

Ejercicio 2.48 En un pa´ıs utilizan monedas de importes17y5.

1. ¿De cu´antas maneras se puede dar en monedas un importe de100?

2. ¿Se puede dar cualquier importe en monedas?

Ejercicio 2.49 Determinar todos los enteros n tales quen³−1sea primo.

Ejercicio 2.50 Probar que si p es primo y p|a^k, entonces p|a y, por tanto, p^k|a^k; ¿es tambi´en v´alido sipes compuesto?

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Ejercicio 2.51 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas, dondeaybson enteros positivos y pprimo? En cada caso, dar una demostraci ón o un contraejemplo.

1. Simcd (a, p²) =pentoncesmcd (a², p²) =p².

2. Simcd (a, p²) =pymcd (b, p²) = p²entoncesmcd (ab, p⁴) = p³. 3. Simcd (a, p²) =pymcd (b, p²) = pentoncesmcd (ab, p⁴) = p². 4. Simcd (a, p²) =pentoncesmcd (a+p, p²) =p.

Ejercicio 2.52 Probar que cualquier n ´umero primop 6= 3es de la forma3q+ 1o3q+ 2 para alg ´un enteroq. Probar que existen infinitos primos de la forma3q+ 2.

Ejercicio 2.53 Encontrar cinco enteros compuestos consecutivos. Probar que para cada enterok ≥1existe una secuencia dek enteros compuestos consecutivos.

Ejercicio 2.54 Probar que sia ≥ 2 ya^m + 1 es primo (como por ejemplo37 = 6² + 1), entoncesaes par ymes una potencia de 2.

Ejercicio 2.55 Probar que sim >1ya^m−1es primo, entoncesa= 2ymes primo.

Ejercicio 2.56 Usar la criba de Erat ´ostenes para hallar todos los primos menores que 100.

Ejercicio 2.57 ¿Para qu´e primospes tambi´en primop²+ 1?

Ejercicio 2.58 Se consideran los n ´umeros de Fermat Fn = 2²ⁿ + 1. Probar, mediante inducci ´on enn, que

F0F1· · ·Fn−1 =Fn−2. ∀n≥1

Ejercicio 2.59 Demostrar que todo n ´umero primo mayor que3es de la forma6n+ 1o 6n+ 5.

Ejercicio 2.60 Seanpyqdos n ´umeros primos conp > q y tales quep·q+ 1tambi´en es primo. Probar, razonadamente, las siguientes afirmaciones:

(18)

1. qha de ser, necesariamente, 2.

2. Sip6= 3entoncesp+ 1es m ´ultiplo de 6.

3. Sip6= 3,pno puede ser un primo de Mersenne.

4. Probar que los n ´umerosF_nde Fermat verifican la recurrencia







F₀ = 3

Fn= (Fn−1−1)² + 1 ∀n≥1

y hacer uso de dicha propiedad para probar que sin ≥ 3entonces F_ntermina en 7.

5. Sip6= 3yp6= 5,pno puede ser un primo de Fermat.

Ejercicio 2.61 Contestarrazonadamentea las siguientes cuestiones independientes.

1. ¿Es cierto que dos n ´umeros enteros positivos y consecutivos son siempre primos entre s´ı? ¿y dos impares consecutivos?

2. Se dice que dos n úmeros primos son gemelos si son impares consecutivos, por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc. ¿Es posible encontrar tres n úmeros impares consecutivos (además de 3, 5 y 7) de forma que los tres sean primos?

3. ¿Puede hacerse la diferencia entre dos n ´umeros primos consecutivos tan grande como se quiera (mayor que cualquier entero positivonpor grande que ´este sea)?

Ejercicio 2.62 Sea p un primo impar y a y b dos enteros tales que p|(a+b)yp|(a−b).

Probar quep²|ab. ¿Se podr´ıa asegurar lo mismo si p no fuese impar?

Ejercicio 2.63

1. Encontrar todas las parejas py q, conp > q, de n ´umeros primos tales que tanto p+qcomop−qtambi´en sean primos.

2. Probar que si p y q, con p > q, son primos tales que pq + 1 tambi´en es primo, entoncesp= 3op+ 1es m ´ultiplo de3.

(19)

A ^RITM ETICA MODULAR ´ 3

Ejercicio 3.1 Sin realizar los productos, calcular los restos de dividir:

1. 37×45entre 35.

