Viernes 17 de Diciembre del 2010 1Consideremos el plano proyectivo deducido del plano af´ın ordinario. Hallar las coordenadas homog´eneas de los puntos impropios definidos por las siguientes rectas:
a) 3x−y+ 1 = 0 b)x= 2 c) 2y+ 3 = 0 d)x−2y−3 = 0.
Resp. a) (0,1,3), b) (0,0,1), c) (0,1,0), d) (0,2,1).
2 En el espacio proyectivo deducido del espacio af´ın ordinario, hallar las coordenadas homog´eneas del punto impropio de las rectas
a) x= 3z+ 1, y=−z+ 4.
b) 2x−y+ 3z= 1, x+ 3y−z= 2.
Resp. a) (3,−1,1,0), b) (−8,5,7,0).
3 En el espacio cuatridimensonalIR4 un punto tiene coordenadas (x, y, z, t). Consideremos los hiperplanos:
x+y+z+t= 0, x+ 2y+ 3z+ 4t= 0.
Encontrar dos puntos impropios distintos que pertenezca a la intersecci´on de los dos hiperplanos.
Resp. Puntos de la recta (x, t, z, t, u) =λ(2,−3,0,1,0) +µ(1,−2,1,0,0)
4 Dados los planos en el espacio proyectivo deducido del espacio af´ın ordinario ampliado con los puntos impropios π1≡y−2z= 0, π2≡x+y+z−1 = 0, π3≡x−y= 0,
π4≡2x−y+ 2z= 0, π5≡ −3x+ 3y+ 2 = 0,
obtener los puntos impropios de las rectas determinadas por la intersecci´on dos a dos de estos planos.
Dar las ecuaciones de los planos del apartado anterior respecto a la referencia proyectiva que tiene como puntos bases {A(0,0,0), B(2,2,1), C(1,1,1), D(1,0,0)}.
5 En el plano proyectivo real, hallar las ecuaciones del cambio de coordenadas tal que los nuevos puntos b´asicos sean V0(3,1,−3), V1(−1,0,5), V2(1,8,−1); V(3,9,1), siendo este ´ultimo el punto unidad.
Resp. x0= 3v0−v1+v2, x1=v0+ 8v2, x2=−3v0+ 5v1−v2.
6 En el plano proyectivo real, hallar las ecuaciones del cambio de coordenadas tal que los nuevos puntos b´asicos sean V0(3,1,−3), V1(−1,0,2), V2(1,3,−1); V(−4,6,2), siendo este ´ultimo el punto unidad.
Resp. x0=−9v0+ 2v1+ 3v2, x1=−3v0+ 9v2, x2= 9v0−4v1−3v2.
7 En el plano proyectivo real, hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas que pasan del sistema de coordenadas {U0(1,0,0), U1(0,1,0), U2(0,0,1);U(1,1,1)}, al sistema{U00(1,0,0), U10(0,1,0), U20(0,0,1);U0(−1,2,3)}.
Resp. x0=−x00, x1= 2x01, x2= 3x02.
8 En el plano proyectivo real, los v´ertices de un cuadril´atero constituyen un sistema de referencia. En este sistema, hallar las ecuaciones de los lados del cuadril´atero y de sus diagonales.
Resp. {A, B, C;D}, AB:x2= 0, AC:x1= 0, BC:x0= 0, BD:x0−x2= 0, AD:x2−x1= 0, CD:x1−x0= 0.
NOTA.- Cuando se dan las coordenadas homog´eneas, a partir de las coordenadas afines, la variable de homogeneizaci´on siempre es la PRIMERA, en todos los ejercicios que aparezcan.
9 En el espacio proyectivo real tridimensionalP3(IR) se consideran los puntos
A0(1,1,1,1), A1(2,4,0,1), A2(−1,2,−1,−1), A3(1,0,2,1), A(1,0,0,0).
a) Comprobar que{A0, A1, A2, A3;A} es una referencia proyectiva deP3(IR), conAcomo punto unidad.
b) H´allense las coordenadas homog´eneas, respecto de esta referencia, del puntoP(1,2,2,1).
Resp. (1,0,4,−4)
10 Se considera en el plano proyectivo la referencia proyectiva {U0, U1, U2;U}, siendoU el punto unidad. Hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas al adoptar como nuevo sistema de referencia el{U, U1, U2;U0}.
Resp. x0=x00, x1=x00−x01, x2=x0−x02.
11 Se considera en el plano proyectivo real un sistema de referencia proyectivo {U0, U1, U2;U} y el punto A(0,1,1) (en la recta U1U2). Se traza por A una recta ` variable que corta aU0U2 enM y a U0U1 enN. Sea P el punto de intersecci´on deU2N yU0A. Demostrar que la recta M P pasa por un punto fijo cuando `var´ıa.
Resp. Punto fijo: (0,1,2).
12 En el plano proyectivo, enunciar las proposiciones duales de las siguientes:
i) “Dos puntos cualesquiera de una recta determinan la misma recta”.
ii) “No todos los puntos del plano proyectivo pertenecen a la misma recta”.
iii) “Toda recta tiene por lo menos tres puntos”.
iv) “Dos rectas distintas del plano proyectivo tienen siempre un punto en com´un”.
13 Se da en un plano proyectivo un tri´anguloABC y una rectar que corta en los puntosP, Q, Ra los lados BC,AC yAB, respectivamente. Las rectas AP, BQ yCR determinan un nuevo tri´angulo de v´ertices A0 ≡CR∩BQ, B0 ≡ CR∩AP, C0 ≡QB∩AP. Demostrar que las rectasAA0,BB0 yCC0 son concurrentes.
14 Un tri´angulo ABC se corta con una recta s. Sean P, Qy R los puntos en que corta a los ladosBC, AC yAB, respectivamente. Sea P0 el conjugado arm´onico de P respecto de B y C, y an´alogamenteQ0 y R0. Probar queAP0, BQ0 yCR0 concurren en un punto. Dar el enunciado dual de este ejercicio.
15 Se considera en la recta real tres puntos A, B y C. Denotamos por P∞ su punto del infinito. Sean a, b y c las abscisas de los puntosA, B yC, respectivamente, respecto a una referencia cartesiana con origen enO.
Demostrar: a) Si (ABCO) =−1, entonces 2 c = 1
a+1
b. b) Si (ABCP∞) =−1, 2c=a+b.
