PDF Ejercicio 55 Tri¶angulos Applet CabriJava (2231-405)

Ejercicio 55 Tri´angulos Applet CabriJava (2231-405) Una recta que corta a los ladosBC,CAyABde un tri´angulo en los puntosD,EyF, respectivamente, se mueve de tal forma que ED

DF = m

n, probar que la envolvente de dicha recta es una par´abola inscrita en ABC.

SOLUCI ´ON:

δ

Una recta, que pase por un puntoE de CA, corta al lado AB en F⁰; entonces, cuando tal recta var´ıa, el lugar geom´etrico de los puntosD⁰, tales que ED⁰

D⁰F⁰ = m

n, es una rectaδparalela al lado AB.

SiD es el punto de corte deδcon el ladoBC, la rectaDEcumple la condici´on del problema; es decir, siDEcorta a ABenF, entonces,

ED DF =m

n.

Usaremos coordenadas baric´entricas relativas al tri´anguloABC. Una recta`: px+qy+rz= 0 corta a los lados BC,CAyAC en los puntos de coordenadas

(0 :−r:q), (r: 0 :−p), (−q:p: 0).

Entonces, siD divide aEF en la raz´onm/n, se tiene que r(p−q) q(r−p) = m

n.

Luego, la envolvente de las rectas`, resulta de eliminar p, qyrentre las ecuaciones:

px+qy+rz= 0, r(p−q) q(r−p)= m

n,

¯¯

¯¯ x y

nr−mq m(r−p)−nr

¯¯

¯¯=−mpx+mrx−nrx+mqy−nry= 0,

obteni´endose:

n²(x+y)²+m²(x+z)²+ 2mn(x²−yz+xy+xz) = 0.

O bien,

mn(y+z)²−m(n+m)(z+x)²−n(m+n)(x+y)²= 0.

O bien,

x² 1 (m+n)²

+ y² 1 n²

+ z² 1 m²

− 2yz 1 nm

− 2zx 1

−m(m+n)

− 2xy 1

−n(m+n)

= 0.

Se trata de una par´abolaPa, de punto impropio (m+n:−m:−n) y tangente a los lados del tri´angulo ABC en los puntosA⁰_a(0 :m:n),B⁰_a(−m: 0 :n+m) yC_a⁰(−n:m+n: 0).

La Laguna, Lunes 22 de Marzo del 2010 P´ag. 1/3 Angel Montesdeoca

NOTAS ADICIONALES:

— El centro de perspectividad de los tri´angulosABC yA⁰_aB_a⁰C_a⁰ (perspector de la par´abola) es el punto Pa

³

−mn:m(n+m) : (m+n)n

´ .

El lugar geom´etrico que describePa, cuando la raz´onm/nvar´ıa, es la elipse de Steiner (elipse circunscrita aABC y con centro en su baricentroG):

xy+yz+zx= 0, que se obtiene eliminadomynentre las ecuaciones

λx=−mn, λy=m(n+m), λz=n(m+n).

— El focoFa de la par´abola es el conjugado isogonal de su punto del infinito (en c´onicas inscritas, los focos son conjugados isogonales), que estar´a en la circunferencia circunscritaa²yz+b²zx+c²xy= 0 aABC:

Fa

³

−a²mn:b²m(m−n) :c²n(m+n)´ . Las rectas quePaFa, cuando la raz´onm/nvar´ıa, pasan por un punto fijo,

µb²−c² :

1

c²−a² : 1 a²−b²

¶ ,

que es el punto de Steiner,⁽¹⁾ punto de intersecci´on, distinto de los v´ertices, de la circunferencia circunscrita con la elipse de Steiner.

— Los lados del tri´anguloA⁰_aB⁰_aC_a⁰ pasan por puntos fijos: A⁰_aB⁰_a por (1,1,−1), B_a⁰C_A⁰ por (−1,1,1) y A⁰_aC_a⁰ por (1,−1,1). Que son los v´ertices del tri´angulo anticomplementario de ABC, cuyos lados son las paralelas por cada v´ertice al lado opuesto.

— Cuando la raz´on m/n = −1, la ´unica recta DEF es la paralela a BC por A y no hay, por tanto, par´abola envolvente (degenera en esta recta doble).

— Si en vez de exigir que ED DF = m

n, pedimos que se cumplan F E ED = m

n ´o DF F E = m

n, obtendriamos otras dos par´abolasPb yPc de ecuaciones respectivas

Pa: n(m+n)(y+z)²−mn(z+x)²+m(m+n)(x+y)²= 0, Pb: m(m+n)(y+z)²+n(m+n)(z+x)²−mn(x+y)²= 0.

Las cuales tienen los focos:

F_b³

a²n(m+n) :−b²mn:c²m(m+n)´

, F_c³

−a²m(m+n) :b²n(m+n) :c²mn´

; y los perspectores:

Pb

³

n(m+n) :−mn:m(m+n)

´

, Pc

³

m(m+n) :n(m+n) :−mn

´ .

Los tri´angulosABC yFaFbFc son perspectivos solamente cuando la raz´onm/n= 1 y su centro de pesspectividad es el simediano (a², b², c²) deABC.

Los tri´angulosABC yPaPbPc son perspectivos solamente cuando la raz´onm/n= 1 y su centro de perspectividad es el baricentro (1,1,1) de ABC. (Applet CabriJava)

(1)Se trata de un puntoX99en ”The Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)” de Clark Kimberling http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/index.html

La Laguna, Lunes 22 de Marzo del 2010 P´ag. 2/3 Angel Montesdeoca

http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2231.pdf

La Laguna, Lunes 22 de Marzo del 2010 P´ag. 3/3 Angel Montesdeoca