Matemáticas I - Ejercicios resueltos

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Matem´ aticas I Ejercicios resueltos

Grado en Ingenier´ıa de Tecnolog´ıas Industriales

Marta Latorre Balado y Javier Mart´ınez Mart´ınez Material docente en abierto de la Universidad Rey Juan Carlos

BURJ Digitalhttps://burjcdigital.urjc.es/

7 de septiembre de 2023

Este documento se distribuye bajo la licencia

“Atribuci´on-CompartirIgual 4.0 Internacional” de Creative Commons, disponible en https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es

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´Indice

1 N´umeros complejos

. . . 5

2 L´ımites de funciones reales

. . . 7

3 Continuidad

. . . 8

4 Derivaci´on de funciones

. . . 10

5 Aplicaciones de la derivada

. . . 11

6 Integraci´on

. . . 12

7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

. . . 13

8 Espacios vectoriales

. . . 15

9 Aplicaciones lineales

. . . 17

10 Diagonalizaci´on. Autovalores y autovectores.

. . . 19

11 Espacios normados

. . . 21

Soluciones

. . . 23

Soluciones Tema 1 . . . 25

Soluciones Tema 2. . . 29

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TEMA 1. N´ umeros complejos

Ejercicio 1.1. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma bin´omica.

(a) ( ˙ι+ 3)(2 ˙ι−1) 1−ι˙ (b) (1 + ˙ι)2 + 2 ˙ι

3 + ˙ι (c) 2e^π³^ι^˙−( ˙ι+ 2) (d) 4^π

4

2−π 2

Ejercicio 1.2. Expresa en forma polar los siguientes n´umeros complejos.

(a) e^{1+ ˙}^ι (b) 2^π

53π1^−π

2

(c) ι˙⁷

Ejercicio 1.3. Encuentra todos los n´umeros complejosz ∈Ctales quez⁴=e^π˙^ι.

Ejercicio 1.4. Representa los siguientes conjuntos en el plano complejo.

(a) A={z ∈C| |z−ι|˙ = 2}

(b) B ={z ∈C| |z| ≤1yRe(z)≥0}

(c) C ={z ∈C|1<|z|<2}

(d) D={z ∈C| −2≤ Im(z)≤2}

(e) E ={z∈C|z³=−8}

Ejercicio 1.5. Encuentra todas las soluciones complejas de las siguientes ecuaciones.

(a) z³+ 1 = ˙ι (b) (z+ 1)⁴= 16

Ejercicio 1.6. Determina todos los números complejos que satisfacen la ecuación|z+ 1|=|z−ι|.˙ Ejercicio 1.7. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica y en forma polar.

(a) 1

−˙ι 100

(b) (1−ι)˙ ⁵⁰ (c) (2 + 2 ˙ι)²⁰

(2−2 ˙ι)⁴⁰

Ejercicio 1.8. Resuelve la ecuaci´onx⁶−2x³+ 2 = 0conx∈C.

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EJERCICIOS TEMA 1 MATEM´ATICAS I

Ejercicio 1.9. Seaz ∈Ctal que

z

z−2 =1−ι˙

˙ ι+ 1. Calcula la forma polar y bin´omica dez²+ ˙ι.

Ejercicio 1.10. Demuestra que sip(x)es un polinomio de gradon∈Ncon coeficientes reales yz ∈Ces ra´ız dep(x), entoncesz tambi´en es ra´ız dep(x).

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TEMA 2. L´ımites de funciones reales

Ejercicio 2.1. Halla el valor de los siguientes l´ımites.

(a) l´ım

x→a⁺

√x−√ a

(x−a)² sia≥0 (b) l´ım

x→a⁺

√x−a x−a (c) l´ım

x→a⁺

x−a

√x−a (d) l´ım

x→+∞

px²+a−ax

sia≥0

Ejercicio 2.2. Calcula el l´ımite de las siguientes funciones en el origen.

(a) f(x) =xsin(^π_x) (b) g(x) =2^1/x+ 5^−1/x

3^1/x+ 4^−1/x (c) h(x) = (3x²+ 1)^1/x²

∗Ejercicio 2.3. Calcula los siguientes l´ımites.

(a) l´ım

x→1

1 lnx − 1

x−1

(b) l´ım

x→0(1 +xsinx)^2/x² (c) l´ım

x→a

x−a

√3

x−a (d) l´ım

x→a

x−a

√3

x−√³ a

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TEMA 3. Continuidad

Ejercicio 3.1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

(a) f(x) =√ 1−x² (b) g(x) =

√

1−x² si x∈[−1, 1]

0 si x̸∈[−1, 1]

(c) h(x) = √

1−x² si x∈[−1, 1]

x−1 si x̸∈[−1, 1]

Ejercicio 3.2. Sabiendo queh:R−→Res una función continua tal queh(0) =β, determina el valor de los parámetrosα,β ∈Rpara que la funciónf:R−→Rdada por

f(x) =











αx

|x−2|+ 4 si x≤2, (x−2) sin

πx x−2

si 2<x ≤10, h(x−10)−10

10^x+ 10 si x>10, sea continua enx= 2y enx= 10.

Ejercicio 3.3. Demuestra que la ecuaci´onsinx = 2x−3tiene, al menos, una soluci´on real.

Ejercicio 3.4. Sea la funci´onf:R−→Rdada por

f(x) =







√x²+ 4 si x ∈(−∞, 0], x+ 6

x²−4x+ 3 si x ∈(0, +∞).

(a) Calculaf(0)yf(2).

(b) Comprueba si existex∈Rtal quef(x) = 0.

(c) Explica si los resultados anteriores contradicen, o no, el Teorema de Bolzano.

Ejercicio 3.5. Seaf: [0, 1] −→ R una función continua con0 ≤ f(x) ≤ 1. Demuestra que la ecuación f(x) =xtiene, al menos, una solución.

Ejercicio 3.6. Demuestra que la ecuaci´on

x²= cosx−xsinx tiene al menos dos soluciones reales.

Ejercicio 3.7. Demuestra que la ecuaci´onx⁶= 1 + 6xtiene exactamente dos soluciones reales.

Ejercicio 3.8. Determina el valor del par´ametroa∈Rpara que la funci´on

f(x) = 1

x²−2ax+ 5a sea continua en todoR.

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EJERCICIOS TEMA 3 MATEM´ATICAS I

∗Ejercicio 3.9. Determina el valor dec∈Rpara que la funci´on

f(x) =

xcotx si x ̸= 0, c si x = 0, sea continua enx= 0.

