Ejercicio 56 Tri´angulos Applet CabriJava (2232-405) Se dan un tri´angulo ABC y un punto D tal que ABDC es un paralelogramo. Una circunferencia Γa
pasando porAy con centro en un puntoE de la circunferencia circunscrita aABC, corta a los ladosAC yAB enF yG, respectivamente. Encontrar las posiciones deE para que la rectaF Gpase por D.
SOLUCI ´ON:
Problema propuesto en la XLVIII Olimpiada Internacional de Matem´aticas (Vietnam, Julio 2007), bajo el siguiente enunciado:
Se dan cinco puntosA, B, C, DyE tales que ABDC sea un paralelogramo yABEC un cuadril´atero convexo, inscribible. Sea una recta` pasando porD. Se supone que `corta al interior del segmentoAC en F y corta a la rectaABenG. Se supone tambi´en queEF =EG=EA. Mostrar que`es la bisectriz del ´angulo \BDC.
Γ
Usaremos coordenadas baric´entricas relativas al tri´anguloABC. Un puntoE situado en su circunferencia circuns- crita es el conjugado isogonal de un punto (u, v, w) de la recta del infinito, x+y+z= 0, por lo que, se puede poner de la forma
E µa2
u,b2 v,c2
w
¶
(con u+v+w= 0).
La ecuaci´on general de una circunferencia es
a2yz+b2zx+c2xy+ (x+y+z)(px+qy+rz) = 0.
Imponi´endo que pase por A(1,0,0) y que tenga centro en E (es decir, que la polar deE sea la recta del infinito), se obtiene, primero, quep= 0 y, segundo,
b2c2 v +b2q
v +b2c2 w +c2r
w =λ a2c2
u +b2q v +q
µa2 u +b2
v +c2 w
¶ +a2c2
w +c2r w =λ a2b2
u +a2b2 v +b2q
v +r µa2
u +b2 v +c2
w
¶ +c2r
w =λ se llega a que en la circunferencia Γa, se tiene que
p= 0, q= −a2c2uv+b2c2uv+b2c2uw−a2c2vw
c2uv+b2uw+a2vw , r= b2c2uv−a2b2uw+b2c2uw−a2b2vw c2uv+b2uw+a2vw . La circunferencia Γa corta a los ladosAC yAB, respectivamente, en los puntos
F(−r,0, b2+r), G(−q, c2+q,0).
La Laguna, Lunes 22 de Marzo del 2010 P´ag. 1/2 Angel Montesdeoca
Por otra parte, el punto de intersecci´on de la paralela porBaAC,x+z= 0, con la paralela porCaAB,x+y= 0, esD(−1,1,1).
Para que los puntosF, G yD est´en alineados ha de ocurrir que el determinante formado por sus coordenadas sea nulo, que junto con la condici´on u+v+w= 0, se obtiene como coordenadas de los punto conjugados isogonales de los buscados, las siguientes:
(0,1,−1), (−2a2, a2+b2−c2, a2−b2+c2)≡(−a2, SC, SB), (−b−c, b, c), (b−c,−b, c).
Al primero le corresponde el v´ertice A, y por tanto la circunferencia Γa no est´a determinada. Al segundo, le corresponde el punto antipodal deA,
E2(−a4+ (b2−c2)2,−2b2(−a2+b2−c2),2c2(a2+b2−c2)), y la rectaF Ges paralela al ladoF G.
El conjugado isogonal del tercero es el punto de intersecci´on de la bisectriz porA,cy−bz= 0, con la circunferencia circunscrita,a2yz+b2zx+c2xy= 0,
E3(−a2, b(b+c), c(b+c)).
Y, finalmente, el conjugado isogonal del cuarto es el antipodal deE3, E4(a2,−b(b−c),(b−c)c).
En estos dos ´ultimos casos, las rectasF Gcorrespondientes son las las bisectrices del ´anguloBDC.\
En efecto, basta observar que la paralela porD a la bisectriz interior porAes la recta (b−c)x+by−cz= 0, que coincide con la recta F G, determinada por los puntos de corte, con los lados AB y AC, de la circunferencia Γa de centro enE4.
c2xy+b2xz+a2yz−bc(x+y+z)(y+z) = 0.
As´ı mismo, la bisectriz exterior porA,cy+by= 0, es paralela a la rectaF Gque corresponde aE3y que tiene por ecuaci´on (b+c)x+by+cz= 0. Esta corresponde a la circunferencia de ecuaci´on
c2xy+b2xz+a2yz+bc(x+y+z)(y+z) = 0.
Otra manera de encontrar los puntos pedidos, sobre la circunferencia circunscrita aABC, mediante lugares geom´etricos:
Tomemos una recta d variable por el punto D(−1,1,1), que corta a a los lados AC y AB en (t,0,1−t) y (−1,1−t,0). Busquemos el lugar geom´etrico del centroP de la circunferencia que pasa por estos tres puntos (es decir, de la circunferencia circunscrita al tri´angulo determinado por las rectasAB, AC y d). Los puntos de intersecci´on de este lugar con la circunferencia circunscrita aABC son los que estamos buscando.
Las cordenadas dePson las del punto de intersecci´on de las mediatrices de los pares de puntosA(1,0,0),(1−t,1,−t) yA(1,0,0),(−1,1−t,0), de ecuaciones respectivas
c2(−1 +t)x−c2(1 +t)y+ (−c2+a2t−b2t)z= 0, b2(1−t)x+ (a2−c2−b2t)y−b2(1 +t)z= 0.
Obteni´endose, P
³
−a4t+a2(1+t)(c2+b2t)−(b2−c2)(−c2+b2t2), b2(−1+t)((−a2+b2)t+c2(2+t)),−c2(−1+t)(−a2+c2+b2(1+2t))
´ . Eliminando el par´ametrotsesulta la ecuaci´on de la hip´erbola
(−a2c2−b2c2+c4)y2+ (−a2b2+b4−b2c2)z2+ (a2b2−b4−3b2c2)xz+ (a4−a2b2−a2c2)yz+ (a2c2−3b2c2−c4)xy= 0, o bien,
c2SCy2+b2SBz2+b2(SA+c2)xz+a2SAyz+c2(SA+b2)xy= 0, Sus puntos del infinito son ¡
SB, SA,−c2¢ , ¡
SC,−b2, SA
¢, por lo que se trata, en efecto, de una hip´erbola. Los conjugados isogonales de estos puntos son los antipodales de los v´ertices B y C. Por lo que, ya tenemos que las direcciones de las as´ıntotas son las de las rectas sim´etricas, respecto a la bisectriz en A, de las rectas que unen el v´erticeAcon los puntos antipodales de los otros dos v´erticesByC. Es decir, las rectas que pasan por el circuncentro O deABC y por los puntos de corte de las bisectrices enB yC con la circunferencia circunscrita.
La intersecci´on de la hip´erbola encontrada con la circunferencia circunscrita aABC son los puntos:
A(1,0,0), E2(−a4+(b2−c2)2,−2b2(−a2+b2−c2),2c2(a2+b2−c2), E3(−a2, b(b+c), c(b+c)), E4(a2,−b(b−c),(b−c)c), encontrados m´as arriba. Por lo tanto, el centro del hip´erbola es el circuncentroO deABC.
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2232.pdf
La Laguna, Lunes 22 de Marzo del 2010 P´ag. 2/2 Angel Montesdeoca