16 Teorema de Menelao en el plano proyectivo. Se considera en el plano proyectivo real una referencia proyectiva {A1, A2, A3;U} y tres puntos: P1 situado sobre el lado A2A3; P2 sobre A1A3 y P3 sobre A1A2. Demostrar que los puntosP1, P2yP3 est´an alineados si y s´olo si,
(A2A3U1P1)(A3A1U2P2)(A1A2U3P3) =−1, dondeUi=AiU∩AjAk, i, j, kdistintos entre si.
17 Si A, B, C son puntos de una recta r y A0, B0, C0 otros de otra recta r0, tales que AA0, BB0, CC0 sean rectas concurrentes, probar que los puntosP =AB0∩A0B,Q=BC0∩B0C y R=AC0∩A0C est´an alineados con el punto Ode intersecci´on deryr0. Enunciar el teorema dual.
18 Cuatro puntosA, B, C, D y tres rectasa, b, cdel mismo plano son tales que los puntos intersecci´onA0, B0, C0 de las rectas b y c, c y a y a y b, est´an respectivamente sobre las rectas AD, BD y CD. Sea d una recta tal que los puntos de intersecci´onP yQde aydybydest´an sobre las rectasBC yAC, respectivamente. Probar que el punto de intersecci´onRde la rectaccon dest´a sobre la rectaAB.
19 SeanP, Q, R, S yP, A, B, C dos cuaternas de puntos distintos sobre rectas distintas con el punto com´unP. Si las razones dobles de estas cuaternas son iguales, probar que las rectasQA , RB ySCson concurrentes.
20 En la recta proyectiva real se consideran cuatro puntos distintos tales que (ABCD) = (ACDB). ¿Cu´antos valores distintos puede tomar la raz´on doble, al permutar los cuatro puntos?
Resp. Ninguno
21 Dados cuatro puntos A, B, C y D sobre una recta, se verifica, para cualquier otro punto P, la siguiente relaci´on entre razones dobles:
(ABCD) =(P BCD)
(P ACD) = (ABP D) (ABP C).
22 Determinarhpara que el par de puntos dados por las soluciones de x2−6x+ 5 = 0, est´e arm´onicamente separado por el de las soluciones dex2−11x+h= 0.
Resp. h= 28
23 En el espacio proyectivo real cuatridimensional, determinar las ecuaciones param´etricas del subespacio proyectivo F, intersecci´on de los hiperplanos de ecuaciones impl´ıcitas siguientes:
H1≡x0−x1−x2= 0, H2≡3x1+x2−x4= 0, H3≡2x1+ 2x2−x3= 0, H4≡x0+ 2x1−x4= 0.
Dar las coordenadas concretas de cuatro puntos alineados deF y obtener su raz´on doble.
Resp. x0=λ, x1=µ, x2=λ−µ, x3= 2λ, x4=λ+ 2µ.
24 Sean en el plano proyectivo real los puntosU0(1,0,0), U1(0,1,0), U2(0,0,1) y los puntosA(0, a1, a2), B(b0,0, b2) y C(c0, c1,0) sobre los lados del tri´anguloU0U1U2. Demostrar que las rectasU0A, U1B yU2Cson concurrentes si y s´olo sia1b2c0=a2b0c1.
25 Sea ABC un tri´angulo yA0, B0 yC0 tres puntos de una rectar. Se supone que AA0,BB0 yCC0 son concurrentes y quercorta aBC,CAyABrespectivamente en los puntos P,QyR. Probar que:
1. (A0B0C0R) = (ABSR), dondeS=CC0∩AB.
2. Los pares (A0, P), (B0, Q) y (C0, R) son conjugados en una involuci´on.
26 Tomemos un tri´anguloABC, un puntoD en AC y otroE enAB. Sea I el punto de encuentro deBD yCE. Se tomaF enAI. Se designa porGel punto de encuentro deDF yCEy con H el deEF yBD. Demu´estrese queBC, DEyGH son concurrentes.
27 Dados tres puntosA, B y C, sobre una recta r, para hallar gr´aficamente el puntoD arm´onicamente separado de un punto dadoC, respecto de otros dosA yB, basta con dibujar un cuadriv´ertice, con dos de sus puntos diagonales coincidentes conAyB, y que adem´as uno de los lados que pasa por el tercer punto diagonal, pase porC. El puntoD se obtiene intersecando el otro lado que pasa por el tercer punto diagonal con la rectar.
A B
a
c
d
C D
R
r
Hacer la construcci´on gr´afica para obtener la recta conjugada arm´onica de la rectac, respecto a otras dosayb(las tres rectasa, byc, son concurrentes).
Se puede proceder de dos formas, una como una situaci´on dual de lo anterior, construyendo el cuadril´atero adecuado.
Y una segunda forma, cortando la rectas dadas por otra y utilizar el hecho que la raz´on doble se conserva por secciones y proyecciones, y por tanto poder utilizar la construcci´on que se describe arriba.
28Dadas las rectasr1:x−y= 1,r2: 3x−y+ 1 = 0 yr3:y+ 2 = 0. Determinar la rectar4arm´onicamente conjugada der3, respecto ar1 yr2.
Resp. 3x−2y= 1
29 Si las coordenadas de P, Q, R, S son (a, b, c),(a, b,−c),(−a, b, c),(a,−b, c), demostrar que los puntos diagonales del cuadriv´erticeP QRS son los v´ertices del tri´angulo de referencias. (Ver Ejercicio32)
30 Por el punto medioM de la baseBC de un tri´angulo ABC, se traza una recta variable que encuentra a los lados ABy AC en los puntosD yE, respectivamente. Se pide el lugar geom´etrico de los puntos de encuentro de las recta BE yCD.
Resp. Paralela aBCporA.
31 Demostrar que si el tri´angulo ABC es hom´ologo (perspectivo) con elA0B0C0 y con elB0C0A0, tambi´en lo es con el C0A0B0.
32 En el plano proyectivo real, sean A(1,1,1), B(1,−1,1), C(−1,1,1) y D(−1,−1,1) los cuatro v´ertices de un cuadriv´ertice. Determinar las coordenadas de los tres puntos diagonales P, Q y R. Si R es el punto diagonal situ- ado en el ladoAB, encontrar las coordenadas del punto arm´onicamente separado deR respecto aAyB, y comprobar que est´a en la diagonalP Q.