Ejercicio 3.10. Determina si existe alg´un valorc∈Rpara el que la funci´on

f(x) =











x²

4 + sin² ¹_x si x<0,

c si x= 0,

3^1/x+ 2^1/x

4^1/x si x>0, es continua enx = 0.

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TEMA 4. Derivaci´ on de funciones

Ejercicio 4.1. Utiliza la Regla de L’Hˆopital para resolver el siguiente l´ımite.

l´ım

x→0⁺

e^−1/x x

Ejercicio 4.2. Determina el valor de los parámetrosa,b∈Rpara que la ecuación de la recta tangente a la gráfica def(x) =ax²+bx+ 2en el punto(2, 0)seay−x+ 2 = 0.

Ejercicio 4.3. Demuestra que la funci´onf(x) =xe^x²⁻¹+λxtiene una ´unica ra´ız real en el intervalo[−α,α]

para cualquier valorα,λ >0.

Ejercicio 4.4. Seaf(x) =p³

(1 +x)². (a) Calculaf(−4)yf(2).

(b) Comprueba que la ecuaci´onf^′(x) = 0no tiene soluci´on six∈(−4, 2).

(c) ¿Contradicen los resultados anteriores el Teorema de Rolle?

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TEMA 5. Aplicaciones de la derivada

Ejercicio 5.1. Utiliza un polinomio de Taylor de orden2para obtener un valor aproximado dee^0,1sin(0,2) y acota el error cometido en dicha aproximaci´on.

Ejercicio 5.2. Haz un esbozo de la gr´afica de

f(x) = e^x

√x(x−2)

calculando previamente el dominio, los puntos de corte con los ejes, as´ıntotas verticales y horizontales, monoton´ıa y extremos relativos.

Ejercicio 5.3. Aproxima el n´umero√³

e²con un error menor que10⁻².

Ejercicio 5.4. Calcula el polinomio de TaylorP(x)de segundo orden alrededor del punto x = ^π₄ de la funci´onf(x) = secx.

Ejercicio 5.5. Dadaf(x) = x

logx, realiza un esbozo de su gr´afica analizando su dominio, as´ıntotas, mo- noton´ıa y extremos relativos.

Ejercicio 5.6. Dada la funci´on

f(x) =|1− |x||,

determina su dominio, puntos de corte con los ejes, analiza su continuidad y derivabilidad y estudia su monoton´ıa y extremos relativos.

Ejercicio 5.7. Calcula los puntos de la par´abolay =x²que se hallan a distancia m´ınima del punto(0, 2).

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TEMA 6. Integraci´ on

Ejercicio 6.1. Utiliza la t´ecnica de integraci´on por partes para hallar Z

arcsinx dx.

Ejercicio 6.2. Utiliza un cambio de variable para calcular

Z x²

√x−2dx.

Ejercicio 6.3. Resuelve la siguiente integral c´ıclica:

Z

e^2xsinx dx.

Ejercicio 6.4. Resuelve las siguientes integrales definidas.

(a) Z 1

0

p1−x²dx

(b) Z 2

0

f(x)dx conf(x) =

2x−3 si x <1 3x²−4x si x ≥1

Ejercicio 6.5. Calcula

Z 3x⁵−4x³+ 4x²−9x+ 4 x⁴−2x³+ 2x²−2x+ 1 dx.

Ejercicio 6.6. Calcula

Z −4

x³+ 2x²+ 3x+ 6dx.

Ejercicio 6.7. Calcula una primitiva de Z

e

√x

dx.

Ejercicio 6.8. Resuelve la integral trigonom´etrica Z 1

cosxdx.

Ejercicio 6.9. Calcula la integral definida Z 1

0

1 1 +√

xdx.

Ejercicio 6.10. Calcula la integral Z 2

0

x²

√4−x²dx.

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TEMA 7. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicio 7.1. Comprueba queB=

6 −7

−5 6

es la inversa deA= 6 7

5 6

.

Ejercicio 7.2.

(a) Calcula, si existe, la inversa deA=





−2 1 1

0 1 1

0 −1 1



.

(b) Utilizando la informaci´on obtenida en el apartado anterior, halla la soluci´on de







−2x+y+z = 2, y+z = 1,

−y+z = 2.

Ejercicio 7.3. Utilizando el m´etodo de Gauss, determina si el sistema











x− y + t+ 2w =−1, 2x−2y+z+ 3t+ 4w = 0, z+ t+ w = 3, x− y+z+ 2t+ 3w = 2,

tiene una, infinitas o ninguna soluci´on. Halla la soluci´on en caso de que exista.

Ejercicio 7.4. Utiliza el m´etodo de Gauss-Jordan para hallar la soluci´on deAX =Bsiendo

A=

2 −2 0 1 −1 3

, X =



 x y z



 y B = 4

−1

.

Ejercicio 7.5. Calcula, utilizando el desarrollo por adjuntos, el determinante deA=







1 0 2 3

0 0 −1 3

1 2 0 1

1 −1 1 2





 .

¿EsAinvertible?

Ejercicio 7.6. Utiliza el método de Gauss para determinar, en función del parámetroβ∈R, si el sistema







x+βy+ 2z = 1,

−x+ 2y−3z+βt= 0, x+βy+ 2z+βt =β,

es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

Ejercicio 7.7. Utiliza el método de Gauss para determinar, en función del valor de los parámetrosα,β ∈R, si el sistema







x−αy+ 2z =β, 2x+ y+βz = 0, 2x + 4z =β,

es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

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EJERCICIOS TEMA 7 MATEM´ATICAS I

Ejercicio 7.8. Utiliza el m´etodo de Gauss para discutir y resolver el sistema







x2+ 5x3=−4, x1+ 4x2+ 3x3=−2, 2x1+ 7x2+ x3=−2.

∗Ejercicio 7.9. SeanAyBmatrices2×2con coeficientes reales. Se define el conmutador deAyBcomo la matriz

[A,B] =AB−BA,

de modo que el producto de dos matrices es conmutativo si y solo si su conmutador es cero.

(a) Justifica que si la traza deAes cero, entoncesA²es un m´ultiplo de la matriz identidad.

(b) Prueba que el cuadrado de[A,B]conmuta con cualquier matrizC∈ M2. (Pista: ¿cu´al es la traza de[A,B]?)

(c) Prueba que el conmutador deAyBno puede ser nunca un m´ultiplo no nulo de la matriz identidad.

∗Ejercicio 7.10. SeaA∈ M2. Demuestra que siempre se cumple la identidad A²−tr(A)A+ det(A)I2= 0.

