PAVIMENTACIONS DEL PLA

El desenvolupament del treball no es correspon exactament amb l'ordre de formulació de les preguntes anteriors. 3 Finalment, cal esmentar els problemes sorgits durant el desenvolupament del treball. Afortunadament, ho he pogut superar, personalment o a partir de l'ajuda en línia que disposa GeoGebra, o amb l'assessorament del meu tutor o del meu pare i, precisament per això, vull expressar el meu agraïment.

PAVIMENTACIÓ DEL PLA AMB POLÍGONS REGULARS: RESOLUCIÓ ALGEBRÀICA I

INTRODUCCIÓ AL CAPÍTOL

PLANTEJAMENT DEL PROBLEMA

RESOLUCIÓ DE L’EQUACIÓ I DETERMINACIÓ DE LES PAVIMENTACIONS

No obstant això, aquests pentàgons han de pertànyer a una de les catorze famílies d'imatges amb les quals es pot fer enrajolat. A més de les rajoles ja estudiades, hi ha moltes altres maneres de generar mosaics per al plànol. La idea central és generar nous paviments a partir de la modificació de les parts dels paviments estudiats.

ALGUNES RELACIONS DE LES FULLES DE PENROSE AMB LA CRISTALLOGRAFIA: ELS QUASI-CRISTALLOGRAFIA: ELS QUASI-CRISTALLS. Fins i tot partint d'un nivell bàsic de coneixements matemàtics, es pot arribar a veure que en el món de les rajoles planars encara hi ha problemes oberts, com els relatius a les rajoles amb pentàgons convexos.

PAVIMENTACIONS REGULARS I SEMIREGULARS TROBADES

ALTRES PAVIMENTACIONS DEL PLA

INTRODUCCIÓ AL CAPÍTOL
PAVIMENTACIONS AMB TRIANGLES
PAVIMENTACIONS AMB QUADRILÀTERS
PAVIMENTACIONS AMB PENTÀGONS NO REGULARS
PAVIMENTACIONS AMB HEXÀGONS NO REGULARS
PAVIMENTACIONS AMB ALTRES POLÍGONS CONVEXOS
GENERACIÓ DE PAVIMENTACIONS I MOSAICS
PAVIMENTACIONS PERIÒDIQUES I NO PERIÒDIQUES. ELS MOSAICS DE

En el capítol anterior hem estudiat la disposició que es pot fer amb polígons regulars. En aquest nou capítol es farà un repàs general dels diferents tipus de paviments que es poden construir amb polígons irregulars. Els tipus especials d'aquests dissenys són els que es poden fer a partir de polígons que no són regulars, però iguals entre si.

Per crear els exemples que es presenten a continuació amb el programa GeoGebra, hem pres alguns dels exemples més senzills. S'ha demostrat que el pla no es pot cobrir per polígons convexos de més de sis costats. Així doncs, com que òbviament no tens pressió amb dos polígons (els vèrtexs haurien de tenir 180º i no comptar com a vèrtex sinó com a costat), no podrem pavimentar el pla amb cap polígon de més de sis costats.

Per exemple, la figura que es veu a la imatge següent permet fer un mosaic, encara que al principi sembli impossible. En realitzar aquest procés, obtindreu un mosaic com el que veieu a continuació (realitzat com sempre al programa GeoGebra). Un cop aconseguida la forma del polígon, es van fer successives translacions fins arribar al paviment que es veu a continuació.

El mèrit de Penrose va consistir en trobar dos quadrilàters simples, relacionats amb el pentàgon i el nombre daurat, donant com a resultat un enrajolat no periòdic força sorprenent. El punt central, la clau de l'enrajolat de Penrose, és que l'avió ha d'estar sempre enrajolat no periòdicament. 37 Amb aquestes regles, que poden semblar una mica descabellades, es pot desenvolupar un mosaic de Penrose.