33 Si (x0, x1, x2) son las coordenadas homog´eneas en un sistema de referencia{U0, U1, U2} en el plano proyectivo real y una rectartiene por ecuaci´on, respecto a este sistema, 2x0+ 4x1−x2= 0, encontrar un nuevo sistema de referencia proyectivo, con coordenadas homog´eneas (y0, y1, y2), respecto al cual la recta r tenga por ecuaci´on y0 = 0. Dar las ecuaciones del cambio de coordenadas.
34 Considerar, en el plano, un tri´anguloABC y una recta`, que no pasa por sus v´ertices.
PonemosAB∩`=C00,BC∩`=A00,CA∩`=B00y construimos los puntosA0, B0yC0para los cuales (B C A0A00) = (C A B0B00) = (A B C0C00) =−1. Tomamos dos puntos diferentesP yQsobre `(ambos diferentes deA00, B00, C00) y considerando los puntosA000, B000 yC000 tales que (P Q A00A000) = (P Q B00B000) = (P Q C00C000) =−1. Entonces, se tiene que las rectasA0A000, B0B000 yC0C000 concurren en un puntoL.
Resp. Polo de`respecto a la c´onica que pasa porA, B, C, P, Q
35 Se da una proyectividad en el haz de rectas de origen O, en la que se corresponden las rectas del modo siguiente:
3x−y= 0 se transforma enx−y= 0, 2x+y= 0 eny= 0 yx−2y= 0 enx+y= 0. Hallar:
A) La ecuaci´on de la proyectividad.
B) Ecuaci´on de la involuci´on que tenga sus misma rectas dobles.
C) Par de rectas correspondientes en la involuci´on y perpendiculares.
D) Par de rectas que separan arm´onicamente a cada recta doble de la involuci´on con los ejesOX yOY. E) Par de rectas que separan arm´onicamente a cada eje de coordenadas de las rectas dobles.
36 Ecuaci´on de la proyectividad entre dos haces de v´ertices en A(1,3) yA0(2,4) y en la que son hom´ologos los tres pares de rectasx−1 = 0 yy−2x= 0,y−3x= 0 y y−4 = 0,x−y+ 2 = 0, x+y−6 = 0.
Resp. mm0−2m+ 3m0+ 6 = 0.
37 Sobre la recta proyectiva real hallar la ecuaci´on de la proyectividad determinada por los pares de puntos 3, –1; 0, 2 y –1, 1. Encontrar los puntos dobles.
Resp. xx0−x0+ 2 = 0. No tiene puntos dobles.
38 Una proyectividad de la recta proyectiva real en s´ı misma est´a determinada por los pares de puntos hom´ologos 1,0;−2,2 y 0,1. Hallar su ecuaci´on, los puntos dobles y los puntos l´ımites.
Resp. xx0−4(x+x0) + 4 = 0, 2(2±√
3), {∞,4}, {4,∞}.
39 Hallar las proyectividades que conmutan con la involuci´onxx0+ 1 = 0.
Resp. mxx0+n(x0±x)∓m= 0
40 Estudiar las proyectividades de una recta proyectiva en s´ı misma que conservan un conjunto{A, B, C}de tres puntos distintos. Encontrar las ecuaciones de dichas proyectividades respecto al referencia{A, B;C} e indicar cu´ales de ellas son involuciones.
41 Seaσuna proyectividad de la recta r en s´ı misma y τ una proyectividad de r en otra rectas. Demostrar que la proyectividadτ◦σ◦τ−1 es del mismo tipo queσ.
Resp. SiP es doble para σ,τ(P) lo es paraτ◦σ◦τ−1; siQes doble para τ◦σ◦τ−1,τ1(Q) lo es paraσ.
42 Clasificar, seg´un la distribuci´on de sus puntos dobles, la familia de proyectividades de la recta real:
xx0+ (2 +λ)x+x0−4 = 0.
Resp. Todas hiperb´olicas.
43 Demostrar que la condici´on necesaria y suficiente para que el producto de dos involuciones sea una involuci´on es que conmuten.
Resp. (σ◦τ)2= 1⇔σ(σ◦τ)2τ=στ
44 Seaσ una involuci´on hiperb´olica yX yX0 sus puntos dobles Demostrar que para todo otro parP yQtales que σ(P) =Q, se tiene que (XX0P Q) =−1.
Resp. (XX0P Q) = (σ(X)σ(X0)σ(P)σ(Q)) = (XX0QP)
45 Se considera el plano af´ın eucl´ıdeo, determinar la ecuaci´on de la proyectividad entre el haz de rectas con punto base (1,0) y la diagonal` del primer cuadrante, definida como sigue: a cada recta rdel haz le hacemos corresponder el puntoR obtenido intersecando`con su perpendicular desde el punto de intersecci´on dercon el ejeOY.
46 Consideramos el plano ordinario. Obtener las ecuaciones de las perspectividades siguientes:
1. La obtenida al proyectar los punto del ejeOX sobre el ejeOY desde el punto (1,1).
2. Perspectividad entre los haces de rectas con con puntos base (0,0) y (1,1) y con eje de perspectividad la recta x=−1.
Resp. 1)t7→ t−1t ; b) m7→ m+12 .
47 En la recta af´ın ampliada y respecto de una referencia cartesiana, se define una proyectividad mediante las condiciones siguientes: Los dos puntos l´ımites coinciden en elP(2) y el puntoQ(1) es doble.
1. H´allese la ecuaci´on de la proyectividad.
2. Compru´ebese que es una involuci´on.
3. H´allesen los puntos dobles y compru´ebese que forman una cuaterna arm´onica con cualquier par de puntos hom´ologos.
Resp. xx0−2(x+x0) + 3 = 0. Puntos dobles: 1,3.
48En la recta real y respecto a una referencia cartesiana, se considera la involuci´on tal que la imagen deA(0) esA0(1) y su punto central (punto medio de los doble)C es el conjugado arm´onico deD(2/5) respecto de Ay A0. H´allese la ecuaci´on de la involuci´on y los puntos tales que ellos y sus im´agenes tienen por coordenadas n´umeros inversos.
Resp. xx0+ 2(x+x0)−2 = 0; imaginarios.
49 Reducir a la forma can´onica las proyectividades: xx0+ 3x−2x0−2 = 0, xx0−x−x0−3 = 0.
Resp. y0= 4y,y0 =−y.
