En el cuarto capítulo, abordaremos el problema de encontrar una coincidencia estable tridimensional en tres conjuntos de listas de preferencias únicas. En el séptimo capítulo, presentaremos el problema de encontrar una coincidencia estable tridimensional en tres conjuntos con listas combinadas.
ANTECEDENTES 4
- El Algoritmo de Gale y Shapley
- El conjunto de todos los Matchings Estables
- Variantes
- El problema de Hospitales-Residentes
- El problema de los Compañeros de Cuarto
- Problemas de Matching Estable Tridimensional
- El problema de los Matchings 'muchos a muchos'
Un ejemplo de este problema consta de tres conjuntos, A, B y C, con igual cardinalidad, y las listas de preferencias de los agentes. A diferencia del problema de los matrimonios estables, encontrar una pareja estable puede no proporcionar una solución en estos casos.
MATCHING ESTABLE TRIDIMENSIONAL SOBRE TRES CONJUNTOS
- Matrimonios Estables
- Matchings Estables Tridimensionales sobre tres Conjuntos
- Algunas definiciones adicionales
- Propiedades
- Clasificación
- Con Listas de Preferencias Unicas (LU)
- Con Listas de Preferencias Simples (LS)
- Con Listas de Preferencias por Pares (LP)
- Con Listas de Preferencias Combinadas (LC)
- El conjunto de todos los Matchings Estables
- El conjunto de todos los Matchings Estables Tridimensionales sobre
Con base en la estructura de las listas de preferencias de agentes en cada conjunto de la instancia analizada, proponemos una clasificación del problema, como describimos a continuación. Los individuos de cada conjunto tienen listas de preferencias únicas, individuales o por pares en relación con los individuos de los otros conjuntos.
MATCHING ESTABLE TRIDIMENSIONAL SOBRE TRES CONJUNTOS
Con Listas de Preferencias Mutuas (LUM)
- Matching y Estabilidad
- El conjunto de todos los Matchings Estables
A continuación, damos la formulación entera lineal para representar el conjunto de todas las coincidencias estables en el caso de LUM. Sea I=(A,B;P) un ejemplo del problema del matrimonio estable con cardinalidad n y S(I) sea el conjunto de todas las coincidencias estables entre A y B.
Con Listas de Preferencias Circulares (LUC)
- Matching y Estabilidad
- Búsqueda de un Matching Estable
- El conjunto de todos los Matchings Estables
Los pares conectados por las flechas en el gráfico representan los pares de posibles tríadas de bloqueo. 5.2.1) Encontrar el primer zk ∈ Z según el orden de la lista de preferencias de MY(x) para que no esté asignado y no genere posibles tripletas de bloqueo. Necesitamos demostrar que la solución que genera el algoritmo es un marco de coincidencias estables.
Aún no han sido asignados, ya que al ser asignados se eliminan todos sus posibles triples de bloqueo (pasos 5.2.2.2 y 6.2.2). a) Demostrar que el marco obtenido es un marco coincidente estable.
MATCHING ESTABLE TRIDIMENSIONAL SOBRE TRES CONJUNTOS
Búsqueda de un Matching Estable
Analicemos el caso de que a y b estén en la misma fila coincidente mientras que c esté en otra. Tenga en cuenta que para analizar el caso 2, asumimos que a y b están en la misma fila mientras que c está en una fila diferente. También necesitamos proyectar el caso 2 para b y c en la misma fila y para a y c en la misma fila.
También tenga en cuenta que si a, b y c están en la misma fila, serían un triple coincidente, y el triple M nunca bloquea a M.
El conjunto de todos los Matchings Estables
En cuanto a la representación de todos los emparejamientos estables, veremos que la relación de dominancia entre los emparejamientos estables (≥A), tal como se definió en el Capítulo 3, es una relación de orden parcial, ya que obedece a las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. . Si bien la razón de todas las coincidencias estables de este problema es de orden parcial, al igual que la razón de las soluciones al problema de los matrimonios estables, dicho orden no forma un retículo distributivo. El ejemplo que damos a continuación muestra que la representación de todos los emparejamientos estables de instancias con listas simples no forma una red distributiva, y que puede haber grafos no conexos, sin supremo y sin infinito.
Además de que el orden en todas las coincidencias estables no forma una cuadrícula, podemos proporcionar una relación de precedencia entre coincidencias estables con listas simples basadas en la relación de precedencia que tienen las coincidencias estables en dos dimensiones que componen la instancia, como como en.