Emplea la identidad anterior para demostrar que sidet(A)̸= 0, entoncesAes invertible.

∗Ejercicio 7.11. Determina los valores dea,b∈Rpara que los siguientes sistemas de ecuaciones lineales sean equivalentes.

x₁+ 2x₂+ x₃+ (a−1)x₄= 0, 2x₁+ x₂+bx₃− x₄= 0,

4x₁+ 5x₂− bx₃+ x₄= 0, x₁−4x₂+ (b−4)x₃−5x₄= 0.

∗Ejercicio 7.12. Demuestra que siAes una matriz2×1yB es una matriz1×2, entonces la matrizABno es invertible. Generaliza el resultado al caso en queA∈ M_n×1yB∈ M_1×n.

∗Ejercicio 7.13. Decimos que una matriz cuadradaAes nilpotente si verifica queAⁿ= 0para alg´unn∈N. SiA∈ Mnes nilponente:

(a) ¿Cu´al es el determinante deA?

(b) Caracteriza todas las matricesA∈ M₂nilpotentes.

(c) Demuestra que siA∈ Mnes nilpotente, entoncesA+Ines invertible.

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TEMA 8. Espacios vectoriales

Ejercicio 8.1. Determina si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales del espacio corres- pondiente.

(a) S ={(a,b)∈R²|a−2b= 0}subespacio vectorial deR². (b) T ={p(x)∈R2[x]|p(0) = 2}subespacio vectorial deR2[x].

(c) R=

a a² 2a a a³ 3a

|a∈R

subespacio vectorial deM_2×3. (d) U ={(λ, 2λ,λ+ 1)∈R³|λ∈R}subespacio vectorial deR³. (e) V ={A∈ M2|A=A^t}subespacio vectorial deM2.

(f) W ={(λ,λµ,µ, 0)∈R⁴|λ,µ∈R}subespacio vectorial deR⁴. Ejercicio 8.2. SeaW ={2b+ (a+b)x+ (a−b)x²∈R2[x]|a,b∈R}.

(a) Comprueba queW es un subespacio vectorial deR2[x].

(b) Obt´en un sistema generador deW. (c) ¿p(x) = 3 + 2x−x²es un vector deW?

Ejercicio 8.3. Comprueba que los vectores(1,λ+ 1, 3−λ),(1,λ, 3)y(1,λ+ 1, 1−λ)forman una base de R³para cualquier valor deλ∈R.

Ejercicio 8.4. SeaV un espacio vectorial de dimensi´on3y seanu,v,w ∈V. Sabiendo que{u,v,w}es un conjunto de vectores linealmente independientes, comprueba si los conjuntos

(a) T ={u,w}

(b) S ={u+w,u−v, 2u+w −v, 3w} (c) W ={u+v,u−v+w,v+w} tambi´en son linealmente independientes.

Ejercicio 8.5. SeaV un espacio vectorial y seaB={u,v,w}una base deV. Determina si los conjuntos (a) U ={u,w}

(b) W ={u,v,w, 3w −2v}

son un sistema generador deV.

Ejercicio 8.6.

(a) Demuestra que el conjunto de vectoresB^′ ={5x²,x²+ 2x,x²+x+ 7}forma una base deR2[x].

(b) Calcula la matriz de cambio de base para pasar de coordenadas con respecto aB^′a coordenadas con respecto a la base est´andar deR2[x].

Ejercicio 8.7. SeaV un espacio vectorial de dimensi´on2y seanB={b1,b2},C ={c1,c2}yD={d1,d2} tres bases deV. Si

P_C←B =

−1 2

0 1

y P_D←C =

1 0

−1 1

,

calcula las coordenadas deb₁con respecto a las basesB,CyDy las matricesP_B←C yP_D←B.

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EJERCICIOS TEMA 8 MATEM´ATICAS I

Ejercicio 8.8. EnR⁴, consideramos los vectores

v₁= (1, 1, 1, 2), v₂= (2, 2, 2, 3), v₃= (1, 1, 0, 1), y llamamosV al subespacio generado por ellos.

(a) ¿Cu´al es la dimensi´on deV?

(b) Si llamamosW al conjunto de vectores deV cuyas dos primeras coordenadas son iguales a0, ¿es W subespacio vectorial deV? En caso afirmativo, calcula una base deW.

Ejercicio 8.9. EnR³, dada la baseB={e1,e₂,e₃}, se considera el conjunto B^′={e₁+e₂,e₁−e₂−e₃,e₃}.

(a) Demuestra queB^′es una base deR³.

(b) Escribe la matriz cambio de base deBaB^′ y deB^′aB.

(c) Prueba que el conjunto de todos los vectores que tienen las mismas coordenadas respecto a am- bas bases forman un subespacio vectorial deR³.

∗Ejercicio 8.10. EnR³se consideran los vectores

v1= (2, 1,−1), v2= (3, 3,−1), v3= (0, 3, 1), v4= (3, 0,−2).

Demuestra que⟨v1,v₂⟩=⟨v3,v₄⟩.

Ejercicio 8.11. Sean

W1={(x,y,z,t)∈R⁴|x+z = 0,y−t = 0}, W2=⟨(0, 0, 0, 1), (1, 1,−1, 1)⟩,

dos subespacios deR⁴.

(a) Calcula la dimensi´on deW₁∩W₂y deW₁+W₂.

(b) ¿Existe alg´un espacioW3que sea suplementario deW1y tambi´en suplementario deW2? Justifica tu respuesta y proporciona un ejemplo en caso afirmativo.

Ejercicio 8.12. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita, y consideremos tres vectoresv₁,v₂,v₃ tales que{v1,v₂},{v1,v₃},{v2,v₃}son conjuntos linealmente independientes. ¿Implica eso que{v1,v₂,v₃} son linealmente independientes? Razona tu respuesta.

∗Ejercicio 8.13.

(a) SeanV1yV2subespacios de un espacio vectorial fijadoV, tales queV1+V2=V yV1∩V2={0}.

Demuestra que todo vectorv ∈V puede expresarse de modo ´unico comov =v1+v2, conv1∈V1

yv2∈V2.

(b) Si consideramos los subespacios deR³

V₁={(x,y,z)∈R³|x+y+z = 0}, V₂={(λ,λ,λ)∈R³|λ∈R},

aplica el apartado anterior y expresa el vector(1, 0, 1)como suma de un vector deV1y un vector deV2.

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TEMA 9. Aplicaciones lineales

Ejercicio 9.1. Justifica si las siguientes aplicaciones son lineales.