50 SeanAi, A0i(i= 1,2,3) puntos sobre una rectar.
1. Probar que los pares (Ai, A0i) (i= 1,2,3) conA16=A01son conjugados de una involuci´on si y s´olo si:
(A1A01A2A3) = (A01A1A02A03)
2. Respecto de una referencia proyectiva sobrersupongamos que los puntosAi, A0i(i= 1,2,3) tienen por coordenadas no homog´eneas A1(0), A01(1), A2(2), A02(−13), A3(−2) y A03(−3). Probar que estos puntos verifican la condici´on anterior.
3. Calcular la involuci´on en la que los pares de puntos anteriores sean conjugados.
Resp. 3)xx0+x+x0−1 = 0
51 Seaσuna proyectividad sobre una rectar, cuyos puntos invariantes sonA yB. Encontrar las involuciones τ de la rectarque conmutan conσ. ¿Cu´anto vale la raz´on doble: ¡
X, τ(X), σ(X), σ−1(X)¢
, siendoX un punto de la rectar distinto deA?
Resp. Respecto a{A, B}, τ(x) =−x; ¡
X, τ(X), σ(X), σ−1(X)¢
=−1
52 Seaσuna proyectividad entre espacios proyectivos reales unidimensionales hiperb´olica o parab´olica. Demostrar que para cualquier puntoA, sus hom´ologos porσ, σ2, . . . , σn tienden a uno de los puntos dobles cuandontiende a infinito.
53 Si una proyectividad σentre dos rectasryr0 del plano proyectivo real aplica el puntoD ∈rsobre D0 ∈r0, y siτ es una perspectividad der0 sobrer00 con centro sobre la rectaDD0, donder00es una recta que pasa por D, demostrar que la proyectividad productoτ σes una perspectividad.
Resp. τ(σ(D)) =D.
54 Sean dos pares de puntos A, B y C, D sobre la recta real que se separan. Consideremos dos puntos X y X0 que son conjugados arm´onicos de un mismo puntoY respecto a Ay B y a C yD, respectivamente (i.e. (XY AB) =−1 y (X0Y CD) = −1). La correspondencia X 7→ X0, al variar X, es una proyectividad que no tiene puntos dobles (proyectividad el´ıptica).
55 Dos haces de rectas de distinto v´ertices y del mismo sentido tienen el mismo rayo origen y a cada rayo le asignamos como coordenada su pendiente con el rayo origen, es decir, la tangente del ´angulo que forma con ´este. A los rayos a(1), b(−2) yc(0), del primer haz, les corresponden losa0(2), b0 (paralelo ab) yc0 (perpendicular ac), del segundo.
Hallar la ecuaci´on de esta proyectividad, los otros dos rayos perpendiculares y correspondientes; los otros dos rayos correspondientes y paralelos y dos rayos correspondientes que forman un ´angulo de 45◦.
Resp. 3mm0+ 2m−8 = 0;{11/2,−2/11};{4/3,4/3};{(−13±√
201)/2,(9±√
201)/6}.
56Consid´erese un puntoPvariable situado en el eje de las ”x” en el plano ordinario y dos puntos fijosA(2,1) yB(1,2).
SeanM yN los puntos en el eje de las ”y” donde se intersecan las rectasAP yBP, respectivamente. Determinar el lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on de las rectasAN yBM.
Resp. (x+y−3)(5x−2y) = 0ABy eje de perspectividad.
57 Determinar anal´ıtica y gr´aficamente el punto hom´ologo del de coordenada−1, en la proyectividad entre el eje ”x” y el eje ”y” en el plano eucl´ıdeo, determinada por los tres pares de puntos hom´ologos de coordenadas 0,3; 1,−2 y 2,−1.
Idem para la recta hom´ologa a la de pendiente −1, en la proyectividad entre el haz de base en el punto (0,0) y el haz de base en (9,0), determinada por los tres pares de rectas hom´ologas de pendientes 0,3; 1,−2 y 2,−1.
Resp. 1/2
58 Demostrar que siσ:r→res una proyectividad parab´olica, no existen involuciones que conmuten con ella.
59 Toda proyectividad parab´olica o hiperb´olica sobre una recta, de la que se conoce un punto doble y un par de puntos hom´ologos, puede ser construida como producto de dos perspectividades. Comprobar que el otro punto doble es la intersecci´on de la rectas que une los centros de las perspectividades con la recta en la que est´a definida la proyectividad.
60 Dos lados de un tri´angulo variableABC est´an sobre los lados de una ´angulo fijoA; la suma de los rec´ıprocos de las longitudes de los ladosAByAC es constante. Probar que la recta del tercer lado pasa por un punto fijo.
61 Dos lados de un tri´angulo variable ABC est´an sobre los lados de un ´angulo fijoA; la suma de las longitudes de los ladosAByAC es constante. Probar que el circuncentro (punto de intersecci´on de las mediatrices –perpendiculares en los puntos medios de los lados– ) de todos los tri´angulosABC est´an alineados.
62 Dados cuatro puntos distintosA, B, C, Dsobre una recta proyectiva real, dar las ecuaciones de las proyectividades de dicha recta sobre s´ı misma, tales que:
i) A, B, C, D se transforme enB, A, D, C.
ii) A, B, C, D se transforme enD, C, B, A.
iii) A, B, C, D se transforme enC, D, A, B.
Resp. {A, B;C};D(1, d); (x, y)−>(x0, y0); 1)dxx0−yy0 = 0; 2)dxx0−dx0y−xy0+dyy0= 0; 3)dxx0−dx0y−dxy0+yy0 = 0.
63 Dadas cuatro rectas distintas a, b, c, d de un mismo haz P, ¿existe una proyectividad del haz en si mismo que transformea, b, c, denb, c, a, d, respectivamente?
Resp. La proyectividad no existe.
64 Determinar las ecuaciones de la homograf´ıa que transforma los puntos A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0), D(1,1,1) respectivamente en los puntosB, C, D, A. Hallar los elementos dobles de la misma.
Resp. ρ
x00 x01 x02
=
1 −1 0
1 0 −1
1 0 0
x0 x1 x2
. Pto. doble (1,0,1). Recta doble (1,−1,1).
65 En coordenadas no homog´eneas, hallar al ecuaci´on de la homograf´ıa que tiene por puntos dobles el origen y los impropios de cada uno de los ejesOX yOY, teniendo adem´as como puntos hom´ologos (1,1)7→(2,−3).
Resp. x0= 2x, y0=−3y.