2. 79×70entre 75.

3. 34×27entre 29.

Ejercicio 3.2 Hacer uso de congruencias para probar que la condici ón necesaria y sufi- ciente para que un n úmero sea divisible por 4 es que lo sea el n úmero formado por sus dos últimas cifras.

Ejercicio 3.3

1. ¿Qu´e pares de entre los enteros −11,−8,−7,−1,0,3,17 son congruentes m ´odulo 7?

2. Demostrar que sia≡b(mod7), entonces10a+ 13≡ −4b+ 20 (mod7).

(20)

20 ARITMETICA MODULAR´

Ejercicio 3.4 Hallar los inversos de

a) 6enZ₁₁ b) 6enZ₁₇ c) 3enZ₁₀ d) 5enZ₁₂

Ejercicio 3.5 Demostrar por inducci ´on ennque2²ⁿ ≡ 6 (mod10), para todo enteron ≥ 2.

Ejercicio 3.6 Demostrar, por inducci ´on ennque∀n ≥4, 1! + 2! +· · ·+n!≡3 (mod10).

Ejercicio 3.7 Deducir una regla para decidir si un entero es divisible por11, basada en la expresi ´on decimal del n ´umero.

Ejercicio 3.8 Sea pun n ´umero primo. Probar que los ´unicos elementos de Z_p iguales a su propio inverso son1yp−1. Encontrar un contraejemplo para el caso en quepno sea primo.

Ejercicio 3.9 Demostrar que sipes primo, entoncesp|((p−1)! + 1).

Ejercicio 3.10 Hallar la soluci ´on general de la congruencia12x≡9 m´od 15.

Ejercicio 3.11 Hallar el n ´umero de soluciones distintas que tienen las siguientes congruencias (en caso de que tengan soluci ´on):

1. 225x≡18 m´od 31315, 2. 1235x≡65 m´od 25948.

Ejercicio 3.12 Para cada una de las siguientes congruencias, decidir cuáles tienen soluci ón y cuáles no, encontrando la soluci ón general.

1. 3x≡5 m´od 7.

2. 12x≡15 m´od 22.

(21)

Aritm´etica modular 21

3. 19x≡42 m´od 50.

4. 18x≡42 m´od 50.

Ejercicio 3.13 ¿Existe alg ´un m ´ultiplo positivo de 91 terminado en 15? En caso afirmativo, hallar todos los comprendidos entre 10000 y 30000.

Ejercicio 3.14 Para todon∈N, seaAn = 2ⁿ+ 4ⁿ+ 8ⁿ. 1. Probar que sin≡m m´od 3entoncesA_n≡A_m m´od 7.

2. Probar, sin hallar su expresi ón decimal, que el n úmero cuya expresi ón en binario viene dada por1000100010000, es divisible entre 7.

Ejercicio 3.15 Six≡2 mód 3yx≡3 mód 5, ¿cuánto esx mód 15?

Ejercicio 3.16 Determinar si los siguientes sistemas de congruencias tienen soluci ´on, y en caso afirmativo, hallar la soluci ´on general

1. x≡1 mód 4, x≡2 mód 3, x≡3 mód 5.

2. x≡2 mód 7, x≡7 mód 9, x≡3 mód 4.

3. 3x≡6 mód 12, 2x≡5 mód 7, 3x≡1 mód 5.

4. x≡13 mód 40, x≡5 mód 44, x≡38 mód 275. 5. 2x≡2 mód 12, x≡5 mód 14, x≡4 mód 21. 6. 5x≡5 mód 6, 3x≡1 mód 14, x≡ −2 mód 21. Ejercicio 3.17 Resolver el sistema de congruencias











x≡1 (mod6) x≡1 (mod12) x≡1 (mod15)

(22)

Ejercicio 3.18 Resolver la congruencia91x≡419 m´od 440.

(Indicaci ´on: transformarla en un sistema).