MATCHING ESTABLE TRIDIMENSIONAL SOBRE TRES CONJUNTOS
Búsqueda de un Matching Estable
Hay una coincidencia en c1, por lo tanto el algoritmo no encontró una coincidencia estable para la ruta AB. Hay una coincidencia en b0, por lo tanto, el algoritmo no encontró una coincidencia estable a lo largo de la ruta AC. Hay una coincidencia en c1, por lo tanto el algoritmo no encontró una coincidencia estable a lo largo del camino BA.
Hay una coincidencia en a2, por lo que el algoritmo no encontró coincidencias consistentes a lo largo del camino BC.
El conjunto de todos los Matching Estables
La matriz de ranking proporciona acceso directo a la lista de preferencias, sin tener que recorrerla para encontrar la posición de los pares que se comparan. El ejemplo que damos a continuación muestra que la representación de todas las similitudes estables de instancias con listas por pares no forma una red distributiva, y que los grafos dirigidos que representan estas relaciones pueden ser grafos desconectados, sin supremo y sin mínimo. Las siguientes figuras muestran la relación de orden entre los emparejamientos estables según las preferencias de los conjuntos A, B y C, respectivamente.
Por otro lado, en el gráfico de la Figura 6.2, el emparejamiento M5 es el más alto, pero los emparejamientos M6 y M3 no tienen mínimo.
Subconjuntos de instancias
- Listas por Pares Consistentes (LPC)
- Relación con Instancias de Listas Simples
- Listas con Prioridad
- Esquema de Prioridad Mutua (LPPM)
- Esquema de Prioridad Circular (LPPC)
- Relación con Instancias de Listas Unicas
Conjeturamos que el problema de encontrar coincidencias estables en el caso de listas por pares y prioridad circular es NP-Completo. M es una coincidencia estable de una instancia I de LPPM ⇒ M es estable en la instancia extensiva I' de LUM. Si M es una coincidencia estable de una instancia I de LPPC ⇒ M es estable en la instancia extensiva I' de LUC.
A continuación presentamos un algoritmo que utiliza la Propiedad 6.9 para encontrar una coincidencia consistente en casos de LPPC.
MATCHING ESTABLE TRIDIMENSIONAL SOBRE TRES CONJUNTOS
USP
- U S SP
- Búsqueda de un Matching Estable
- Subconjuntos de instancias: U S SP con prioridad
- U P SP
- Subconjuntos de instancias: U P SP con prioridad
- El conjunto de todos los Matchings Estables
Sabemos que el algoritmo es correcto, es decir, si logra un resultado, es una solución (una coincidencia estable). También sabemos que si un algoritmo falla es porque ha encontrado una solución (debido a la perfección del algoritmo de Gale y Shapley). Sólo faltaría demostrar que el algoritmo termina, lo cual se prueba al saber que el algoritmo de Gale y Shapley termina.
El algoritmo tiene una complejidad de O(n2), porque ambos pasos ejecutan el algoritmo de Gale y Shapley, que tiene una complejidad de O(n2), asumiendo el uso de una matriz de clasificación.
UUS
- Búsqueda de un Matching Estable
- El conjunto de todos los Matchings Estables
- U U U U P
- Búsqueda de un Matching Estable
- Subconjuntos de instancias: U U U U P con prioridad
- U U U P P
- Subconjuntos de instancias: U U U P P con prioridad
- U P U P P
- Subconjuntos de instancias: U P U P P con prioridad
- El conjunto de todos los Matchings Estables
UUUUP: Conjuntos que expresan sus preferencias como listas únicas lo hacen para individuos del otro conjunto de listas únicas. UPUPP: Conjuntos que expresan sus preferencias como listas únicas lo hacen para individuos del conjunto de listas simples. Recuerde que, en los casos UUUUP, los individuos del grupo A expresan sus preferencias como listas únicas para individuos de B, los de B como listas únicas para individuos de A y los de C como listas duales sobre A y B.
Recuerde que en los casos de la UPUPP, los individuos de A y B expresan sus preferencias como listas separadas sobre agentes de C y los de C como listas por pares sobre A y B.
