La definición oficial de los números de Stirling S(n, k) se trata de dividir en k bloques desordenados. Sin embargo, la versión ordenada de los números de Bell B(n) (el número total de particiones de {1, . . , n} en bloques no vacíos), sí, a los que nos referiremos como los números de Bell ordenados. Lo que obliga a representar estos números en un "triángulo" como el de los coeficientes binomiales.
Empezamos analizando los "valores límite" de los números de Stirling de segunda clase: S(n, n) y S(n,1). Regla de recurrencia para el S(n, k) Representamos los valores S(n, k) en un triángulo, como en el caso del. Fíjate como ahora ya no tenemos la simetría del triángulo de los coeficientes binomiales.
Ya tenemos una forma eficiente de calcular los valores de los números S(n,k) usando una regla de recursión. Tamaño y forma del número de Stirling S(n, k) La presencia del factor k en la regla de recurrencia.
Tama˜ no y forma de los n´ umeros de Stirling S(n, k) La presencia del factor k en la regla de recurrencia
Este es el teorema de Arrow80, el teorema de la imposibilidad, que, parafraseado en lenguaje callejero, significa que no existe un sistema de votación "perfecto". Bueno, a menos que esté harto de tener tantos n y k en diferentes posiciones, le sugerimos que se asegure de que, en general, el rango señalado por el Lema 5.3.3 esté muy lejos (por encima) del límite binomial. Prueba del Lema 5.3.3. Cotak!S(n, k)≤k es inmediata, simplemente comparando las aplicaciones sobreyectivas con las totales (Lema 5.3.1).
Entonces procedemos a analizar la unimodalidad de la sucesión (S(n, k))k para n fijo, lo cual demostraremos a partir de la condición más fuerte de concavidad logarítmica (recordar el Lema 5.1.5). En el curso del argumento que sigue, usaremos estas dos desigualdades junto con la repetición de los números de Stirling. De hecho, de la demostración se sigue que la sucesión S(n, k) es estrictamente logcóncava.
Los n´ umeros de Bell y un tal Dobi´ nksi
Extrañamente, excepto en el caso trivial de n=2, no hay un valor conocido de n para el cual haya dos máximos; es un "problema abierto", en la jerga matemática.82. Esto da, después de la aplicación adecuada de la regla de la suma y el producto, Este límite es muy impreciso, incluso para valores pequeños de n, como el lector puede comprobar leyendo, por ejemplo, los valores de B(10) y B((10) en la tabla de la página anterior y comparando ellos al 1010.
Pero obtener límites exactos, o tal vez estimaciones asintóticas, para B(n) o B(n) es un asunto más delicado y, en cualquier caso, requiere tecnología de la que no disponemos actualmente. un "etc." que en el caso de Dobi´nski terminó con el caso dob(8) = 4140e, en el cual, suponemos que ya agotado por tantos cálculos, completó su aporte. La generalización de su argumento, que describiremos a continuación, se conoce finalmente como la “fórmula de Dobi'nski”, que, como veremos, es una forma rápida de expresar y calcular los números de Bell.
En caso de que un lector aún no haya detectado la relación, dados los primeros valores mostrados arriba, es exactamente la misma repetición la que verifica los números B(n). El lector que haya disfrutado jugando con los primeros casos “a la Dobi´nski” habrá utilizado en su argumentación el truco del penúltimo paso, ese factor (k+ 1) sumado arriba y abajo. La sucesión anterior es convergente (por cadan); pero no converge tan asombrosamente como el de B(n), ya que hay un 2k en el denominador, de modesto crecimiento comparado con k!.
Como ejemplo numérico, B y( es necesario sumar unos 45 términos de la cadena para obtener un resultado que, redondeado al entero más alto, es este número. Para probar esta identidad (con las herramientas que tenemos disponibles actualmente), tenemos, pues como en Bell normal, dos opciones: comprobar que la función n que aparece a la derecha obedece a la misma regla de recurrencia que B(n), que es una p'( páginas atrás etiqueta Nos quedamos con (‡ ), o use la fórmula ( ) en el Lema 5.3.2 y aprenda manipulaciones con sumas y tipos. Ahora daremos la primera prueba, dejando la segunda como Ejercicio 5.3.4 (con las sugerencias apropiadas) para el lector.
Todo lo que queda es identificar las series que aparecen. en el segundo usamos la fórmula del conjunto geométrico) que da el resultado.
Multiparticiones (ordenadas)
Descomposici´ on de permutaciones en ciclos
Una permutación se puede escribir únicamente como un producto de ciclos disjuntos de dos por dos. La singularidad aquí debe entenderse con las advertencias habituales: el orden en que presentamos los bucles y el elemento que aparece primero dentro de cada bucle. En principio, el número de ciclos que puede tener una permutación es cualquier número entre 1 (las permutaciones cíclicas) y n (la permutación identidad).