Ejercicio 3.19 Hallar la soluci ´on general de la congruencia 54x≡342 m´od 23400.

Ejercicio 3.20 Encontrartodaslas soluciones comprendidas entre 1000 y 2000 del siste-

ma 









2x ≡ 4 mód 10 7x ≡ 19 mód 24 2x ≡ −1 mód 45

Ejercicio 3.21 Dado el sistema











x ≡ 4 mód 8 x ≡ a mód 6 x ≡ −1 mód 15

1. Determinar todos los posibles valores del par´ametroa∈Zque hacen que el sistema tenga soluci ´on.

2. Probar que la soluci ón del sistema, en caso de tener soluci ón, es independiente del parámetroa.

3. Resolver el sistema en los casos en que tiene soluci ´on.

Ejercicio 3.22 Hallar el valor de n sabiendo que se trata del menor m ´ultiplo de 4, no inferior a 250, que da de resto 4 tanto si lo dividimos entre 6 como si lo hacemos entre 9.

Ejercicio 3.23 En una pe ña hay más de 10y menos de100 personas que quieren jugar una competici ón dividiéndose en equipos iguales, pero tienen un problema: les sobra siempre una persona para poder formar equipos de2, 3, 4, 5o6. Hallar el n úmero de personas de la pe ña.

(23)

Ejercicio 3.24 Se han comprado72objetos iguales, cada uno de los cuales tiene un precio en euros dado por un n ´umero entero. La factura se ha encontrado rota y s ´olo se ha recuperado un fragmento del que se deduce que el importe total fuex06y, dondexey representan d´ıgitos decimales ilegibles. Encontrar el precio de cada objeto.

Ejercicio 3.25 Siete ladrones tratan de repartir, entre ellos y a partes iguales, un bot´ın de lingotes de oro. Desafortunadamente, sobran seis lingotes y en la pelea que se desata muere uno de ellos. Como al hacer de nuevo el reparto sobran dos lingotes, vuelven a pelear y muere otro. En el siguiente reparto vuelve a sobrar una barra y s ólo después de que muera otro es posible repartirlas por igual. ¿Cuál es el m´ınimo n úmero de barras para que esto ocurra?

Ejercicio 3.26 Una banda de 20 piratas trata de repartirse un bot´ın de entre 5000 y 10000 monedas de oro. Al intentar hacer un reparto equitativo les sobran 15 monedas que se disputan entre ellos y como consecuencia de la pelea muere uno de los piratas. Deciden hacer de nuevo un reparto equitativo pero les vuelven a sobrar 15 monedas. En una nueva disputa vuelve a morir otro de los piratas y al volver a efectuar el reparto les sobran 3 monedas.

1. Calcular el n ´umero de monedas del bot´ın.

2. Si la historia contin úa, es decir, siempre que sobren monedas se organiza una re- yerta y muere uno de los piratas, ¿cuántos quedarán vivos cuando en el reparto no sobre ninguna moneda? La respuesta no tendrá validez si se calcula eliminando sucesivamente piratas hasta dar con la soluci ón.

Ejercicio 3.27 Se dispone de una cantidad par de monedas. Si formamos montones de 17 monedas cada uno nos sobran 8 monedas, mientras que si, con la mitad de las monedas iniciales, se forman montones de 7 nos sobran 3. Calcular la cantidad de monedas de que se dispon´ıa sabiendo que su n úmero era inferior a 600. En caso de existir más de una soluci ón ¿existe alguna de ellas para la que 7^N mód 31 = pdondeN representa la soluci ón buscada ypun n úmero primo? ¿Es ahora única la soluci ón?

(24)

Ejercicio 3.28

1. Resolver el sistema de congruencias











3x≡2 (mod7) 21x≡15 (mod30)

6x≡5 (mod25)

2. Probar que sixes una soluci ´on cualquiera del sistema anterior, existen enterosα yβ tales quexα+ 28β = 1.

Ejercicio 3.29 Sean a, b y c tres enteros positivos tales que a|b. Si al dividir c entre a obtenemos un resto r y al dividir c entre b un resto s, ¿qu´e resto se obtiene de la divisi ´on de s entre a?

