Curvas param´ etricas
Angel Montesdeoca
Jueves 8 de Mayo del 2008
1 a) Decir cu´ales de las curvas siguientes son regulares:
i)~α(t) = (cost,1−cost−sent,−sent) ii)β(t) = (2 sen 2t,~ 2 sen 2ttagt,0) iii)~γ(t) = (cost,cos 2t,sent) b) Hallar la tangente a cada una de ellas ent=π/4. /Applet CabriJava
2 Una h´elice circular es una curva cuya curvatura y torsi´on son constantes y no nulas. Determinar la h´elice circular que tiene unorden de contactom´aximo en (0,0,0) con la c´ubica de ecuaciones x=t, y=t2, z=t3.
3 Calcular la longitud del arco de la cardioide ρ = 1 + cosθ que se encuentra dentro de la circunferencia x2+y2+ 2x= 0. (ª)
La cardioide es la curva que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre otra del mismo radio.
/ Applet CabriJava
4 Unacicloide es una curva plana, trayectoria de un punto fijo en una circunferencia, que rueda, sin deslizarse, sobre una recta. Establecer que una representaci´on param´etrica de la cicloide es~α(θ) = (a(θ−senθ), a(1−cosθ)).
Parametrizarla con el par´ametro arco y determinar sus puntos singulares.
Probar que la recta tangente a la cicloide por un puntoP regular viene determinada por los puntosP yM0, siendo M0 el punto diametralmente opuesto al punto M de contacto de la circunferencia con la recta donde rueda).
θ θ
/ Applet CabriJava
5 Sea la representaci´on param´etrica de la h´elice circular ~α(t) = (acost, asent, bt) 0 < t < π. Encontrar un cambio de par´ametro que nos de, a partir de ´esta, la representaci´on:
β(u) =~ µ
a1−u2 1 +u2, 2au
1 +u2,2b arctg u
¶
0< u <∞
Establecer que estas dos representaciones son equivalentes.
6 Dada la curvaC de ecuaciones impl´ıcitas x2+y2=x, tagz =y/x, obtener una parametrizaci´on (tomando como par´ametro t=y/x).
Comprobar quex= cos2u, y= senucosu, z=ues tambi´en una parametrizaci´on deC. Hallar la relaci´on entre los par´ametrost yu.
Calcular la longitud de arcoscorrespondiente al intervalos [0, t]. Obteners=s(t) yt=t(s).
Dar representaciones param´etricas con par´ametro arcos, utilizando las relaciones obtenidas en los apartados anteriores.
7 Hallar la longitud de arcode la curva: x= 2a(1 + cost), y = 2a(1 + sent), z=a√
5t, comprendido entre los puntos correspondientes at= 0 yt= 2π.
8 Trayectoria que seguir´a un perro al perseguir a un gato que corre en l´ınea recta.
1
Curvas param´etricas 2 La curva llamada tractriz tiene la propiedad de que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de cruce con el eje Oyes constante,a.
Probar que la curva
~α(t) = µ
asent,±a µ
cost+ln µ
tag(t 2)
¶¶¶
, 0< t≤ π 2 es una tractriz. ¿Cu´al es el significado geom´etrico del par´ametrot?
/ Applet CabriJava
9 Consideremos la espiral logar´ıtmica ~α(t) = (etsent, etcost,0). Probar que el ´angulo entre ~α(t) y ~α 0(t) es constante.
10 Los extremos de un segmento de longitud fija c, se deslizan por los ejes coordenados. Desde el origen de coordenadas se traza una perpendicular a dicho segmento, que lo corta en el puntoP. Parametrizar la trayectoria descrita por el punto M (esta trayectoria se llama rosa de los cuatro p´etalos). /Applet CabriJava
http://webpages.ull.es/users/amontes Angel M ontesdeoca. La Laguna,2008