La pregunta que surge naturalmente es: ¿cuántas permutaciones tienen un número dado de ciclos? Tenga en cuenta, lector, que el lema 5.2.2 de Cauchy no responde a esta pregunta, ya que no prescribe la estructura de los ciclos, sino solo el número total de ciclos. A continuación, argumentaremos combinatoriamente con tabz(n, k), pero también registraremos las propiedades obtenidas del lado de tab(n, k).
Para empezar, restringiremos nuestro análisis al caso de interés donde n ≥ 1 y 1 ≤k ≤n, como es debido, ya que no puede haber permutaciones con más ciclos que elementos. Respecto a los límites, nótese que si k=n, la única permutación que tiene tantos ciclos como elementos es la identidad. Es decir, debe haber un ciclo de orden dos (una transposición) y el resto deben ser ciclos de orden 1.
Para contar, basta con elegir qué dos elementos forman una transposición, lo que nos dice esto. Recuerda, lector: el orden en que se presentan los bucles no es importante, pero para nuestro argumento sorteamos esta indiferencia marcando el primer bucle como el que contiene 1. Además, en este primer bucle escribimos 1 en la primera posición como de costumbre .
Aplicando la regla del producto, luego la regla de la suma y alguna simplificación, deducimos que z(n+ 1,2).
Recurrencia y c´ alculo de los s(n, k)
Stirling y sus n´ umeros
De partitione numerorum
Cada una de estas formas será lo que llamaremos una partición del entero n; y cada una de las adiciones, una parte. A modo ilustrativo, véase el ejemplo de la derecha, en el que se relacionan las cinco particiones y las ocho composiciones de 4. Uno puede imaginar a Ferrers trabajando en la cafetería de la esquina pintando diagramas y luego mostrando sus conocimientos matemáticos a sus colegas que, un momento después, se dan la vuelta y comienzan a dibujar cruces al azar.
Por cierto, algunas personas llaman a estas figuras diagramas de Young, aunque en este caso se suelen utilizar pequeños cuadrados, en lugar de cruces, para representar la separación. Prueba. Clasificamos las particiones de n con exactamente k partes según tengan o no un complemento de 1. Si 1 es un complemento de partición, al eliminarlo nos queda una partición en -1 con exactamente k−1 partes. .
Y viceversa: dada una partición de n−1 con exactamente k−1 partes, le sumamos el sumando 1 para obtener una partición de n con exactamente k partes, una de las cuales es 1. De lo contrario, si todas las partes son ≥ 2, entonces podemos eliminar toda la primera columna del diagrama de Ferrers y quedarnos con una partición en −k con exactamente k partes (y viceversa). Al igual que en los coeficientes binomiales o números de Stirling, el cálculo de cada pk(n) requiere únicamente de dos valores previamente calculados, aunque, ¡ojo!, uno de ellos está bastante "lejos". (k filas arriba) en la celda que estamos calculando.
En la tabla de valores de la página anterior, preguntamos cómo crece la lista de números en la columna k. Para refinar más, volvemos a la comparación entre composiciones y particiones permutadas para observar que si las k partes de la partición de n fueran diferentes, entonces sí tendríamos k. Una partición de n con exactamente k partes es lo mismo que una solución de .
Escribimos los términos en orden (por ejemplo, de menor a mayor) para evitar precisamente escribir la misma partición varias veces.
Otros tipos particulares de particiones
Estas dos cuestiones son, por un lado, las particiones en las que prescribimos el tamaño de la mayor suma, y por otro lado, las particiones cuyas partes son todas diferentes. Recuerde, lector, que esto último apareció en la discusión sobre el tamaño de pk(n) en la sección anterior. Para la primera pregunta, observamos que en el diagrama de Ferrers de una partición de n filas por columnas, todavía tenemos una partición de n, ya que no cambiamos el número de símbolos;.
Si ahora cambiamos filas por columnas, obtenemos una partición de 18 con cinco partes. Dada una división λ, decimos que λ es su conjugado si se obtiene de λ cambiando filas por columnas. Si además quieres investigar la posibilidad de que una división conjugada coincida con la original, consulta el Ejercicio 5.3.13.
A continuación analizamos particiones cuyas partes son todas diferentes, cuestión que ya interesaba a Euler y que tiene conexiones inesperadas. El estudio de qk(n) es sencillo: exactamente el mismo argumento que usamos en la discusión sobre el tamaño de pk(n), con el que separamos las adiciones de una partición para que fueran diferentes, nos da esto. Los números de la primera fila son los llamados números pentagonales, familiares para el lector que se haya tomado la molestia de consultar disciplinadamente el ejercicio 1.2.3.
Por otro lado, comenzando por la mayor suma, β(λ) es el número de partes consecutivas que difieren exactamente en 1 de la anterior. Definimos a continuación algunas reglas que modifican la paridad del número de adiciones de una partición den con sus respectivas partes, distinguiendo dos casos. La partición λ∗ todavía tiene partes distintas; pero tiene una adición menos que la que tenía λ (esto cambia la paridad del número de partes).
Como ejemplo, supongamos que tenemos una partición del número entero 35 (que es un número pentagonal) con todas sus partes distintas y α = β, p. igual a 5, como en el diagrama de la derecha.