1. Razonar el ejercicio haciendo uso del algoritmo de la divisibilidad y no de congruencias.

2. Repetirlo haciendo uso de congruencias y no del algoritmo de la divisibilidad.

Ejercicio 3.30 Usar el Teorema de Fermat para calcular el resto de la divisi ´on entera de 3⁴⁷entre23.

Ejercicio 3.31 Utilizar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir 1. 5²⁸⁵⁷⁴entre 17.

2. 35³⁴⁶ entre 41.

Ejercicio 3.32

1. Utiliza el Teorema de Fermat para calcular3³⁰² mód 5,3³⁰² mód 7y3³⁰² mód 11 2. Utilizando el resultado del apartado anterior y el teorema chino del resto calcular

3³⁰² m´od 385

Ejercicio 3.33 Encontrar los valoresφ(19),φ(20)yφ(21).

(25)

Ejercicio 3.34 Encontrar todos los valores denpara los queφ(n) = 16.

Ejercicio 3.35 ¿Para qu´e valores denesφ(n)≡2 m´od 4?

Ejercicio 3.36

1. Encontrar todos los valores denpara los queφ(n) = n/2.

2. Encontrar todos los valores denpara los queφ(n) = n/3.

Ejercicio 3.37 Enumerar todas las posibilidades parande modo queφ(n)sea m ´ultiplo de 4.

Ejercicio 3.38 Demostrar queφ(n)es par para todon≥3.

Ejercicio 3.39 Sea p un n úmero primo mayor que 3 yα, β dos enteros positivos. Si la descomposici ón en factores primos de un n úmeronesn = 2^α·3^α·p^β, se pide:

1. Hallarnsabiendo queφ(n) = 216, siendoφla funci ´on de Euler.

2. En el caso de existir m´as de una soluci ´on del apartado anterior, elegir dos de ellas, n₁ yn₂y hallarφ(|n₁−n₂|).

Ejercicio 3.40 Hallar el m´ınimo com ún m últiplo de dos n úmeros a y b sabiendo que la descomposici ón en factores primos de cualquiera de los dos posee s ólo dos factores primos, que su máximo com ún divisor es 3 y queφ(a) = 72yφ(b) = 4.

Ejercicio 3.41 ¿Puede conocerse un entero positivo sabiendo que es menor que 100 y conociendo los restos de sus divisiones entre 3, 5 y 7?

Ejercicio 3.42 Conocemos que simcd(a, b) = 1, entoncesφ(a)φ(b) = φ(ab). ¿Es cierto el rec´ıproco? Demostrarlo o dar un contraejemplo, seg ´un sea el caso.

Ejercicio 3.43 Usando el Teorema de Euler y sabiendo que 59437 es divisible por 49, calcular5⁵⁰⁹⁰⁵(mod59437).

(26)

Ejercicio 3.44 Sabiendo quen es el producto de dos primos y el valor de su funci ´on de Euler esφ(n) = 24, hallarn.

Ejercicio 3.45 De cu´antas maneras podemos elegir dos enteros a y b con las condiciones 12≤a ≤14y12≤b≤15para que

1. la ecuaci ónax≡btenga soluci ón única enZ₁₅. 2. dicha ecuaci ón admita más de una soluci ón enZ₁₅.

Ejercicio 3.46 Utilizar el Teorema de Euler junto con el Teorema Chino de los restos para probar quen¹² ≡1(mod 72) para cualquier entero n primo con 72.

Ejercicio 3.47 Halla el valor de n sabiendo que se trata del menor m ´ultiplo de 4, no inferior a 250, que da de resto 4 tanto si lo dividimos entre 6 como si lo hacemos entre 9.

Ejercicio 3.48 Probar, mediante congruencias, que3²ⁿ⁺⁵+ 2⁴ⁿ⁺¹ es divisible por7cual- quiera que sea el enteron≥1.

