Una forma muy útil de representar la información de un grafo G= (V, A) es a través de su matriz de vecindad (o matriz de adyacencia). Si los dos números coinciden, por ejemplo en el valor k, todos los vértices del grafo tendrán grado k, y hablaremos de un grafo k-regular.
Almas en acci´ on 10
Pero, tenía que haber un pero, impusimos un orden falso en los nodos de nivel 1, que no existe. Más rápidamente, para ver que estos gráficos no son isomorfos, basta notar que el gráfico de la izquierda tiene un par de vértices de grado 2 que son adyacentes entre sí (propiedad de invariancia del isomorfismo), mientras que el de la derecha no no.
Sobre cuerpos y almas
Algunas familias de grafos
En el otro extremo encontramos los grafos vacíos Nn, con n vértices y sin aristas (son grafos complementarios a los completos, ver problema 10.1.6). Un grafo bipartito con r vértices de un tipo y s de otro puede obtenerse de Kr,s eligiendo un subconjunto de las aristas (para la caracterización de grafos bipartitos, vea el Ejercicio 10.1.11).
Paseos
Enlace Si el lector observa atentamente las dos gráficas Si el lector observa atentamente las dos gráficas que dibujamos a la derecha, comprobará que la diferencia fundamental entre ellas es que en la gráfica G2 los bordes de la gráfica nos dan permiso para "alcanzar" de.
Conexi´ on y componentes conexas
Esto significa que el gráfico debe contener un número "suficientemente grande" de aristas. Vea a la derecha un dibujo de un gráfico con 7 aristas y 6 nodos que no está conectado.
N´ umero de paseos, matriz de vecindades y conexi´ on
Como una entrada de matriz (i, j). donde In representa la matriz identidad n×n) contiene información sobre el número de caminatas con longitud a lo sumo −1 que existen entre los puntos vi y vj, demostramos que el Teorema 10.4 Si cualquier entrada de la matriz . Sin embargo, este método requiere el cálculo de las n-1 primeras potencias de la matriz M, una tarea que generalmente es muy costosa pero no perfecta.
Paseos eficientes
Por ejemplo, tome la primera fila de la matriz, etiquetada con el vértice v1: las posiciones que no contienen ceros determinan los vértices del componente conexo al que pertenece v1. En la sección 10.2.2 revisaremos métodos más eficientes para determinar si un gráfico es conexo o no.
Distancias en un grafo (conexo)
Arboles ´
La familia Bernoulli de Basilea es quizás la familia más famosa en la historia de las Matemáticas. Ya hemos hablado de los más destacados en capítulos anteriores (Daniel en la página 468, Jacob en la página ??; hablaremos de Johann en la página 919). Es un gráfico cuyos vértices están marcados con los nombres de los miembros de la familia, que tiene una estructura muy específica.
El lector los encontrará por doquier: en el diseño y presentación de los pasos secuenciales del algoritmo, en la descripción de los contenidos del ordenador desplegados por el Explorador de Windows, etc. Los ganadores de las Medallas Fields, equivalentes al Premio Nobel de matemáticas, se anuncian en cada Congreso (cortesía de los Premios Abel recientemente establecidos).
Definici´ on de ´ arbol y caracterizaciones
Al agregar una arista entre los vértices, tendremos una caminata cerrada (con al menos tres vértices), a partir de la cual podemos derivar un ciclo. En el otro sentido, sea G un grafo libre de ciclos para el cual la suma de cualquier arista supone la formación de un ciclo. Podemos aplicar la hipótesis de inducción a estos dos árboles para deducir lo que buscábamos.
Si contuviera un ciclo, podríamos eliminar un borde a de ese ciclo sin romper el gráfico. Resumamos las propiedades que hacen de un grafo G un árbol: es conexo, no tiene ciclos, tiene |A(G)| = |V(G)| −1 aristas: si quitamos una arista, se interrumpe; y si añadimos una arista, se forma un ciclo.
Sucesi´ on de grados de un ´ arbol
Contando el n´ umero de ´ arboles distintos
Cayley y Sylvester26 estaban muy interesados en la cuestión de enumerar ciertos compuestos orgánicos, uno de los primeros intentos serios de matematizar la química. Un caso particularmente ilustrativo son los diversos grafos (es decir, etiquetados) que se pueden formar con un conjunto dado de vértices, de los cuales ya sabemos que hay 2(n2). En el caso que nos ocupa, el de los árboles con n vértices, que Cayley ya conocía27, la respuesta es también una fórmula (sorprendentemente) sencilla.
Si el conjunto de vértices es {1,2}, entonces también hay un árbol único (los dos vértices etiquetados como "posibles" dan el mismo resultado). En el lenguaje de grafos, P(m, k) cuenta el número de bosques (con m +k vértices) formados por árboles enraizados, donde las raíces están etiquetadas con los nombres de los jefes
Arboles abarcadores de un grafo ´
En cada paso, se conectan gráficos sucesivos; cuando el número de aristas |V(G)| llegar a −1, habremos llegado a un árbol de expansión. Q(G)| −1 +k, con k ≥ 0, entonces podemos quitar k aristas (elegidas convenientemente para no perder conectividad) y quedarnos con un árbol de expansión. El criterio para eliminarlos sería identificar y "romper" los ciclos del gráfico.
Sin embargo, hay algoritmos mucho más eficientes para construir un árbol de expansión en un gráfico (o inferir que no hay ninguno). En estos procedimientos, en lugar de eliminar bordes, el árbol se "crece" en pasos sucesivos, como veremos en un momento.