(a) f:R²−→R3[x]dada porf(a,b) =a+bx+ (a+b+ 1)x². (b) f:R³−→Rdada porf(x,y,z) =x−2z.

(c) f:M2−→ M_3×2dada porf a b

c d

=



 a b c d 1 1



.

(d) f:M2−→R2[x]dada porf a b

c d

=a²x²+bx+c.

Ejercicio 9.2. Calcula un sistema generador del n´ucleo de las siguientes aplicaciones lineales.

(a) f:R²−→ M2dada porf(a,b) =

a+b b

0 a

.

(b) f:R2[x]−→Rdada porf(ax²+bx+c) =a+ 2b−c.

Ejercicio 9.3. Obt´en un sistema generador de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales.

(a) f:R²−→ M2dada porf(a,b) =

a+b b

0 a

.

(b) f:R2[x]−→Rdada porf(ax²+bx+c) =a+ 2b−c.

Ejercicio 9.4. Considera la aplicaci´on linealf:R²−→ M2definida por f(2, 1) =

0 −1

1 2

, f(−1, 1) =

1 −2

−1 0

. (a) Comprueba queB={(2, 1), (−1, 1)}es una base deR².

(b) Sabiendo queBc=

1 0 0 0

, 0 1

0 0

, 0 0

1 0

, 0 0

0 1

es una base deM2, calculaMB_c←B(f).

(c) Calcula un sistema generador deker(f).

(d) Calcula una base deIm(f).

(e) CalculaMB_c←B_c^′(f)siendoB_c^′ ={(1, 0), (0, 1)}.

Ejercicio 9.5. Determina si las siguientes aplicaciones lineales son inyectivas, sobreyectivas y/o biyec- tivas.

(a) f:R−→R²[x]dada porA=MB^′←B(f) =



 1

−1 2



siendoB={1}yB^′={1,x,x²}.

(b) f:R²−→R³tal quef(1, 0) = (0, 1, 2)yf(0, 1) = (0, 0, 0).

Ejercicio 9.6. Seaf:V −→W una aplicaci´on lineal tal que

f(v₁) =w₁+ 2w₂, f(v₂) =−w₁, f(v₃) =w₁+w₂, dondeB ={v1,v2,v3}yB^′={w1,w2}son bases deV yW respectivamente.

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EJERCICIOS TEMA 9 MATEM´ATICAS I

(a) CalculaMB^′←B(f).

(b) Comprueba queC={f(v1),f(v2)}es una base deW. (c) HallaM_C←B(f).

Ejercicio 9.7. Seaf:R³−→R³la aplicaci´on lineal dada por f(x,y,z) = (x+y,z,x+z).

(a) Calcula la matriz de la aplicaci´on lineal respecto a la base can´onica.

(b) Determina la imagen mediantef del subespacio de ecuaci´onx+y+z = 0.

(c) Obt´en el conjunto de vectores deR³tales quef(v)∈W, dondeW es el subespacio de ecuaci´on x−y = 0.

Ejercicio 9.8. Seaf:R²→R²una aplicaci´on lineal que cumple:

f(1, 1) = (2, 2) y (2, 1)∈ker(f).

(a) Calcula la matriz asociada af respecto a la base can´onica deR². (b) Calcula la matriz asociada af respecto a la baseB^′={(1, 1), (2, 1)}.

Ejercicio 9.9. Sea la aplicaci´onf:M2−→Rla aplicaci´on definida comof(A) = tr(A).

(a) Prueba quef es una aplicaci´on lineal.

(b) Determina la dimensi´on y una base del n´ucleo def.

Ejercicio 9.10. Si consideramos la aplicaci´on linealf:R³→R³cuya matriz respecto de la base can´onica

es 



4 2 2

α 4 4

2 1 β



,

determina la inyectividad y sobreyectividad def en funci´on de los posibles valores deα,β∈R.

Ejercicio 9.11. Seag:M2−→ M2la aplicaci´on lineal definida comog(A) =AB, dondeBes la matriz B=

1 3 2 6

. (a) Demuestra que la aplicaci´ong es lineal.

(b) Calcula la matriz asociada ag respecto a la base canónica deM2. (c) Halla una base y la dimensión del núcleo.

(d) Indica la dimensi´on de la imagen.

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TEMA 10. Diagonalizaci´ on. Autovalores y autovectores.

Ejercicio 10.1. Indica si la matrizAes diagonalizable y, si existe, calcula una matriz diagonalDsemejante a la dada y la matriz de pasoPtal queA=PDP⁻¹.

A=





3 2 0

−1 0 0

1 0 2



.

Ejercicio 10.2. Seaf:R²−→R²una aplicaci´on lineal tal quef(x,y) = (3x−y, 2x). Indica sif es diago- nalizable y, en caso de que exista, da una baseBdeR²tal queM_B←B(f)es diagonal.

Ejercicio 10.3. Seaf: R³ −→ R³ dada porf(x,y,z) = (−3x+z, 2y,−ax). Calcula el valor del par´ametro a∈Rpara quef tenga tres vales propios reales (no necesariamente distintos).

Ejercicio 10.4. Sea la matriz

A=







1 β β 0

1 2 −1 0

0 0 1 0

β 1 0 −2





 .

(a) Sabiendo queλ= 3es un valor propio deA, calcula el valor del par´ametroβ∈R. Con valor deβ obtenido en el apartado anterior:

(b) Da tres vectores propios distintos asociados al valor propioλ= 3.

(c) Calcula todos los valores propios deA. ¿EsAdiagonalizable?

(d) Comprueba siv= (4,−2, 0, 1)es un vector propio deAe indica el valor propio asociado.

Ejercicio 10.5. Sea la matriz A =





2 −2 −2

−1 1 1

1 −1 −1



. Calcula los autovalores y autovectores deA. ¿EsA

diagonalizable?

Ejercicio 10.6. Prueba que toda matriz sim´etrica2×2es diagonalizable.

Ejercicio 10.7. Se consideran las matrices

A=





0 2 1 2 3 2 1 2 0



, B =





2 1 0

−1 2 0

0 0 −1



. (a) Calcula los autovalores deAy deB.

(b) Determina siAyBson diagonalizables sobreR. En caso afirmativo, calcula una forma diagonalD y una matriz de pasoPy expresa la relaci´on entre ellas y la matriz original.

Ejercicio 10.8. Construye una matrizM ∈ M2 tal quev1 = (2, 3)sea autovector con autovalor2y v2 = (1, 2)sea autovector con autovalor−1.

Ejercicio 10.9. Demuestra las siguientes afirmaciones.

(a) SiAes una matriz tal queAⁿ= 0, entonces su ´unico autovalor posible esλ= 0.