Ejercicio 3.49 Consid´erese el sistema de congruencias lineales

2x≡4 (mod10), 7x≡19 (mod24), 2x≡ −1 (mod45)

1. Encontrar los enteros positivosa, b, c, n1, n2, n3 tales que el sistema dado sea equivalente a este otro

x≡a(mod n₁), x≡b(mod n₂), x≡c(mod n₃)

2. Probar que se verifican las hip ótesis del Teorema Chino de los restos generalizado y que, por tanto, el sistema admite soluci ón. Reducirlo a otro sistema equivalente en ele que los m ódulos sean mutuamente primos entre s´ı.

3. Encontrar todas las soluciones del sistema comprendidas entre 1000 y 2000.

(27)

4. Seanm la menor yM la mayor de las soluciones encontradas. ¿Se puede asegurar si son primos o compuestos sabiendo que 2^m ≡ 1048 (mod M)? Justifica las respuestas.

Ejercicio 3.50

1. Demostrar que para todo enteronel valor den(n²+ 2)es m ´ultiplo de 3.

2. Deducir de lo anterior que la suma de los cubos de tres enteros consecutivos es siempre m ´ultiplo de 9.

Ejercicio 3.51 En un pa´ıs se utilizan monedas de valor17y5.

1. ¿De cu´antas maneras se puede dar en monedas un importe de100? 2. ¿Se puede dar cualquier importe mayor o igual a22en monedas?

Ejercicio 3.52 Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos es siempre m ´ultiplo de6.

Ejercicio 3.53 Probar que1729y2821son n ´umeros de Carmichael.

Ejercicio 3.54

1. Probar que 561 es de Carmichael.

2. Probar que no existe ning ún n úmero de Carmichael de la forma21psiendopun n úmero primo.

3. Probar que el ´unico n ´umero de Carmichael de la forma33p, conpprimo, es 561.

Ejercicio 3.55 Probar que no existe ning ún n úmero de Carmichael de la forman= 55·m siendomun n úmero libre de cuadrados y primo con 55.

Ejercicio 3.56 Encontrar dos n ´umeros de Carmichael de la forma13·61·pdonde p es primo.

(28)

Ejercicio 3.57 Encontrar un n ´umero de Carmichael de la forma 7 ·23· p, donde p es primo.

Ejercicio 3.58

1. Hallar dos n ´umeros primos p y q (con p < q) tales que 91.p y 91.q sean ambos n ´umeros de Carmichael.

2. Aplicar el test de base 2 al n ´umeron =p.qpara determinar si se trata, o no, de un pseudoprimo.

3. Sin calcular su valor, determinar en qu´e cifra termina el n ´umerop^q−q^p.

Ejercicio 3.59 Sean p, p₁, p₂ yp₃ cuatro n ´umeros primos tales quep₁ < p₂ < p₃ yp = p²₁+p²₂+p²₃.Probar que

1. p₁no puede ser 2

2. p₁ha de ser necesariamente igual a 3.

3. Sip = 419¿cuánto pueden valorp₂ yp₃? En caso de existir más de una soluci ón,

¿existe alguna para la que el n ´umeron =p₁·p₂·p₃sea de Carmichael?

Ejercicio 3.60 Hallar tres n ´umeros primos p₁, p₂ y p₃ con 5 < p₁ < p₂ < p₃ < 37tales quen=p1·p2·p3ym= 37·p1·p2·p3sean n ´umeros de Carmichael.

Ejercicio 3.61 Realizar la codificaci ´on RSA de “HELLO” con r = 1, y la clave p ´ublica (101,3). Comprobar decodificando el resultado.

(Nota: utilizar la conversi ´on A=01, B=02, C=03, . . . , Y=26, Z=27).

Ejercicio 3.62 Decodificar el mensaje 1914, sabiendo que la clave p ´ublica es (2803,113) yr = 1.

(Nota: utilizar la conversi ´on A=01, B=02, C=03, . . . , Y=26, Z=27).

(29)

Ejercicio 3.63 Realizar la codificaci ´on RSA de la palabra HOLA, tomandor = 4, y con la clave p ´ublica(3524084471,5), sabiendo que3524084471 = 59359×59369. Comprobar el resultado decodificando.

