Suposiciones subyacentes al ´ atomo de Bohr
1 Los ´atomos pueden existir en “estados” estables sin irradiar energ´ıa. Los estados tienen energ´ıas discretasEn,n= 1,2,3, ...,donden= 1 es la energ´ıa del estado m´as bajo (el m´as negativo, en relaci´on al ´atomo disociado con energ´ıa cero),n= 2 es el siguiente estado de energ´ıa m´as bajo, etc. El n´umero “n” es un n´umero entero, llamado n´umero cu´antico, que etiqueta el estado.
2 Las transiciones entre estados se pueden hacer con la absorci´on o emisi´on de un fot´on de frecuenciaν dondeν= ∆E/h.
3 El momento angular est´a cuantizado:`=n~ donde ~=2πh , `=|~L|, ~L=~r×~p.
Para el movimiento circular~Les constante si~r y|~p|son constantes
`=mvr es una constante del movimiento
Las dos primeras suposiciones “explican” el espectro discreto de los ´atomos. Cada l´ınea en el espectro corresponde a una transici´on entre dos niveles particulares. Este es el nacimiento de la espectroscopia moderna.
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Otras propiedades ´ utiles
v= 2πrν=rω
`=mrv=mr2ω I=X
i
miri2 en nuestro caso: I=mr2 luego: `=Iω
movimiento lineal movimiento circular
masa m I momento de inercia
velocidad v ω velocidad angular
momento lineal p=mv `=Iω momento angular
energ´ıa cin´etica T=12mv2=2mp2 T=12m2mrr22v2 =`2I2 energ´ıa cin´etica rotacional
Recordemos de la f´ısica general que una part´ıcula que gira alrededor de un punto fijo experimenta una aceleraci´on externa, y requiere una fuerza interna:F= mvr2 para mantenerse en la ´orbita circular.
Ondas electromagn´ eticas
Las ondas electromagn´eticas implican variaciones de los campos magn´eticos y el´ectricos en el espacio.
Transportan energ´ıa y momento lineal, pero carecen de masa.
El conjunto de todas las radiaciones electromagn´eticas forma elespectro electromagn´etico
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Espectro completo del ´ atomo de hidr´ ogeno
La fuerza que mantiene unido al electr´on en una ´orbita es la fuerza de atracci´on coulombiana entre el prot´on y el electr´on. Si igualamos la fuerza de Coulomb con la ecuaci´on de la fuerza interna que lo mantiene en la ´orbita circular: 4πZe2
0r2 =mvr2, luego, usando la cuantizaci´on del momento angular (`=mrv=n~) seg´un la tercera hip´otesis de Bohr, despejandor se llega al radio de la ´orbita que est´a cuantizado:
r=4π0~2n2
Zmee2 , n= 1,2,3, ...; a0= 4π0~2
mee2 radio de Bohr La energ´ıa total del sistema ser´a:
E=1
2mv2+−Ze2 4π0r = 1
2 Ze2 4π0r − Ze2
4π0r =− Ze2
8π0r En=−Z2e4me
820h2 1
n2 n= 1,2,3, ...
Seg´un Bohr los espectros at´omicos se interpretan como una transici´on de una ´orbita a otra del electr´on mediante la absorci´on o emisi´on de un fot´on, por tanto:
hν=E2−E1; ¯ν= 1 λ =−RH
1 n21− 1
n22
n1= 1,2,3...; n2= 2,3,4...; n2>n1
−1 −1
Espectro completo del ´ atomo de hidr´ ogeno
Johannes Rydberg en 1888 encontr´o una expresi´on matem´atica que permiti´o generalizar la expresi´on inicial de Balmer a todas las l´ıneas del espectro del hidr´ogeno:
¯
ν(cm−1) = 1 λ =RH
1 n21− 1
n22
n1= 1,2,3...; n2= 2,3,4...; n2>n1
dondeRH= 1.0973731568525(73)×107m−1.
Longitudes de onda en escala logar´ıtmica
n1= 1, n2= 2,3,4... Lyman n1= 2, n2= 3,4,5... Balmer n1= 3, n2= 4,5,6... Paschen n1= 4, n2= 5,6,7... Brackett n1= 5, n2= 6,7,8... Pfund n1= 6, n2= 7,8,9... Humphreys
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