66 Hallar la ecuaci´on de la afinidad determinada por los pares de puntos hom´ologos (1,0,0)7→(1,−1,0), (1,1,0) 7→
(1,0,0), (1,0,1)7→(1,1,1) Resp. x0=x+ 2y−1, y0 =y.
67 Una afinidad (homograf´ıa en el plano af´ın ampliado que conserva la recta impropia) variable tiene al origen de coordenadas como doble; hace corresponder al punto del infinito del eje “x” el del eje “y” y rec´ıprocamente; al punto U(1,1) le corresponde el punto U0 variable a lo largo de la rectax+y= 0. Se pide:
1) Qu´e forman las hom´ologas de la rectax+y+ 1 = 0.
2) Ecuaci´on de la proyectividad subordinada en el origen.
Resp. x0=ty, y0=−tx, 1) x−y−1/t= 0, 2)y=mx7→y=−mx.
68Se dan dos puntosP yQy dos rectasrysdel plano, tales que los puntos no est´an en las rectas y que las tres rectas P Q, rysno son concurrentes. A cada punto X se le hace corresponder el puntoX0 tal queP X yQX0 se cortan enr yP X0 yQX ens. Probar que se trata de una homograf´ıa y hallar los elementos dobles.
Resp. Punto doble: r∩s. Recta doble: P Q.
69 Sea en el plano proyectivo real una homograf´ıaσde ecuaciones ρx00=x0−x1+x2 ρx01= 2x0−x2 ρx02=−x0−x1+ 3x2
Sabemos que toda homograf´ıa transforma puntos alineados en puntos alineados, en particular la homograf´ıa en cuesti´on aplica un puntoP de la rectar≡x−y= 0 en un puntoP0 de la rectar0. Determinar la ecuaci´on de la rectar0 y la de la proyectividad que homograf´ıaσinduce sobreryr0 (P ∈r7→σ(P) =P0∈r0). ¿Es ´esta una perspectividad?
Resp. r0 : 2x+y−3 = 0.
70 Hallar las ecuaciones de las tangentes desde el origen a la c´onicay2−2xy+ 2y−4x−2 = 0.
Resp. 2x−3y= 0, tang. en (−3/2,−1); 2x−y= 0, as´ıntota.
71 Dada la c´onica 2x2−2xy+y2+ 2x−8y+ 21 = 0, obtener la ecuaci´on de la tangente en el punto (3,5).
Resp. x−y+ 2 = 0.
73 En el plano proyectivo consid´erense la c´onica que admite por ecuaci´on 2(x0)2+ (x1)2−(x2)2+ 2x1x2= 0 y el punto P(1,1,1). Se pide: polar deP respecto de la c´onica y tangentes desdeP a la c´onica.
Resp. Tangentes desde (1,1,1), 2x−y= 1, y= 1. Polar: x=−1.
74 Hallar el polo de la rectax+ 2y+ 7 = 0 en relaci´on a la c´onicax2−xy+y−3x−1 = 0.
Resp. (3,4).
75 Hallar la ecuaci´on del di´ametro polar del punto impropio (0,1,4) en la c´onica: 4y2−5xy−2x+ 3y+ 1 = 0.
Resp. 20x−27y−10 = 0.
76 Determinar los polos de los ejes de coordenadas respecto de la c´onica, 7x2−y2+ 4xy−3x+ 3 = 0.
Resp. Polo deOX: (2,4). Polo deOY: (2,−25/4).
77 Hallar el polo de la rectax+y−2 = 0 respecto de la c´onicax2−2xy+ 1 = 0.
Resp. (1/2,1).
78 Hallar el polo de la rectax+ 5y+ 6 = 0 respecto de la c´onicax2+y2−2x+ 4y+ 2 = 0.
Resp. (2,3). Circunferencia de centro (1,−2).
79 Hallar la polar del punto (1,2) respecto a la c´onica dada porx2+y2−2xy+ 2x−1 = 0.
Resp. y= 0. Par´abola de eje 2x−2y+ 1 = 0 y v´ertice (7/8,3/8).
80 Lugar geom´etrico de los polos de la rectax+y+ 1 = 0 con respectos a todas las c´onicas del haz:
x2+ 2λxy+λy2−2λx+ 1 = 0.
Resp. La hip´erbola: 2x2+xy−x−1 = 0.
81 Encontrar las tangentes a la c´onica de ecuaci´on tangencial 3u20+u21−u22= 0, desde el punto (2,0,1).
Resp. x0+x1−2x2= 0, x0−x1−x2= 0.
82 Demostrar que las siguientes c´onicas tangenciales son degeneradas, y determinar sus rectas singulares.
(a)u21−u1u2= 0 (b) (u1+u2)2+ (u1−3u0)2= 0.
83 Demostrar que la c´onica x2−2xy+y2−2x= 0 es no degenerada y encontrar su ecuaci´on tangencial.
Resp. |A|=−16= 0, 2u0u1+ 2u0u2−u22= 0.
84 ¿Qu´e valor hay que dar al par´ametroλpara que la c´onicax2+ 2y2−λxy−x−2 = 0 est´e formada por dos rectas?
Obtener adem´as las rectas.
Resp. λ= 3 : (x−2y−2)(x−y+ 1) = 0; λ=−3 : (x+y+ 1)(x+ 2y−2) = 0.
85 Consid´erese la c´onica de ecuaci´onx2+ 2axy+ 2y2−2x+ 2 = 0 a) Obt´engase los valores deapara los que es totalmente imaginaria.
b) Obt´engase los valores deapara los que es una c´onica degenerada.
Resp. Sia∈]−1,1[ elipses imaginarias. Si a=±1 rectas imag., con punto real (∓2,∓1)
86 Determinar la hip´erbola equil´atera que pasa por los puntos (2,0),(−1,0),(0,−1) y (1,1).
Resp. x2−y2+ 6xy−x−3y−2 = 0
87 Encontrar los puntos sigulares de las c´onicas de ecuaciones:
(x1)2+ 2x1x2+ 4x1x0−8(x2)2−2x2x0+ 3(x0)2= 0, (x1)2+ (x2)2+ (x0)2−2x1x2−2x1x0+ 2x2x0= 0
Utilizar el hecho de que en una c´onica degenerada la recta que une un punto singular con otro punto de ella est´a contenida en la c´onica, para factorizar sus ecuaciones.
Reducir estas ecuaciones a su forma normal o diagonal.