Algoritmos de b´ usqueda en grafos y (su conexi´ on con) conexi´ on
Tenga en cuenta que al "ubicar" nuevos vértices, cada borde se examina como máximo dos veces (una vez para cada uno de sus extremos), por lo que el número de pasos en este algoritmo es 34 O(|A|). El árbolT así generado es un árbol de expansión del componente conexo que contiene el vértice v1. Como cada arista del grafo se usa como máximo dos veces en el algoritmo (una en el "adelante", otra en el "atrás"), el número de pasos del algoritmo también será aO(|A| ) (o tal vez comoO (|V|+|A|)), lo que nuevamente nos da O(n2) si el gráfico tiene n vértices.
Cuando estamos en el punto 13 (que es v6), vemos que todos sus vecinos ya han sido visitados, por lo que volvemos a v5 (punto 9). Volveremos a esta pregunta en la subsección 11.4.2, aunque allí en el contexto más general de los gráficos ponderados.
El n´ umero de ´ arboles abarcadores de un grafo
Representaci´ on de algoritmos con ´ arboles con ra´ız
Un árbol con raíz no es más que un árbol en el que designamos un vértice especial, la raíz, que sirve de origen de coordenadas. En el peor de los casos, utilizaremos cuatro pesos para obtener la respuesta (aunque a veces podemos obtenerla con menos). Diseñamos el siguiente algoritmo: en el primer paso comprobamos si el primer elemento es menor o igual que el tercero.
En el segundo, vemos si el primero es menor o igual que el segundo, y luego procedemos como antes, dependiendo de la respuesta. Finalmente, en el tercer paso, examinamos si el segundo es menor o igual que el tercero (notamos que aquí hay respuestas que son incompatibles con las anteriores).
El número de resultados posibles es 2r + 1, porque por cada moneda hay dos posibles (pesar más o menos de lo legal) y hay un resultado adicional, que es que todas son legales. Si llamamos Pnal al número de hojas que tiene el árbol del juego de Nim con n monedas, tendremos eso. Por supuesto, los roles de I y II se invierten, pero esto no afecta la cantidad de hojas que tiene cada árbol.
Por supuesto, el número de hojas en todo el árbol es la suma del número de hojas que tiene cada subárbol, es decir Los valores iniciales son P1 = 1 y P2 = 2; por lo que el número de hojas en el juego Nim de n monedas es solo un número de Fibonacci.
La poda de un ´ arbol binario
Estrategias para ganar
El lector comprensivo pensará sin duda (¡no lo niegue, lector!) que estos ejercicios de aplicación de técnicas combinatorias son muy buenos: nos permiten saber de antemano (aunque después de un cuidadoso análisis). análisis) si nos encontramos ante una partida potencialmente larga, o por el contrario, una partida que se resuelve en pocas jugadas. En definitiva, el lector nos exigirá a 40 que nos dejemos de tonterías y nos preguntemos si este análisis de los juegos con árboles sirve o no para ganar. Así, por ejemplo, si el lector es el jugador que hace el primer movimiento, tendrá tanto las partidas que ganaría como las que perdería.
40 Con buen tono y modales, después de calmarse, porque el lector será el verdadero ganador, así sea un caballero o una dama, escuche. Obsérvese al lector que el mus no cumple esta propiedad porque cada jugador no conoce las cartas de los demás.
El an´ alisis sobre el ´ arbol
Pero baste por el momento señalar que significa que los intereses de los participantes en el juego son opuestos y no habrá intención (o incluso posibilidad) de cooperación entre ellos. En Nim, una estrategia del jugador I dicta si elige izquierda o derecha en cada vértice etiquetado como I, es decir, en los vértices de los niveles 0, 2, 4. Si, por el contrario, el jugador I elimina dos fichas en el primer movimiento, por lo que II solo necesita eliminar uno de ellos para jugar otra partida parcial a su favor.
En Nim-6, el segundo jugador siempre ganará, si se apega a la estrategia extraída del análisis del árbol. Para un juego como el ajedrez, como señalamos anteriormente, el análisis en el árbol está más allá del poder computacional de las computadoras actuales.
Valores
Grafos dirigidos
Tenga en cuenta que detectar un borde requiere decidir qué punto final es el vértice inicial, es decir, la disposición de un par de vértices. El lector debe notar la diferencia con la Definición 10.1 de la noción habitual de un gráfico. 46 El lector debe notar que en español se acostumbra usar los términos "dirección" y "sentido" como sinónimos.
Insistamos, lector, en el asunto en el siguiente esquema:. sin bucles) ⇐⇒ Matriz simétrica de ceros y unos. Si permitimos bucles, el lector debe eliminar la condición "con ceros en la diagonal".
Conexi´ on en grafos dirigidos
Matriz de vecindad de un grafo dirigido y transitividad de relaciones Si un grafo dirigido es esencialmente lo mismo que una relación arbitraria (binaria), .
Matriz de vecindades de un grafo dirigido y transitividad de relaciones Como un grafo dirigido es esencialmente lo mismo que una relaci´ on (binaria) arbitraria,
La matriz de vecindades, el ´ Algebra lineal y el buscador Google
La expresión nos resulta familiar: es un problema de valores propios y vectores propios en el que nos interesa encontrar x, un vector propio de la matriz M. Primero, veamos un ejemplo sencillo de la situación que hemos destacado hasta ahora, que muestra que se puede usar en contextos, que son ligeramente diferentes de los contextos del navegador web. El lector familiarizado con la NBA (o competiciones universitarias) sabrá que los equipos se agrupan en "conferencias" y estas se componen de "divisiones".
Con la ayuda de algunos paquetes de cálculo matemático, el lector podrá obtener los autovalores y autovectores de la matriz. De los seis valores propios diferentes que tiene, uno de ellos, λ= 9,97, es el mayor (en módulo).