(20)

EJERCICIOS TEMA 10 MATEM´ATICAS I

(b) Siλes autovalor de una matrizAinvertible, entoncesλ⁻¹es autovalor de su matriz inversaA⁻¹. (c) Siλes un autovalor deA, entoncesλes tambi´en autovalor deA^t, la matriz traspuesta deA.

(d) Los autovectores asociados a dos autovalores distintos son siempre linealmente independientes.

(21)

TEMA 11. Espacios normados

Ejercicio 11.1. Sea la aplicaci´on bilineal·:R³×R³−→R³dada por

(a,b,c)·(x,y,z) = 2ax−2ay−2bx+βby+az+cx+ 6cz.

(a) Determina el valor del par´ametroβpara que·sea un producto escalar.

Siβ= 3,v= (1, 1,−1)yW ={(x,y,z)∈R³|x+y−z = 0}:

(b) Comprueba siv⊥W.

Ejercicio 11.2. Considera, enR³, los vectoresv = (2, 0, 1)yw = (2, 0, 0)y el producto escalar cuya matriz de Gram con respecto a la baseB={(1, 1, 1), (1,−1, 0), (0, 0, 1)}es

G_B =





7 0 5 0 9 1 5 1 4



. (a) Calcula∥v∥.

(b) Calcula la distancia entrevyw.

Ejercicio 11.3. Sea·:R2[x]×R2[x]−→R2[x]el producto escalar enR2[x]dado por (a₁x²+b₁x+c₁)·(a₂x²+b₂x+c₂) =a₁a₂+b₁b₂+b₁c₂+b₂c₁+ 2c₁c₂, y sean los vectoresp(x) =x+x²,q(x) = 1 +xyr(x) =−x².

(a) Calculap(x)·q(x).

(b) ¿Esr(x)unitario?

(c) Calcula la matriz de Gram del producto escalar con respecto a la baseB ={p(x),q(x),r(x)}.

Ejercicio 11.4. Calcula una base ortonormal a los siguientes subespacios con el producto escalar indi- cado.

(a) T =⟨(1, 2, 0,−1), (2, 1, 1, 0)⟩con el producto escalar est´andar deR⁴.

(b) W es el subespacio deR³cuya base esB={x²−1,x²+ 2x+ 3}con el producto escalar

·:R2[x]×R2[x]−→R tal que (a1x²+b1x+c1)·(a2x²+b2+c2) = 3a1a2+ 2b1b2+c1c2. (c) S =

a b c d

|a−b+c−2d = 0, b−c+d = 0, c+d= 0

con el producto escalar

·:M2× M2−→R dado por

a b c d

· e f

g h

=ae+bf +cg+dh.

Ejercicio 11.5. SeaV un espacio eucl´ıdeo y seaB = {b1,b2,b3} una base deV tal queb1 es unitario, b1·b2= 0,b2·b2= 1,∥b3∥=√

2,(b1−b3)·b2= 0y(b1−b3)⊥b1. (a) Calcula la matriz de Gram con respecto a la baseB. (b) Calculad(b₁,b₃)y el ´angulo que formanb₃−b₁yb₂. (c) Calcula una baseB^′={v1,v2,v3}ortonormal.

(d) Calcula la matriz de Gram con respecto a la nueva baseB^′.

(22)

EJERCICIOS TEMA 11 MATEM´ATICAS I

Ejercicio 11.6. Considera el producto escalar con matriz de Gram G_B =





1 −1 0

−1 2 1

0 1 3



, siendo la base

B={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.

(a) Obt´enGB_csiBc denota a la base can´onica deR³. (b) Halla, utilizandoGB, el producto escalar(1, 1, 1)·(0, 1, 0).

(c) Calcula el producto escalar(1, 1, 1)·(0, 1, 0)utilizando ahoraGB_c. (d) ¿Son coherentes los resultados obtenidos en los apartados(b)y(c)?

Ejercicio 11.7. EnR³, se considera el producto escalar dado por

⟨(x1,x2,x3), (y1,y2,y3)⟩= 3x1y1+x1y2+x1y3+x2y1+ 3x2y2+x3y1+ 3x3y3. (a) Halla la matriz de Gram del producto escalar anterior.

(b) Calcula el m´odulo del vectorv = (1, 0, 1)respecto al producto escalar dado.

(c) Determina unas ecuaciones impl´ıcitas del subespacio ortogonal al vector anterior.

Ejercicio 11.8. EnR2[x]se considera el producto escalar dado por p(x)·q(x) =p(0)q(0) +p(1)q(1) +p(2)q(2).

(a) Calcula la matriz de Gram para la base can´onica deR2[x].

(b) Calcula la distancia entre los polinomiosx yx². (c) Calcula la norma de los polinomios1 +x y1−x.

Ejercicio 11.9. Se considera, enR⁴con el producto escalar habitual, el subespacio definido por las ecua- ciones impl´ıcitas

x+y+z = 0, y−z+ 2t = 0.

(a) Calcula la dimensi´on y una base deW.

(b) Emplea el m´etodo de Gram-Schmidt para hallar una base ortonormal a partir de la base hallada en el apartado anterior.

(c) Calcula la proyecci´on del vectorv = (1, 0, 0, 0)sobreW.

Ejercicio 11.10. Demuestra que en un espacio eucl´ıdeoV se cumple la ley del paralelogramo

∥u+v∥²+∥u−v∥²= 2∥u∥²+ 2∥v∥² para todou,v ∈V.

Ejercicio 11.11. Demuestra que si dos vectoresu,vde un espacio eucl´ıdeo verifican que

∥u∥²+∥v∥²=∥u+v∥², entonces son ortogonales.

Ejercicio 11.12. EnR⁴con el producto escalar habitual y dadov = (1, 2, 3, 1), encuentra el vector deW m´as cercano av siW es el subespacio de ecuaciones

x+y = 0, x−y+z = 0.

∗Ejercicio 11.13. SiU yV son subespacios de un espacio eucl´ıdeo, demuestra que

(U+V)^⊥=U^⊥∩V^⊥.

(23)

Soluciones

(24)

(25)

EJERCICIOS TEMA 1 MATEM´ATICAS I

Soluci´on 1.1.