SSU
- Búsqueda de un Matching Estable
- El conjunto de todos los Matchings Estables
El algoritmo puede comenzar desde cualquiera de los tres conjuntos, comenzamos con A. 1) Se encuentra una coincidencia estable entre los individuos del conjunto A y los del C mediante el algoritmo de Gale y Shapley, donde para los agentes del conjunto A las listas son Se utilizan preferencias por encima de la c. Todos los bj (1 ≤ j ≤ n) no están asignados a los pares (ai, ck) formados en el punto anterior. En el paso 2, cada bj se asigna una vez a diferentes pares (ai,ck). b) Evidencia de que la coincidencia encontrada es estable. Para demostrar la integridad del algoritmo, necesitamos demostrar que si existe una solución, el algoritmo la encuentra.
Siempre hay una solución al problema de encontrar coincidencias consistentes en casos con listas de preferencias SSU combinadas.
SSP
- Subconjuntos de instancias: SSP con prioridad
- El conjunto de todos los Matchings Estables
Ahora proporcionaremos un algoritmo que siempre encuentra una coincidencia estable en instancias SSP prioritarias. Necesitamos ver que a cada ai se le asigna un par (bj, ck) de modo que todos los bj sean distintos entre sí y también lo sean todos los ck. con la corrección del algoritmo de Gale y Shapley). con la corrección del algoritmo de Gale y Shapley). Siempre hay una solución al problema de encontrar una coincidencia estable en casos con listas de prioridades de SSP combinadas.
La formulación completa para definir el conjunto de coincidencias estables en casos de SSP se define de la siguiente manera:
PPU
- Subconjuntos de instancias: PPU con prioridad
- P P P P U
- P U P U U
- P P P U U
- El conjunto de todos los Matchings Estables
Siempre hay una solución al problema de encontrar coincidencias estables en el caso de listas de preferencias PPPPU combinadas con prioridad. Página 134 Sabemos que el algoritmo es correcto, es decir, si llega a un resultado, es una solución (matching estable). Siempre hay una solución al problema de encontrar coincidencias estables en el caso de listas de preferencias PUPUU combinadas con prioridad.
Siempre hay una solución al problema de encontrar coincidencias estables en el caso de listas de preferencias combinadas PPPUUPp con prioridad.
PPS
- Subconjuntos de instancias: PPS con prioridad
- El conjunto de todos los Matchings Estables
En este caso, el algoritmo encuentra una coincidencia estable B-A y establece la conexión con la coincidencia estable entre C y cualquiera de los otros dos conjuntos, sin pérdida de generalidad, supongamos A. En este caso, el algoritmo encuentra una coincidencia estable B-C y hace conjunto con la coincidencia estable entre A y B. En este caso, el algoritmo encuentra una coincidencia estable B-C y forma la conexión con la coincidencia estable entre A y C.
También sabemos que, si el algoritmo termina, es porque ha encontrado una solución (debido a la completitud de Gale y Shapley).
El conjunto de todos los Matchings Estables
Entonces el conjunto de coincidencias estables en el caso de UUP y PPU no forma una red. A partir de conjuntos de listas por pares, la relación de dominancia define un orden parcial entre coincidencias, mientras que para conjuntos de listas individuales, este orden se define para las clases de equivalencia. Finalmente, podemos deducir que el conjunto de coincidencias estables en instancias de USP no forma una red.
Del conjunto de listas pareadas y de listas simples, la relación de dominancia define un orden parcial entre coincidencias, mientras que para el conjunto de listas simples este orden se define para las clases de equivalencia.
CONCLUSIONES, RESULTADOS Y PROBLEMAS ABIERTOS 148
Dentro del conjunto de instancias de listas por pares, además de estudiar listas consistentes, en el estudio de la existencia de un orden entre las soluciones demostramos que el conjunto de todas las coincidencias estables para listas simples y listas por pares forma un orden que nos permite para saber cuándo un emparejamiento domina o es mejor que otro con respecto a una de las soluciones. los conjuntos de soluciones. Sin embargo, para el último tipo de listas definimos un orden entre las clases de equivalencia que forman una partición del conjunto de todas las coincidencias estables.
Dentro del conjunto de instancias LC, estudiamos todas las combinaciones entre los diferentes tipos de listas de preferencias, es decir, listas únicas con listas simples (LU+LS), listas únicas con listas pareadas (LU+LP), listas simples con listas por pares (LS+ LP) y los que incluyen los tres tipos diferentes de listas (LU+LS+LP).