Ejercicio 3.64 Utilizando el alfabeto{ , E, M, N, O, P, R, S}y numerando sus elementos del 0 al 7 respectivamente, descifrar el mensaje061−026−091−014−035−094−021 sabiendo que fue cifrado mediante un c ´odigo RSA conr = 2y que la clave p ´ublica es (101,67).

Ejercicio 3.65 Utilizando el alfabeto{ , A, B, C, D, E}y numerando sus elementos del 0 al 5 respectivamente. Si tomamos, para un c ´odigo RSA, la clave p ´ublica(12,5)conr= 2 se pide:

1. Cifrar el mensaje BECA.

2. Descifrar el mensaje cifrado en el apartado anterior.

3. ¿Qu´e es lo que falla? Justifica la respuesta.

Ejercicio 3.66 Utilizando el alfabeto { , A, D, E, I, L, N, O, R, U} y numerando sus elementos del 0 al 9 respectivamente, descifrar el mensaje

798−012−450−847−822

sabiendo que fue cifrado mediante un c ódigo RSA conr = 3y clave p ública(1009,605). Ejercicio 3.67 Utilizando el alfabeto { ,A, B, C, D, E, I, Ñ, O, S, T} y numerando sus elementos del 00 al 10 respectivamente, se pide:

1. Si queremos cifrar mensajes mediante RSA tomandor= 2(dividiendo el texto en grupos de dos letras) ¿es correcta la clave(n, e) = (1213,485)? Justifica la respuesta.

2. Teniendo en cuenta que se ha utilizado dicha clave, descifrar el mensaje 466−1117−952−533−295−359

(30)

Ejercicio 3.68 El identificador ISBN de los libros es un c ´odigo de 10 d´ıgitos(x₁−x₂x₃− x₄x₅x₆x₇x₈x₉−x₁₀)con identificadores por bloques, donde el ´ultimox₁₀es un d´ıgito de control (un d´ıgito o la letra X), que verifica

10

X

i=1

ix_i ≡0 m´od 11

1. Si los nueve primeros valores del ISBN de un libro es0−07−053945.¿Cu´al es el valor dex₁₀?

2. Si para otro libro, su ISBN es0−201−57a89−1. Encontrar el valor dea

(31)

T ´ ECNICAS DE CONTAR 4

Ejercicio 4.1 Se recibe de Secretar´ıa la siguiente informaci ón: cada alumno de una determinada titulaci ón está matriculado en cuatro de las siete asignaturas que se ofertan, las listas de alumnos por asignaturas están constituidas por 52, 30, 30, 20, 25, 12 y 18 alumnos respectivamente. ¿A qué conclusi ón nos lleva dicha informaci ón?

Ejercicio 4.2 En una clase de m úsica con 73alumnos hay 52que tocan el piano, 25 el viol´ın,20la flauta,17tocan piano y viol´ın,12piano y flauta,7viol´ın y flauta y s ólo hay 1que toque los tres instrumentos. ¿Hay alg ún alumno que no toque ninguno de los tres instrumentos?

Ejercicio 4.3 Una multinacional tiene 10000 empleados de los cuales 5600 hablan inglés, 4400 francés y 2200 castellano. Se sabe que cualquiera de ellos habla, al menos, uno de los tres idiomas, que 1600 hablan inglés y francés, 200 francés y castellano y 100 hablan los tres idiomas. Si el director general habla inglés y castellano, ¿con cuantos empleados puede comunicarse sin necesidad de intérprete? ¿Cuántos empleados hablan únicamen- te castellano?

(32)

32 T ´ECNICAS DE CONTAR

Ejercicio 4.4 Hallar cu´antos enteros hay en el rango1≤n ≤1000que no son divisibles ni por2ni por3ni por5.

Ejercicio 4.5 Describir un m´etodo para generar todas las permutaciones denelementos a partir de las den−1elementos.

Ejercicio 4.6 ¿Cu´antas cadenas de diez bits comienzan con000o bien terminan con00?

Ejercicio 4.7 Probar que en cualquier grupo de 6 personas, o hay 3 que se conocen entre s´ı o hay 3 que son mutuamente desconocidos.

Ejercicio 4.8 SeaCun conjunto de 5 enteros positivos no superiores a 9. Demostrar que existen, al menos, dos subconjuntos deCcuyos elementos suman lo mismo.