(a) ( ˙ι+ 3)(2 ˙ι−1)

1−ι˙ =2 ˙ι²−ι˙+ 6 ˙ι−3

1−ι˙ =−5 + 5 ˙ι 1−ι˙

1 + ˙ι

1 + ˙ι = −5−5 ˙ι+ 5 ˙ι−5 ˙ι² 1²+ 1² = 0

2 = 0. (b) (1 + ˙ι)2 + 2 ˙ι

3 + ˙ι = (1 + ˙ι)(2−2 ˙ι)

3 + ˙ι =2−2 ˙ι+ 2 ˙ι−4 ˙ι² 3 + ˙ι = 6

3 + ˙ι 3−ι˙

3−ι˙ = 18 + 6 ˙ι 3²+ 1² =9

5 +3 5ι˙. (c) 2e^π³^ι^˙−( ˙ι+2) = 2 cos(^π₃) + ˙ιsin(^π₃)

−( ˙ι+2) = 2

1 2+ ˙ι

√3 2

−( ˙ι+2) = 1+√

3 ˙ι−( ˙ι+2) = =−1+(√ 3−1) ˙ι. (d) 4^π

4

2−π 2

= 4

2

π 4+^π₂

= 23π 4 = 2−π

4 = 2 cos(^−π₄ ) + ˙ιsin(^−π₄ )

= 2^√

2 2 −ι˙

√2 2

=√ 2−√

2 ˙ι.

Soluci´on 1.2.

(a) e^{1+ ˙}^ι =e₁. (b) 2^π

53_π1−π 2

= 2·3·1

π

5+π−^π₂ = 67π 10. (c) ι˙⁷= ˙ι⁴ι˙²ι˙= 1·(−1)·ι˙=−˙ι= 1^−π

2 , donde hemos utilizado que|ι|˙ =p

0²+ (−1)²= 1yArg(−˙ι) =^−π₂ (porque−˙ιest´a situado en la parte negativa del eje vertical).

Soluci´on 1.3. Comoz⁴=e^π^ι^˙, tenemos que calcular todas las ra´ıces cuartas dew =e^π˙^ι. – Calculamos el m´odulo y argumento dew =e^0+π^ι^˙=e⁰(cosπ+ ˙ιsinπ) =−1 + 0 ˙ι=−1:

|w|=p

(−1)²+ 0²= 1yArg(w) =π(porquew est´a en la parte negativa del eje horizontal).

– Calculamos las ra´ıces cuartas dew con la f´ormulavk =p⁴

|w|Arg(w)+2kπ

4 parak = 0, 1, 2, 3: v₀=√⁴

1^π

4 = 1^π

4, v₁=√⁴

1π+2π

4 = 13π

4 , v₂=√⁴

1π+4π

4 = 15π

4 = 1−3π

4 , v₃=√⁴

1π+6π

4 = 17π

4 = 1−π 4 . Soluci´on 1.4.

Re(z) Im(z)

A

Re(z) Im(z)

B

Re(z) Im(z)

C

Re(z) Im(z)

D

Re(z) Im(z)

E

donde hemos calculado las ra´ıces c´ubicas dew =−8: – M´odulo y argumento:|w|=p

(−8)²+ 0²= 8yArg(w) =π(porquew est´a en la parte negativa del eje horizontal).

– Ra´ıces c´ubicas dew:z_k =p³

|w|Arg(w)+2kπ

3 parak = 0, 1, 2: z0=√³

8^π

3 = 2^π

3, z1=√³ 8π+2π

3 = 2π, z2=√³

8π+4π

3 = 25π

3 = 1^−π

3 .

(26)

EJERCICIOS TEMA 1 MATEM´ATICAS I

Soluci´on 1.5.

(a) Comoz³=−1 + ˙ι, calculamos las ra´ıces c´ubicas dew =−1 + ˙ι. – M´odulo y argumento:|w|=p

(−1)²+ 1²=√

2yArg(w) =π−arctan ¹₁

=π−^π₄ = ^3π₄ (porque w est´a en el segundo cuadrante).

– Ra´ıces c´ubicas dew:z_k =p³

|w|Arg(w)+2kπ

3 parak = 0, 1, 2: z₀= ³

q√ 23π

4+0 3

=√⁶ 2^π

4, z₁= ³

q√ 23π

4+2π 3

=√⁶ 211π

12 , z2= ³

q√ 23π

4+4π 3

=√⁶ 219π

12 = 1^−5π

12 .

(b) Hacemos el cambio de variable t = z + 1y resolvemost⁴ = 16calculando las ra´ıces cuartas de w = 16:

– M´odulo y argumento:|w|=√

16²+ 0²= 16yArg(w) = 0(porquew est´a en la parte positiva del eje horizontal).

– Ra´ıces cuartas dew:tk =p⁴

|w|Arg(w)+2kπ

4 parak= 0, 1, 2, 3: t₀=√⁴

160

4 = 2₀= 2(cos 0 + ˙ιsin 0) = 2, t₁=√⁴

160+2π

4 = 2^π

2 = 2(cosπ

2 + ˙ιsinπ 2) = 2 ˙ι, t2=√⁴

160+4π

4 = 2π= 2(cosπ+ ˙ιsinπ=−2, t₃=√⁴

160+6π 4 = 23π

2 = 2−π

2 = 2(cos(−π

2 ) + ˙ιsin(−π

2 )) =−2.

Deshacemos el cambio de variablezk =tk−1:

z0=t0−1 = 1, z1=t1−1 =−1 + 2 ˙ι, z2=t2−1 =−3, z3=t3−1 =−1−2 ˙ι.

Soluci´on 1.6. Si escribimosz =a+bi, tendremos por un lado

|z + 1|=|a+b˙ι+ 1|=|(a+ 1) +bι|˙ =p

(a+ 1)²+b², y por otro,

|z−i|=|a+b˙ι−ι|˙ =|a+ (b−1) ˙ι|=p

a²+ (b−1)². Ambas expresiones son iguales si, y s´olo si,

(a+ 1)²+b²=a²+ (b−1)², que desarrollando ambos lados, es equivalente a

a²+ 2a+ 1 +b²=a²+b²−2b+ 1.

Simplificando, se llega a la condicióna=−b. Por tanto, los números complejos solución de la ecuación dada son de la forma

z =a−a˙ι, a∈R.

Se trata de una recta en el plano complejo, múltiplos reales del número complejo1−ι˙. Solución 1.7.

(a) En primer lugar, ⁻¹_ι_˙ = ˙ι. Comoι˙⁴= 1, deducimos que 1

−˙ι ¹⁰⁰

= ˙ι¹⁰⁰= ˙ι⁴²⁵

= 1²⁵= 1.

En forma polar,1₀. (b) En forma polar,1−ι˙=√

2^−π

2 y entonces

√ 2^−π

2

⁵⁰

= 2²⁵^−50π

2 = 2²⁵_−25π= 2²⁵π. En forma bin´omica,2²⁵_π= 2²⁵(cosπ+ ˙ιsinπ) =−2²⁵.