PAVIMENTACIONS O DIAGRAMES DE VORONOI

QUÈ ÉS UNA PAVIMENTACIÓ DE VORONOI?
UNA MICA D’HISTÒRIA
ALGUNS EXEMPLES DE COM ES FA UN DIAGRAMA DE VORONOI
ALGUNS EXEMPLES DE LES APLICACIONS DELS DIAGRAMES DE VORONOI

Durant la seva vida com a matemàtic, es va dedicar sobretot a la teoria dels nombres —especialment els nombres algebraics i la geometria dels nombres— i les rajoles, estudiant i definint el que ara es coneix com el diagrama de Voronoi. ALGUNS EXEMPLES DE COM ES FA UN DIAGRAMA DE VORONOI El cas més senzill és el del diagrama associat a dos punts del pla A i B. En aquest cas, el mosaic de Voronoi només té dues regions: la limitada per la mediana.

Aquest circumcentre és el punt d'intersecció de les mitges rectes que defineixen el diagrama de Voronoi. 47 I si en prenem deu, és pràcticament impossible distingir les parts de la mediana que ens interessa fer el diagrama. 48 Per tant, ja es pot veure que fer un diagrama de Voronoi amb un nombre important de punts és molt difícil, lent, i es pot equivocar fàcilment.

Aquest mètode més senzill per obtenir la pressió de Voronoi consisteix a traçar primer una triangulació de Delaunay: un conjunt de triangles (especificats pels punts inicials) de manera que els seus cercles circumscrits no incloguin cap dels punts inicials. El programa GeoGebra, que s'utilitzava per crear tots els dibuixos, té una aplicació especial gràcies a la qual es crea automàticament el diagrama de Voronoi a partir dels punts. Com ja s'ha dit, els diagrames de Voronoi s'utilitzen en diverses situacions, com ara la determinació de les àrees d'influència d'antenes de telefonia mòbil i parcs de bombers, per al control del trànsit, per a l'anàlisi de dades meteorològiques, en epidemiologia, etc.

A continuació, es presenten i comenten alguns exemples d'aplicació que es construeixen a partir de la inserció d'imatges que permet el programa GeoGebra (de manera que es puguin superposar diagrames de Voronoi).

APLICACIONS I CONNEXIONS AMB LA REALITAT

ALGUNES RELACIONS DE LES PAVIMENTACIONS AMB EL MÓN ANIMAL I
ALGUNES RELACIONS DE LES PAVIMENTACIONS DE PENROSE AMB LA
ALGUNES RELACIONS DE LES PAVIMENTACIONS AMB LA DECORACIÓ I
ALGUNES RELACIONS DE LES PAVIMENTACIONS AMB L’ART

L'ull d'una libèl·lula no és l'única part del seu cos que manté una gran connexió amb la geometria i les pressions en les quals he estat treballant. Finalment, una altra pressió que es troba al món animal és la de les escates de la majoria de peixos, que, tot i que sembla una de les formes menys precises, compleix un patró matemàtic basat en els semicercles que formen la pressió. Des de 1982, i contràriament a la majoria de les opinions científiques, aquest investigador va insistir en la recerca dels anomenats quasi-cristalls, una autèntica revolució en el món de la cristal·lografia, que només considerava possibles disposicions periòdiques dels àtoms i veia com una simple especulació la possibilitat que no, hi havia una disposició periòdica dels àtoms.

Això era contrari als models actuals del món de la cristal·lografia. En aquest sentit, un exemple interessant és la rajola que l'arquitecte Josep Puig i Cadafalch va dissenyar i introduir per a l'entrada de la casa Amatller del passeig de Gràcia de Barcelona fa més d'un segle. La rajola va tenir un gran èxit i poc després va ser inclosa a l'exposició de rajoles de la ciutat.

Avui és força habitual a les voreres i fins i tot s'utilitza com a símbol de la ruta modernista. A continuació es compara amb una maqueta d'una sola rajola feta amb GeoGebra on es poden veure més clarament els aspectes geomètrics de la figura, que consta de sis arcs circulars. 61 Un altre paviment molt peculiar el trobem a la plaça de la Reina Maria Cristina de Barcelona.

Les relacions entre els mosaics i els gravats i l'art són notables i mereixen un estudi complet.