Ejercicio 4.9 ¿De cu´antas maneras puede un fot ´ografo de boda ordenar un grupo de 6 personas si

1. los novios deben salir juntos en la foto?

2. los novios no pueden salir juntos en la foto?

3. la novia debe salir en alg ´un puesto a la izquierda del novio?

Ejercicio 4.10 ¿Cuántas matr´ıculas se pueden formar utilizando bien tres letras may úsculas seguidas de tres d´ıgitos o bien cuatro letras may úsculas seguidas de dos d´ıgitos? (Las letras se extraen del alfabeto inglés que consta de 26 letras)

Ejercicio 4.11 En un grupo hay nhombres ynmujeres. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar estas personas en una fila si los hombres y las mujeres se debe alternar?

Ejercicio 4.12 ¿Cu´antas cadenas de diez bits contienen 1. exactamente cuatro unos?

2. como mucho cuatro unos?

(33)

T´ecnicas de contar 33

3. al menos cuatro unos?

4. una cantidad igual de unos que de ceros?

Ejercicio 4.13 ¿De cuántas formas se puede seleccionar una comisi ón para dise ñar el programa de un curso de matemática discreta en la escuela de informática si la comisi ón debe estar compuesta por tres miembros del departamento de informática (que tiene nueve miembros en total) y cuatro del departamento de matemáticas (que tiene once)?

Ejercicio 4.14 ¿De cu´antas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra XSIAON de modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan?

Ejercicio 4.15 Una empresa posee seis ordenadores y los quiere colocar en red. Si cada ordenador debe conectase con otros dos, y s ólo con otros dos, ¿cuánto tiempo tardarán en estudiar todas las configuraciones posibles, para encontrar la más adecuada, si em- plean dos minutos en analizar cada una de ellas por separado?

Ejercicio 4.16 Por un canal de comunicaci ón, se va a transmitir un mensaje usando 12 s´ımbolos diferentes. Además de estos 12 s´ımbolos, el transmisor también enviará un total de 45 espacios en blanco entre los s´ımbolos, con tres espacios como m´ınimo entre cada par de s´ımbolos consecutivos ¿de cuántas formas se puede mandar el mensaje?

Ejercicio 4.17

1. ¿De cu´antas formas se pueden colocar diez bolas iguales en ocho cajas distintas?

2. ¿En cu´antas de ellas queda al menos una caja vac´ıa?

Ejercicio 4.18 ¿Cu´antas cadenas de 8 bits comienzan por 101 o tienen el cuarto bit igual a 1?

Ejercicio 4.19 ¿Cuántos n úmeros de teléfono de 5d´ıgitos tienen un d´ıgito que aparece más de una vez?

(34)

34 T ´ECNICAS DE CONTAR

Ejercicio 4.20 Determinar el n ´umerobde formas en que podemos ordenar las letras de la palabra EXAMEN teniendo en cuanta que las dos letras E no pueden ir juntas.

Ejercicio 4.21 ¿Cu´antas palabras de longitud 3 (sin repetir signos) pueden escribirse con un alfabeto de 256 letras teniendo en cuenta que dos determinados signos (por ejemplo, las letras “a” y “b”) no figuren nunca juntos (consecutivos)?

Ejercicio 4.22 ¿C ómo se pueden distribuir 25 caramelos entre cuatro ni ños? ¿Y si se a ñade la condici ón de que cada ni ño recibe al menos tres caramelos y no más de ocho?

Ejercicio 4.23 De los enteros entre100y999, ambos inclusive, 1. ¿cu´antos son divisibles por7?

2. ¿cu´antos son impares?

3. ¿cu´antos tienen los tres d´ıgitos iguales?

4. ¿cu´antos son divisibles por3y por4?

5. ¿cu´antos no son divisibles ni por3ni por4? Ejercicio 4.24 Probar las igualdades:

a)



 r k



= r k



 r−1 k−1



 b) r



 r−1

k



= (r−k)



 r k





INTRODUCCI´ON A LA MATEM´ATICA DISCRETA