Resp. 1) (x−2y+ 1)(x+ 4y+ 3z) = 0, (−5/3,−1/3); 2) (x−y−1)2= 0, (0,1,1).
88 Hallar el valor dekpara que la c´onicax2+ky2+ 4xy−6x−12y+ 9 = 0 sea una recta doble.
Resp. k= 4, (x+ 2y−3)2= 0.
89 Dada la c´onicax2+y2−2xy−1 = 0, demostrar que es degenerada y descomponerla en producto de dos rectas.
Resp. (x−y−1)(x−y+ 1) = 0.
90 Dada la hip´erbola 4x2+ 4xy−12x−4y+ 9 = 0, referirla a sus as´ıntotas.
Resp. 4xy= 1.
91 Toda c´onica no degenerada real tiene, en un adecuado sistema coordenado, por ecuaci´on: x1x0−(x2)2= 0.
Resp. Tomar la referencia formada por las tangentes desde un punto y la polar de ´este.
92 Encontrar una transformaci´on de coordenadas que reduce la ecuaci´on de la c´onica 3(x1)2−2x1x2−(x0)2= 0 a la forma del Ejercicio91.
Resp. Referencia: tangentes y polar de (1,0,0); y0= 3x1−2x2, y1=x1, y2=x0.
93 Probar que toda c´onica no degenerada real tiene por ecuaci´on tangencialu0u1−u22= 0, en un conveniente sistema de coordenadas y encontrar la transformaci´on de coordenadas que efect´ua esta reducci´on para la c´onicau21+u22−u20= 0.
94 Demostrar que la c´onica tangencial u21−2u1u2−4u1u0+u22+ 2u2u0−5u20= 0 es no degenerada y encontrar su ecuaci´on puntual.
Resp. |A|=−16= 0, 2x0x1−6(x1)2+ 2x0x2−14x1x2−9(x2)2= 0.
95 ¿Es la rectax1−x2+x0= 0 tangente a la c´onica 2u21+ 4u1u0−5u22+u2u0= 0 ? Resp. S´ı
96 Encontrar la c´onica cuyas tangentes son la familia de rectasλx+λ2y+ 3λ2−1 = 0.
Resp. x2+ 4y+ 12 = 0.
97 SeanA(0,1,0), B(0,0,1), C(−1,2,2) yD(1,0,0) puntos sobre la c´onica C: x1x2+x0x1+x0x2= 0 yP otro punto deC;P B yP C cortan aADenB0 yC0, respectivamente. Determinar la raz´on doble (AB0C0D).
98 Consideremos el haz de rectas paralelas al ejeOX y el haz de rectas pasando por el origen. A una recta del primer haz, de ordenada en el origen λ, le hacemos corresponder la recta del segundo que tiene por pendiente λ/(1−λ).
Encontrar la ecuaci´on de la c´onica que determinan la intersecci´on de rectas hom´ologas en esta proyectividad.
Resp. y(x+y−1) = 0.
99 Encontrar dos haces proyectivos cuyos rayos hom´ologos se corten en los puntos de la c´onica x2−2xy+y−4 = 0.
100 Justificar el siguiente m´etodo de con- strucci´on de una elipse (ver figura). Los lados AD y DC de un rect´angulo son divididos en un mismo n´umero de seg- mentos de igual longitud. UnirB y A a los puntos de divisi´on empezando por A y D, respectivamente. Estas rectas se cortan en el arco AP de la elipse de semiejesQAyQP.
D C
A Q B
P
©©©©©©©©©©©©©©©©©©
¿¿¿¿¿¿¿¿¿
HH HH HH HH HH HH HH HH H H
``
``
``
``
``
``
``
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡
XX XX XX XX XX XX XX XX X X
101Una proyectividad entre los hacesλx+µ(y−1) = 0 y λ0(x+y)+µ0(y−1) = 0 est´a establecida por las ecuaciones ρ
µ λ0 µ0
¶
=
µ 1 1 0 1
¶ µ λ µ
¶
Encontrar el lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on de rectas correspondientes.
Resp. x2−y2+xy+y= 0.
102 Las ecuaciones λ0 = 2λ−µ, µ0 = λ+µ, establecen una proyectividad entre los puntos (0, λ, µ) y (λ0,0, µ0) de las rectas x0 = 0 y x1 = 0. Encontrar la ecuaci´on de la c´onica cuyas tangentes son las rectas que unen puntos correspondientes.
Resp. 4x2−4xy+y2+ 8x+ 2y+ 1 = 0.
103 Dadas dos c´onicas con cuatro puntos de intersecci´on, probar que los cuatro puntos quedan en un circunferencia si y s´olo si los ejes de las c´onicas son perpendiculares.
104 Sean A, B, C, D puntos sobre una c´onica C y las tangentes a C en A y C se cortan en P sobre la recta BD.
Demostrar que las tangentes aC enB yDse cortan en un punto QsobreAC.
Resp. La polar deP esAC, recta en la est´a el polo deBC, que esQ.
105 Sean cuatro puntos A, B, C y D sobre una c´onica C, AD y BC se cortan en P y AC y BD se cortan en Q.
Demostrar que las tangentes aC enAyB se cortan en un puntoR sobre la rectaP Q.
Resp. Teorema de Pascal, aplicado al cuadril´ateroABCD y las tangentes enA yB.
106 Sea una c´onica no degenerada tangente a los ladosBC, CAyAB de un tri´anguloABC en los puntosP, Q yR, respectivamente, demostrar que las rectasAP, BQyCRson concurrentes.
Resp. Caso l´ımite teorema de Brianchon.
107 Se dan cuatro puntosP, P0, Q, Q0 sobre una recta`y dos puntosAyBalineados conP; seanC=AP0∩BQyC la c´onica que pasa porA, es tangente enB a BQ0 y enC a CQ0. Demostrar de intersecci´on de `yC (si existen) son los puntos dobles de la involuci´on que tiene como conjugados a los pares (P, P0) y (Q, Q0).
108 Dado un tri´angulo inscrito en una c´onica se considera una rectar conjugada de uno de sus lados (es decir, que pasa por su polo). Demostrar que dicha rectarcorta a los otros dos lados en puntos conjugados.
Y rec´ıprocamente, una recta que corta a los ladosAB yAC de un tri´angulo inscrito en una c´onica en dos puntos conjugados, es conjugada del tercer ladoBC.
Enunciar el dual.