CONCLUSIONS

CONCLUSIONS GENERALS

El món del paviment o del mosaic és ric i complex amb una varietat d'aspectes i aplicacions. Matemàticament, geometria i àlgebra es combinen per sempre, com es va veure expressament en el capítol dedicat a l'estudi dels paviments amb polígons regulars o en el dedicat als mosaics de Penrose. És sorprenent que coses aparentment no relacionades com el nombre daurat i els mosaics tinguin alguna connexió.

Les matemàtiques i la geometria ens apareixen com un model per a diverses situacions del món físic, des de ruscs, fins a substàncies o quasi-cristalls. Les matemàtiques i la geometria també ens apareixen com a model d'altres activitats humanes com el disseny, l'arquitectura o l'art. Les tres conclusions anteriors porten a la conclusió que hi ha fortes connexions entre moltes de les branques del coneixement humà, que per tant tenen característiques més globals del que es podria pensar.

L'ajuda de programes informàtics, com GeoGebra, amb els quals es poden treballar simultàniament aspectes algebraics i geomètrics, atorga a les matemàtiques una dimensió experimental que la fa més intuïtiva. Una de les característiques de les matemàtiques, que la distingeix de les ciències experimentals, és precisament la possibilitat de fer demostracions deductives, com la del primer capítol en què es demostra que només hi ha onze enrajolats possibles del pla amb polígons regulars. . , encara que , potser guiats o ajudats per l'experiència. Malgrat la gran quantitat de treball i estudi que ha suposat aquest treball, encara hi ha molts aspectes que es poden aprofundir i que nous treballs de recerca monogràfics dedicats als diagrames de Voronoi, als mosaics de Penrose, a Maurits Escher, als mosaics de l'Alhambra o a un mil temes més.

CONCLUSIONS ESPECÍFIQUES

67 Els mosaics de Penrose són enrajolats no periòdics, és a dir, no hi ha traduccions que els facin coincidir amb ells mateixos, i el matemàtic Roger Penrose de la Universitat d'Oxford va començar a estudiar-los a partir dels anys 70 Donada una sèrie de punts del pla, el Voronoi El diagrama o mosaic associat amb aquests punts és una descomposició o divisió del pla de manera que qualsevol punt donat tingui una àrea corresponent als punts del pla més propers a ell. Les rajoles de Voronoi tenen moltes aplicacions i s'utilitzen, per exemple, per a la determinació de zones d'influència d'antenes de telefonia mòbil i parcs de bombers, per al control del trànsit, per a l'anàlisi de dades meteorològiques i en epidemiologia.

El món dels paviments té moltes connexions amb el món natural del qual són en molts casos un model geomètric, com ruscs, ulls d'insectes, pells de rèptils, teixits cel·lulars diversos, etc. Menció especial mereix el cas de les ales de libèl·lula i la seva sorprenent correspondència amb els diagrames de Voronoi i els mosaics de Penrose com a model dels quasicristalls descoberts recentment. A Barcelona, per exemple, es van poder trobar nombrosos paviments de l'avió fotografiats i estudiats des del punt de vista geomètric.

68 Malgrat la gran quantitat de treball que he tingut i els obstacles que he trobat, la valoració final de l'experiència és molt positiva: he descobert tot un món que desconeixia o que només coneixia superficialment, i m'he hagut de relacionar. coneixements molt diversos de geometria, àlgebra, informàtica, ciència, art i arquitectura, que es combinen en l'assignatura que he escollit en honor a un famós teorema de Galileu. L'Univers] no es pot llegir fins que no hem après l'idioma i ens hem familiaritzat amb els caràcters en què està escrit. Està escrit en llenguatge matemàtic, i les lletres són triangles, cercles i altres figures geomètriques, sense les quals és humanament impossible. per entendre una sola paraula”.

BIBLIOGRAFIA

History of Mathematics, IEC Mathematical Encyclopedia and Dictionary http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Voronoy.html.

ANNEX: RELACIÓ DE CONSTRUCCIONS AMB GEOGEBRA