Ejercicio 185 Tri´angulos (2457-405) Sea ABC un tri´angulo y Γa,Γb,Γc sus circunferencias exinscritas. Sea αa circunferencia pasando por los puntos medios Mb y Mc de los ladosAC yAB, respectivamente, y tocando internamente a Γa en el punto X. Similarmente se consideran las circunferenciaβ yγ tangentes internamente en los puntos Y y Z a las circunferencias Γb y Γc. Entonces, los tri´angulos ABC y XY Z son perspectivos, con centro de perspectividad en el punto de coordenadas baric´entricas
¡(b+c−a)(b+c)2: (a−b+c)(a+c)2: (a+b−c)(a+b)2¢ .
SOLUCI ´ON:
En coordenadas baric´entricas respecto al tri´anguloABC, as coordenadas de los puntos medios de los ladosAB y AC son, respectivamente,Mc(1 : 1 : 0) yMb(1 : 0 : 1) y la ecuaci´on de la circunferenciaA–exinscrita es:
Γa : a2yz+b2zx+c2xy−1
4(x+y+z)¡
(a+b+c)2x+ (a+b−c)2y+ (a−b+c)2z¢
= 0.
Para determinar los puntos de contacto de las circunferencias tangentes a Γa y que pasan porMb yMc, tomamos una circunferencia auxiliar que pase por Mb y Mc y determinamos el eje radical de ´esta y Γa; luego, el punto de intersecci´on de este eje con la recta MbMc. Los puntos buscados son los de contacto de las tangentes trazadas desde este puntos a Γa.
Como circunferencia auxiliar, vamos a tomar la de di´ametroMbMc: a2yz+b2zx+c2xy−1
4(x+y+z)¡
SAx+ (SB+c2)y+ (SC+b2)z¢
= 0.
El eje radical de esta circunferencia y la Γa es:
(3a2+b2+c2+ 4(ab+bc+ca))x+ (a2+ 3b2−c2+ 4(ab−bc−ca))y+ (a2−b2+ 3c2−4(ab+bc−ca)z= 0, que corta a la rectaMbMc,x−y−z= 0, en el punto:
¡(b−c)(2a+b+c) :−(a+c)2: (a+b)2¢ . Las tangentes desde este punto a la circunferencia Γa son:
(a+b)(a+c)x+ (a+b)(b−c)y−(b−c)(a+c)z= 0,
(a+b)(a+c)(a+b+c)x+ (a+b)(a+b−c)(2a+b+c)y+ (a+c)(a−b+c)(2a+b+c)z= 0.
Los puntos de contacto de estas tangentes con la circunferencia Γa son:
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X0¡
−(b−c)2(a+b+c) : (a+b−c)(a+c)2: (a+b)2(a−b+c)¢ , X¡
(a+b−c)(a−b+c)(2a+b+c)2:−(a+c)2(a−b+c)(a+b+c) :−(a+b)2(a+b−c)(a+b+c)¢ .
Procediendo c´ıclicamente sobre los lados deABC, se obtienen los puntos de contacto de las otras circunferencias tangentes a Γb y Γc:
Y0¡
(a+b−c)(b+c)2:−(c−a)2(a+b+c) : (a+b)2(−a+b+c)¢ , Z0¡
(a−b+c)(b+c)2: (a+c)2(−a+b+c) :−(a−b)2(a+b+c)¢ . Y ¡
−(b+c)2(−a+b+c)(a+b+c) : (a+b−c)(−a+b+c)(a+ 2b+c)2:−(a+b)2(a+b−c)(a+b+c)¢ , Z¡
−(b+c)2(−a+b+c)(a+b+c) :−(a+c)2(a−b+c)(a+b+c) : (a−b+c)(−a+b+c)(a+b+ 2c)2¢ . Los puntosX0, Y0, Z0son los de contacto de la circunferencia de los nueve puntos con las circunferencia exinscritas.
Y el centro de perspectividad de los tri´angulosABC yX0Y0Z0 es el puntoX12 de la Enciclopedia de Kimberling.
Los puntos X, Y, Z son los pedidos en el enunciado, y forma un tri´angulo perspectivo(1) con ABC de centro de perspectividad en:
¡(b+c−a)(b+c)2: (a−b+c)(a+c)2: (a+b−c)(a+b)2¢ .