(27)

EJERCICIOS TEMA 1 MATEM´ATICAS I

(c) Las formas polares de2 + 2 ˙ιy2−2 ˙ιson√ 8^π

4 y√

8₋^π

4 (son conjugados). Por tanto, en forma polar, se tiene que

√ 8^π

4

20

= 8¹⁰20π

4 = 8¹⁰_5π = 8¹⁰_π y √

8−π 4

40

= 8²⁰−20π

4 = 8²⁰_−5π= 8²⁰_π. Y por lo tanto,

8¹⁰π

8²⁰_π = 1

8¹⁰

0

= 8⁻¹⁰0.

En forma bin´omica,8⁻¹⁰0= 8⁻¹⁰(cos 0 + ˙ιsin 0) = 8⁻¹⁰(es un n´umero real).

Solución 1.8. Para resolver la ecuaciónx⁶−2x³+2 = 0, hacemos el cambio de variablez =x³y obtenemos la ecuación de grado dos

z²−2z+ 2 = 0, que tiene como soluci´on:

z = −b±√

b²−4ac

2a =2±√

4−8

2 =2±√

−4

2 = 2±2√

−1

2 = 1±ι,˙ es decir, tiene dos ra´ıces complejas:z1= 1 + ˙ιyz2= 1−ι˙.

Si tratamos de deshacer el cambio de variable original, debemos resolver la ecuaci´on x³= 1 + ˙ι,

lo que equivale a hallar las ra´ıces c´ubicas de1 + ˙ι, cuya expresi´on en polares es√ 2^π

4. Empleando la f´ormulaxk =p³

|1 + ˙ι|Arg(1+ ˙ι)+2kπ

3 parak= 0, 1, 2, las ra´ıces c´ubicas son:

x₁= ³ q√

2^π

4 3

=√⁶ 2^π

12, x₂= ³

q√ 2^π

4+2π 3

=√⁶ 23π

4 , x₃= ³

q√ 2^π

4+4π 3

=√⁶ 217π

12 =√⁶ 2−7π

12

.

La ecuaci´onx³= 1−˙ιse resuelve de modo similar, teniendo en cuenta que en polares1−˙ιtiene expresi´on

√2^−π

4 . Las soluciones son:

x₄= ³ q√

2−π 4 3

=√⁶ 2−π

12 , x₅= ³

q√ 2−π

4 +2π 3

=√⁶ 27π

12, x₆= ³

q√ 2−π

4 +4π 3

=√⁶ 25π

4 =√⁶ 2−π

4 . Soluci´on 1.9. Despejando, se obtiene que

z( ˙ι+ 1) = (z −2)(1−ι)˙ ⇒ z( ˙ι+ 1) =z(1−ι) + (−2 + 2 ˙˙ ι), y agrupando y despejando de nuevoz llegamos a

z( ˙ι+ 1)−z(1−ι) =˙ −2 + 2 ˙ι ⇒ 2 ˙ιz =−2 + 2 ˙ι ⇒ z = −2 + 2 ˙ι

2 ˙ι =−1 + ˙ι

˙

ι = 1 + ˙ι.

Por tanto, el n´umero complejo pedido esz²+ ˙ι= (1 + ˙ι)²−ι˙= 1 + 2 ˙ι+ ˙ι²−ι˙= ˙ι, cuya forma polar es1^π

2. Soluci´on 1.10. Seap(x) =a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+ ... +a₁x+a₀un polinomio con coeficientes reales, es decir, ai ∈R. Siz es ra´ız dep(x), esto quiere decir quep(z) = 0, y por tanto

anzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a1z +a0= 0.

Si conjugamos ambos lados de la ecuación y aplicamos las propiedades de la conjugación de números complejos respecto a la suma y al producto, se tiene que

0 =anzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a1z +a0=anzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a1z+a0=

=a_nzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a₁z+a₀=

=anzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a1z+a0=

=a_nzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+ ... +a₁z+a₀=p(z), donde hemos aplicado tambi´en queai=ai por ser los coeficientes n´umeros reales.

(28)

EJERCICIOS TEMA 1 MATEM´ATICAS I

(29)

EJERCICIOS TEMA 2 MATEM´ATICAS I

Soluci´on 2.1.

(a) l´ım

x→a⁺

√x−√ a (x−a)² =

0 0

= l´ım

x→a⁺

√x−√ a (x−a)²

√x+√

√ a x+√

a = l´ım

x→a⁺

x−a (x−a)²(√

x+√ a)=

= l´ım

x→a⁺

1 (x−a)(√

x+√ a) =

1 0⁺·2√

a

= +∞. (b) l´ım

x→a⁺

√x−a x−a =

0 0

= l´ım

x→a⁺(x−a)¹²⁻¹= l´ım

x→a⁺

√x−a=√

a⁺−a=√ 0⁺= 0. (c) l´ım

x→a⁺

x−a

√x−a = 0

0

= l´ım

x→a⁺(x−a)¹⁻¹² = l´ım

x→a⁺

√ 1

x−a = 1

√a⁺−a = 1

√

0⁺ = 1

0⁺ = +∞. (d) l´ım

x→+∞

px²+a−ax

=h

+∞ − ∞i

= l´ım

x→+∞

√

x²+a−ax √

x²+a+ax

√x²+a+ax =

= l´ım

x→+∞

x²+a−a²x²

√x²+a+ax = l´ım

x→+∞

(1−a²)x²+a

√x²+a+ax . Sia̸= 1:

x→+∞l´ım

px²+a−ax

= l´ım

x→+∞

(1−a²)x²+a

√x²+a+ax = ∞

+∞

= l´ım

x→+∞

(1−a²)x²+a

√x²+a+ax =

= l´ım

x→+∞

(1−a²)x+_x^a p1 + _x^a2 +a =

+∞ sia∈[0, 1),

−∞ sia∈(1, +∞).

Sia= 1:

x→+∞l´ım

px²+ 1−x

= l´ım

x→+∞

√ 1

x²+ 1 +x = 1

+∞

= 0.

Soluci´on 2.2.