109 Se dan dos rectasp1yp2 y un puntoO no perteneciente a ellas y sobrep1se considera una involuci´on conP yP0 hom´ologos. La rectaOP0 corta a p2 enQ. Demostrar que las rectas P Q son tangentes a una c´onica cuandoP var´ıa sobrep1.
110 Por un punto M(a,0) sobre el eje de una par´abolay2 = 2px se trazan paralelas a las tangentes. ¿Qu´e lugar describe el punto en que cada una de estas rectas corta a las rectas que pasan por el origen de coordenadas y por el punto de contacto de la tangente correspondiente?
Resp. La polar deM respecto a la par´abola.
111 Si dos pares de v´ertices opuestos de un cuadril´atero son conjugados con respecto a una c´onica el tercer par de v´ertices opuestos es tambi´en conjugado con respecto a la c´onica.
112 Por un puntoP de una c´onica se trazan las cuerdas fijasP QyP Ry dos cuerdas variablesP AyP B que forman con las primeras una cuaterna arm´onica. Probar que las rectas AB pasan por un punto fijo. Enunciar el resultado dual.
Resp. Punto fijo: polo de la rectaQR.
113 Establecer el siguiente resultado y enunciar su dual:
”Dada una c´onica y un puntoP de su plano no perteneciente a ella, todos los cuadriv´ertices inscritos en la c´onica que tienen enP un punto diagonal tienen los dos restantes puntos diagonales sobre una misma recta”.
114Establecer: ”En todo tri´angulo circunscrito a una c´onica las rectas que unen los v´ertices con los puntos de contacto de los lados opuestos, concurren en un punto”. Enunciar el resultado dual.
(http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejco1507.pdf)
115Dado un tri´anguloABCy un puntoP. SeanX, Y yZ los puntos de intersecci´on de las rectasBCyAP,ACyBP, AByCP, respectivamente. C una c´onica que pasa porX, Y yZ y seanX0, Y0 yZ0 los otros puntos de intersecci´on de la c´onica con los ladosBC,AC yAB, respectivamente. Demostrar que las rectaAX0,BY0 yCZ0 son concurrentes.
116 Dados un tri´anguloABC, un punto P y un tri´angulo inscrito A0B0C0 (A0 en BC, B0 en CA yC0 en AB; sean Pa, PbyPclos puntos de intersecci´on de cada lado deABC con la recta que uneP con su v´ertice opuesto (PaPbPc es el tri´angulo ceviano deP),L=B0C0∩PbPc,M =C0A0∩PcPa yN =A0B0∩PaPb. Demostrar que las rectasA0L, B0M yC0N concurren en un punto.
117 Seanp1, p2, p3 tres rectas, yp3 interseca a una c´onica no degeneradaC en dos puntos distintosA yB. SiP es un punto arbitrario deC, y P1=AP∩p1, P2=BP∩p2. Demostrar que las rectasP1P2 son las tangentes a una c´onica cuandoP varia sobreC.
118 Dos de los v´erticesA1,A2de un tri´angulo variableA1A2A3, est´an sobre dos rectas dadas,A1∈p1yA2∈p2; cada uno de sus tres lados pasa por tres puntos dadosF1∈A2A3, F2∈A3A1 yF3∈A1A2. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico del
119 Dada una rectaren el plano, demostrar que las rectas polares de los puntos derrespecto de dos c´onicas dadas se intersecan sobre una tercera c´onica.
120 Demostrar que la condici´on necesaria y suficiente para que una c´onica carezca de puntos (es decir, sea imaginaria) es que
a00>0 A22>0 |A|>0
siendoA22el adjunto dea22y|A| el determinante de (aij), matriz asociada a la ecuaci´on de la c´onica
121 Clasificar las c´onicas: a) 3x2+ 2y2+ 6xy−4x−2y+ 1 = 0 b) 4x2+ 9y2+ 12xy−4x−6y= 0.
Resp. a) Hip´erbola, b) Rectas paralelas: (2x+ 3y)(2x+ 3y−2) = 0.
122 Dada la familia uniparam´etrica de c´onicas: Cα≡x2+y2−2xcosα−4ysenα−3 cos2α= 0. Se pide:
a) Clasificar dichas c´onicas. b) Determinar y clasificar el lugar geom´etrico de los centros de dichas c´onicas.
Resp. a) Elipses. b) 4x2+y2= 4, elipse.
123 En el plano af´ın, clasif´ıquense las c´onicas que admiten por ecuaciones:
αx2+αy2+ 2βxy+ (α+β)(x+y) + 1 = 0, (α, β∈IR)
124 Se da la familia de c´onicas x2+ 2λxy−2y2+ 2λx−1 = 0. Hallar el lugar geom´etrico de los polos de la recta x+y= 0 respecto a ellas.
Resp. La hip´erbola: x2+ 2yx−x+y+ 1 = 0.
125 Determinar el lugar geom´etrico de los polos de la rectax+y+ 1 = 0 respecto de la familia de c´onicas λy2−2xy+ 2y+ (2−λ) = 0.
Resp. La par´abola: 2y2+ 3y−x+ 1 = 0.
126 En el plano af´ın consid´erese la c´onica C que admite por ecuaci´on x2−2y2+ 2xy+ 2x−4y+ 1 = 0. H´allese un paralelogramo circunscrito aC cuyos lados tengan las direcciones de los vectores~a(1,0) y~b(1,1).
Resp. Limitado por las rectas: y= 0, y=−2, x=y, x−y= 2.
127 Hallar los ejes de la c´onicax2−y2+ 2y+ 2 = 0.
Resp. x= 0, y= 1.
128Determinar el lugar geom´etrico de los v´ertices de las familia de c´onicas de ecuaci´ony2+ 2kx(y−1)−k2(y−1)2= 0.
Resp. x2y(2−y) =y2(y2−2y+ 1).
129 Clasificar las siguientes c´onicas:
1) 4x2−4xy+y2+ 12x−6y+ 3 = 0, 2) 5x2−4xy+ 4y2−16y−80 = 0, 3) 8x2+ 6xy−9y2−24x−36y+ 9 = 0, 4)x2−2xy+y2−3x+ 5y= 0.
En cada caso calcular, cuando exista, el centro, ejes y as´ıntotas.