La ecuaci´on de la circunferenciaαque pasa porMb yMc y es tangente internamente a laA–exinscrita, Γa, es:
a2yz+b2zx+c2xy− 1
4(3a+b+c)(x+y+z)
³
(a+b+c)(a2+b2+c2+ 2a(b+c))x−(a+b−c)((a+c)2+b2+ 2(ab+bc+ac))y
−(a−b+c)((a+b)2+c2+ 2(ab+bc+ac))z
´
= 0 Las ecuaciones de las circunferenciasβ yγse obtienen permutando c´ıclicamente ´esta.
El centro radical de las circunferenciasα, βyγes el centro de un tri´angulo, de primera coordenada:
¡a(a2(b+c) + 2a(b2+ 3bc+c2) + (b+c)3) :· · ·:· · ·¢ .
— — — — — — — — — Como complemento vamos a tratar el caso del tri´angulo ´ortico:
En este caso, el eje radical de la circunferenciaA–exinscrita y la de di´ametro los pies de las alturas,HbyHc, desde B yC, corta a la rectaHbHc en el punto:
¡(b−c)(2a3+a2(b+c) + (b−c)2(b+c)) :−(a+b−c)2(a+c)2: (a+b)2(a−b+c)2¢ .
Una de las tangentes desde este puntos a la circunferenciaA–exinscrita es la com´un con la circunferencia de los nueve puntos (como hemos obtenido en el caso de considerar el tri´angulo medial), y la otra es:
(a+b)(a+b−c)(a+c)(a−b+c)(a+b+c)x+ (a+b)(a−b+c)(2a3+a2b+b3+a2c−b2c−bc2+c3)y+
+(a+b−c)(a+c)(2a3+a2b+b3+a2c−b2c−bc2+c3)z= 0.
(1)Esto es el caso particular del tri´angulo medial de la generalizaci´on que ha sido propuesta por Antreas P. Hatzipolakis en:
http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/19251:
Let ABC be a triangle, P a point, PaPbPc the pedal (or cevian) triangle of P, and (Ia),(Ib),(Ic) the excircles.
Let (Oa) be the circle passing through Pb, Pc and touching externally (or internally) the circle (Ia) at Qa.
Similarly (Ob),(Oc) and Qb,Qc.
Which is the locus of P such that 1. ABC, OaObOc
2. ABC, QaQbQc are perspective?
(There are four variations: pedal/cevian - externally/internally)
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Que toca a la circunferenciaA–exinscrita en el punto:
U¡
−(2a3+a2(b+c) + (b−c)2(b+c))2,(a+b−c)3(a+c)2(a+b+c),(a+b)2(a−b+c)3(a+b+c)¢ . Permutando c´ıclicamente estas coordenadas, a la vez quea, b, c, se tiene el puntoV de contacto de la circunferencia que pasa por Hc y Ha y es tangente interiormente a la circunferencia B–exinscrita. Una nueva permutaci´on nos permite determinar el correspondiente punto, W, en la circunferencia C–exinscrita. Los tres puntos as´ı obtenidos, forman un tri´anguloU V W perspectivo conABC, cuyo centro de perspectividad es el punto:
µ (b+c)2
(b+c−a)3 : (c+a)2
(c+a−b)3 : (a+b)2 (a+b−c)3
¶ .
La circunferencia que pasa porHb, Hc yU es:
a2yz+b2zx+c2xy− 1
2(a3+b3+c3−(a+b)(b+c)(c+a))(x+y+z)³
−(a+b+c)SA(3a2−b2−c2+ 2(ab+bc+ca))x+
+SB((a2+b2−c2)(5a3+b3−a(b−c)2+c3+ 3a2(b+c)−bc(b+c)))y+
+SC((a2+b2−c2)(5a3+b3−a(b−c)2+c3+ 3a2(b+c)−bc(b+c)))z´
= 0.
Por permutaci´on c´ıclica, se obtienen las otras dos circunferencias tangentes internamente a las circunferencias B-exinscrita yC-exinscrita.
El centro radical de estas tres circunferencias es el puntoX1829 en ETC:
¡a(a5(b+c) +a4(b2+c2)−a(b−c)2(b+c)3−(b2−c2)2(b2+c2)) :...:...¢ .
A B
C
Hc H Ib
Ic Hb Ia
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2457.pdf
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