(a) l´ım

x→0f(x) = l´ım

x→0xsin ^π_x

= 0por el Criterio del S´andwich ya que l´ım

x→0x = 0y sin ^π_x

≤1. (b) l´ım

x→0g(x) = l´ım

x→0

2^1/x+ 5^−1/x 3^1/x+ 4^−1/x =

2^1/0+ 5^−1/0 3^1/0+ 4^−1/0

⇒ calculamos los l´ımites laterales:

l´ım

x→0⁺g(x) = l´ım

x→0⁺

2^1/x+ 5^−1/x 3^1/x+ 4^−1/x =

"

2^1/0⁺+ 5^1/0⁻ 3^1/0⁺+ 4^1/0⁻

#

=

2^+∞+ 5^−∞

3^+∞+ 4^−∞

=

+∞+ 0 +∞+ 0

=

= l´ım

x→0⁺ 2 3

^1/x

+ 15^−1/x 1 + 12^−1/x =





2 3

^1/0⁺

+ 15^1/0⁻ 1 + 12^1/0⁻



=

" ₃

2

−∞

+ 15^−∞

1 + 12^−∞

#

= 0 + 0 1 + 0 = 0.

l´ım

x→0⁻g(x) = l´ım

x→0⁻

2^1/x + 5^−1/x 3^1/x + 4^−1/x =

"

2^1/0⁻+ 5^1/0⁺ 3^1/0⁻+ 4^1/0⁺

#

=

2^−∞+ 5^+∞

3^−∞+ 4^+∞

=

0 +∞ 0 +∞

=

= l´ım

x→0⁻

8^1/x + ⁵₄^−1/x 12^1/x+ 1 =





8^1/0⁻+ ⁵₄^1/0⁺ 12^1/0⁻+ 1



=

"

8^−∞+ ⁵₄^+∞

12^−∞+ 1

#

=0 +∞

0 + 1 = +∞.

Como los l´ımites laterales no coinciden, no existe l´ım

x→0g(x). (c) l´ım

x→0h(x) = l´ım

x→0(3x²+ 1)^x¹² =h 1⁰⁺¹ i

=h 1^+∞i

= l´ım

x→0



 1 + 1

1 3x²

!_3x¹₂



3x2 x2

=e³.

Soluci´on 2.3.

(a) l´ım

x→1

1

logx − 1 x−1

=h

∞ − ∞i

= l´ım

x→1

x−1−logx (x−1) logx =

0 0

= l´ım

x→1

1−¹_x

1

x(x−1) + logx =

= l´ım

x→1

x−1 x−1 +xlogx =

0 0

= l´ım

x→1

1

1 + logx+ 1 =1 2.

(30)

EJERCICIOS TEMA 2 MATEM´ATICAS I

(b) l´ım

x→0(1 +xsinx)^2/x² =h 1^∞i

= l´ım

x→0



 1 + 1

1 xsinx

!_x_sin¹_x



2xsinx x2

= l´ım

x→0e^(1+x^sinx⁻¹⁾^x²² =e^l´ım^x→0^(x^sinx)^x²². Calculamos el l´ımite del exponente utilizando que l´ım

x→0 sinx

x = 1:

x→0l´ım 2xsinx

x² = l´ım

x→0

2 sinx x = 2.

Por tanto, l´ım

x→0(1 +xsinx)^2/x² =e². (c) l´ım

x→a

x−a

√3

x−a = 0

0

= l´ım

x→a(x−a)^1−1/3= l´ım

x→a(x−a)^2/3= (a−a)^2/3= 0.

(d) Si empleamos la identidad x³−y³ = (x −y)(x² +xy +y²)(similar a la habitualmente utilizada x²−y²= (x−y)(x+y)), y la aplicamos conx^1/3ya^1/3como t´erminos, se obtiene que

x→al´ım x−a

√3

x−√³

a = l´ım

x→a

x−a

x^1/3−a^1/3 = l´ım

x→a

(x^1/3−a^1/3)(x^2/3+x^1/3a^1/3+a^2/3) x^1/3−a^1/3 =

= l´ım

x→a(x^2/3+x^1/3a^1/3+a^2/3) = 3a^2/3.

(31)

(32)

Soluci´on 3.1.

(a) La funci´on es continua en todo su dominio (Dom(f) = [−1, 1]) porque es una ra´ız cuadrada de un polinomio (que siempre es positivo en[−1, 1]).

(b) La funci´ong es continua en(−1, 1)por estar definida como la ra´ız cuadrada de un polinomio (que siempre es positivo en(−1, 1)) y tambi´en es continua en(−∞,−1)∪(1, +∞)por ser constante.

La funci´on es continua enx =−1sif(−1) = l´ım

x→−1f(x). Calculamosf(−1) =p

1−(−1)²= 0y l´ım

x→−1⁻f(x) = l´ım

x→−1⁻0 = 0 y l´ım

x→−1⁺f(x) = l´ım

x→−1⁺

p1−x²=p

1−(−1)²= 0, es decir,f(−1) = 0 = l´ım

x→−1f(x)y deducimos quef es continua enx =−1. La funci´on es continua enx = 1sif(1) = l´ım

x→1f(x). Calculamosf(1) =√

1−1²= 0y l´ım

x→1⁻f(x) = l´ım

x→1⁻

p1−x²=p

1−1²= 0 y l´ım

x→1⁺f(x) = l´ım

x→1⁺0 = 0, es decir,f(1) = 0 = l´ım

x→1f(x)y deducimos quef es continua enx= 1.

(c) La funci´ong es continua en(−1, 1)por estar definida como la ra´ız cuadrada de un polinomio (que siempre es positivo en(−1, 1)) y tambi´en es continua en(−∞,−1)∪(1, +∞)por ser un polinomio.

La funci´on es continua enx =−1sif(−1) = l´ım

x→−1f(x). Calculamosf(−1) =p

1−(−1)²= 0y l´ım

x→−1⁻f(x) = l´ım

x→−1⁻(x−1) =−2 y l´ım

x→−1⁺f(x) = l´ım

x→−1⁺

p1−x²=p

1−(−1)²= 0.

Como los l´ımites laterales no coinciden, deducimos que no existe l´ım

x→−1f(x)y, por lo tanto,f no es continua enx =−1. Adem´as, como l´ım

x→−1^±f(x)∈R, deducimos quef tiene una discontinuidad de salto finito enx=−1.

La funci´on es continua enx = 1sif(1) = l´ım

x→1f(x). Calculamosf(1) =√

1−1²= 0y l´ım

x→1⁻f(x) = l´ım

x→1⁻

p1−x²=p

1−1²= 0 y l´ım

x→1⁺f(x) = l´ım

x→1⁺(x−1) = 1−1 = 0, es decir,f(1) = 0 = l´ım

x→1f(x)y deducimos quef es continua enx= 1. Soluci´on 3.2. Para quef sea continua enx = 2necesitamos que l´ım

x→2f(x) =f(2) =