Resp. 1) Rectas paralelas; 2) Par´abola, eje: 5x−10y+ 16 = 0; 3) Hip´erbola; 4) Par´abola,x−y= 2
130 Clasificar las c´onicas:
1) 3y2−xy+x−4y+ 1 = 0, 2)x2+y2−2xy+ 2x−2y+ 1 = 0, 3)x2−y2+x+ 1 = 0, 4)x2+y2−2xy+ 6x−6y+ 9 = 0.
Resp. 1) (x−3y+ 1)(y−1) = 0. 2) (x−y+ 1)2= 0. 3) Hip´erbola. 4) (x−y+ 3)2= 0.
131 Hallar las ecuaciones reducidas en el plano eucl´ıdeo de las siguientes c´onicas:
1) 9x2+y2−6xy−4x+y= 0. 2) 6x2+ 6y2+ 4xy−16x−16y= 0. 3) x2−y2−2xy−4x+ 4y−3 = 0.
Resp. 1) 50y2+√
10x= 0; 2) 2x2+y2= 4; 3)√
2x2−√
2y2= 7.
132 En el plano af´ın consid´erese la c´onicaCque admite por ecuaci´on: x2−12xy+ 6y2+ 2x+ 3y−13 = 0. Se pide: a) centro deC; b) proyectividad ente las rectas que pasan por el centro, inducidada porC; c) as´ıntotas de C.
Resp. (1/2,1/4), 1−6(m+m0) + 6mm0= 0, 3±√
30−12x∓2√
30x+ 12y= 0.
133 Determinar centro, ejes y as´ıntotas si las tiene, de las c´onicas:
1)x2+ 2y2+ 2xy−6x−2y+ 9 = 0, 2)x2−y2−2xy+ 8x−6 = 0, 3)x2+ 9y2+ 6xy+ 2x−6y= 0.
Resp. Elip:(5,−2), m= (1±√
5)/2. Hip:(−2,2), m= 1±√
2, m=−1±√
2. Pa:5x+ 15y= 4
134 Hallar las ecuaciones de los ejes de la c´onica dada por la ecuaci´on 3x2−2y2+ 12xy−3x+y−2 = 0.
Resp. Hip´erbola de centro (0,1/4) y ejes 6x+ 4y−1 = 0, 8x−12y+ 3 = 0.
135 Determinar los focos de la c´onica: 16x2−24xy+ 9y2−80x−140y+ 100 = 0.
Resp. Foco: (1,2).
136 Hallar el di´ametro de la c´onicax2−y2+ 6xy+ 4x−6y+ 8 = 0 paralelo a la recta 4x−2y+ 3 = 0.
Resp. 7x+y= 4.
137 Hallar el lugar geom´etrico de los polos de las normales a la par´abolay2= 2px.
Resp. 2xy2+ 2py2+p3= 0.
138 En el plano eucl´ıdeo, y respecto de una referencia rectangular, consid´erese la c´onica que admite por ecuaci´on:
2x2−y2+ 4xy−12x+ 12y+ 3 = 0.
Se pide: Clasificar la c´onica. Hallar el centro. Hallar sus ejes y v´ertices. Hallar sus as´ıntotas si las tiene.
Resp. Hip´erbola. Centro: (−1,4). Ejes: 2x+y= 2, x−2y+ 9 = 0. As´ıntotas: m= 2±√ 6.
139 En el v´ertice (a,0) de la elipse x2 a2 + y2
b2 = 1 se ha trazado la tangente. Por cada uno de los puntos de esta tangente se ha trazado la perpendicular a su polar correspondiente. Hallar el lugar geom´etrico de los pies de estas perpendiculares.
Resp. Circunferencia: a2x2+a2y2+a(b2−2a2)x+a2(a2−b2) = 0.
140 En un plano se dan: una circunferencia fijaC de centroO y radior, y una recta` que distad del punto fijoO.
La tangente en un puntoT de la circunferencia encuentra a`enM. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos donde la perpendicular aOM enOencuentra a la tangenteT M cuandoT var´ıa. Describir el lugar.
141 Se considera la elipse: x2 a2 +y2
b2 = 1 (a6=b). Se pide determinar el lugar geom´etrico de los puntosX del plano cuya polar es perpendicular a la rectaXP dondeP es un punto fijo del plano de coordenadas (α, β). Estudiar el lugar resultante.
Resp. Hip´erbola: (a2−b2)xy+βb2x−αa2y= 0.
142Ecuaci´on de la c´onica con centro en (1,1), tal quey= 1 es un eje y la polar del punto (2,2) es la rectax+y−3 = 0.
Resp. Elipse: (x−1)2+ (y−1)2= 1.
143 Dado el tri´angulo determinado por las rectas x= 0, y = 0 yx+ 2y−2 = 0, hallar el lugar geom´etrico de los puntosP tales que sus proyecciones ortogonales sobre los tres lados determinan un tri´angulo de ´area constante igual a k. Estudiar el lugar obtenido.
Resp. Circunferencia: x2+y2−2x−y= 5k.
144 Se da la par´abolay2= 2pxy un puntoA(a, b). Por el v´erticeO de la par´abola se traza una cuerda variableOB.
Se proyecta el puntoB sobre la tangente en el v´ertice, obteni´endose un puntoC, y se uneC conA. Se pide:
a) Lugar geom´etrico de los puntos de encuentro de las rectasOB yAC.
b) Discutir el lugar haciendo variar la posici´on del puntoAen el plano.
Resp. C´onica: 4px2+ (2a+p)y2−2bxy−4apx−bpy= 0.
145 Desde un punto cualquiera de la directriz de la par´abola y2 = 2px, se traza la perpendicular a su polar correspondiente. Lugar geom´etrico del punto de intersecci´on de estas dos rectas.
Resp. El foco de la par´abola.
146 En el plano eucl´ıdeo y respecto de una referencia rectangular, obt´engase la ecuaci´on general de las c´onicas que tienen como foco y v´ertice, correspondientes a un mismo semieje, a dos puntos dados.
147 Determinar una hip´erbola tangente a la c´onica 3x2−2xy+ 5y2−x+y= 0, en los los puntos de intersecci´on con la rectax−2y+ 1 = 0, teniendo adem´as una as´ıntota paralela al ejeOX. Hallar la direcci´on de la otra as´ıntota.
Resp. Haz bitangente. 7y2−10xy+ 7x−13y+ 3 = 0. As´ıntotas: m= 0, m= 10/7.
148 C´onica determinada por los puntos de intersecci´on de los pares de rayos hom´ologos de dos haces proyectivos que desdeV(0,0) yV0(punto impropio de la rectay−