Estad´ıstica I
Grado en Matem´aticas, UAM, 2018-2019
Hoja 4. Momentos/m´axima verosimilitud. Sesgo y eficiencia de estimadores
M´etodo de momentos y m´axima verosimilitud 1. Calcula los estimadores por m´axima verosimilitud (para muestras de tama˜non) para
a) el par´ametroλdeX ∼poiss(λ);
b) el par´ametropdeX ∼bin(N, p), conN dado.
2. La funci´on de masa de la variable aleatoriaX es
valores 0 1 2 3
probabilidades θ/3 1/3 1/3 (1−θ)/3 Aqu´ı, el par´ametroθ∈[0,1].
En una muestra de X de tama˜no 100 se han obtenido los siguientes resultados:
valores 0 1 2 3
n´umero de apariciones 10 27 23 40
Halla laestimaci´ondeθpor momentos. Halla laestimaci´ondeθpor m´axima verosimilitud.
3. La funci´on de masa de la variableX viene dada por
valores 1 2 3
probabilidades p1 p2 p3
El modelo tienen ´unicamente dos par´ametros, por ejemplop1 yp2, puesto que se debe cumplir quep1+p2+p3= 1. Se tiene quep1∈(0,1), p2∈(0,1) y adem´as quep1+p2<1.
En una muestra de X de tama˜no 100 se han obtenido los siguientes resultados:
valores 1 2 3
n´umero de apariciones 20 25 55 Halla laestimaci´on dep1yp2 por m´axima verosimilitud.
4. Una variable aleatoriaX tiene funci´on de densidad f(x;θ) = 2
θ2x parax∈[0, θ],
yf(x;θ) = 0 six /∈[0, θ]. El par´ametroθes positivo. Halla el estimador por m´axima verosimi- litud deθpara muestras de tama˜non.
5. Una variable aleatoriaX tiene funci´on de densidad f(x;θ) =
{
θ/x2, six > θ , 0, six≤θ .
El par´ametroθ es positivo. Halla los estimadores por momentos y por m´axima verosimilitud deθpara muestras de tama˜non.
6. Sea X ∼ N(µ,1). El espacio de par´ametros (para µ) es el intervalo [−1,1]. Dada una muestra (x1, . . . , xn) deX, determina la estimaci´on de m´axima verosimilitud deµ.
7. Sea Θ = {0,1} y considera las dos funciones de densidad (ambas con soporte en (0,1)) alternativas dadas, parax∈(0,1), por
f(x; 0) = 1, f(x; 1) = 1 2√
x.
Determina el estimador de m´axima verosimilitud del valor deθpara muestras de tama˜non.
Sesgo y eficiencia de estimadores 8. Comprueba que siT1yT2son estimadores insesgados de un par´ametro deθ, entonces, para todoλ∈(0,1), Z=λT1+ (1−λ)T2 es estimador insesgado deθ.
9. Una variableX sigue una distribuci´on de Rayleigh de par´ametroσ2>0. En un tal modelo se tiene que
Eσ2(X) =√
πσ2/2 y Eσ2(X2) = 2σ2.
Como estimadores del par´ametro σ2 (para muestras de tama˜no n), se proponen los dos siguientes:
T1(X1, . . . , Xn) = 2
πX2 y T2(X1, . . . , Xn) =1 2X2.
Comprueba queT2es un estimador insesgado deσ2, mientras queT1no. Calcula el sesgo deT1. 10. Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad/masaf(x;θ), conθ ∈Θ. SeanT1 yT2 dos estimadores insesgados de un par´ametroθ que act´uan sobre muestras de tama˜non.
Formamos el estimadorU (que act´ua sobre muestras (X1, . . . , X2n) de tama˜no 2n):
U(X1, . . . , X2n) =1 2
(T1(X1, . . . , Xn) +T2(Xn+1, . . . , X2n)) . Comprueba que Vθ(U) = 14(
Vθ(T1) +Vθ(T2)) .
11. Tenemos una variableX que toma los valores{−1,0,+1} con probabilidades respectivas
−1 0 +1
(2 +θ)/4 θ/4 (2−2θ)/4 paraθ∈[0,1].
a) Consideremos el estad´ısticoN1 dado por
N1=h1(X1, X2, . . . , Xn),
donde h1(x1, x2, . . . , xn) = n´umero de{xj =−1}. Observa que N1 ∼bin(n,(2 +θ)/4). Com- prueba que el estad´ıstico
T1= 4 nN1−2 es un estimador insesgado deθ.
b) Consideremos el estad´ısticoN2 dado por
N2=h2(X1, X2, . . . , Xn),
donde h2(x1, x2, . . . , xn) = n´umero de{xj = 0}. Observa que N2 ∼ bin(n, θ/4). Comprueba que el estad´ıstico
T2= 4 nN2
es un estimador insesgado de θ para muestras aleatorias de X de tama˜no n. ¿Cu´al de los estimadores,T1 oT2, es m´as eficiente?
c) Supongamos que la muestra (x1, x2, . . . , x100) tiene las siguientes frecuencias:
−1 0 1 60 16 24
¿Cu´al es la estimaci´on deθsi usamosT1? ¿Y si usamosT2?
ejercicios adicionales 12. Un arquero (con escasa punter´ıa) disparanveces a una diana de radioθ(desconocido). En cada lanzamiento logra darle al disco, pero en lugares completamente aleatorios cuyas distancias al centro del disco sonr1, r2, . . . , rn. Determina el estimador de m´axima verosimilitud del radio del disco.
13. SeaX ∼unif(a, b), cona < b. Determina los estimadores deaybpara muestras aleatorias deX de tama˜nonpor m´axima verosimilitud y por el m´etodo de momentos.
14. Calcula el estimador por m´axima verosimilitud del par´ametro θ ∈ [0,1] para muestras aleatorias de tama˜no n de la variable X que toma tres valores −1,0,+1 con probabilidades respectivas
−1 0 +1 (2 +θ)/4 θ/4 (2−2θ)/4
15. La variable X tiene una distribuci´on dada por dos par´ametrosδ >0 yλ >0, de manera que
X =δ+Y , dondeY ∼exp(λ). Los par´ametrosδyλson desconocidos.
a) Seamn= m´ın(X1, X2, . . . , Xn). Comprueba que E(mn) =δ+ 1
nλ y que E(X) =δ+1 λ. b) Comprueba que
T1= n
n−1(X−mn) y T2= n
n−1(mn−X/n) son estimadores insesgado de 1/λyδ, respectivamente.
16. SeaT un estimador de un par´ametroθ. Supongamos queEθ(T) =αθy queVθ(T) =βθ2, dondeαyβ son dos constantes fijas.
Halla r (en funci´on de αyβ) para que ECMθ(rT) sea m´ınimo. Apl´ıcalo al caso en el que X ∼Unif[0, a] y al estimadorT = m´ax(X1, . . . , Xn) dea.
