Ejercicio 229 Lugares geom´etricos y envolventes (2545-403) El lugar geom´etrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas sobre una esfera es una curva esf´erica.
SOLUCI ´ON:
Problema sugerido por Francisco Javier Garc´ıa Capit´an.
Hoja din´amica GeoGebra
Dos circunferencias dadas sobre una esfera se pueden proyectar una en otro desde un punto (son secciones de un cono).
Sin p´erdida de generalidad, podemos elegir una esfera unidad centrada en el origen de coordenadas O(0,0,0), tomar una de las circunferencias dadas como un paralelo, en un plano perpendicular al eje OZ y el v´ertice del cono V(0, b, c) en el planoY OZ.
Tomando como parametrizaci´on de la esfera:
(cosucosv,sinucosv,senv), un puntoM del paralelo tiene coordenadas (cosucosv0,sinucosv0,senv0).
El vector tangente enM al paralelo es~v= (−sinucosv0,cosucosv0,0).
El vector perpendicular al plano que contiene a la tangente enM y a la generatriz de cono de v´ertice V(0, b, c) y que pasa porM es:
(cosucosu0(c−sinv0),cosu0sinu(c−sinv0),cosu0(cos2ucosu0−bsinu+ cosu0sin2u).
Plano que que contiene a la circunferencia pedida:
xcosu(c−sinv0) +ysinu(c−sinv0) +z(cos2ucosv0−bsinu+ cosv0sin2u)−ccosv0+bsinusinv0= 0.
La recta que pasa por el centroO de la esfera y es perpendicular a este palo lo corta en el puntoN, que describe el centro de la circunferencia pedida, tangente a las dos circunferencias dadas:
α(u) =
µ2 cosu(c−sinv0)(ccosv0−bsinusinv0)
Φ(u) ,
−(2,secv0(ccosv0−bsinusinv0)(−ccosv0sinu+ cosv0sinusinv0)
Φ(u) ,−sec(v0)Ψ(u)
4Φ(u)
¶ . donde
Φ(u) = 2 +b2+ 2c2−b2cos 2u−2bsin(u−v0)−4csinv0−2bsin(u+v0), y
Ψ(u) = (bcos(u−3v0) +bcos(u−v0)−6ccosv0−2ccos(3v0)−bcos(u+v0)−bcos(u+ 3v0)+
4bcsinu+ 2bcsin(u−2v0)−b2sin(2u−2v0)−2b2sin(2v0) + 2bcsin(u+ 2v0) +b2sin(2u+ 2v0)).
Esta curva es la intersecci´on de la esfera de di´ametroOV con un cilindro de generatrices paralelas el ejeOX, de ecuaciones respectivas:
x2+y2+z2−by−cz= 0,
b2y2+ (1 +c2−2csinv0)z2+ 2bcyz−2byzsinv0−(by+cz) cos2v0= 0.
Proyecci´on sobre el planoY OZ:
La Laguna, Viernes, 13 de Mayo del 2016 P´ag. 1/2 Angel Montesdeoca
Hoja din´amica GeoGebra
Programa con Mathematica para obtener la ecuaci´on param´etrica e impl´ıcita de la curva lugar geom´etricos de los centros de las circunferencias tangentes a dos dadas sobre la esfera unidad:
ptoM = {Cos[u] Cos[v0], Sin[u] Cos[v0], Sin[v0]};
(* Vector tangente en M *) vtM = D[ptoM, u];
(*Vector perpendicular al plano que contiene a la tangente en M y a la recta VM *)
vnM = -Cross[vtM, ptoM - {0, b, c }]// Factor;
(*Plano que que contiene a la circunferencia pedida*) plM = {x, y - b, z - c}.vnM // Factor // Last;
(* Intersecci´on de este plano con la recta
que pasa por el centro de la circunferencia pedida*) plM /. Thread[{x, y, z} -> t vnM];
Solve[% == 0, t];
(* Centro de la circunferencia *) ptoN = t vnM /. %[[1]]
(* Esta curva es la intersecci´on de una esfera con un cilindro de generatrices paralelas el eje OX:*)
ptoN/. {Cos[u] -> U, Sin[u] -> V};
Eliminate[{{X, Y, Z} == %, U^2 + V^2 == 1}, {U, V}]
{ESFERA,CILINDRO}=Table[%[[i,1]]-%[[i,2]],{i,1,2}]
(* Un caso particular: *)
gr = ParametricPlot3D[cu[{2, -1}, \[Pi]/3][u], {u, 0, 2\[Pi]}, PlotStyle -> Directive[Purple, Thick]];
ESFERA1 = ESFERA /. {b -> 2, c -> -1, v0 -> \[Pi]/3};
CILINDRO1 = CILINDRO /. {b -> 2, c -> -1, v0 -> \[Pi]/3};
grEC = ContourPlot3D[{ESFERA1 == 0, 0 == CILINDRO1}, {X, -1, 1}, {Y, -1, 1}, {Z, -1, 1}, Mesh -> None, PlotPoints -> 20];
Show[{gr, grEC }, Boxed -> False, Axes -> False]
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejlg2545.pdf
La Laguna, Viernes, 13 de Mayo del 2016 P´ag. 2/2 Angel Montesdeoca